1、數(shù)學(xué)中的 “有限與無限 ”的思想數(shù)學(xué)中的“有限與無限”的思想一、知識概述1、有限與無限的思想就是將無限的問題化為有限來求解，將有限的問題化為無限來解決，利用已經(jīng)掌握的無限問題的結(jié)論來解決新的無限問題.2、把對無限的研究轉(zhuǎn)化為對有限的研究，是解決無限問題的必經(jīng)之路.3、積累的解決無限問題的經(jīng)驗，將有限問題轉(zhuǎn)化為無限問題來解決是解決有限問題的一個方向，同時有利于解決新的無限的問題 .4、立體幾何中求球的表面積與體積的推導(dǎo)，實際上是先進行有限次分割，然后再求和、求極限；數(shù)學(xué)歸納法就是通過對有限的研究來解決無限的問題等等，這些都是典型的有限與無限思想的應(yīng)用.取極限和數(shù)學(xué)歸納法就是由有限與無限的思想得到

2、的具體的方法.5、有限與無限的思想在近幾年的高考中已經(jīng)有很多具體的體現(xiàn)，隨著高中課程改革，對新增內(nèi)容的深入考查，必將加大對這一思想的考查,所以我們考前應(yīng)該予以重視.二、典例分析1. 在 數(shù) 列 an 在 中 ， an4n5 ， a1a2 L anan2bn ， n N *, 其 中 a, b 為 常 數(shù) ， 則2limanbnanbn 的值是.n【解析】 本題根據(jù)通項與前n 項和可以求出常數(shù)a, b 的值，再對所給的有限項求極限. 這里我們要利用已經(jīng)掌握的無限的結(jié)論( 即 lim qn0(| q | 1)來解決新的極限問題 .n【答案】 由 an4n5知， an 是公差為4 的等差數(shù)列，故 a

3、1 a2 L an3 nn(n 1) 42221anbn1 ( b )n1 ( 1) nan2bn ，解得a2 ， bnnlimalim41.2，從而 limb1 ( b )n1) nnan1 (na42.已知數(shù)列an滿足1a ,an 1 11我們知道當(dāng) a 取不同的值時， 得到不同的數(shù)列， 如當(dāng) a 1aan時，得到無窮數(shù)列：1,2, 3 , 5 ,;. 當(dāng) a1時 ,得到有窮數(shù)列：1 ,1,0 .2322（）求當(dāng) a 為何值時 a40 ；（）設(shè)數(shù)列bn滿足 b11, bn 11( nN) ，求證：a 取數(shù)列bn 中的任一個數(shù)，都可bn1以得到一個有窮數(shù)列an ；（）若 3an2(n 4)，

4、求 a 的取值范圍 .2. 對于題設(shè)的遞推關(guān)系，隨著所給出的初始條【解析】這是一道蘊含有限與無限的思想的典型試題件不同，得到的數(shù)列既可能是無限數(shù)列也可能是有限的數(shù)列，第（）問則可以通過有有限次的試驗，得出對無限個 bn 都可以得到一個有窮數(shù)列an 的猜想， 再用數(shù)學(xué)歸納法進行證明 .或者通過對有限問題的推理直接得到無限問題的解答.第（）問是把對無限個n 都成立的結(jié)果，通過有限次分析獲得解決.【答案】（） Q aa, an 111 ,a1111a1 ,1an2a1aa數(shù)學(xué)中的 “有限與無限 ”的思想a3112a 1, a4113a2 .故當(dāng) a2 時 a40.a2a 1a32a13( )解法一：

5、b11 , bn11, bn11,bnbn11當(dāng) ab1 時 , a2110,b1當(dāng) ab2 時 , a21b11 ,a30 ,1b1當(dāng) ab3 時 , a21b2 ,a31111b11 a40.1a2b2b3一般地 ,當(dāng) abn 時 , an 10, 可得一個含有n1項的有窮數(shù)列a1 , a2 ., an 1 .下面用數(shù)學(xué)歸納法證明 .當(dāng) n1時 ,ab1 ,顯然 a2110 ,可得一個含有2 項的有窮數(shù)列 a1, a2 .b1假設(shè)當(dāng) nk 時 , a項的有窮數(shù)列 a1 , a2 ., ak 1 ,其中bk ,得到一個含有k1ak 10 ,則 nk 1時 , a bk 1 ,a211bk ,

6、bk1由假設(shè)可知 ,得到一個含有 k1項的有窮數(shù)列 a2 , a3 ,ak 2 ,其中 ak 20 .所以 , 當(dāng) nk1時 , 可以得到一個含有k2 項的有窮數(shù)列 a1, a2 ,a3 , ak2 ,其中 ak 2 0由 (1),(2)知 ,對一切 n N ,命題都成立 .解法二： Q b1,bb,b11.1n 1bn1nbn 1a取數(shù)列 bn 中的任一個數(shù)不妨設(shè) abn .Q a bn , a2111bn 1,1a1bna3111bn 2 ,.1bn 1a2an1111b11. an 10.b2an 1故 a 取數(shù)列 bn中的任一個數(shù)，都可以得到一個有窮數(shù)列an .（） 3an2( n4)

7、 即 3112 ,1 an 1222an1所以要使 3an2(n4),當(dāng)且僅當(dāng)它的前一項an 1 滿足 1 an 12 .2由于3 ,21,2, 所以只須當(dāng) ak3 ,2 時 , 都有 an3 ,2 n5222由 a43a233a22,解得 a 0 .2a, 得22a11N * ）.3在數(shù)列 | an|，| bn |中，a1=2，b1=4，且 an， bn， an 1 成等差數(shù)列， bn， an 1， bn 1成等比數(shù)列（ n（）求 a2， a3，a 4 及 b2， b3 ，b 4，由此猜測 | an |， | bn | 的通項公式，并證明你的結(jié)論；（）證明：1115 a1 b1a2b2anb

8、n12【解析】 第（）問由題設(shè)可得兩個數(shù)列的遞推關(guān)系式，進而得到兩個數(shù)列的前幾項（有限項），數(shù)學(xué)中的 “有限與無限 ”的思想可以猜出兩者的通項公式（無限的問題），再用數(shù)學(xué)歸納法證明這個無限的問題.第（）問可以通過研究通項公式（無限的問題）直接解決無限的問題.【答案】（）由條件得2bnanan 1， an21bn bn1 ，由此可得a26， b29， a312， b316， a420， b425 猜測 an n(n1)，bn(n 1) 2下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng) n=1 時，由上可得結(jié)論成立假設(shè)當(dāng) n=k 時，結(jié)論成立，即akk(k1)， bk( k1)2 ，那么當(dāng) n=k+1 時， ak 12

9、bkak2(k2k(k1)(k1)(k2)，bk 1ak22( k2)21)bk,所以當(dāng) n=k+1 時，結(jié)論也成立由，可知 ann(n1)， bn (n1)2對一切正整數(shù)都成立（）1b115 n 2 時，由（）知 anbn(n1)(2 n1)2(n1)n a1612故11111111b1a2b2anbn622334n(n1)a11111111111111156 2 2 3 3 4n n 16 2 2 n 1.6 4 12綜上，原不等式成立三、名校試題1.數(shù)列 an 中， a11 ，an 11 an2anc( c1 為常數(shù)， n1,2,3,. ) ，且 aa21 .238（ 1）求 c 的值；

10、（ 2） 證明： an an 1 ； 猜測數(shù)列 an 是否有極限？如果有，寫出極限的值（不必證明）；（ 3）比較n1 與 40 an1 的大小，并加以證明 .k1 ak39【解析】 第（ 1）問由通項公式（揭示無限問題）求出有限項a2、 a3后可得 c 的值；第（ 2）問通過對有限項的處理證明出結(jié)論，從而可猜出 a 的極限；第（）問對得到的遞推關(guān)系式進行變形，再用作差n3法求解，需要用到數(shù)學(xué)歸納法證得an2 .然后通過前幾項（有限項）的比較與第（2）問已證的單調(diào)性得到結(jié)果 .111121221【答案】（）依題意， a22a1a1c c2， a32a2a2c2c22.1，得 112111 ，解得

11、 c由 a3 a2cc2 ，或 c1 （舍去） .822228（） 證明：因為 aa1 a22a21 (a2) 20 ，當(dāng)且僅當(dāng) a2 時， an 1n2 nn2na .因為 a1 ，所以 an 1an0 ，即 anan 1( n1,2,3,. ).nn 1n1 數(shù)列 an 有極限 ,且 lim an2 .n（）由 an11an2an2 ，可得 an (an 1an )(an2)( an 12)，從而111.2anan2an 12因為 a1 1 ，所以n1n111111.k 1 akk1ak2ak 12a12an 122an 1數(shù)學(xué)中的 “有限與無限 ”的思想n14014040an2141an

12、 139(5an 1 3)(8an 113)所以39 an 1139 an 1.k 1 ak2 an 139 (2 an 1)39 (2 an 1 )因為 a11 ，由（）得 an1( nN * ).（ * ）下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：對于任意nN *，有 an2 成立 .當(dāng) n 1 時，由 a11，顯然結(jié)論成立 .假設(shè)結(jié)論對 nk( k1) 時成立，即 ak2.因為 an11 an2an 21 ( an1)23 ，且函數(shù) y1 ( x 1)23在 x1時單調(diào)遞增，22222所以 ak11 (21)232 .即當(dāng) nk1時，結(jié)論也成立 . 于是，當(dāng) nN * 時，有 an2 成立 . （ * ）2

13、2根據(jù)（ * ）及（ *）得1an2 .由 a1 1及 an 11 an2an2 ， 經(jīng)計算可得 a2313， a3.228所以，當(dāng) n1時，1a1當(dāng) n3 時，由 13an 18所以n140an 1 .1 ak39k40 a2 ；當(dāng) n2 時， 11 40 a3 ；39a1a2 392 ，得 n 140 an 1(5an 1 3)(8an 1 13)0 ,k 1 ak3939 (2 an 1 )2 數(shù)列an 的首項 a1 =1，前 n 項和為 Sn 滿足 Sn2k(an 11) （常數(shù) k0 ， nN * ）（ 1）求證：數(shù)列an是等比數(shù)列 .（ 2）設(shè)數(shù)列 an的公比為 f (k) ，作數(shù)

14、列bn ，使 b1 3 ， bnf ( 1) （ n2， 3，4，）bn1求數(shù)列 bn 的通項公式；（ 3）設(shè) cn bn2 ，若存在 m N * ，且 mn ；使 lim（ cmcm 1cm 1cm2cn cn 1 ）1，n2007試求 m 的最小值【解析】 第（ 1）問通過對遞推關(guān)系式的變形得到相鄰兩項的比，正是利用這兩個有限項的比是非零常數(shù)來證明該數(shù)列是等比數(shù)列的. 第（ 2）問也是通過對遞推關(guān)系式（無限的問題）的變形來求通項公式的（無限的問題） . 第（ 3）問通過抓住通項來求有限項的極限，再根據(jù)這個極限求出m 的最小值 .【答案】 解：（ 1） Sn2k( an 1 1) 當(dāng) n 2

15、 時， Sn 1 2k(an 1) 得，an2k (an 1an ) 即 2kan 1 （ 2k1） an由 ,a111， an 12k 1 11 ，2kan2k2k數(shù)學(xué)中的 “有限與無限 ”的思想又 a211符合上式， an是以 1 為首項， 11為公比的等比數(shù)列a12k2k（ 2）由（ 1）知 f (k)11， bnf (1)11 bn 1 （ n 2 ），2kbn12 bn21 (bn 12) . 又 b13 ，即 b121，bnbn21 ，212數(shù)列 bn2是為 1 首項，1 為公比的等比數(shù)列2 bn2 ( 1)n 1 ， bn2 ( 1 )n 1 22（ 3）由（ 2）知 cnbn2

16、(1 ) n 1 ，則 cncn 1( 1 )2n 1.22 lim( cmcm 1cm 1cm 2 cncn 1）=lim （1 2m 1（1 2m 1. （1 2n1）nn222（ 1 ）2m1 （ 1 ）2n+141 2m 11= lim22，（）2007n113241 2m 31 ， 22m 9669.5126691024，2m3 10，m6.5.（ ）6692N *又 m， m 的最小值為 7.四、考點預(yù)測( 一 ) 考點預(yù)測根據(jù)近幾年各地高考試題和模擬試題來看，有限與無限的思想逐年增加考查廣度，我們認為2009 年的高考一定會有更多的體現(xiàn). 在題型上來看，熱點問題仍然是以數(shù)列為載體

17、考查極限的知識和用數(shù)學(xué)歸納法證題 .( 二 ) 考點預(yù)測題1 設(shè)等差數(shù)列an的公差 d 是 2，前 n 項的和為 Sn ，則 lim an2n2nSn【解析】 本題設(shè)出首項，表示出通項和前n 和（有限項），然后代入求極限.而在求極限的時候，利用到已經(jīng)掌握的極限知識lima0 和 lima0 ，其中 a 為常數(shù) .nn2nn【答案】 設(shè)首項為1 ，則an12( n1)2na11 ， Snn(n1)2n 1aaa21)2n23n21 1)22n(1)，an2n2(2n1lim4n(a11)(ana1limlimn2an2nSnnn(a11)nn(a11)34( a11)(a11)2limnn23

18、.( 1n1)1an2.將數(shù)列an 中的所有項按每一行比上一行多一項的規(guī)則排成如下數(shù)表：數(shù)學(xué)中的 “有限與無限 ”的思想a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10記表中的第一列數(shù)a1， a2， a4， a7 ,. 構(gòu)成的數(shù)列為b， b1 a11 Sn 為數(shù)列 b 的前 n 項和，nn且滿足2bn1(n 2) Sn2bnSn（）證明數(shù)列1成等差數(shù)列，并求數(shù)列bn的通項公式；Sn（）上表中，若從第三行起，每一行中的數(shù)按從左到右的順序均構(gòu)成等比數(shù)列，且公比為同一個正數(shù)當(dāng) a814時，求上表中第k( k 3) 行所有項的和91an【解析】第（）問從無窮數(shù)列中抽出它的一個無窮的子數(shù)列，由 Sn 與 bn 的遞推關(guān)系式消去bn ，從而證明1是無窮的等差數(shù)列.第（）問就是求從第三行起的每一行所有的這些無窮多項的和.Sn【答案】（）證明：由已知，當(dāng)n2時，2bn1 ，Sn2bn Sn又 Snb1b2Lbn ，所以2( SnSn 1)1，( SnSn 1 ) SnSn2即 2( SnSn1 )1，所以 111，Sn 1SnSnSn 12又 S1b1a11 所以數(shù)列1是首項為 1，公差為1 的等差數(shù)列Sn2由上可知 1