1、例 求,解, 原式 =,3 有理函數(shù)和可化為,有理函數(shù)的不定積分,一、有理函數(shù)的不定積分,三、某些無理函數(shù)的不定積分,二、三角函數(shù)有理式的不定積分,有理函數(shù)是由兩個(gè)多項(xiàng)式函數(shù)的商所表示的函數(shù),一、有理函數(shù)的不定積分,m n 時(shí)稱為真分式, m n 時(shí)稱為假分式.,其一般形式為:,假分式,多項(xiàng)式 + 真分 式,由代數(shù)知識(shí)，真分式必可表示成若干個(gè) 部分分式之和,下列分式稱為部分分式：,部分分式的積分,令 t = x + p/2 , 得,其中,當(dāng) k = 1 時(shí), 上式右邊兩個(gè)積分分別為,當(dāng) k 2 時(shí), 上式右邊第一個(gè)積分為,對(duì)第二個(gè)積分，記,用分部積分法導(dǎo)出求 Ik 的遞推公式：,整理得,重復(fù)使

2、用上述公式，最終歸為計(jì)算 I1 下面討論將真分式化為部分分式的方法,分解真分式,為部分分式的步驟如下：,第一步：對(duì)分母 Q ( x ) 在實(shí)數(shù)系內(nèi)作標(biāo)準(zhǔn)分解：,其中,均為正整數(shù)，而且,第二步：根據(jù)分母的各個(gè)因式分別寫出與之相應(yīng) 的部分分式：,對(duì)形如,的因式，它所對(duì)應(yīng)的部分分式是,對(duì)形如,的因式，它所對(duì)應(yīng)的部分分式是,例如，若 Q(x) 分解因式為,則相應(yīng)的部分分式分解為,第三步：確定待定系數(shù),確定待定系數(shù)的方法一：待定系數(shù)法 將 R(x) 的所有部分分式通分相加，所得分式的 分母仍為Q(x)，分子與原分子P(x)相等.再根據(jù) 兩個(gè)多項(xiàng)式相等時(shí)同次冪系數(shù)必定相等的原則, 得到待定系數(shù)所滿足的線性

3、方程組, 由此解出待 定系數(shù).,分式分解.,解,因?yàn)?比較同次項(xiàng)系數(shù), 得到線性方程組,解得,于是完成了R(x) 的部分分式分解:,確定待定系數(shù)的方法二：賦值法,取使Q(x)=0的根代入下式,求解系數(shù)，若系數(shù)未求完，可再令x為其他特殊值，直到求出所有系數(shù)。以例1為例說明：,令x=2和x=-2代入上式，有,例 將下列分式分解為部分分式：,解,去分母得,令 x = 0，得 A = 1；,令 x = 1，得 C = 1；,比較兩端 x2 的系數(shù)，得 A + B = 0，從而 B = 1 ,所以,此題也可如下進(jìn)行（拼湊）：,根據(jù)分母的形式，將分子湊為,說明: 將有理函數(shù)分解為部分分式進(jìn)行積分雖可行,但

4、不一定簡(jiǎn)便 ,因此要注意根據(jù)被積函數(shù)的結(jié)構(gòu)尋求,簡(jiǎn)便的方法.,例2 求,解,于是,其中第一個(gè)積分,第二個(gè)積分,于是,解 由例1,例,其中,于是,設(shè),表示三角函數(shù)有理式 ,則,三角函數(shù)有理式的不定積分,通過變換,（萬能變換）,總可以化為 t 的有理函數(shù)的積分,二、三角函數(shù)有理式的不定積分,這是因?yàn)?所以,例3 求,解 令,則,例,解,對(duì)三角函數(shù)有理式的不定積分, 在某些條件下還,可選用如下三種變換, 使不定積分簡(jiǎn)化.,例,解,例,例4,解,令,令,1,令,三、某些無理根式的不定積分,例如，積分,可令,積分,可令,例5 求,解,令,則有,其中,2,方法1 由于,則作相應(yīng)的變換，上述積分必可轉(zhuǎn)化為以下 三種積分之一：,再作相應(yīng)的三角變換，它們都可轉(zhuǎn)化為三角有 理式的不定積分,方法2（歐拉變換）,(1) 若 a 0 , 令,(2) 若 c 0 , 令,(3) 若,有兩個(gè)不同實(shí)根 x1 , x2 , 令,例6,解法 1:,由于,解法2,令,則,因此,但實(shí)質(zhì)上只相差某一常數(shù)而已.,注1 由以上兩種方法所得的結(jié)果, 形式雖不相同,注2 對(duì)于本題來說,解法 2 顯然比解法 1 簡(jiǎn)捷. 在解法2中也可作變換,會(huì)產(chǎn)生相同的效果.,注 雖然初等函數(shù)都是連續(xù)函數(shù),從而它們都存在 原函數(shù),但并非初等函數(shù)的原函數(shù)都