1、2.1 平面向量的實(shí)際背景及基本概念 教學(xué)設(shè)計(jì)高一B7一、教材分析：向量是近代數(shù)學(xué)最重要和最基本的數(shù)學(xué)概念之一，它是溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的橋梁，對(duì)更新和完善中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)起著重要的作用.向量集數(shù)與形于一身，有著極其豐富的實(shí)際背景，在現(xiàn)實(shí)生活中隨處可見的位移、速度、力等既有大小又有方向的量是它的物理背景，有向線段是它的幾何背景.向量就是從這些實(shí)際對(duì)象中抽象概括出來的數(shù)學(xué)概念，經(jīng)過研究，建立起完整的知識(shí)體系之后，向量又作為數(shù)學(xué)模型，廣泛地應(yīng)用于解決數(shù)學(xué)、物理學(xué)科及實(shí)際生活中的問題，因此它在整個(gè)高中數(shù)學(xué)的地位是不言而喻的.本節(jié)從物理學(xué)中的速度、力等既有大小又有方向的量出發(fā)，抽象出向量的概念，并

2、重點(diǎn)說明了向量與數(shù)量的區(qū)別，然后介紹了向量的幾何表示、向量的長(zhǎng)度(模)、零向量、單位向量、平行向量、共線向量、相等向量等基本概念.本課包括“章引言”和“平面向量的實(shí)際背景及基本概念”兩部分，是“平面向量”的概念課，具有“統(tǒng)領(lǐng)全局”的作用.不僅要讓學(xué)生理解向量的形式化定義及幾個(gè)相關(guān)概念，而且能讓學(xué)生去體會(huì)認(rèn)識(shí)與研究數(shù)學(xué)新對(duì)象的方法和基本思路，進(jìn)而提高提出問題，解決問題的能力.二、學(xué)情分析:在學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)中，與本課相關(guān)的有：知道力、位移、速度等是既有大小又有方向的物理量（矢量），知道可以借助有向線段來求作力的圖示；了解數(shù)的抽象過程、實(shí)數(shù)的絕對(duì)值（線段的長(zhǎng)度）、數(shù)的相等、單位長(zhǎng)度、0和1的特殊性、

3、線段的平行與共線； 對(duì)類比的思想方法有所了解等.雖然學(xué)生具備以上的認(rèn)知基礎(chǔ)，但是，由于學(xué)生處于高一年級(jí)，對(duì)于本節(jié)課的難點(diǎn)：向量概念的理解及形成過程、零向量、相等向量、共線向量等概念，尤其在思維辨析方面，總體情況可能不是太好.所以在分辨對(duì)向量的長(zhǎng)度而不是對(duì)向量本身進(jìn)行度量的問題上，適度加以引導(dǎo)和指導(dǎo).三、教學(xué)目標(biāo)：1知識(shí)與技能（1）理解向量的概念；理解數(shù)量與向量的區(qū)別；掌握向量的表示方法：幾何表示、字母表示；（2）理解特殊的向量：零向量、單位向量；理解向量的幾種特殊關(guān)系：平行（共線）向量、相等向量；揭示向量可以平移這一特性；（3）在學(xué)習(xí)的過程中，學(xué)生的觀察、聯(lián)系、類比、抽象、概括、歸納、實(shí)踐等方

4、面的能力都能得到一定程度培養(yǎng)和提高.2過程與方法(1) 了解向量概念及其產(chǎn)生的實(shí)際背景，讓學(xué)生經(jīng)歷向量學(xué)習(xí)的過程，能體會(huì)出向量來自于客觀現(xiàn)實(shí)；(2) 能體會(huì)到研究一個(gè)新的量的基本套路、能體會(huì)認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)新對(duì)象的基本方法；(3) 學(xué)生經(jīng)歷向量概念、表示，特殊向量和特殊關(guān)系的學(xué)習(xí)，感受到類比的思想和聯(lián)系的觀點(diǎn)是科學(xué)探究中常用的手段.3情感、態(tài)度與價(jià)值觀(1)學(xué)生感受向量的概念、方法源于現(xiàn)實(shí)放世界，激發(fā)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣；經(jīng)歷用有向線段表示向量的操作過程，體會(huì)數(shù)學(xué)的實(shí)用性、表達(dá)的簡(jiǎn)潔美；(2) 在體會(huì)研究數(shù)學(xué)問題的基本套路的同時(shí)，進(jìn)而提高提出問題、研究問題的能力.四、教學(xué)重、難點(diǎn)：教學(xué)重點(diǎn)：理解向量的概念、掌

5、握向量的幾何表示、零向量、單位向量、相等向量、平行（共線）向量的概念突出策略：通過教師舉例引導(dǎo)，啟發(fā)學(xué)生聯(lián)系既有經(jīng)驗(yàn)，主動(dòng)找尋實(shí)際生活中所存在的既有大小又有方向的量，讓學(xué)生充分感知從而提煉出“向量”的概念；引導(dǎo)學(xué)生從向量的兩個(gè)要素出發(fā)，啟發(fā)學(xué)生聯(lián)想到物理學(xué)中表示力的方式，引導(dǎo)學(xué)生借助有向線段來表示向量；并進(jìn)一步啟發(fā)學(xué)生，用類比的思想、聯(lián)系的觀點(diǎn)回憶在學(xué)習(xí)實(shí)數(shù)時(shí)，0與1的特殊性，從而發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)度（模）為零的向量（零向量），長(zhǎng)度為1的向量（單位向量）是特殊的，至于方向，啟發(fā)學(xué)生之間互相爭(zhēng)論，讓學(xué)生主動(dòng)認(rèn)識(shí)從“方向”的角度去認(rèn)識(shí)平行向量；最后抓住向量的本質(zhì)屬性，理解相等向量、共線向量的概念.教學(xué)難點(diǎn)：讓

6、學(xué)生感受抽象出向量概念的過程，平行向量、相等向量和共線向量的區(qū)別和聯(lián)系突破策略：通過演示實(shí)驗(yàn)抓住向量的內(nèi)涵：既有大小又有方向；通過出示已經(jīng)準(zhǔn)備好的含有多個(gè)向量的PPT，讓學(xué)生主動(dòng)探求向量之間的特殊位置關(guān)系，用類比的思想、聯(lián)系的觀點(diǎn)，抓住向量的本質(zhì)屬性，啟發(fā)學(xué)生結(jié)合圖形實(shí)物去區(qū)分平行向量、相等向量、共線向量等概念；并揭示向量可以平移這一特性.五、教法學(xué)法：以學(xué)生為學(xué)習(xí)的主體，師生互動(dòng)為主線，以問題導(dǎo)學(xué)，提高學(xué)習(xí)效率，探索高效的教學(xué)模式.啟發(fā)式教學(xué)：學(xué)生在物理學(xué)中已經(jīng)具備了一些感性經(jīng)驗(yàn)，在生活實(shí)際中亦大量存在既有大小又有方向的量.另一方面，向量作為一個(gè)全新的概念，需要大量實(shí)例的引導(dǎo)、鋪墊來抽象出這

7、個(gè)概念.教師可采取問題串的方式進(jìn)行啟發(fā)式教學(xué),引導(dǎo)學(xué)生積極思考,讓學(xué)生從生活實(shí)例中抽象、提煉出向量的概念.討論、合作學(xué)習(xí)借助學(xué)生已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，用類比的思想、聯(lián)系的觀點(diǎn)來研究向量,讓學(xué)生在互相討論、合作學(xué)習(xí)的過程之中主動(dòng)突破難點(diǎn).在學(xué)習(xí)了相關(guān)概念之后，可以借助多媒體出示相關(guān)概念辨析題目，從而立即獲取學(xué)生學(xué)習(xí)效果的反饋.六、教學(xué)過程：?jiǎn)栴}設(shè)置師生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖情境引入問題1 同學(xué)們，我用12N的力作用于桌面上一個(gè)小木塊，結(jié)果小木塊竟然紋絲不動(dòng)，你們覺著奇怪嗎？演示實(shí)驗(yàn)：(略)生：觀察,思考（可能的回答）不奇怪！師:總結(jié)學(xué)生觀點(diǎn)：力是既有大小又有方向的量，在物理學(xué)中叫矢量，為了更好地研究這些物理量,在

8、數(shù)學(xué)中我們叫向量.板書課題及向量的概念.激活學(xué)生的已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣,引入課題.向量概念的核心是具有方向,使學(xué)生體會(huì)到方向在一個(gè)物理量中的重要意義,為向量的學(xué)習(xí)作好準(zhǔn)備.探究新知問題2 物理學(xué)中有很多的“量”，如速度、質(zhì)量等，你還能列舉出一些嗎？并分類.探究：數(shù)量與向量的區(qū)別.兩個(gè)向量是否可以比較大??？問題3數(shù)的概念中,實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng).類比:向量是否也可以用幾何來表示呢? (幾何表示和字母表示)生：（可能的回答）質(zhì)量、溫度、力、速度、加速度、位移、路程、密度、電流、壓強(qiáng)、功等等.師: （追問）你能將這些物理量進(jìn)行分組嗎? 并總結(jié)出這各類物理量的特點(diǎn).生:討論、分組、總

9、結(jié)師: 引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)：向量（矢量），數(shù)量（標(biāo)量）.生:思考、討論師:引導(dǎo)學(xué)生尋找數(shù)學(xué)中既能表示大小又能表示方向的符號(hào)有向線段.(追問)有向線段是怎么表示向量的大小與方向的呢?生:(可能的回答)線段長(zhǎng)度表示向量的大小(模),箭頭的指向表示向量的方向.師:介紹用字母表示向量,注意強(qiáng)調(diào)與上方和箭頭不可不寫.通過多個(gè)物理量(矢量)抽象出向量的概念,學(xué)生在思維過渡上合理、自然，并且與數(shù)量概念對(duì)比,學(xué)生對(duì)向量的內(nèi)涵(既有大小又有方向)會(huì)有較深刻的認(rèn)識(shí).通過類比實(shí)數(shù)的表示方法，結(jié)合向量的概念，最后自覺接受用帶有箭頭的線段（有向線段）來表示向量. 有向線段能同時(shí)表示大小與方向,符合表示向量的需要,讓學(xué)生進(jìn)一步

10、體會(huì)向量的內(nèi)涵.數(shù)學(xué)建構(gòu)探究 實(shí)數(shù)中0、1，類比：向量中有與之相對(duì)應(yīng)的向量嗎？思考：零向量有沒有方向?練習(xí)1. 如圖2.1-6，試根據(jù)圖中的比例尺以及三地的位置，在圖中分別用向量表示A地至B、C兩地的位移，并求出A地至B、C兩地的實(shí)際距離（精確到1km）練習(xí)2.指出圖中各向量的長(zhǎng)度.IJ練習(xí)3.在的方格中有一個(gè)向量，分別以圖中的格點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)作向量，其中與相等的向量有多少個(gè)？和長(zhǎng)度相等的平行向量又有多少個(gè)？思考:這15個(gè)向量與共線嗎？問題4 平行向量也叫共線向量,你將如何理解?判斷：與共線,與共線,則與也共線.( )生：討論 (可能的回答)長(zhǎng)度為0的向量，師:反復(fù)引導(dǎo)，讓學(xué)生親自得出零向量的

11、模為0，方向?yàn)槿我夥较?師：強(qiáng)調(diào)零向量作為向量，同樣需要具備兩個(gè)要素（大小、方向），那么，還有特殊的向量嗎？生:(可能的回答)長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量.生: 解：表示A地至B地的位移，且232km . 表示A地至C地的位移，且296km .師：（追問）向量有怎樣的位置關(guān)系？生：(可能的回答)平行師：可不可以借助向量概念中的大小、方向?qū)ζ叫羞M(jìn)行描述？ 生：討論、思考（可能的回答）方向相同或相反的向量. 師：(追問)兩個(gè)向量平行是從方向上對(duì)向量關(guān)系的刻畫，與他們大小有關(guān)嗎？生：沒有.規(guī)定： 與任一向量平行.師：如果既考慮方向又考慮長(zhǎng)度，向量與向量之間有沒有更特殊的關(guān)系？生：相等師：(追問)理由是？生

12、：兩個(gè)向量方向相同，長(zhǎng)度相等.師：(追問)兩個(gè)向量是否相等，取決于？生：大小、方向.師：如果任作一條與向量所在直線平行的直線，并在上任取一點(diǎn)，以為起點(diǎn)作有向線段，使其等于向量，可行嗎？生：討論、思考(保證大小相等，方向相同)師：相當(dāng)于將向量平移到的位置.，我們也可以把向量平移到直線上。這時(shí)候，直線上的兩個(gè)向量形成了什么關(guān)系？生：共線.師：(追問)還是平行向量嗎？生：思考引導(dǎo)學(xué)生類比實(shí)數(shù)集合中的特殊元素0，從而想到長(zhǎng)度為0的向量.與前面類似，啟發(fā)學(xué)生通過類比的方法，發(fā)現(xiàn)單位向量.本例是一個(gè)簡(jiǎn)單的實(shí)際問題,要求畫出有向線段表示位移,目的在于鞏固向量概念及其幾何表示.這樣過渡學(xué)生不會(huì)感覺新的概念是從

13、天而降，而是進(jìn)一步學(xué)習(xí)的需要適時(shí)提醒和加深對(duì)向量概念的認(rèn)識(shí).數(shù)學(xué)中的規(guī)定都有其合理性,適當(dāng)讓學(xué)生進(jìn)行討論,能使學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)的嚴(yán)密性與科學(xué)性.從大小與方向兩個(gè)維度,給出兩個(gè)特殊的向量:零向量、單位向量.幾種特殊的關(guān)系:相等向量、平行向量、共線向量.幫助學(xué)生理清邏輯關(guān)系，有利于更好地掌握向量的概念.通過引導(dǎo)，讓學(xué)生體會(huì)并講出共線向量就是平行向量.與平面幾何中直線的平行和共線不一致，有必要幫助學(xué)生正確理解.數(shù)學(xué)應(yīng)用練習(xí)4.概念辨析:1 兩個(gè)長(zhǎng)度相等的向量一定相等相等向量的起點(diǎn)必定相同平行向量就是共線向量若與共線，則 A、B、C、D 四點(diǎn)必在同一條直線上向量與平行，則向量 與的方向相同或相反練習(xí)5.

14、如圖2.1-10，設(shè)O是正六邊形ABCDEF的中心,分別寫出圖中所示向量與相等的量. 變式:(1)與向量長(zhǎng)度相等的向量有多少個(gè)？(2)與向量共線的向量有哪些？生：思考并回答師：引導(dǎo)學(xué)生分析，并鼓勵(lì)性評(píng)價(jià).生:思考并作答師：展臺(tái)展示，激勵(lì)性評(píng)價(jià).生:思考并作答師：展臺(tái)展示，激勵(lì)性評(píng)價(jià).本例是對(duì)向量概念的考查,可以從概念特征入手,也可以從反面進(jìn)行考慮.即要判斷一個(gè)結(jié)論不正確,只需舉一個(gè)反例即可.要啟發(fā)學(xué)生注意這兩方面的結(jié)合.本例是結(jié)合正六邊形的一些幾何性質(zhì),讓學(xué)生鞏固相等向量和平行(共線)向量的概念.歸納總結(jié)問題5 你是怎樣研究向量的，能理一理本節(jié)課所學(xué)的知識(shí)結(jié)構(gòu)嗎?生：師：這節(jié)課我們通過對(duì)既有大

15、小，又有方向的量（向量）進(jìn)行了數(shù)學(xué)的歸納、抽象和定義.圍繞這個(gè)概念，探究了它的表示及特殊向量零向量、單位向量，特殊關(guān)系平行（共線）、相等.實(shí)際上，今天我們不僅僅是在探究向量體系的基礎(chǔ)，也經(jīng)歷了建立一個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)體系的過程，即“歸納共性抽象定義形象表示認(rèn)識(shí)特殊研究一般歸納總結(jié),形成知識(shí)結(jié)構(gòu)體系,進(jìn)一步加深對(duì)向量概念的理解.體會(huì)研究一個(gè)新的數(shù)學(xué)對(duì)象的基本套路、基本方法.作業(yè)教科書P77習(xí)題2.1A組板書設(shè)計(jì) 平面向量的實(shí)際背景及基本概念一、向量的概念: 三、零向量與單位向量：二、向量的表示: 四、平行（共線）向量：幾何表示： 五、相等向量：字母表示： 練習(xí)2、練習(xí)1、 練習(xí)3、七、課后作業(yè)：1. 判

16、斷下列命題是否正確,若不正確,請(qǐng)簡(jiǎn)述理由.(1)ABCD中,與是共線向量；(2)單位向量都相等.2. 下列命題正確的是( )A.與共線,與共線,則與也共線；B.任意兩個(gè)相等的非零向量的始點(diǎn)與終點(diǎn)是一平行四邊形的四頂點(diǎn)；C.向量與不共線,則與都是非零向量；D.有相同起點(diǎn)的兩個(gè)非零向量不平行.3. 下列命題中，正確的是( )A|=|=B|=|且= C = D|=04.把平面上一切單位向量的始點(diǎn)放在同一點(diǎn),那么這些向量的終點(diǎn)所構(gòu)成的圖形是（ ）A.一條線段 B.一段圓弧 C.圓上一群孤立點(diǎn) D.一個(gè)單位圓5. 設(shè)在平面上給定了一個(gè)四邊形ABCD,點(diǎn)K、L、M、N分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn),則

17、.6.根據(jù)下列的條件,分別判斷四邊形ABCD的形狀:(1) ; (2).八、向量的發(fā)展歷程：向量，最初被應(yīng)用于物理學(xué).很多物理量如力、速度、位移以及電場(chǎng)強(qiáng)度、磁感應(yīng)強(qiáng)度等都是向量.大約公元前350年前，古希臘著名學(xué)者亞里士多德就知道了力可以表示成向量，兩個(gè)力的組合作用可用著名的平行四邊形法則來得到.“向量”一詞來自力學(xué)、解析幾何中的有向線段.最先使用有向線段表示向量的是英國(guó)大科學(xué)家牛頓.從數(shù)學(xué)發(fā)展史來看，歷史上很長(zhǎng)一段時(shí)間，空間的向量結(jié)構(gòu)并未被數(shù)學(xué)家們所認(rèn)識(shí)，直到19世紀(jì)末20世紀(jì)初，人們才把空間的性質(zhì)與向量運(yùn)算聯(lián)系起來，使向量成為具有一套優(yōu)良運(yùn)算通性的數(shù)學(xué)體系. 向量能夠進(jìn)入數(shù)學(xué)并得到發(fā)展，首先應(yīng)從復(fù)數(shù)的幾何表示談起.18世紀(jì)末期，挪威測(cè)量學(xué)家威塞爾首次利用坐標(biāo)平面上的點(diǎn)來表示復(fù)數(shù)（為有理數(shù)，且不同時(shí)等于0），并利用具有幾何意義的復(fù)數(shù)運(yùn)算來定義向量的運(yùn)算.把坐標(biāo)平面上的點(diǎn)用向量表示出來，并把向量的幾何表示用于研究幾何問題與三角問題.人們逐步接受了復(fù)數(shù)，也學(xué)會(huì)了利用復(fù)數(shù)來表示和研究平面中的向量，向量就這樣平靜地進(jìn)入了數(shù)學(xué)中.但復(fù)數(shù)的利用是受限制的，因?yàn)樗鼉H能用于表示平面，若有不在同一平面上的力作用于同一物體，則需要尋找所謂三維“復(fù)數(shù)”以及相應(yīng)的運(yùn)算體系.19世紀(jì)中期，