1、第八章 離散控制系統(tǒng),8.1 離散系統(tǒng)及基本概念 8.2 采樣過程和采樣定理 8.3 信號恢復(fù) 8.4 Z變換 8.5 離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 8.6 離散系統(tǒng)的時(shí)域分析 8.7 離散系統(tǒng)的數(shù)字校正,自動(dòng)控制系統(tǒng)的分類:,1. 按照給定信號（輸入量）分類,2. 按照系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述分類,4. 按照信號傳遞的連續(xù)性分類,3. 按照系統(tǒng)輸入與輸出信號 的數(shù)量分類,8.1 離散系統(tǒng)及基本概念,控制系統(tǒng)中的信號：,連續(xù)信號：在時(shí)間上和幅值上都連續(xù)的信號； 是時(shí)間變量的連續(xù)函數(shù)，在全部時(shí)間上都是已知的。,離散信號：只在離散時(shí)間上定義的信號，不是時(shí)間的連續(xù)函數(shù)。,脈沖序列：在時(shí)間上離散而在幅值上連續(xù)的信號，或稱

2、離散模擬 信號。 特點(diǎn)：幅值是任意可取的，代表了脈沖的強(qiáng)度。,數(shù)字序列(數(shù)碼)：在時(shí)間上和幅值上都離散的信號，或稱離散數(shù) 字信號。 特點(diǎn)：幅值是采用整量化表示的(即量化單位的整數(shù)倍)。,離散信號：,8.1 離散系統(tǒng)及基本概念,采樣控制系統(tǒng)或脈沖控制系統(tǒng)：系統(tǒng)中的離散信號是脈沖序列形 式。,數(shù)字控制系統(tǒng)或計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)：系統(tǒng)中的離散信號是數(shù)字序列 形式。,離散控制系統(tǒng)：,控制系統(tǒng)：,連續(xù)控制系統(tǒng)：控制系統(tǒng)中的所有信號都是連續(xù)信號。,離散控制系統(tǒng)：控制系統(tǒng)中有一處或幾處的信號是離散信號。,8.1 離散系統(tǒng)及基本概念,工業(yè)爐爐溫的連續(xù)控制系統(tǒng)：,放大器與 執(zhí)行電動(dòng)機(jī),爐子,燃料供應(yīng) 調(diào)節(jié)閥,爐溫,爐

3、溫 設(shè)定值,誤差,轉(zhuǎn)速,開度,8.1 離散系統(tǒng)及基本概念,工業(yè)爐爐溫的采樣控制系統(tǒng)：,8.1 離散系統(tǒng)及基本概念,工業(yè)爐爐溫的計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)：,8.1 離散系統(tǒng)及基本概念,在經(jīng)典控制理論中，主要的研究對象有： 單變量線性定常連續(xù)系統(tǒng)（概要復(fù)習(xí)） 非線性系統(tǒng) 單變量線性定常離散系統(tǒng)（研究內(nèi)容）,8.1 離散系統(tǒng)及基本概念,采樣控制系統(tǒng)：,1. 采樣：,按照一定的時(shí)間間隔對連續(xù)信號進(jìn)行取值，將連續(xù)信號轉(zhuǎn)變?yōu)槊}沖序列（或數(shù)碼）的過程稱為采樣過程，簡稱采樣。,2. 采樣開關(guān)：,實(shí)現(xiàn)采樣的裝置稱為采樣開關(guān)或采樣器。通常用 表示。,采樣控制系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)圖,脈沖 控制器,8.1 離散系統(tǒng)及基本概念,3.

4、采樣開關(guān)的工作原理：,對于連續(xù)信號e(t)， 采樣開關(guān)閉合時(shí)，e(t)通過，開關(guān)輸出端信號為e(t)； 采樣開關(guān)開啟時(shí)，開關(guān)輸出端信號為0。,采樣開關(guān)以一定的時(shí)間間隔開啟或閉合時(shí)，輸出為脈沖序列, 是連續(xù)信號在某些時(shí)段上的信息。,8.1 離散系統(tǒng)及基本概念,脈沖 控制器,4. 采樣方式：,(1) 周期采樣：采樣開關(guān)等時(shí)間間隔開閉。,(2) 隨機(jī)采樣：采樣開關(guān)開閉的時(shí)間間隔是隨機(jī)的。,(3) 同步采樣：多個(gè)采樣開關(guān)等周期同時(shí)開閉。,(4) 非同步采樣：多個(gè)采樣開關(guān)等周期但不同時(shí)開閉。,(5) 多速采樣：各采樣開關(guān)以不同的周期開閉。,8.1 離散系統(tǒng)及基本概念,脈沖 控制器,5. 周期采樣：,采樣

5、周期：采樣的相等時(shí)間間隔，用 表示，單位為(s)。,采樣頻率： ，單位為（1/s）。,采樣角頻率： ，單位為（rad/s）。,采樣時(shí)刻：采樣瞬時(shí) 。,采樣持續(xù)時(shí)間：采樣器閉合時(shí)間，用 表示。,為簡化系統(tǒng)的分析，可以認(rèn)為 趨于零，采樣器的輸出可以近似地看作理想脈沖。,8.1 離散系統(tǒng)及基本概念,脈沖 控制器,6. 信號恢復(fù)：,把脈沖序列轉(zhuǎn)變?yōu)檫B續(xù)信號的過程稱為 信號復(fù)現(xiàn)過程。,7. 保持器：,實(shí)現(xiàn)信號復(fù)現(xiàn)過程的裝置稱為保持器。,零階保持器,8.1 離散系統(tǒng)及基本概念,脈沖 控制器,數(shù)字控制系統(tǒng)：,數(shù)字控制系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)圖,計(jì)算機(jī)作為系統(tǒng)的控制器，其輸入輸出只能是二進(jìn)制編碼的數(shù)字信號，而系統(tǒng)中的被

6、控對象和測量元件的輸入輸出是連續(xù)信號，所以在需要應(yīng)用A/D和D/A轉(zhuǎn)換器，以實(shí)現(xiàn)兩種信號的轉(zhuǎn)換。,8.1 離散系統(tǒng)及基本概念,1. A/D轉(zhuǎn)換器,把連續(xù)的模擬信號轉(zhuǎn)換為時(shí)間上離散的、幅值上整量化的 數(shù)字信號（二進(jìn)制的整數(shù)）。,A/D轉(zhuǎn)換的兩個(gè)過程：,（1）采樣過程：即每隔T秒對連續(xù)信號進(jìn)行一次采樣，得到采 樣后的脈沖序列。,（2）量化過程：脈沖序列經(jīng)過量化后變成數(shù)字信號，也稱為 編碼過程。,一般要求A/D轉(zhuǎn)換器具有足夠的字長 （8 bit、10 bit、12 bit、14bit），要求 量化單位 q 足夠小。這樣由量化引起的幅 值的斷續(xù)性可以忽略不記。 同時(shí)，若認(rèn)為采樣編碼的時(shí)間可以忽略，這時(shí)

7、數(shù)字信號可以看成脈沖信號 。 A/D轉(zhuǎn)換器可以認(rèn)為采樣周期為 T 的理想采樣開關(guān)。,作用：,8.1 離散系統(tǒng)及基本概念,2. D/A轉(zhuǎn)換器,把離散的數(shù)字信號轉(zhuǎn)換成連續(xù)模擬信號。,D/A轉(zhuǎn)換的兩個(gè)過程：,（1）解碼過程：把離散數(shù)字信號（即數(shù)碼）轉(zhuǎn)換為離散的 模擬信號（即脈沖序列）的過程。,（2）復(fù)現(xiàn)過程：經(jīng)過保持器將離散的模擬信號（即脈沖序列）復(fù) 現(xiàn)為連續(xù)的模擬信號（即連續(xù)信號）。,經(jīng)過轉(zhuǎn)換后的信號只是一個(gè)階梯信號，但是，當(dāng)采樣頻率足夠高時(shí)，將趨近于連續(xù)信號。,作用：,D/A轉(zhuǎn)換器可以用保持器取代。,8.1 離散系統(tǒng)及基本概念,可見，采樣控制系統(tǒng)和數(shù)字控制系統(tǒng)只是在連續(xù)信 號和離散信號的相互轉(zhuǎn)換

8、方式上各有不同 ，二者都可以用 下面的方框圖表示。,數(shù)字 控制器,采樣控制系統(tǒng)和數(shù)字控制系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)的理論是一 致的。 通常，將采樣控制系統(tǒng)、數(shù)字控制系統(tǒng)視為離散系統(tǒng)的 同義語。,8.1 離散系統(tǒng)及基本概念,離散控制系統(tǒng)的特點(diǎn)：,1. 控制計(jì)算由程序?qū)崿F(xiàn)，便于修改，容易實(shí)現(xiàn)復(fù)雜的控制律。,2. 可用一臺計(jì)算機(jī)分時(shí)控制若干個(gè)系統(tǒng)，提高了設(shè)備利用， 經(jīng)濟(jì)性好。,3. 離散信號的傳遞可以有效地抑制噪聲，從而提高系統(tǒng)的抗干擾 能力。,5. 便于聯(lián)網(wǎng)，實(shí)現(xiàn)生產(chǎn)過程的自動(dòng)化和宏觀管理。,4. 在自適應(yīng)控制系統(tǒng)中，計(jì)算機(jī)控制的引入便于實(shí)現(xiàn)自適應(yīng)控制。,8.1 離散系統(tǒng)及基本概念,（2）用離散系統(tǒng)的狀態(tài)空

9、間分析法（一階差分方程組）對系統(tǒng)進(jìn) 行分析、設(shè)計(jì)。,離散控制系統(tǒng)的研究方法：,（1）用Z變換法建立離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，之后進(jìn)行分析、綜合， 具體包括：穩(wěn)定性分析、穩(wěn)態(tài)誤差計(jì)算、時(shí)間響應(yīng)及系統(tǒng)校 正。 連續(xù)系統(tǒng)的許多方法經(jīng)過適當(dāng)改變后可以直接應(yīng)用于離 散系統(tǒng)。注意：比較學(xué)習(xí)。,8.1 離散系統(tǒng)及基本概念,8.2 采樣過程和采樣定理,理想采樣過程：,采樣開關(guān)的閉合時(shí)間 非常小，一般遠(yuǎn)小于采樣周期 T 和 系統(tǒng)連續(xù)部分的最大時(shí)間常數(shù)。因此，可以認(rèn)為 。 這樣，脈沖信號轉(zhuǎn)化為理想脈沖信號，采樣器就可以用一 個(gè)理想采樣器來代替，采樣過程為理想采樣過程。,數(shù)字 控制器,理想采樣過程可以看成是一個(gè)幅值調(diào)制過

10、程。 理想采樣器可以看成是一個(gè)幅值調(diào)制器。,理想采樣信號表示為：,單邊性假設(shè)： t 0，e (t) = 0。,8.2 采樣過程和采樣定理,單位理想脈沖序列,采樣信號的拉氏變換：,e*(t) 的拉氏變換式 E*(s)不是s的有理多項(xiàng)式，而是s的超越函數(shù)。 E*(s) 還可寫成,其中e(0T)，e(T)，e(kT)， 為連續(xù)信號在各采樣時(shí)刻的值。,8.2 采樣過程和采樣定理,例：已知 e (t)=1 (t) , 求E*(s)。 解：因?yàn)閑 (kT)=1 ( k=0,1,2,),E(s)是s的有理多項(xiàng)式，E*(s) 是s的超越函數(shù)，二者不相等。,8.2 采樣過程和采樣定理,單位理想脈沖序列,可以展開

11、成復(fù)數(shù)形式的傅里葉級數(shù),式中， 是采樣角頻率。系數(shù),于是,代入,有,取拉氏變換,8.2 采樣過程和采樣定理,采樣信號的頻譜：,？,對于一個(gè)周期函數(shù) eT (t) ，可以展開為傅里葉級數(shù)，它有兩種 表現(xiàn)形式：,1. 三角函數(shù)形式,2. 指數(shù)形式,其中， 為基波頻率； 為復(fù)振幅。,稱為函數(shù)eT (t)的頻譜，反映各次諧波的振幅隨頻率變化 的情況 。,對于一個(gè)非周期函數(shù) e(t) ，只要滿足傅里葉積分條件，可以 展開為各種諧波成分累積的形式：,其中， E(jw)為各種頻率成分諧波的復(fù)振幅,稱為函數(shù) e(t) 的頻譜，反映各次諧波的振幅隨頻率變 化的情況。,如果 E*(s) 沒有右半s平面的極點(diǎn)，則可

12、令 s= j ，得到采樣信號 e*(t) 的傅里葉變換,上式表示了采樣信號e*(t)的拉氏變換式 E*(s) 與連續(xù)信號e(t)拉氏變換式E(s) 之間的關(guān)系。,上式即為采樣信號e*(t)的頻譜函數(shù)。 它也反映了采樣信號頻譜和連續(xù)信號頻譜之間的關(guān)系。,8.2 采樣過程和采樣定理,采樣信號e*(t)的拉氏變換E*(s)有兩種形式的 ，有不同的作用。,？,設(shè)連續(xù)信號 e(t) 的頻譜 是孤立的連續(xù)頻譜，其中 max 是 該連續(xù)頻譜中的最高角頻率；而離散信號e*(t)的頻譜 則是以 s 為周期的無窮多個(gè)頻譜之和，如圖所示。,在離散信號的頻譜中，k=0的部分 T稱為主頻譜。它對應(yīng)于連 續(xù)信號的頻譜。除

13、了主頻譜外， 還包含無限多個(gè)附加的高頻頻譜。,8.2 采樣過程和采樣定理,？,由圖可見，如果,s 2max,相鄰兩頻譜互不重迭，這樣就可以用如圖所示特性的理想濾波器， 濾掉全部附加的高頻頻譜分量，保留主頻譜，在濾波器的輸出端 不失真地復(fù)現(xiàn)原連續(xù)信號(幅值相差lT倍)。 如果s 2max ，則會(huì)出現(xiàn)相鄰頻譜的重疊現(xiàn)象，這時(shí)，即 使用理想濾波器也不能將主頻譜分離出來，因而就難以準(zhǔn)確復(fù)現(xiàn) 原有的連續(xù)信號。,理想濾波器的頻率特性,8.2 采樣過程和采樣定理,如果被采樣的連續(xù)信號 e(t) 的頻譜具有有限帶寬，且頻譜的最 高角頻率為max，則只有采樣角頻率s滿足條件 s 2 max ax 采樣后的離散信

14、號e*(t)才有可能無失真地恢復(fù)到原來的連續(xù)信號。 香濃采樣定理是設(shè)計(jì)采樣系統(tǒng)的一條重要依據(jù)。,香農(nóng)(Shannon)采樣定理：,8.2 采樣過程和采樣定理,根據(jù)采樣定理，在滿足s 2 max的條件下，采樣信號的頻譜彼此互不重疊。這時(shí)，就可以用理想濾波器濾去高頻頻譜分量，保留主頻譜，從而無失真地恢復(fù)原有的連續(xù)信號。,8.3 信號恢復(fù),信號恢復(fù)是指由離散信號u*(t)恢復(fù)成連續(xù)信號uh(t) ，為了討論方便，可認(rèn)為是由采樣信號e*(t)恢復(fù)成原連續(xù)信號e(t) 。,數(shù)字 控制器,保持器是一種時(shí)域的外推裝置，即根據(jù)過去或現(xiàn)在的采樣值進(jìn)行外推。,8.3 信號恢復(fù),通常把具有恒值、線性和拋物線外推規(guī)律

15、的保持器分別稱為零階、一階和二階保持器。其中最簡單、最常用的是零階保持器。,但是，上述的理想濾波器實(shí)際上是不能實(shí)現(xiàn)的。因此，必須尋找在特性上接近理想濾波器，而且在物理上又是可以實(shí)現(xiàn)的低通濾波器。在采樣系統(tǒng)中廣泛采用的保持器就是這樣一種實(shí)際的濾波器。,零階保持器是一種按照恒值規(guī)律外推的保持器。它把采樣時(shí)刻 kT 的采樣值 e(kT) 不變地保持到下一采樣時(shí)刻 (k+1)T。,8.3 信號恢復(fù),1. 工作原理,零階保持器,8.3 信號恢復(fù),由圖可見，零階保持器的輸出信號是階梯信號。它與要恢 復(fù)的連續(xù)信號是有區(qū)別的，包含有高次諧波。若將階梯信號的各 中點(diǎn)連接起來，可以得到比連續(xù)信號退后T2的曲線。這

16、反映了 零階保持器的相位滯后特性。,2. 零階保持器輸出的表達(dá)式,8.3 信號恢復(fù),3. 零階保持器的傳遞函數(shù),（1）根據(jù)傳遞函數(shù)的定義,（2）根據(jù)單位脈沖響應(yīng) gh(t),8.3 信號恢復(fù),4. 零階保持器的頻率特性,？,零階保持器具有如下特性：,低通特性：由于幅頻特性的幅值隨頻率值的增大而迅速衰減，說明零階保持器基本上是一個(gè)低通濾波器，但與理想濾波器特性相比，在 =s/2,其幅值只有初值的63.7%，且截止頻率不止一個(gè)，所以零階保持器允許主要頻譜分量通過外，還允許部分高頻分量通過,從而造成離散控制系統(tǒng)的輸出中存在紋波。,8.3 信號恢復(fù),8.3 信號恢復(fù),時(shí)間遲后：零階保持器的輸出為階梯信

17、號eh(t) 其平均響應(yīng)為et(T/2),表明輸出比輸入在時(shí)間上要遲后T/2，相當(dāng)于給系統(tǒng)增加一個(gè)延遲時(shí)間為T/2的延遲環(huán)節(jié)，對系統(tǒng)穩(wěn)定不利。,相角特性：由相頻特性可見，零 階保持器要產(chǎn)生相角遲后，且隨 的增大而加大，在 =s/2 時(shí)， 相角遲后可達(dá)180o，從而使閉 環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性變差。,8.3 信號恢復(fù),一階保持器,一階保持器是種按線性規(guī)律外推的保持器，其外推關(guān)系為,由于未引進(jìn)高階差分，一階保持器的輸出信號與原連續(xù)信號之間仍有差別。一階保持器的單位脈沖響應(yīng)可以分解為階躍函數(shù)和斜坡函數(shù)之和。,一階保持器的單位脈沖函數(shù)的拉氏變換式可用下式表示，,一階保持器的頻率特性繪于圖8-12。圖中的虛線表

18、示零階保持器的頻率特性。,8.3 信號恢復(fù),一階保持器的頻率特性,8.3 信號恢復(fù),線性連續(xù)系統(tǒng)用線性微分方程來描述，可以應(yīng)用拉氏變換的方法得到傳遞函數(shù)，來分析其動(dòng)態(tài)及穩(wěn)態(tài)過程。 線性采樣系統(tǒng)中包含離散信號，用差分方程來描 述，同樣可以應(yīng)用一種z變換的方法來進(jìn)行分析。 z變換是由拉氏變換引伸出來的一種變形。,8.4 Z變換,上式中各項(xiàng)均含有e-kTs因子，為便于計(jì)算定義一個(gè)新變量， 其中T為采樣周期，z是復(fù)數(shù)平面上定義的一個(gè)復(fù)變量，則,8.4 Z變換,Z變換的定義,采樣信號的數(shù)學(xué)表達(dá)式,采樣信號的拉氏變換,記作：,稱為采樣信號e*(t) 的z變換,應(yīng)該指出，此式所表示的z變換只適用于離散函數(shù)，

19、或者說只能表征連續(xù)函數(shù)在采樣時(shí)刻的特性，而不能反映其在采樣時(shí)刻之間的特性。人們習(xí)慣上稱 E(z)是 e(t) 的z變換,指的是經(jīng)過采樣后 e*(t) 的z變換。采樣函數(shù) e*(t) 所對應(yīng)的z變換是唯一的，反之亦然。但是，一個(gè)離散函數(shù) e*(t) 所對應(yīng)的連續(xù)函數(shù)卻不是唯一的，而是有無窮多個(gè)。從這個(gè)意義上來說，連續(xù)時(shí)間函數(shù)x (t)與相應(yīng)的離散時(shí)間函數(shù)x*(t)具有相同的z變換，即,8.4 Z變換,8.4 Z變換,求離散函數(shù)的方法有很多，下面介紹其中兩種。,1. 級數(shù)求和法,根據(jù)z變換的定義有：,Z變換方法,只要已知連續(xù)函數(shù)在采樣時(shí)刻kT(k=0,1,2,3,4,.)的采樣值便可求取離散函數(shù)z

20、變換的級數(shù)展開式。對常用離散函數(shù)的z變換應(yīng)寫成級數(shù)的閉合形式。,例8-3：試求函數(shù) e(t)=1(t) 的z變換。,e(kt) =1 (k=0,1,2,3.),8.4 Z變換,解:,例8-4：試求函數(shù) e(t)=e-at 的z變換。,8.4 Z變換,解：,例8-5：試求函數(shù) e(t)=at/T 的z變換。,8.4 Z變換,解：,綜上分析可見，通過級數(shù)求和法求取已知函數(shù)Z變換的缺 點(diǎn)在于：需要將無窮級數(shù)寫成閉式。這在某些情況下要求很高的 技巧。但函數(shù)Z變換的無窮級數(shù)形式卻具有鮮明的物理含義，這 又是Z變換無窮級數(shù)表達(dá)形式的優(yōu)點(diǎn)。Z變換本身便包含著時(shí)間概 念，可由函數(shù)Z變換的無級數(shù)形式清楚地看出原

21、連續(xù)函數(shù)采樣脈沖序列的分布情況。,8.4 Z變換,設(shè)連續(xù)函數(shù) e(t) 的拉氏變換式 E(s)為有理函數(shù)，可以展開成部分 分式的形式，即,式中 pi 為E(s)的極點(diǎn)，Ai為常系數(shù)。,對應(yīng)的時(shí)間函數(shù)為 ，其采樣序列的Z變換為,8.4 Z變換,2. 部分分式法,因此，,e*(t) 的Z變換為：,利用部分分式法求Z變換時(shí)，先求出已知連續(xù)時(shí)間函數(shù)e(t)的拉氏變換 E(s)，然后將有理分式函數(shù) E(s)展成部分分式之和的形式，最后查表求出每一項(xiàng)相應(yīng)的Z變換。,8.4 Z變換,例8-7 ：求 的Z變換 。,8.4 Z變換,例8-8：求 e(t)=sint的Z變換。,解：,對應(yīng),8.4 Z變換,查z變換

22、表有：,于是有：,則,Z 變換的性質(zhì),8.4 Z變換,1. 線性定理,若,a為常數(shù)，則,若,Z變換是一種線性變換。,若,實(shí)數(shù)位移，是指整個(gè)采樣序列在時(shí)間軸上左右平 移若干個(gè)采樣周期，其中 向左平移為超前，向右平移為延遲。,則有,及,8.4 Z變換,2. 實(shí)數(shù)位移定理（平移定理）,z-n代表延遲環(huán)節(jié)， 將采樣序列延遲 n個(gè)采樣周期。,若e(0)=e(T)=e(2T)=e(n-1)T=0，,zn代表超前環(huán)節(jié)， 將采樣序列超前 n個(gè)采樣周期。實(shí) 際不存在。,例 8-10 求e(t)=1(t-nT)的z變換。,例 8-11 求e(t)=1(t+T)的z變換。,8.4 Z變換,若 ，則有：,定理的含義是

23、：離散函數(shù)e*(t)乘以指數(shù)序列eakT的 Z變換，等于在e*(t)的Z變換表達(dá)式E(z)中，以 取代原算子z。,8.4 Z變換,3. 復(fù)數(shù)位移定理,例8-12：試用復(fù)數(shù)位移定理計(jì)算函數(shù)te-at的Z變換。,解：令e(t)=t，查表知,根據(jù)復(fù)數(shù)位移定理，有,8.4 Z變換,若Ze(t)=E(z) ，且當(dāng)t0時(shí)， e(t)0 則,若Ze(t)=E(z) ，且(z1)E(z)的全部極點(diǎn)位于Z 平面的單位圓內(nèi)，則,8.4 Z變換,4. 初值定理,5. 終值定理,例8-14：設(shè)Z變換函數(shù)為 試用終值定理確定e(kT)的終值。,解：由終值定理得,8.4 Z變換,若 則有：,8.4 Z變換,6. 卷積定理

24、,設(shè) r(kT)和 g(kT)是兩個(gè)離散函數(shù)，則卷積為,式中，當(dāng)nk時(shí)，r (k-n)T=0,證明：根據(jù)Z變換的定義,令k-n=m代入上式，得,考慮到m0時(shí)，r(mT)=0，故,8.4 Z變換,8.4 Z變換,例8-15,已知 ，求E(z)的原函數(shù)e(t)。,8.4 Z變換,Z反變換，是已知Z變換表達(dá)式 E(z)，求相應(yīng)的 離散序列 e(kT) 的過程，記作,離散序列仍是單邊的，即當(dāng)k0時(shí)，e(kT)=0。,Z 反變換,8.4 Z變換,1）綜合除法或冪級數(shù)法,其中ai ，bj均為常系數(shù)。通過對上式直接作綜合除法，得到按 z-1升冪排列的冪級數(shù)展開式。,如果得到的無窮級數(shù)是收斂的，則按Z變換定義

25、可知 上式中的系數(shù) ck （k=0，1，）就是采樣脈沖序列 e*(t)的脈沖強(qiáng)度e(kT）。因此，可直接寫出 e*(t) 的 脈沖序列表達(dá)式,求解時(shí)應(yīng)注意： 在進(jìn)行綜合除法之前，必須先將E(z)的分子，分母多項(xiàng)式按z的降冪形式排列。,實(shí)際應(yīng)用中，常常只需計(jì)算有限的幾項(xiàng)就夠了。因此用這種方法計(jì)算e*(t)最簡便，這是這一方法優(yōu)點(diǎn)之一。,要從一組 e(kT) 值中求出通項(xiàng)表達(dá)式，一般是比較困難的。,8.4 Z變換,例8-16：已知 ，試用冪級數(shù)法求E(z)的z反變換。,解：,所以,8.4 Z變換,用綜合除法得到,2 ) 部分分式展開法,在z變換表中，所有z變換函數(shù)E(z)在其分子上都普遍含有因子z

26、，所以應(yīng)將E(z) /z展開為部分分式，然后將所得結(jié)果每一項(xiàng)都乘以z，即得E(z)的部分分式展開式。,8.4 Z變換,將z變換函數(shù)E(z)展開成部分分式之和，然后查z變換表，求相應(yīng)的e*(t) 。,8.4 Z變換,設(shè)z變換函數(shù)E(z)只有n個(gè)單極點(diǎn)z1，z2，zn，將 E(z)/z 展開成部分分式,其中，Ai是E(z)/z 在極點(diǎn)zi處的留數(shù)。,E(z)的部分分式之和為,然后逐項(xiàng)查Z變換表，得到,E(z) 對應(yīng)的采樣函數(shù)e*(t)為,8.4 Z變換,例8-17 已知 ，試用部分分式法求z反變換。,例 8-18 設(shè) , 試求e(kT)。,解：,8.4 Z變換,查z變換表得,3）反演積分法或留數(shù)法

27、,E(z)的冪級數(shù)展開式為,8.4 Z變換,用zk-1乘以上式兩端，得到,設(shè)為z平面上包圍E(z)zk-1 全部極點(diǎn)的封閉曲線，沿反時(shí)針方向?qū)ι鲜絻啥送瑫r(shí)積分，可得,8.4 Z變換,設(shè)為z平面上以原點(diǎn)為圓心的圓周，,令 ，則,所以,8.4 Z變換,根據(jù)柯西留數(shù)定理，設(shè)函數(shù)E(z)zn-1除有限個(gè)極點(diǎn)z1, z2,zk 外，在域G上是解析的。如果有閉合路徑 包圍了這些極點(diǎn)，則有,式中 表示F(z)zk-1在極點(diǎn)zi 處的留數(shù)。,即,若zi為單極點(diǎn)，則,若zi為n階重極點(diǎn)，則,8.4 Z變換,提示：一個(gè)極點(diǎn)只對應(yīng)一個(gè)留數(shù)。,例 8-19：設(shè)z變換函數(shù) ，試用留數(shù)法求其z反變換。,8.4 Z變換,例

28、 8-20：設(shè)z變換函數(shù) ，試用留數(shù)法求其z反變換。,8.4 Z變換,8.5 離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,SISO線性定常離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型有： 時(shí)域：差分方程 復(fù)域：脈沖傳遞函數(shù) 離散狀態(tài)空間表達(dá)式。,SISO線性定常連續(xù)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型有： 時(shí)域：微分方程,復(fù)域：傳遞函數(shù) 頻域：頻率特性，狀態(tài)空間表達(dá)式。,8.5.1 差分方程,差分：對于采樣信號來講，指兩相鄰采樣脈沖之 間的差值。,8.5 離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,設(shè)采樣序列為 e(kT)，通常為了方便，都省掉T 而直接寫成 e(k)。,一階前向差分的定義為：,二階前向差分的定義為：,n 階前向差分的定義為：,8.5 離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,e(k) 的 n

29、 階前向差分ne(k)的展開式，是 kT 時(shí)刻 以及將來的 n 個(gè)時(shí)刻，即 (k+1)T, (k+2)T, (k+n)T 時(shí) 刻的采樣值 e(k), e(k+1), e(k+2), e(k+n) 的線性組合。,一階后向差分的定義為：,二階后向差分的定義為：,8.5 離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,n 階后向差分的定義為：,8.5 離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,e(k) 的 n 階后向差分 ne(k), 展開式，是 kT 時(shí)刻 以及過去的 n 個(gè)時(shí)刻，即 (k-1)T, (k-2)T, (k-n)T 時(shí) 刻的采樣值 e(k), e(k-1), e(k-2), e(k-n) 的線性組合。,8.5 離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,如

30、果方程的變量除了含有 e(k) 本身外，還有e(k) 的各階差分，即 e(k), 2e(k) ,ne(k) ， （或 e(k), 2e(k) , ne(k) ）， 則此方程稱為n階前向（或后向）差分方程。,由于 e(k) 的n 階差分可以展開成前向或后向的n 個(gè)采樣值的線性組合，所以n 階差分方程是包含e(k) 以及前向或后向的n個(gè)采樣值的過程。,n階單輸入單輸出線性定常離散系統(tǒng)的差分方程,式中 ai(i=1,2,n) 和 bj(j=0,1,2,m)為常數(shù)，mn。,n階后向差分方程:,kT 時(shí)刻的輸出c(k)，不但與kT時(shí)刻的輸入r(k)有 關(guān)，而且與kT時(shí)刻之前的輸入r(k-1),r(k-2

31、), r(k-m) 有關(guān)，還與kT時(shí)刻之前的輸出c(k-1),c(k-2), c(k-n) 有關(guān)。,8.5 離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,n階單輸入單輸出線性定常離散系統(tǒng)的差分方程,式中 ai(i=1,2,n) 和 bj(j=0,1,2,m)為常數(shù)，mn。,n階前向差分方程:,8.5 離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,差分方程的解法：,1. 迭代法 2. Z變換法 3. 經(jīng)典法,8.5 離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,1. 迭代法,由上述差分方程，不論是前向還是后向差分方程，當(dāng)給定輸入序列，并且給定輸出序列的 n 個(gè)初值，則可以利用遞推關(guān)系一步一步地算出輸出序列。,8.5 離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,例8-22 已知后向差分方程為,其中

32、，r(k)=1(k)=1,(k0)；初始條件為c(0)=0,c(1)=1。試用迭代法求輸出序列c(k),k=0,1,2,8.5 離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,解：根據(jù)差分方程可得遞推關(guān)系式為,再根據(jù)初始條件，并令k=2,3,有, ,例8-23 將例2-22的后向差分方程轉(zhuǎn)換為前向差分方程。 然后用迭代法求輸出序列c(k),k=0,1,2,8.5 離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,解：后向差分方程可轉(zhuǎn)換為前向差分方程,根據(jù)初始條件，并令k =0,1,有, ,遞推關(guān)系式為,初始條件為,c(0)=6,c(1)=25。,？,c(0)=6,c(1)=25。,差分方程的全解取決于初值條件和輸入r(k)，一般 n 階系統(tǒng)要有n 個(gè)

33、初始值作為解的計(jì)算條件。 遞推求解是從n 個(gè)初值以后第（n+1 ）個(gè)采樣時(shí)刻開始進(jìn)行的。,8.5 離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,這種方法適合編程上機(jī)運(yùn)算。,可見，,2. Z變換法,Z 變換法求差分方程的一般步驟： （1）利用Z變換的實(shí)數(shù)位移定理對差分方程兩邊進(jìn)行Z變換，代入相應(yīng)的初始條件，化成復(fù)變量z的代數(shù)方程； （2）求出代數(shù)方程的解C(z)； （3）通過查Z變換表，對C(z)求Z反變換，得出解c(kT) 或c*(t)。,Z-1,8.5 離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,例8-25 已知二階離散系統(tǒng)的差分方程為,輸入信號為r(k)=1(k)=1,(k0)；初始條件為c(0)=6,c(1)=25，試用Z變換法求響應(yīng)c

34、(k)。,8.5 離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,解1）對方程兩端取z變換,例8-25 已知二階離散系統(tǒng)的差分方程為,輸入信號為r(k)=1(k)=1,(k0) ，試用Z變換法求響應(yīng)c(k)。,8.5 離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,8.5 離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,3. 經(jīng)典法,線性差分方程的解包含兩部分： 對應(yīng)齊次差分方程的通解c0(k)； 對應(yīng)非齊次差分方程的特解cT(k)。,對于n階前向差分方程，,相應(yīng)的齊次方程為,即,設(shè)通解具有 Azk 的形式，且Azk 0，代入齊次方程中應(yīng)有,即,由于 Azk 0，則 z 必須滿足,此式稱為差分方程的特征方程。,8.5 離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,如果特征方程具有n個(gè)互異的單根 zi

35、(i=1,2,n) ，則每個(gè) Azik 都是齊次差分方程的解，故它們的線性組合即為齊次通解：,其中待定系數(shù)個(gè)Ai取決于方程的 n 個(gè)初始條件。,如果特征方程的根有重，例如有r重根z1，其余 zi (i=r+1,n)為單根，則齊次差分方程的通解具有如下形式：,其中待定系數(shù)個(gè) Ai 取決于方程的 n 個(gè)初始條件。,8.5 離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,對于非齊次方程的特解，要根據(jù)右端具體輸入函數(shù)的形式，用試探法求得。,例8-21 已知離散系統(tǒng)的差分方程為,初始條件為 c(0)=6,c(1)=25， 輸入信號為 r(k)=1(k)=1,(k0)； 試用經(jīng)典法求響應(yīng)c(k)。,8.5 離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,解：特

36、征方程為：,特征根為：,則齊次方程的通解為：,設(shè)非齊次方程的一個(gè)特解也為恒值， 即cT(k)=K，代入方程有：,解得：,則非齊次通解為：,將初始條件代入上式得：,解得：,則非齊次的全解為：,8.5 離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,差分方程解的結(jié)構(gòu)與微分方程相似，齊次通解表示了系統(tǒng)的自由運(yùn)動(dòng)模態(tài)，各自由分量的斂散性取決于特征方程的根，是系統(tǒng)的固有屬性。,由此得出： 離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是差分方程特征方程的 根的模都小于1。,8.5 離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,當(dāng)特征方程所有根的模都小于1，即 則齊次方程解的每一項(xiàng) Aizik 都會(huì)隨著k的增大而減小，最終趨于零。此時(shí)，稱該差分方程描述的系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 只要有一個(gè)根

37、的模不小于1，那么齊次方程的解就會(huì)隨著k的增大而發(fā)散。此時(shí)，稱該差分方程描述的系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。,8.5 離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,差分方程的建立：,1. 由微分方程求差分方程,設(shè)連續(xù)函數(shù) c(t)，取時(shí)間間隔 T 為足夠小，則有,即時(shí)間t可以用離散量 kT 代替； 連續(xù)函數(shù)可以用序列代替； 微分方程中的導(dǎo)數(shù)可以用差分項(xiàng)代替； 積分項(xiàng)可以用級數(shù)求和代替， 從而微分方程可以變?yōu)椴罘址匠獭?8.5 離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,例8-26 已知一階微分方程為,試求離散化差分方程。,8.5 離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,例8-27 已知控制系統(tǒng)中常用的比例積分（PI）控制器所對應(yīng)的微分方程為,試求離散化差分方程。,8.5 離散

38、系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,2. 由傳遞函數(shù)求差分方程,連續(xù)部分 G(s) 的單位脈沖響應(yīng)常記為 g(t),若任意 kT 時(shí)刻 給 G(s)加入一單脈沖 r(kT)(t-kT)，則 輸出響應(yīng)為,若給 G(s)加入一系列脈沖 則系統(tǒng)的響應(yīng)為,8.5 離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,則在各段時(shí)間的輸出響應(yīng) c(t) 為,在采樣時(shí)刻 t=kT，,利用此式可寫出各采樣時(shí)刻的輸出，根據(jù)差分的定義推出系統(tǒng)的差分方程。,8.5 離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,由傳遞函數(shù)求差分方程的一般步驟為： （1）寫出連續(xù)部分的傳遞函數(shù)G(s) ； （2）求出相應(yīng)的單位脈沖響應(yīng) ； （3）由卷積公式寫出輸出序列函數(shù)c(kT) ; （4）根據(jù)系統(tǒng)的階次，按差

39、分的定義用c(kT) 導(dǎo)出 差分方程。,8.5 離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,例8-28 已知系統(tǒng)連續(xù)部分的傳遞函數(shù)為,試求系統(tǒng)的差分方程。,解：系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為,由卷積公式，采樣時(shí)刻 kT 的輸出為,聯(lián)立兩式消去和式得,8.5 離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,8.5.2 脈沖傳遞函數(shù),定義： 對于線性定常離散系統(tǒng)，在零初始條件下，系 統(tǒng)輸出采樣信號的z變換與輸入采樣信號的z變換之 比，稱為該系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)，或z傳遞函數(shù)。,8.5 離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,說明：,零初始條件,8.5 離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,說明：,脈沖傳遞函數(shù)與差分方程一樣，描述系統(tǒng)離散信號之間的關(guān)系。但大多數(shù)實(shí)際采樣系統(tǒng)的輸出信號是連續(xù)信號，而不

40、是離散信號，如圖所示。 在這種情況下，可以在輸出端虛設(shè)一個(gè)采樣開關(guān)，并設(shè)它與輸入采樣開關(guān)以相同的采樣周期T同步工 作。虛設(shè)的采樣開關(guān)是不存在的。 如果已知系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)G(z)，以及輸入采樣信號的 Z 變換 R(z)，那么在零初始條件下，線性定常離散系統(tǒng)的輸出采樣信號就可以求得：,8.5 離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,如果在G(s)上加一系列脈沖， r(kT)(k=0，1，2，),可得出輸出在各個(gè)采樣時(shí)刻的值 c(kT)(k=0，1，2，),系統(tǒng)的輸出函數(shù)序列等于輸入函數(shù)序列與脈沖響應(yīng)函數(shù)序列的卷積。,根據(jù)卷積定理有：,所以有：,意義：,脈沖傳函為連續(xù)系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)的Z變換。,脈沖傳遞函數(shù)和連續(xù)系統(tǒng)

41、的傳遞函數(shù)一樣表征了 離散系統(tǒng)的固有特性。,8.5 離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,脈沖傳遞函數(shù)的求法：,1. 由差分方程求脈沖傳遞函數(shù),一般步驟： （1）令初始條件為零，對方程兩端進(jìn)行z變換，化為代 數(shù)方程。 在前向差分方程中，初始條件包括 輸出的前n項(xiàng)初值 c(n-1),c(n-2),c(0) 及輸入的前m項(xiàng)初值r(m-1),r(n-2),r(0)。 在后向差分方程中，初始條件包括 輸出的前n項(xiàng)初值 c(-1),c(-2),c(-n) 及輸入的前m項(xiàng)初值r(-1),r(-2),r(-m)。 （2）根據(jù)脈沖傳遞函數(shù)的定義求出,8.5 離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,例8- 已知離散系統(tǒng)的差分方程為,試求脈沖傳遞函數(shù)

42、。,解：令c(0)=c(1)=0,r(0)= r(1)=0，利用實(shí)數(shù)位移定理， 對方程兩端取z變換，則有,所以脈沖傳遞函數(shù)為,8.5 離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,例8- 已知離散系統(tǒng)的差分方程為,試求脈沖傳遞函數(shù)。,所以脈沖傳遞函數(shù)為,解：令c(-1)=c(-2)=0，利用實(shí)數(shù)位移定理，對方程兩 端取z變換，則有,8.5 離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,2. 由連續(xù)部分的傳遞函數(shù)求脈沖傳遞函數(shù),根據(jù)拉氏變換與z變換對照表，可以直接從G(s) 得到G(z)。 如果G(s)為階次較高的有理分式函數(shù)，在z變換表 中找不到相應(yīng)的G(z)，需將G(s)先進(jìn)行部分分式展開。,由連續(xù)系統(tǒng)傳遞函數(shù)的意義，有,由離散系統(tǒng)傳遞函數(shù)的

43、意義，有,于是有,求z變換有,8.5 離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,例3-31 已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示，其中連續(xù)部分傳 遞函數(shù)為,試求脈沖傳遞函數(shù)。,解：將G(s)展開成部分分式,查z變換表得,8.5 離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,例3-32 已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示，其中連續(xù)部分傳 遞函數(shù)為,試求1）脈沖傳遞函數(shù)；（2）差分方程。,解1）令=nT，查表得,（2）按定義,則,可見，脈沖傳遞函數(shù)z-n，其物理意義表示離散系統(tǒng)中的一個(gè)延遲環(huán)節(jié)。,8.5 離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,1. 串聯(lián)環(huán)節(jié)的脈沖傳遞函數(shù),1） 串聯(lián)環(huán)節(jié)之間有采樣開關(guān),等效的脈沖傳遞函數(shù)為,結(jié)論： 兩個(gè)串聯(lián)環(huán)節(jié)之間有采樣開關(guān)時(shí)，其等效的脈 沖傳遞函數(shù)等于兩

44、個(gè)環(huán)節(jié)各自脈沖傳遞函數(shù)之乘積。 這一結(jié)論可推廣到n個(gè)環(huán)節(jié)相串聯(lián)的情況。,8.5 離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,例8-33 已知開環(huán)采樣系統(tǒng)如圖所示，試求開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)。,8.5 離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,1. 串聯(lián)環(huán)節(jié)的脈沖傳遞函數(shù),2） 串聯(lián)環(huán)節(jié)之間沒有采樣開關(guān),等效的脈沖傳遞函數(shù)為,結(jié)論： 兩個(gè)串聯(lián)環(huán)節(jié)之間沒有采樣開關(guān)時(shí)，其等效的脈 沖傳遞函數(shù)等于兩個(gè)環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)乘積的z變換。 這一結(jié)論可推廣到n個(gè)環(huán)節(jié)相串聯(lián)的情況。,8.5 離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,輸出連續(xù)信號c(t)的拉氏變換為,對應(yīng)采樣信號c*(t)的拉氏變換為,求證：,即R*(s)具有周期性,即,8.5 離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,記,于是有,根據(jù)脈沖傳遞函

45、數(shù)定義，有,令其中,有,得證。,8.5 離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,8.5 離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,例8-34 已知開環(huán)采樣系統(tǒng)如圖所示，試求開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)。,對比,可見,可見，開環(huán)系統(tǒng)中，采樣開關(guān)的引入不影響系統(tǒng)的極點(diǎn)即運(yùn)動(dòng)模態(tài)。,3）零階保持器與環(huán)節(jié)串聯(lián),即,8.5 離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,例8-35 已知有零階保持器的開環(huán)采樣系統(tǒng)如圖所示， 其中 試求開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)。,對比,可見，開環(huán)系統(tǒng)中，采樣開關(guān)與零階保持器的引入不影響系統(tǒng)的極點(diǎn)即運(yùn)動(dòng)模態(tài)。,8.5 離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,4）連續(xù)信號進(jìn)入連續(xù)環(huán)節(jié)時(shí)的情況,說明： 由于 r(t) 沒有被采樣，故不能單獨(dú)進(jìn)行z變換， 這時(shí)，表示不出 C(z)/R(z

46、) 的形式，只能求得輸出 的z變換表達(dá)式 C(z)，而得不到 G(z)。,8.5 離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,8.5 離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,2. 并聯(lián)環(huán)節(jié)的脈沖傳遞函數(shù),設(shè)兩個(gè)環(huán)節(jié)并聯(lián)系統(tǒng)如圖(a)所示，可等效為圖(b),G(z)=G1(z)+ G2(z),C(z)=C1(z)+ C2(z)=G1(z)+ G2(z)R(z),C1(z)=G1(z)R(z) C2(z)=G2(z)R(z),結(jié)論： 兩個(gè)并聯(lián)環(huán)節(jié)的脈沖傳遞函數(shù)等于兩個(gè)環(huán)節(jié)脈沖 傳遞函數(shù)之和。 這一結(jié)論可推廣到n個(gè)環(huán)節(jié)相并聯(lián)的情況。,8.5 離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,如果并聯(lián)支路存在連續(xù)輸入信號，如圖所示，,則 c(t) 的拉氏變換為,C(s)=G

47、1(s)R*(s) + G2(s)R*(s),將其離散化可得,C*(s)=G1(s)R*(s)*+ G2(s)R*(s)* = G1*(s)R*(s)+ G2*(s)R*(s),進(jìn)行z變換可得可得,C(z)= G1(z)R(z)+ G2R(z),8.5 離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,例3-36 試求零階保持器的脈沖傳遞函數(shù)。,說明： 零階保持器的脈沖傳遞函數(shù)為常數(shù)1，其輸出信號的 采樣值與輸入信號的采樣值完全一樣。 零階保持器無零極點(diǎn)，對系統(tǒng)性能無影響，只起到恢 復(fù)信號的作用。,8.5 離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,3. 閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù),設(shè)閉環(huán)采樣系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖所示,1）對給定輸入的脈沖傳遞函數(shù),2）對

48、擾動(dòng)輸入的脈沖傳遞函數(shù),若為單位反饋，即H(s)=1，則,8.5 離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,求脈沖傳遞函數(shù)的一般步驟： （1）確定系統(tǒng)的輸入輸出變量； （2）寫出各個(gè)連續(xù)部分的因果關(guān)系式，也就是將通 道在各采樣開關(guān)處斷開，寫出采樣之前各連續(xù) 信號拉氏變換表達(dá)式； （3）對各表達(dá)式采樣后取z變換； （4）消掉中間變量； （5）按定義寫出脈沖傳遞函數(shù)。,8.5 離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,例3-37 已知采樣系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示，試求輸出信號的z變換式。,例3-38 已知采樣系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示，試求脈沖傳遞函數(shù) C(z)/R(z)。,8.5 離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,8.5 離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,8.5 離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模

49、型,8.5 離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,z變換法的應(yīng)用條件： 當(dāng)連續(xù)部分的輸入直接為理想脈沖串時(shí)，其傳 遞函數(shù)必須滿足極點(diǎn)數(shù)至少比零點(diǎn)數(shù)多兩個(gè)，即滿足,則系統(tǒng)的連續(xù)輸出信號 c(t) 在采樣點(diǎn)不會(huì)跳變，這 樣才可以把 c*(t) 的采樣值連接起來得到 c(t)。,8.6 離散系統(tǒng)的時(shí)域分析,例3-39 開環(huán)采樣系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示，已知輸入r(t)=1(t), 采樣周期T=1(s)，試求c*(t)與c(t)。,討論如下情況： (1) 用z變換法求c*(t); (2) 用拉氏變換法求c(t); (3) 加入零階保持器，用兩種變換分別求c*(t)與c(t) ； (4) 改變連續(xù)部分為1/s2，用兩種變換分別

50、求c*(t)與c(t) 。,8.6 離散系統(tǒng)的時(shí)域分析,離散系統(tǒng)的時(shí)域分析包括：,穩(wěn)定性,動(dòng)態(tài)性能,穩(wěn)態(tài)性能,采樣周期的選擇： 采樣周期T應(yīng)小于系統(tǒng)的最大時(shí)間常數(shù)。只有 滿足這一點(diǎn)，才會(huì)使離散理論分析結(jié)果貼近連續(xù)信 號的變化規(guī)律。 舉例：圖8-66,8.6 離散系統(tǒng)的時(shí)域分析, 根據(jù)穩(wěn)定性的定義，可以用齊次差分反方程的解來 研究離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性。, 穩(wěn)定性是指在擾動(dòng)的作用下，系統(tǒng)會(huì)偏離原來的平 衡位置，在擾動(dòng)撤除后，系統(tǒng)恢復(fù)到原來平衡狀態(tài) 的能力。,8.6.1 離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性, 線性定常離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是，齊次差分方 程的特征方程的根的模都小于1，即 。,8.6 離散系統(tǒng)的時(shí)域分析,1

51、. s平面與z平面的映射關(guān)系,s域到z域的映射復(fù)變量s和z的相互關(guān)系為 z=eTs,s域中的任意點(diǎn)可表示為 ，映射到z域則為,于是，s域到z域的基本映射關(guān)系式為,8.6 離散系統(tǒng)的時(shí)域分析,8.6 離散系統(tǒng)的時(shí)域分析,2. Z域穩(wěn)定的充分必要條件,開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)：,閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)：,系統(tǒng)的特征方程：,8.6 離散系統(tǒng)的時(shí)域分析,線性定常離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是，系統(tǒng)的特征方 程的根的模都小于1，即 ，或全部特 征根都位于z平面上以原點(diǎn)為圓心的單位圓內(nèi)。,8.6 離散系統(tǒng)的時(shí)域分析,例3-42 已知采樣系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示，其中T=0.007(s) ，e-10T=0.5，試分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,

52、8.6 離散系統(tǒng)的時(shí)域分析,3. 代數(shù)判據(jù),勞斯判據(jù)： （1）構(gòu)造勞斯表； （2）特征根中具有正實(shí)部的根的個(gè)數(shù)等于勞斯表中第一列元素的變號次數(shù)。 故穩(wěn)定的充要條件是：勞斯表第一列元素的符號不發(fā)生變化。 勞斯判據(jù)不僅可以判斷系統(tǒng)的絕對穩(wěn)定性，還可以分析系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性。,8.6 離散系統(tǒng)的時(shí)域分析,稱為w變換，又稱雙線性變換。,8.6 離散系統(tǒng)的時(shí)域分析,式中z和w均為復(fù)數(shù)，分別把它們表示成實(shí)部和虛部相加的形式，即,實(shí)部為,8.6 離散系統(tǒng)的時(shí)域分析,例3-43 已知采樣系統(tǒng)的特征方程式為 試分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,由勞斯表: 第一列元素為正,系統(tǒng)穩(wěn)定.,8.6 離散系統(tǒng)的時(shí)域分析,例3-44 已知

53、采樣系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖為 試分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,解：（1）連續(xù)系統(tǒng)是無條件穩(wěn)定的。,8.6 離散系統(tǒng)的時(shí)域分析,開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)：,系統(tǒng)的特征方程：,（2）加入采樣開關(guān)：,8.6 離散系統(tǒng)的時(shí)域分析,雙線性變換：,由勞斯判據(jù)：,得：,8.6 離散系統(tǒng)的時(shí)域分析,開環(huán)增益K和采樣周期T對采樣系統(tǒng)穩(wěn)定性有如下影響： (1)采樣周期T一定時(shí)，增加開環(huán)增益K會(huì)使采樣系統(tǒng)穩(wěn)定性變差，甚至使系統(tǒng)不穩(wěn)定。 (2)開環(huán)增益K一定時(shí), 采樣周期T越長，丟失的信息越多，對采樣系統(tǒng)穩(wěn)定性及動(dòng)態(tài)性能均不利，甚至使系統(tǒng)不穩(wěn)定。,8.6 離散系統(tǒng)的時(shí)域分析,開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)：,系統(tǒng)的特征方程：,（3）加入零階保持器：,8.6

54、離散系統(tǒng)的時(shí)域分析,雙線性變換：,由勞斯判據(jù)：,得：,說明： 保持器的加入使系統(tǒng)穩(wěn)定性進(jìn)一步變差。,8.6 離散系統(tǒng)的時(shí)域分析,離散系統(tǒng)穩(wěn)定性：,1. 充要條件最基本的判穩(wěn)依據(jù)；,2. 代數(shù)判據(jù)雙線性變換，勞斯判據(jù)；,3. 影響采樣開關(guān) 保持器 參數(shù),8.6 離散系統(tǒng)的時(shí)域分析,8.6.2 離散系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能,1.離散系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)及性能指標(biāo)求法,（1）通過z反變換,計(jì)算時(shí)間響應(yīng),（2）直接在時(shí)間響應(yīng)上求性能指標(biāo),8.6 離散系統(tǒng)的時(shí)域分析,8.6 離散系統(tǒng)的時(shí)域分析,例3-45 單位反饋采樣系統(tǒng)如圖所示 當(dāng) 時(shí)，試求輸出響應(yīng)及動(dòng)態(tài)性能指 標(biāo)。,8.6 離散系統(tǒng)的時(shí)域分析,開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)：,

55、解：,閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)：,單位階躍響應(yīng)的z變換：,8.6 離散系統(tǒng)的時(shí)域分析,用長除法將C(z)展開成冪級數(shù)：,z反變換得脈沖序列為：,近似性能指標(biāo)：,8.6 離散系統(tǒng)的時(shí)域分析,例3-46 單位反饋采樣系統(tǒng)如圖所示 當(dāng) 時(shí)，試求輸出響應(yīng)及動(dòng)態(tài)性能指 標(biāo)。,8.6 離散系統(tǒng)的時(shí)域分析,開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)：,解：,閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)：,單位階躍響應(yīng)的z變換：,8.6 離散系統(tǒng)的時(shí)域分析,用長除法將C(z)展開成冪級數(shù)：,z反變換得脈沖序列為：,近似性能指標(biāo)：,8.6 離散系統(tǒng)的時(shí)域分析,連續(xù)系統(tǒng)：,8.6 離散系統(tǒng)的時(shí)域分析,零階保持器使峰值時(shí)間、調(diào)節(jié)時(shí)間都加長，使超調(diào)量也增大，這是由于零階保持器的

56、相角遲后作用，降低系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,采樣器使上升時(shí)間、峰值時(shí)間、調(diào)節(jié)時(shí)間略 有減小，但使超調(diào)量增大，故采樣造成的信息損 失會(huì)降低系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,8.6 離散系統(tǒng)的時(shí)域分析,2.閉環(huán)極點(diǎn)與瞬態(tài)響應(yīng)的關(guān)系,設(shè)閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)為,式中mn，zi (i=1,2,m)為(z)的零點(diǎn)； pr (r=1,2,n)為(z)的極點(diǎn)； 為分析簡便設(shè)其無重極點(diǎn)。,8.6 離散系統(tǒng)的時(shí)域分析,當(dāng) r(t)=1(t) 時(shí)，,8.6 離散系統(tǒng)的時(shí)域分析,穩(wěn)態(tài)分量,暫態(tài)分量,顯然,隨極點(diǎn)在平面位置的不同，它所對應(yīng)的暫態(tài) 分量也不同。,8.6 離散系統(tǒng)的時(shí)域分析,1 當(dāng) 0pr1 時(shí), 單位圓內(nèi)正實(shí)軸, 單調(diào)收斂,當(dāng) 1pr 時(shí), 單位圓外正實(shí)軸, 單調(diào)發(fā)散,2 當(dāng) -1pr0 時(shí), 單位圓內(nèi)負(fù)實(shí)軸, 振蕩收斂,當(dāng) -1pi 時(shí), 單位圓外負(fù)實(shí)軸，振蕩發(fā)散,3 z平面上的閉環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn), 余弦規(guī)律振蕩,當(dāng) pr=1 時(shí), 單位圓與正實(shí)軸的交點(diǎn), 一串等幅脈沖序列,當(dāng) pr=-1 時(shí), 單位圓與負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn), 正負(fù)交替的等幅脈沖序列,8.6 離散系統(tǒng)的時(shí)域分析,8.6 離散系統(tǒng)的時(shí)域分析,通過以上的分析可以看出，閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的極點(diǎn)在z平面上的位置決定相應(yīng)暫態(tài)分量的性質(zhì)和特點(diǎn)。 當(dāng)閉