1、第二章 被控對(duì)象的數(shù)學(xué)模型,主要內(nèi)容 生產(chǎn)對(duì)象的特點(diǎn)及其描述方法 對(duì)象數(shù)學(xué)模型的建立 機(jī)理模型和實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ?描述對(duì)象特性的參數(shù),第一節(jié) 生產(chǎn)對(duì)象特點(diǎn)及其描述方法,生產(chǎn)對(duì)象的特點(diǎn):大,復(fù)雜,時(shí)間常數(shù)大.滯后大, 具有非線性分布參數(shù)和時(shí)變特性,建模困難。 對(duì)象特性:對(duì)象的內(nèi)在規(guī)律。 研究對(duì)象特性:用數(shù)學(xué)的方法來(lái)描述對(duì)象的輸入量與輸出量之間的函數(shù)關(guān)系,即數(shù)學(xué)模型。 對(duì)象的數(shù)學(xué)模型分為靜態(tài)數(shù)學(xué)模型和動(dòng)態(tài)數(shù) 學(xué)模型特性。靜態(tài)數(shù)學(xué)模型是描述對(duì)象在靜 態(tài)時(shí)的輸入量與輸出量之間的關(guān)系;動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué) 模型是描述對(duì)象在輸入量改變以后輸出量變 化情況。,輸入量:干擾和控制作用看作對(duì)象的輸入量。 通道:由對(duì)象的輸入變量至輸

2、出變量的信號(hào)聯(lián)系。(通道不同,特性不同) 控制通道:控制作用至被控變量的信號(hào)聯(lián)系。 干擾通道:干擾作用至被控變量的信號(hào)聯(lián)系。,研究對(duì)象特性框圖,干擾作用和控制作用都是引起被控變量變化的因素。,用于控制的數(shù)學(xué)模型和用于工藝的數(shù)學(xué)模型二者的區(qū)別： 相同之處:基于同樣的物理和化學(xué)規(guī)律,原始方程可能相同。 區(qū)別:用于控制的數(shù)學(xué)模型是在工藝流程和設(shè)備尺寸等確定的情況下,研究對(duì)象的輸入變量如何影響輸出變量的,研究的目的是為了使所設(shè)計(jì)的控制系統(tǒng)達(dá)到更好的控制效果。用于工藝的數(shù)學(xué)模型(一般是靜態(tài))是在產(chǎn)品規(guī)格和產(chǎn)量確定的情況下,通過(guò)模型的計(jì)算,來(lái)確定設(shè)備的結(jié)構(gòu)、尺寸、工藝流程和某些工藝條件,以達(dá)到最好的經(jīng)濟(jì)效

3、益。,數(shù)學(xué)模型的主要形式:非參數(shù)模型和參數(shù)模型 非參數(shù)模型:描述對(duì)象在受到控制作用或干擾作用后被控變量的變化規(guī)律,用曲線或數(shù)據(jù)表格等來(lái)表示的。特點(diǎn)是形象、清晰,比較容易看出其定性的特征。根據(jù)輸入形式的不同,主要有:階躍反應(yīng)曲線、脈沖反應(yīng)曲線、矩形脈沖反應(yīng)曲線。 參數(shù)模型:用數(shù)字方程式來(lái)表示的。描述對(duì)象輸入、輸出關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式:微分方程式、偏微分方程式、狀態(tài)方程式,對(duì)于線性的集中參數(shù)對(duì)象,可用常系數(shù)線性微分方程來(lái)描述：any(n)(t)+an-1y(n-1)(t)+a1y(t)+a0y(t)=x(t),被控對(duì)象的特性對(duì)控制質(zhì)量的影響很大,是 確定控制方案的主要依據(jù);只有先了解對(duì)象 的特性,即內(nèi)

4、在規(guī)律,才能根據(jù)工藝對(duì)控制質(zhì) 量的要求,設(shè)計(jì)合理的控制系統(tǒng),選擇合適的 被控變量和操縱變量、選擇合適的測(cè)量元件 及控制器。 描述對(duì)象特性的主要方法 數(shù)學(xué)模型法機(jī)理建模和實(shí)驗(yàn)建模,第二節(jié)、對(duì)象數(shù)學(xué)模型的建立,一、建模目的 (1).控制系統(tǒng)的方案設(shè)計(jì):深入和全面地了解對(duì)象特性,是 設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)的基礎(chǔ)。 (2).控制系統(tǒng)的調(diào)試和控制器參數(shù)的確定:為了控制系統(tǒng)安 全投運(yùn)并進(jìn)行必要的調(diào)試,必須了解被控對(duì)象的特性。 (3).制定工業(yè)過(guò)程操作優(yōu)化方案:操作優(yōu)化在不增加投資 的情況下,獲得可觀的經(jīng)濟(jì)效益。 (4).新型控制方案及控制算法的確定:用計(jì)算機(jī)構(gòu)成新型 控制系統(tǒng)時(shí),離不開被控對(duì)象的數(shù)學(xué)模型。 (5).

5、計(jì)算機(jī)仿真與過(guò)程培訓(xùn)系統(tǒng):利用仿真技術(shù),使操作人員 在計(jì)算機(jī)上模仿實(shí)際的操作,安全、高效地培訓(xùn)工作人員。 (6).設(shè)計(jì)工業(yè)過(guò)程的故障檢測(cè)與診斷系統(tǒng):利用開發(fā)的數(shù)學(xué) 模型可及時(shí)發(fā)現(xiàn)工作過(guò)程中控制系統(tǒng)的故障及其原因,并 提供正確的解決途徑。,二、機(jī)理建模 根據(jù)被研究對(duì)象或生產(chǎn)過(guò)程的內(nèi)部機(jī)理,寫出各種有關(guān)平 衡方程,如物料平衡方程.能量平衡方程.動(dòng)量平衡方程及 化學(xué)反應(yīng)規(guī)律.電路基本定律等,獲得對(duì)象的數(shù)學(xué)模型。 機(jī)理建模的方法： 1.一階對(duì)象:用一階微分方程式描述的對(duì)象,為一階對(duì)象。 (1).水槽對(duì)象:對(duì)象的輸入量是流入水槽的流量Q1;液位高 度h為對(duì)象的輸出量;Q2隨液位高度 變化,是中間變量;閥

6、門2相當(dāng)于負(fù)載, RS為出水閥的阻力系數(shù);水槽橫截面 積為A; Q2=h/ RS 。 靜態(tài)時(shí):流入水槽的流量Q1等于流出 水槽的流量Q2,系統(tǒng)處于平衡狀態(tài),即 液位h保持不變。,動(dòng)態(tài)時(shí):Q1變化了,不再等于Q2,則h就變化。 設(shè)Q1. Q2.h為偏離初始平衡狀態(tài)的變化值。 找出h與Q1的關(guān)系。 根據(jù)物料平衡的原則:Q1dt=AdhQ2dt 又因: Q2=h/ RS 代入上式中, 整理得: 令 T=RSA T稱為時(shí)間常數(shù);k=Rs稱為放大系數(shù)。 則有: 此方程是一階常系數(shù)微分方程。,(2).RC電路: ei為對(duì)象的輸入量, eo為輸出量, i為流過(guò)電阻R的電流,即中間變量。根據(jù)基爾霍夫定律有：

7、消去中間變量i得： 令 T=RC, K=1,則有： 上式也是一階常系數(shù)微分方程。,2.積分對(duì)象 積分對(duì)象:對(duì)象的輸出參數(shù)與輸入?yún)?shù)對(duì)時(shí)間的積分成比例關(guān)系,稱積分對(duì)象。 如左圖液體貯槽,Q0為常數(shù)。 有：Qidt=Adh 則有: 具有積分特性。,3.二階對(duì)象 當(dāng)對(duì)象的動(dòng)態(tài)特性可用二階微分方程來(lái)描述時(shí),為二階對(duì)象。 (1).串聯(lián)水槽對(duì)象 如圖為兩貯槽串聯(lián)。對(duì) 象的輸入量Qi,輸出量h2; R1為第一貯槽出水閥的 阻力系數(shù); R2第二貯槽 出水閥的阻力系數(shù); Q =h1/ R1,Q0 =h2/ R2 ； 根據(jù)物料平衡的原則: Qidt=Adh1+Qdt,Qdt=Adh2+Q2dt 其中h1. Q.

8、Q2為中間變量。,(1).串聯(lián)水槽對(duì)象 消去中間變量,整理得： 設(shè)T1=AR1第一貯槽的時(shí) 間常數(shù), T2=AR2第二貯槽 的時(shí)間常數(shù), K=R2 整個(gè)對(duì) 象的放大系數(shù) 。 得：,3.二階對(duì)象 (2).RC串聯(lián)電路 根據(jù)基爾霍夫定律有： 消去中間變量i1.i2整理得微分方程為： 上式是二階常系數(shù)微分方程。,三.實(shí)驗(yàn)建模 實(shí)驗(yàn)建模原則上是把被研究對(duì)象看作為一個(gè)黑箱,通過(guò)施加不同的輸入信號(hào),研究對(duì)象的輸出響應(yīng)信號(hào)與輸入激勵(lì)信號(hào)之間的關(guān)系,估計(jì)出系統(tǒng)的參數(shù)和數(shù)學(xué)模型,亦稱為系統(tǒng)辨識(shí)方法或黑箱方法。 實(shí)驗(yàn)建模不需要深入了解對(duì)象的內(nèi)部機(jī)理。對(duì)復(fù)雜的對(duì)象,實(shí)驗(yàn)建模比機(jī)理建模要簡(jiǎn)單和省力。,對(duì)象特性的實(shí)驗(yàn)測(cè)

9、取法:在要研究的對(duì)象上,加 一個(gè)輸入量后,用儀表測(cè)取并記錄表證對(duì)象特 性的物理量(輸出量)隨時(shí)間變化的規(guī)律,得到 一系列實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)(或曲線),對(duì)這些數(shù)據(jù)或曲線 再加以必要的數(shù)據(jù)處理,使之轉(zhuǎn)化為描述對(duì)象 特性的數(shù)學(xué)模型。 對(duì)象特性的實(shí)驗(yàn)測(cè)取法按加輸入信號(hào)的形式不同來(lái)分： 1.階躍反映曲線法 當(dāng)對(duì)象處于穩(wěn)定狀態(tài)時(shí),施加一階躍信號(hào)至 輸入端,記錄輸出端的變化曲線。,1.階躍反映曲線法 在t=t0時(shí),改變Q1值為A時(shí),記 錄h隨時(shí)間的變化規(guī)律,如右 下圖。 特點(diǎn):較容易實(shí)現(xiàn)測(cè)試對(duì)象 的動(dòng)態(tài)特性,但精度不高。 為了提高精度,要加大輸入 作用的幅值,但影響正常工 作,工藝上不允許。一般所 加輸入作用的大小是

10、額定 值的5%-10%。,2.矩形脈沖法 當(dāng)對(duì)象處于穩(wěn)定狀態(tài) 時(shí),加入一個(gè)矩形脈沖 干擾,這時(shí)測(cè)得輸出量 y隨時(shí)間變化規(guī)律。 特點(diǎn):因加在對(duì)象上的 干擾幅值可取得較大,可提高實(shí)驗(yàn)精度,且時(shí)間短對(duì)生產(chǎn)影響小。是常用的方法之一。,若已知系統(tǒng)的模型結(jié)構(gòu),可通過(guò)實(shí)驗(yàn)來(lái)確定 模型的某些參數(shù),該法又稱系統(tǒng)的參數(shù)估計(jì)。,周期擾動(dòng)法:在對(duì)象的輸入端加入一系列頻率 不同的周期性信號(hào),如正弦波等。正弦波對(duì)工 藝生產(chǎn)影響小,測(cè)試精度高,數(shù)據(jù)處理簡(jiǎn)單直觀; 但需有復(fù)雜的正弦信號(hào)發(fā)生器,測(cè)試工作量大。 統(tǒng)計(jì)相關(guān)法:在生產(chǎn)正常情況下,直接利用正常 運(yùn)行所記錄的數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析,建立數(shù)學(xué)模 型,獲取對(duì)象的特性參數(shù)。需較長(zhǎng)時(shí)

11、間記錄數(shù) 據(jù),經(jīng)分析篩選后進(jìn)行復(fù)雜的計(jì)算,由于生產(chǎn)正 常進(jìn)行時(shí)數(shù)據(jù)波動(dòng)不大,統(tǒng)計(jì)分析的精度不高。 以上幾種實(shí)驗(yàn)方法,都是在對(duì)象上加干擾作用 (干擾量小、時(shí)間短),得到對(duì)象的動(dòng)態(tài)特性的。,通過(guò)實(shí)驗(yàn)獲得對(duì)象的動(dòng)態(tài)特性的注意事項(xiàng)： (1).加測(cè)試信號(hào)前,對(duì)象的輸入量和輸出量應(yīng)盡可能穩(wěn)定一段時(shí)間,否則影響測(cè)量結(jié)果的精度。 (2).在反應(yīng)曲線的起始點(diǎn),對(duì)象輸出量未開始變化,而輸入量則開始作階躍變化。用秒表測(cè)取從施加輸入作用的時(shí)刻到輸出量開始變化的時(shí)間。 (3).為保證測(cè)試精度,排除干擾的影響,測(cè)試曲線應(yīng)是平滑無(wú)突變的。 (4).加測(cè)試信號(hào)后,注意各干擾與被控量的變化盡可能把與測(cè)試無(wú)關(guān)的干擾排除,被控量的

12、變化應(yīng)在工藝允許范圍內(nèi),一旦有異常,及時(shí)處理。 (5).測(cè)試和記錄工作應(yīng)該持續(xù)進(jìn)行到輸出量達(dá)到新 穩(wěn)態(tài)值為止。 (6).在反應(yīng)曲線測(cè)試工作中，要注意工作點(diǎn)的選取。,總之,機(jī)理建模和實(shí)驗(yàn)建模各有特點(diǎn),現(xiàn)將兩者結(jié)合起來(lái),稱為混合建模。先由機(jī)理分析的方法得到數(shù)學(xué)模型,然后對(duì)未知或不確定的參數(shù)利用實(shí)測(cè)的方法加以確定。 參數(shù)估計(jì):在已知模型結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上,通過(guò)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)來(lái)確定其中的某些參數(shù),稱為參數(shù)估計(jì)。,第三節(jié) 描述對(duì)象特性的參數(shù),在一階躍輸入信號(hào)作用下,對(duì)象的特性可通過(guò)其數(shù)學(xué) 模型來(lái)描述,但在實(shí)際工作中,用下面三個(gè)物理量來(lái)描 述對(duì)象的特性。稱對(duì)象的特性參數(shù)。 一、放大系數(shù)(K) 1.定義:對(duì)象重新穩(wěn)定后

13、,輸出變 化量與輸入變化量的比值。 如圖水槽對(duì)象:Q2不變,輸入量Q1 有一階躍變化后,液位h也有相應(yīng) 的變化,但最后會(huì)穩(wěn)定在某一數(shù)值上。 在靜態(tài)(穩(wěn)定狀態(tài))時(shí),一定的輸入對(duì) 應(yīng)著一定的輸出。這種特性稱為靜態(tài)特性。,動(dòng)態(tài)時(shí):設(shè)Q1的變化量用Q1表示, h的變化量用h表示。在一定的 Q1下,h的變化情況如右圖,在重 新達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)后,一定的Q1值, 對(duì)應(yīng)著一定的h值。令K等于h 與Q1值比。即 2.放大系數(shù)的物理意義 放大系數(shù)是不隨時(shí)間變化的,是對(duì)象的靜態(tài)特性。自 動(dòng)控制系統(tǒng)中,各量與被控變量之間的放大系數(shù)有大 有小。放大系數(shù)K越大,對(duì)輸出量的影響越大, 被控變 量對(duì)這個(gè)量的變化就越靈敏。,2.

14、放大系數(shù)的物理意義 以合成氨廠的變換爐為例,說(shuō)明各個(gè)量的變化對(duì)被控 變量的放大系數(shù)是不同的。變換爐:一氧化碳和水蒸 氣在觸媒作用下生成氫氣和二氧化碳。生產(chǎn)過(guò)程要 求一氧化碳的轉(zhuǎn)化率高,蒸氣消耗量少,觸媒壽命長(zhǎng)。 生產(chǎn)上用變換爐的一段反 應(yīng)溫度作為被控變量,間接 地控制轉(zhuǎn)換率和其它指標(biāo)。 其中主要影響溫度的因數(shù) 有:冷激流量(1)、蒸汽流 量(2) 、和半水煤氣流 量(3)。但三者對(duì)爐子反 應(yīng)溫度的影響不同。,2.放大系數(shù)的物理意義 冷激流量的變化對(duì)被控變量溫度的影響最大.最靈敏,其次是蒸汽流量的變化,最后是半水煤氣流量的變化。如果改變冷激量.蒸汽量.半水煤氣量的百分?jǐn)?shù)是相同的,則變換爐一段反應(yīng)

15、溫度的變化情況如圖。 在自動(dòng)控制過(guò)程中,當(dāng)允許 有幾種控制手段時(shí),應(yīng)選放 大系數(shù)大的操縱量,因?yàn)榭?制作用的放大系數(shù)大,控制 作用強(qiáng)。 對(duì)于干擾通道的放大系數(shù), 其值越大,干擾越大,越不易控制。,二、時(shí)間常數(shù)（T） 1. 定義:對(duì)象受到干擾后,被控變量達(dá)到新的穩(wěn)態(tài)值所需要的時(shí)間,稱為時(shí)間常數(shù)(T)。 2.物理意義:時(shí)間常數(shù)越大,對(duì)象受到干擾后,被控變量變化越慢,到達(dá)新的穩(wěn)態(tài)值所需的時(shí)間越長(zhǎng)。 在生產(chǎn)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn),有的對(duì)象受到干擾后,被控變量變化很快,迅速達(dá)到新的穩(wěn)態(tài)值;而有的對(duì)象受到干擾后,慣性很大,被控變量經(jīng)過(guò)很長(zhǎng)時(shí)間才達(dá)到新的穩(wěn)態(tài)值。如下圖。,(a) (b) (c) (d) 圖(a)和圖(b

16、) ,當(dāng)進(jìn)口流量改變量相同時(shí),圖(a)中的液位變化慢,經(jīng)過(guò)長(zhǎng)時(shí)間才能穩(wěn)定,而圖(b)中的液位變化快,迅速達(dá)到新的穩(wěn)態(tài)值。圖(c)和圖(d) ,當(dāng)蒸氣流量改變量相同時(shí),圖(c)中的溫度變化快,迅速達(dá)到新的穩(wěn)態(tài)值,圖(d)中的溫度變化慢,很長(zhǎng)時(shí)間才能達(dá)到新的穩(wěn)態(tài)值。,在相同的控制作用下,時(shí)間常數(shù)大,則被控量的 變化比較緩慢,這種過(guò)程比較穩(wěn)定,容易控制, 但控制過(guò)程緩慢。,3.一階對(duì)象放大系數(shù)(K)和時(shí)間常數(shù)(T)的求法 以貯槽對(duì)象特性為例,已知微分方程為： 設(shè)Q1(Q1=A)為階躍作用,解微分方程得： ht曲線為階躍反應(yīng)曲線,如下圖。 由反應(yīng)曲線可知,當(dāng)t時(shí),被控量達(dá)到新穩(wěn)態(tài)值h(),由微分方程解

17、得:h()=KA,即K= h()/A。K是對(duì)象靜態(tài)特性。,一階對(duì)象時(shí)間常數(shù)（T）的求法 將t=T代入式 中, 得: 則,當(dāng)對(duì)象受到階躍輸入后,被控變量達(dá)到新的穩(wěn)態(tài)值 的63.2%所需的時(shí)間,就是時(shí)間常數(shù)T。 當(dāng)t=時(shí),h()=KA 當(dāng)t=3T時(shí), 理論上,t=時(shí),達(dá)到穩(wěn)態(tài)值, 但t=3T時(shí),就近似地達(dá)到 穩(wěn)態(tài)值。,圖2-17中,四條曲線分別表示在相同的階躍輸入信號(hào)作用下,不同的時(shí)間常數(shù)的被控變量的反應(yīng)曲線。 可見(jiàn),T4T3T2T1,對(duì)象的時(shí)間常數(shù)越大,對(duì)輸入的反應(yīng)越慢,慣性越大,達(dá)到穩(wěn)定時(shí)所需時(shí)間長(zhǎng)。,三、滯后時(shí)間 有的對(duì)象,受到輸入作用后,迅速作出響應(yīng);而 有的對(duì)象,受到輸入作用后,不能立即

18、作出響應(yīng)。 1.滯后現(xiàn)象 當(dāng)對(duì)象的輸入信號(hào)發(fā)生變化后,輸出信號(hào)不會(huì) 立即出現(xiàn)響應(yīng),而是過(guò)一段時(shí)間再作出響應(yīng),這 種現(xiàn)象稱為滯后現(xiàn)象。根據(jù)滯后性質(zhì)的不同 分為傳遞滯后和容量滯后。 2. 傳遞滯后 傳遞滯后又叫純滯后,純滯后時(shí)間(o)的產(chǎn)生 是由于介質(zhì)的輸送需要一段時(shí)間而引起的。,如下圖溶解槽,以料斗的加料量為對(duì)象的輸入,溶液濃度作為輸出時(shí),其反應(yīng)曲線如下圖左。純滯后時(shí)間(o)與皮帶輸送機(jī)的傳送速度和傳送距離L的關(guān)系。,如右圖,以進(jìn)入的蒸汽量q為輸入量,輸出量為離槽距離為L(zhǎng)的測(cè)溫點(diǎn)的溶液溫度。當(dāng)q變化時(shí),實(shí)測(cè)溫度T要經(jīng)過(guò)o后才變化。,造成傳遞滯后的原因:從測(cè)量方面來(lái)說(shuō),由于測(cè)量點(diǎn)選擇不當(dāng)、測(cè)量元件安裝不合適等。,在實(shí)際工作中,要避免因儀器的取樣管線太長(zhǎng),取樣點(diǎn)太遠(yuǎn)等原因引起的較大純滯后時(shí)間。,無(wú)純滯后的對(duì)象特性方程,有、無(wú)純滯后的一階階躍響應(yīng)曲線如圖。X為輸入量,y(t)為無(wú)純滯后時(shí)的輸出量,y(t)為有純滯后時(shí)的輸出量。,有純滯后的對(duì)象特性方程,3.容量滯后 定義:被控對(duì)象在階躍輸入x作用下,被控變量 y開始變化很慢,后來(lái)才逐漸加快,最后又變慢 直至逐漸接近穩(wěn)定值,這種現(xiàn)象叫容量滯后。 其反應(yīng)曲線如右圖。 原因:由于物料或能量的 傳遞需要通過(guò)一定的阻 力而引起的。,3.容量滯后 以水槽串聯(lián)的二階對(duì)象為例。輸出量h2用y表示,