1、用二次函數(shù)解決實(shí)際問題（4種類型應(yīng)用題）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.能運(yùn)用二次函數(shù)分析和解決簡單的實(shí)際問題，培養(yǎng)分析問題、解決問題的能力和應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識2.經(jīng)歷探索實(shí)際問題與二次函數(shù)的關(guān)系的過程，深刻理解二次函數(shù)是刻畫現(xiàn)實(shí)世界的一個有效的數(shù)學(xué)模型【要點(diǎn)梳理】知識點(diǎn)一、列二次函數(shù)解應(yīng)用題 列二次函數(shù)解應(yīng)用題與列整式方程解應(yīng)用題的思路和方法是一致的，不同的是，學(xué)習(xí)了二次函數(shù)后，表示量與量的關(guān)系的代數(shù)式是含有兩個變量的等式對于應(yīng)用題要注意以下步驟： (1)審清題意，弄清題中涉及哪些量，已知量有幾個，已知量與變量之間的基本關(guān)系是什么，找出等量關(guān)系(即函數(shù)關(guān)系) (2)設(shè)出兩個變量，注意分清自變量和因變量，同時(shí)還要

2、注意所設(shè)變量的單位要準(zhǔn)確 (3)列函數(shù)表達(dá)式，抓住題中含有等量關(guān)系的語句，將此語句抽象為含變量的等式，這就是二次函數(shù) (4)按題目要求，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)解答相應(yīng)的問題。 (5)檢驗(yàn)所得解是否符合實(shí)際：即是否為所提問題的答案 (6)寫出答案要點(diǎn)詮釋：常見的問題：求最大(小)值(如求最大利潤、最大面積、最小周長等)、涵洞、橋梁、拋物體、拋物線的模型問題等.解決這些實(shí)際問題關(guān)鍵是找等量關(guān)系，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，列出相關(guān)的函數(shù)關(guān)系式.知識點(diǎn)二、建立二次函數(shù)模型求解實(shí)際問題一般步驟：(1)恰當(dāng)?shù)亟⒅苯亲鴺?biāo)系；(2)將已知條件轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)合理地設(shè)出所求函數(shù)關(guān)系式；(4)代入已知條件或點(diǎn)

3、的坐標(biāo)，求出關(guān)系式；(5)利用關(guān)系式求解問題要點(diǎn)詮釋：(1)利用二次函數(shù)解決實(shí)際問題，要建立數(shù)學(xué)模型，即把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題，利用題中存在的公式、內(nèi)含的規(guī)律等相等關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系式，再利用函數(shù)的圖象及性質(zhì)去研究問題.在研究實(shí)際問題時(shí)要注意自變量的取值范圍應(yīng)具有實(shí)際意義.(2)對于本節(jié)的學(xué)習(xí)，應(yīng)由低到高處理好如下三個方面的問題：首先必須了解二次函數(shù)的基本性質(zhì)； 學(xué)會從實(shí)際問題中建立二次函數(shù)的模型；借助二次函數(shù)的性質(zhì)來解決實(shí)際問題.【典型例題】類型一、利用二次函數(shù)求實(shí)際問題中利潤的最大（小）值1. 某水產(chǎn)品養(yǎng)殖企業(yè)為指導(dǎo)該企業(yè)某種水產(chǎn)品的養(yǎng)殖和銷售，對歷年市場行情和水產(chǎn)品養(yǎng)殖情況進(jìn)行了調(diào)

4、查調(diào)查發(fā)現(xiàn)這種水產(chǎn)品的每千克售價(jià)y，(元)與銷售月份x (月)滿足關(guān)系式，而其每千克成本(元)與銷售月份x(月)滿足的函數(shù)關(guān)系如圖所示 (1)試確定b，c的值； (2)求出這種水產(chǎn)品每千克的利潤y(元)與銷售月份x(月)之間的函數(shù)關(guān)系式；(不要求指出x的取值范圍)(3)“五一”之前，幾月份出售這種水產(chǎn)品每千克的利潤最大?最大利潤是多少?舉一反三：【例2】某服裝公司試銷一種成本為每件50元的t恤衫，規(guī)定試銷時(shí)的銷售單價(jià)不低于成本價(jià)，又不高于每件70元，試銷中銷售量（件）與銷售單價(jià)（元）的關(guān)系可以近似的看作一次函數(shù)（如圖）（1）求與之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）設(shè)公司獲得的總利潤為元，求與之間的函數(shù)關(guān)系

5、式，并寫出自變量的取值范圍；根據(jù)題意判斷：當(dāng)取何值時(shí)，的值最大？最大值是多少？（總利潤總銷售額總成本） 練習(xí)：1.某市政府大力扶持大學(xué)生創(chuàng)業(yè)李明在政府的扶持下投資銷售一種進(jìn)價(jià)為每件20元的護(hù)眼臺燈銷售過程中發(fā)現(xiàn)，每月銷售量y（件）與銷售單價(jià)x（元）之間的關(guān)系可近似的看作一次函數(shù)：（1）設(shè)李明每月獲得利潤為w（元），當(dāng)銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，每月可獲得最大利潤？（2）如果李明想要每月獲得2000元的利潤，那么銷售單價(jià)應(yīng)定為多少元？（3）根據(jù)物價(jià)部門規(guī)定，這種護(hù)眼臺燈的銷售單價(jià)不得高于32元，如果李明想要每月獲得的利潤不低于2000元，那么他每月的成本最少需要多少元？（成本進(jìn)價(jià)銷售量）類型二、利用二

6、次函數(shù)解決拋物線形的建筑問題3. 某大學(xué)的校門如圖所示，是拋物線形水泥建筑物，大門的地面寬度為8米，兩側(cè)距地面4米高處各有一個掛校名橫匾用的鐵環(huán)，兩鐵環(huán)的水平距離為6米，你能計(jì)算出大學(xué)校門的高嗎? 【練習(xí)1】（中考）如圖，小河上有一拱橋，拱橋及河道的截面輪廓線由拋物線的一部分acb和矩形的三邊ae，ed，db組成，已知河底ed是水平的，ed=16米，ae=8米，拋物線的頂點(diǎn)c到ed的距離是11米，以ed所在的直線為x軸，拋物線的對稱軸為y軸建立平面直角坐標(biāo)系（1）求拋物線的解析式；（2）已知從某時(shí)刻開始的40小時(shí)內(nèi)，水面與河底ed的距離h（單位：米）隨時(shí)間t（單位：時(shí)）的變化滿足函數(shù)關(guān)系h=（

7、t19）2+8（0t40），且當(dāng)水面到頂點(diǎn)c的距離不大于5米時(shí)，需禁止船只通行，請通過計(jì)算說明：在這一時(shí)段內(nèi)，需多少小時(shí)禁止船只通行？類型三、利用二次函數(shù)求跳水、投籃、噴水池等實(shí)際問題4. 如圖所示，一位運(yùn)動員在距籃下4米處跳起投籃，球運(yùn)行的路線是拋物線，當(dāng)球運(yùn)行的水平距離為2.5 m時(shí)，達(dá)到最大高度3.5 m，然后準(zhǔn)確落入籃筐，已知籃筐中心到地面的距離為3.05 m，若該運(yùn)動員身高1.8 m，在這次跳投中，球在頭頂上方0.25 m處出手，問：球出手時(shí)，他跳離地面的高度是多少? o5.某跳水運(yùn)動員進(jìn)行10米跳臺跳水訓(xùn)練時(shí)，身體（看成一點(diǎn)）在空中的運(yùn)動路線是如圖所示坐標(biāo)系下經(jīng)過原點(diǎn)o的一條拋物線

8、（圖中標(biāo)出的數(shù)據(jù)為已知條件）.在跳某個規(guī)定動作時(shí)，正常情況下，該運(yùn)動員在空中的最高處距水面米，入水處距池邊的距離為4米，運(yùn)動員在距水面高度為5米以前，必須完成規(guī)定的翻騰動作，并調(diào)整好入水姿勢，否則就會出現(xiàn)失誤（1）求這條拋物線的解析式；（2）在某次試跳中，測得運(yùn)動員在空中的運(yùn)動路線是（1）中的拋物線，且運(yùn)動員在空中完成規(guī)定的翻騰動作并調(diào)整好入水姿勢時(shí)，距池邊的水平距離為米，問此次跳水會不會失誤？并通過計(jì)算說明理由練習(xí)1. (武漢調(diào)考)要修建一個圓形噴水池，在池中心豎直安裝一根2.25m的水管，在水管的頂端安一個噴水頭，使噴出的拋物線形水柱在與池中心的水平距離為1 m處達(dá)到最高，高度為3m(1)

9、建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，使水管頂端的坐標(biāo)為(0，2.25)，水柱的最高點(diǎn)的坐標(biāo)為(1，3)，求出此坐標(biāo)系中拋物形水柱對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫取值范圍）；(2)如圖；在水池底面上有一些同心圓軌道，每條軌道上安裝排水地漏，相鄰軌道之間的寬度為0.3 m，最內(nèi)軌道的半徑為r m，其上每0.3 m的弧長上安裝一個地漏，其它軌道上的地漏個數(shù)與最內(nèi)軌道上的個數(shù)相同，水柱落地處為最外軌道，其上不安裝地漏，求當(dāng)r為多少時(shí)池中安裝的地漏的個數(shù)最多？類型四、利用二次函數(shù)求圖形的邊長、面積的最大（小）值問題6. 一條隧道的截面如圖所示，它的上部是一個以ad為直徑的半圓o，下部是一個矩形abcd (1)當(dāng)ad4米

10、時(shí)，求隧道截面上部半圓o的面積； (2)已知矩形abcd相鄰兩邊之和為8米，半圓o的半徑為r米 求隧道截面的面積s(m)2關(guān)于半徑r(m)的函數(shù)關(guān)系式(不要求寫出r的取值范圍)；若2米cd3米，利用函數(shù)圖象求隧道截面的面積s的最大值(取3.14，結(jié)果精確到0.1米)舉一反三：【練習(xí)1.】已知邊長為4的正方形截去一個角后成為五邊形abcde（如圖），其中af=2，bf=1試在ab上求一點(diǎn)p，使矩形pndm有最大面積 【練習(xí)2.】(山東聊城)如圖，把一張長10cm，寬8cm的矩形硬紙板的四周各剪去一個同樣大小的正方形，再折合成一個無蓋的長方體盒子（紙板的厚度忽略不計(jì)）（1）要使長方體盒子的底面積為48cm2，那么剪去的正方形的邊長為多少？（2）你感到折合而成的長方體