1、二維小波在圖像壓縮中的應(yīng)用研究學(xué)院：電氣與自動化工程學(xué)院 學(xué)號： 姓名：齊亞莉二維小波在圖像壓縮中的應(yīng)用研究圖像壓縮是將原來較大的圖像用盡量少的字節(jié)表示和傳輸，并要求圖像有較好的質(zhì)量。通過圖像壓縮，可以減輕圖像存儲和傳輸?shù)呢?fù)擔(dān)，提高信息傳輸和處理速度。小波變換已廣泛應(yīng)用到圖像的各種處理環(huán)節(jié)中，這里我結(jié)合小波分析和基于小波變換的圖像壓縮基本原理，用Matlab實現(xiàn)一個小波圖像壓縮算法。1. 小波分析1.1 一維連續(xù)小波變換定義：設(shè)，其傅立葉變換為，當(dāng)滿足允許條件(完全重構(gòu)條件或恒等分辨條件) (1)時，我們稱為一個基本小波或母小波。將母函數(shù)經(jīng)伸縮和平移后得 (2)稱其為一個小波序列。其中a為伸縮

2、因子，b為平移因子。對于任意的函數(shù)的連續(xù)小波變換為 (3)其重構(gòu)公式(逆變換)為 (4)由于基小波生成的小波在小波變換中對被分析的信號起著觀測窗的作用，所以還應(yīng)該滿足一般函數(shù)的約束條件 (5)故是一個連續(xù)函數(shù)。這意味著，為了滿足完全重構(gòu)條件式，在原點必須等于0，即 (6)為了使信號重構(gòu)的實現(xiàn)在數(shù)值上是穩(wěn)定的，處理完全重構(gòu)條件外，還要求小波的傅立葉變化滿足下面的穩(wěn)定性條件： (7)式中0AB從穩(wěn)定性條件(7)可以引出一個重要的概念。定義(對偶小波)：若小波滿足穩(wěn)定性條件(7)式，則定義一個對偶小波，其傅立葉變換由下式給出： (8)穩(wěn)定性條件(7)式實際上是對(8)式分母的約束條件，它的作用是保證

3、對偶小波的傅立葉變換存在的穩(wěn)定性。值得指出的是，一個小波的對偶小波一般不是唯一的，然而，在實際應(yīng)用中，我們又總是希望它們是唯一對應(yīng)的。因此，尋找具有唯一對偶小波的合適小波也就成為小波分析中最基本的問題。連續(xù)小波變換具有以下重要性質(zhì)：(1)線性性：一個多分量信號的小波變換等于各個分量的小波變換之和。(2)平移不變性：若f(t)的小波變換為，則的小波變換為。(3)伸縮共變性：若f(t)的小波變換為，則f(ct)的小波變換為。(4)自相似性：對應(yīng)不同尺度參數(shù)a和不同平移參數(shù)b的連續(xù)小波變換之間是自相似的。(5)冗余性：連續(xù)小波變換中存在信息表述的冗余度。小波變換的冗余性事實上也是自相似性的直接反映，

4、它主要表現(xiàn)在以下兩個方面：(1)由連續(xù)小波變換恢復(fù)原信號的重構(gòu)分式不是唯一的。也就是說，信號f(t)的小波變換與小波重構(gòu)不存在一一對應(yīng)關(guān)系，而傅立葉變換與傅立葉反變換是一一對應(yīng)的。(2)小波變換的核函數(shù)即小波函數(shù)存在許多可能的選擇(例如，它們可以是非正交小波、正交小波、雙正交小波，甚至允許是彼此線性相關(guān)的)。小波變換在不同的(a，b)之間的相關(guān)性增加了分析和解釋小波變換結(jié)果的困難，因此，小波變換的冗余度應(yīng)盡可能減小，它是小波分析中的主要問題之一。1.2 高維連續(xù)小波變換對，公式 (9)存在幾種擴展的可能性，一種可能性是選擇小波使其為球?qū)ΨQ，其傅立葉變換也同樣球?qū)ΨQ， (10)并且其相容性條件變

5、為 (11)對所有的。 (12)這里，=，其中且，公式(5)也可以寫為 (13)如果選擇的小波不是球?qū)ΨQ的，但可以用旋轉(zhuǎn)進(jìn)行同樣的擴展與平移。例如，在二維時，可定義 (14)這里，相容條件變?yōu)?(15)該等式對應(yīng)的重構(gòu)公式為 (16)對于高于二維的情況，可以給出類似的結(jié)論。2 二維小波進(jìn)行圖像壓縮的原理小波變換用于圖像壓縮的基本思想，是用二維小波變換算法對圖像進(jìn)行多分辨率分解，每次小波分解將當(dāng)前圖像分解成四塊子圖，其中一塊對應(yīng)平滑板塊，另外3塊對應(yīng)細(xì)節(jié)板塊。由于小波變換的減抽樣性質(zhì)，經(jīng)若干次小波分解后，平滑板塊系數(shù)和所有細(xì)節(jié)板塊系數(shù)生成的小波圖像具有原圖像不同的特性，能量主要集中在其中低頻部分

6、的平滑板塊，而細(xì)節(jié)所對應(yīng)的水平、垂直和對角線的能量較少，它們表征了一些原圖像的水平、垂直和對角線的邊緣信息，具有的事方向特性。對于所有圖像，根據(jù)人眼的敏感程度不同，進(jìn)行不同的量化和編碼處理以達(dá)到對原圖像的高壓縮比，對于平滑板塊大部分或者完全保留，對于高頻信息根據(jù)壓縮的倍數(shù)和效果要求來保留。系數(shù)編碼是小波變化用于圖像壓縮的核心，壓縮的實質(zhì)實系數(shù)的量化壓縮。圖像壓縮經(jīng)過小波變換后生成的子圖像數(shù)據(jù)總量和原數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù)總量相等，即小波變換本身并不具有壓縮功能，必須結(jié)合其他編碼技術(shù)對小波系數(shù)編碼才能實現(xiàn)壓縮目的。所以，基于小波變化的圖像壓縮方法一般分為以下三個步驟：1） 利用二維離散小波變換將圖像分解為低

7、頻近似分量和高頻水平、高平垂直、高頻對角細(xì)節(jié)分量。2） 根據(jù)人的視覺特性對低頻和高頻分量分別做不同的量化，即壓縮。3） 利用逆小波變化重構(gòu)圖像，系數(shù)反量化，進(jìn)行解壓縮。3.二維小波在圖像壓縮中應(yīng)用源程序：close all; %關(guān)閉當(dāng)前所有圖形窗口，清空工作空間變量，清除工作空間所有變量clear all;clc;load wmandril; %導(dǎo)入圖像數(shù)據(jù)nbc=size(map,1); %獲取顏色映射階數(shù) Y=wcodemat(X,nbc); %對圖像的數(shù)值矩陣進(jìn)行偽彩色編碼C,S=wavedec2(X,2,db4); %對圖像小波分解thr=20; %設(shè)置閾值Xcompress1,cxd

8、,lxd,perf0,perfl2=wdencmp(gbl,C,S,db4,2,thr,h,1);%對圖像進(jìn)行全局壓縮Y1=wcodemat(Xcompress1,nbc); %對圖像數(shù)據(jù)進(jìn)行偽彩色編碼set(0,defaultFigurePosition,100,100,1000,500); %修改圖形圖像位置的默認(rèn)設(shè)置set(0,defaultFigureColor,1 1 1) %修改圖形背景顏色的設(shè)置figure %創(chuàng)建圖形顯示窗口colormap(gray(nbc); %設(shè)置映射譜圖等級subplot(121),image(Y),axis square %顯示subplot(122)

9、;image(Y1),axis squaredisp(小波系數(shù)中置0的系數(shù)個數(shù)百分比：) %輸出壓縮比率變量perfl2disp(壓縮后圖像剩余能量百分比：)perf0運行結(jié)果： （a）原圖像 （b）壓縮后的圖像結(jié)果分析：程序首先導(dǎo)入要壓縮的圖像數(shù)據(jù)，獲取顏色映射階數(shù)，對圖像數(shù)據(jù)矩陣進(jìn)行偽彩色編碼，對利用母小波db4對圖像X進(jìn)行二層小波分解，返回小波分解系數(shù)C和結(jié)構(gòu)矩陣S，通過函數(shù)wdencmp()對圖像進(jìn)行全局壓縮，并返回壓縮結(jié)果Xcompress1；設(shè)置當(dāng)前圖像窗口的背景顏色，顯示原圖像和壓縮圖像。命令行返回壓縮過程，小波系數(shù)置0的系數(shù)百分比和壓縮圖像剩余能量百分比：參考文獻(xiàn)：【1】 楊丹，趙海濱