1、第六節(jié)二次函數(shù),基礎梳理,1. 二次函數(shù)解析式的三種形式 (1)一般式： . (2)頂點式： . (3)交點式： . 2. 二次函數(shù)的圖象和性質(zhì),f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a 0),f(x)=ax2+bx+c(a0),f(x)=a(x-h)2+k(a0),R,R,b0,b=0,3. 二次函數(shù)、一元二次方程、一元二次不等式 三者之間的關系如下表所示：,無解,x|xx2,x|xx0,R,x|x1xx2,基礎達標,1.(必修1P25練習7改編)函數(shù)f(x)=(x-1)2-1，x0,2的 值域為_ 2. (必修1P44習題9改編)f(x)=x2+(m+2)x+1是偶函數(shù)， 則m=_.,1.

2、解析：0 x2時，f(x)max=f(0)=f(2)=0，f(x)min=-1， 故值域為-1,0,-1,0,2.解析：由f(-x)=f(x)，得m+2=0，則m=-2.,-2,3. f(x)=x2-2ax+3的增區(qū)間為4，+)，則a=_. 4. 二次函數(shù)f(x)的圖象的頂點為(2,4)且過點(3,0)，則 f(x)=_.,3.解析：由題意知增區(qū)間為a，+)，a=4.,4,4.解析：設f(x)=a(x-2)2+4過(3,0)，故0=a(3-2)2+4， a=-4.f(x)=-4(x-2)2+4=-4x2+16x-12.,-4x2+16x-12,5. (2011揚州中學期中考試)若不等式x2+b

3、x+c0的解集是(-1,2)，則b+c=_.,-3,經(jīng)典例題,【例1】已知二次函數(shù)f(x)滿足f(2)=-1，f(-1)=-1， 且f(x)的最大值是8，試求此二次函數(shù)的解析式,題型一求二次函數(shù)解析式,分析： 由題目條件知二次函數(shù)過(2，-1)，(-1，-1)兩點， 且知其最大值，所以可應用一般式、頂點式或兩根式 解題,解：方法一：利用二次函數(shù)一般式 設f(x)=ax2+bx+c(a0) 由題意得 解得 所求二次函數(shù)的解析式為y=-4x2+4x+7,方法二：利用二次函數(shù)頂點式 設f(x)=a(x-m)2+n(a0) f(2)=f(-1)， 拋物線對稱軸為x= ， m= . 又根據(jù)題意函數(shù)有最大

4、值f(x)max=8， . f(2)=-1，即 ， 解得a=-4.,方法三：利用兩根式 由已知f(x)+1=0的兩根為x1=2，x2=-1， 故可設f(x)+1=a(x-2)(x+1)(a0)， 即f(x)=ax2-ax-2a-1. 又函數(shù)有最大值f(x)max=8， 即 =8， 解得a=-4，或a=0(舍去) 所求函數(shù)解析式為f(x)=-4x2+4x+7.,如圖是一個二次函數(shù)y=f(x)的圖象 (1)寫出這個二次函數(shù)的零點； (2)求這個二次函數(shù)的解析式； (3)當實數(shù)k在何范圍內(nèi)變化時，g(x)=f(x)-kx 在區(qū)間-2,2上是單調(diào)函數(shù),變式1-1,解析：(1)由圖可知二次函數(shù)的零點為-

5、3，1. (2)設二次函數(shù)為y=a(x+3)(x-1)，由點(-1，4)在 函數(shù)圖象上，得a=-1，則y=-(x+3)(x-1)=-x2-2x+3. (3)g(x)=-x2-2x+3-kx=-x2-(k+2)x+3，開口向下， 對稱軸為x=- . 當- -2，即k2時，g(x)在-2,2上單調(diào)遞減； 當- 2，即k-6時，g(x)在-2,2上單調(diào)遞增 綜上所述，當k-6或k2時，g(x)在區(qū)間-2,2 上是單調(diào)函數(shù),【例2】已知f(x)=x2+3x-5，xt，t+1，若f(x)的 最小值為h(t)，寫出h(t)的表達式,題型二求二次函數(shù)最值,分析： 在對稱軸確定的情況下，對區(qū)間t，t+1進行討

6、論,解：二次函數(shù)的圖象的對稱軸x=- ， (1)當t+1- ，即t- 時， h(t)=f(t+1)=t2+5t-1； (2)當t- t+1，即- t- 時， h(t)= =- ； (3)當t- 時，h(t)=f(t)=t2+3t-5.,已知函數(shù)f(x)=4x2-4ax+a2-2a+2在區(qū)間0,2上有最小值3， 求實數(shù)a的值,變式2-1,【例3】設函數(shù)f(x)=ax2-2x+2，對于滿足10，求實數(shù)a的取值范圍,題型三二次函數(shù)的綜合應用,分析： 分a0，a0，a=0三種情況討論，并使每種情況下在 (1,4)上最低點函數(shù)值或最小值大于或等于零，從而求 得a的取值范圍,.,當a=0時，f(x)=-2

7、x+2， f(1)=0，f(4)=-6，不合題意， 綜上可得，實數(shù)a的取值范圍是 .,已知函數(shù)f(x)=ax2+bx(a0)滿足條件：f(-x+5)=f(x-3)， 且方程f(x)=x有等根 (1)求f(x)的解析式； (2)是否存在實數(shù)m、n(mn)，使f(x)的定義域和值域 分別是m，n和3m,3n？如果存在，求出m，n的值； 若不存在，說明理由,變式3-1,解析：(1)f(x)滿足f(-x+5)=f(x-3)，則函數(shù)f(x)的圖象關于 直線x=1對稱，故- =1，b= -2a. 又f(x)=x有等根，即ax2+(b-1)x=0有等根，則b=1，,a= ，f(x)= x2+x.,(2)由f

8、(x)=x2+x= (x-1)2+，在區(qū)間m，n上有值域 3m,3n， 則3n，n，故mn，函數(shù)f(x)在m，n 上為增函數(shù) f(m)=3m，且f(n)=3n， m、n是方程f(x)=3x的兩個不等根 -x2+x=3x，即x2+4x=0， x1=0，x2=-4，mn，m=-4，n=0.,鏈接高考,(2010天津)設函數(shù)g(x)=x2-2，(xR)， f(x)= 則f(x)的值域為_ 知識準備： 1. 會解一元二次不等式； 2. 熟練求解二次函數(shù)的值域； 3. 理解、掌握分段函數(shù)的值域的含義,解析：當x0，(x-2)(x+1)0， x2或x-1， 同理xg(x)-1x2；,當x2或x(-1)2+(-1)+2=2； 當-1x2時，f(x)=x2-x-2， - f(x)0， f(x)的值域為 (2，+),2. (2010全國)直線y=1與曲線