1、2013年普通高等學(xué)校夏季招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)文史類(江西卷)第卷一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1(2013江西，文1)復(fù)數(shù)zi(2i)(i為虛數(shù)單位)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)在()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限答案：D解析：zi(2i)12i，在復(fù)平面上的對應(yīng)點(diǎn)為(1，2)，在第四象限，故選D.2(2013江西，文2)若集合AxR|ax2ax10中只有一個元素，則a()A4 B2 C0 D0或4答案：A解析：當(dāng)a0時，顯然不成立；當(dāng)a0時由a24a0，得a4.故選A.3(2013江西，文3)若，則cos ()A

2、B C D答案：C解析：cos .故選C.4(2013江西，文4)集合A2,3，B1,2,3，從A，B中各任意取一個數(shù)，則這兩數(shù)之和等于4的概率是()A B C D答案：C解析：從A，B中各任取一個數(shù)有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，共6種情況，其中兩個數(shù)之和為4的有(2,2)，(3,1)，故所求概率為.故選C.5(2013江西，文5)總體由編號為01,02，19,20的20個個體組成利用下面的隨機(jī)數(shù)表選取5個個體，選取方法是從隨機(jī)數(shù)表第1行的第5列和第6列數(shù)字開始由左到右依次選取兩個數(shù)字，則選出來的第5個個體的編號為781665720802631407

3、0243699728019832049234493582003623486969387481A08 B07 C02 D01答案：D解析：所取的5個個體依次為08,02,14,07,01.故選D.6(2013江西，文6)下列選項(xiàng)中，使不等式xx2成立的x的取值范圍是()A(，1) B(1,0)C(0,1) D(1，)答案：A解析：原不等式等價于或無解，解得x1.故選A.7(2013江西，文7)閱讀如下程序框圖，如果輸出i4，那么空白的判斷框中應(yīng)填入的條件是()AS8 BS9 CS10 DS11答案：B解析：i2，S5；i3，S8；i4，S9，結(jié)束所以填入的條件是“S9”故選B.8(2013江西，

4、文8)一幾何體的三視圖如下圖所示，則該幾何體的體積為()A2009 B20018C1409 D14018答案：A解析：由三視圖可知，該幾何體是由一個長方體及長方體上方的一個半圓柱組成所以體積V41053222009.故選A.9(2013江西，文9)已知點(diǎn)A(2,0)，拋物線C：x24y的焦點(diǎn)為F，射線FA與拋物線C相交于點(diǎn)M，與其準(zhǔn)線相交于點(diǎn)N，則|FM|MN|()A2 B12 C1 D13答案：C解析：射線FA的方程為x2y20(x0)如圖所示，知tan ，sin .由拋物線的定義知|MF|MG|，.故選C.10(2013江西，文10)如圖，已知l1l2，圓心在l1上、半徑為1 m的圓O在t

5、0時與l2相切于點(diǎn)A，圓O沿l1以1 m/s的速度勻速向上移動，圓被直線l2所截上方圓弧長記為x，令ycos x，則y與時間t(0t1，單位：s)的函數(shù)yf(t)的圖像大致為()答案：B解析：假設(shè)經(jīng)過t秒后，圓心移到O1，則有EO1F2AO1F，且cosAO1F1t.而x1EO1F，ycos xcos EO1Fcos 2AO1F2cos2AO1F12(1t)212t24t12(t1)21，t0,1故選B.第卷注意事項(xiàng)：第卷共2頁，須用黑色墨水簽字筆在答題卡上書寫作答在試題卷上作答，答案無效二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分11(2013江西，文11)若曲線yx1(R)在點(diǎn)(1,2

6、)處的切線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，則_.答案：2解析：切線斜率k2，又yx1在點(diǎn)(1,2)處，y|x1，故2.12(2013江西，文12)某住宅小區(qū)計劃植樹不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植樹的棵樹是前一天的2倍，則需要的最少天數(shù)n(nN*)等于_答案：6解析：由題意知每天植樹的棵數(shù)組成一個以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以Sn2(12n)100，2n51，n6.13(2013江西，文13)設(shè)f(x)sin 3xcos 3x，若對任意實(shí)數(shù)x都有|f(x)|a，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_答案：2，)解析：f(x)sin 3xcos 3x2sin2,2，又|f(x)|a恒成立，a2.14(2013江西

7、，文14)若圓C經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)和點(diǎn)(4,0)，且與直線y1相切，則圓C的方程是_答案：解析：圓心在直線x2上，所以切點(diǎn)坐標(biāo)為(2,1)設(shè)圓心坐標(biāo)為(2，t)，由題意，可得4t2(1t)2，半徑.所以圓C的方程為.15(2013江西，文15)如圖，正方體的底面與正四面體的底面在同一平面上，且ABCD，則直線EF與正方體的六個面所在的平面相交的平面?zhèn)€數(shù)為_答案：4解析：作FO平面CED，則EOCD，F(xiàn)O與正方體的側(cè)棱平行，所以平面EOF一定與正方體的左、右側(cè)面平行，而與其他四個面相交三、解答題：本大題共6小題，共75分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟16(2013江西，文16)(本小題滿分12

8、分)正項(xiàng)數(shù)列an滿足：(2n1)an2n0.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式an；(2)令，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.解：(1)由(2n1)an2n0，得(an2n)(an1)0.由于an是正項(xiàng)數(shù)列，所以an2n.(2)由an2n，則，.17(2013江西，文17)(本小題滿分12分)在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sin Asin Bsin Bsin Ccos 2B1.(1)求證：a，b，c成等差數(shù)列；(2)若，求的值解：(1)由已知得sin Asin Bsin Bsin C2sin2B，因?yàn)閟in B0，所以sin Asin C2sin B.由正弦定理，有ac2b，即a，b，

9、c成等差數(shù)列(2)由，c2ba及余弦定理得(2ba)2a2b2ab，即有5ab3b20，所以.18(2013江西，文18)(本小題滿分12分)小波以游戲方式?jīng)Q定是去打球、唱歌還是去下棋游戲規(guī)則為：以O(shè)為起點(diǎn)，再從A1，A2，A3，A4，A5，A6(如圖)這6個點(diǎn)中任取兩點(diǎn)分別為終點(diǎn)得到兩個向量，記這兩個向量的數(shù)量積為X，若X0就去打球，若X0就去唱歌，若X0就去下棋(1)寫出數(shù)量積X的所有可能取值；(2)分別求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率解：(1)X的所有可能取值為2，1,0,1.(2)數(shù)量積為2的有，共1種；數(shù)量積為1的有，共6種；數(shù)量積為0的有，共4種；數(shù)量積為1的有，共4種故所有可能

10、的情況共有15種所以小波去下棋的概率為；因?yàn)槿コ璧母怕蕿?，所以小波不去唱歌的概率p1p2.19(2013江西，文19)(本小題滿分12分)如圖，直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，ABCD，ADAB，AB2，AD，AA13，E為CD上一點(diǎn)，DE1，EC3.(1)證明：BE平面BB1C1C；(2)求點(diǎn)B1到平面EA1C1的距離 (1)證明：過B作CD的垂線交CD于F，則BFAD，EFABDE1，F(xiàn)C2.在RtBFE中，BE.在RtCFB中，BC.在BEC中，因?yàn)锽E2BC29EC2，故BEBC.由BB1平面ABCD得BEBB1，所以BE平面BB1C1C.(2)解：三棱錐EA1B1C1的體積VA

11、A1.在RtA1D1C1中，A1C1.同理，EC1，A1E.故.設(shè)點(diǎn)B1到平面EA1C1的距離為d，則三棱錐B1A1C1E的體積Vd，從而，.20(2013江西，文20)(本小題滿分13分)橢圓C：(ab0)的離心率，ab3.(1)求橢圓C的方程；(2)如圖，A，B，D是橢圓C的頂點(diǎn)，P是橢圓C上除頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，直線DP交x軸于點(diǎn)N，直線AD交BP于點(diǎn)M，設(shè)BP的斜率為k，MN的斜率為m.證明：2mk為定值解：(1)因?yàn)?，所以?代入ab3，得，a2，b1.故橢圓C的方程為.(2)方法一：因?yàn)锽(2,0)，P不為橢圓頂點(diǎn)，則直線BP的方程為yk(x2)，代入，解得P.直線AD的方程為：.與

12、聯(lián)立解得M.由D(0,1)，P，N(x,0)三點(diǎn)共線知，解得N.所以MN的斜率為m，則2mk(定值)方法二：設(shè)P(x0，y0)(x00，2)，則，直線AD的方程為：，直線BP的方程為：，直線DP的方程為：，令y0，由于y01可得N，聯(lián)立解得M，因此MN的斜率為m，所以2mk(定值)21(2013江西，文21)(本小題滿分14分)設(shè)函數(shù)f(x)a為常數(shù)且a(0,1)(1)當(dāng)時，求；(2)若x0滿足f(f(x0)x0，但f(x0)x0，則稱x0為f(x)的二階周期點(diǎn)證明函數(shù)f(x)有且僅有兩個二階周期點(diǎn)，并求二階周期點(diǎn)x1，x2；(3)對于(2)中的x1，x2，設(shè)A(x1，f(f(x1)，B(x2，f(f(x2)，C(a2,0)，記ABC的面積為S(a)，求S(a)在區(qū)間上的最大值和最小值解：(1)當(dāng)時，.(2)f(f(x)當(dāng)0xa2時，由解得x0，因?yàn)閒(0)0，故x0不是f(x)的二階周期點(diǎn)；當(dāng)a2xa時，由解得(a2，a)，因，故為f(x)的二階周期點(diǎn)：當(dāng)axa2a1時，由(xa)x解得(a，a2a1)，因，故不是f(x)的二階周期點(diǎn)