1、微專題23 恒成立問題數(shù)形結(jié)合法一、基礎(chǔ)知識：1、函數(shù)的不等關(guān)系與圖像特征：（1）若，均有的圖像始終在的下方（2）若，均有的圖像始終在的上方2、在作圖前，可利用不等式的性質(zhì)對恒成立不等式進(jìn)行變形，轉(zhuǎn)化為兩個可作圖的函數(shù)3、要了解所求參數(shù)在圖像中扮演的角色，如斜率，截距等4、作圖時可“先靜再動”，先作常系數(shù)的函數(shù)的圖像，再做含參數(shù)函數(shù)的圖象（往往隨參數(shù)的不同取值而發(fā)生變化）5、在作圖時，要注意草圖的信息點盡量完備6、什么情況下會考慮到數(shù)形結(jié)合？利用數(shù)形結(jié)合解決恒成立問題，往往具備以下幾個特點：（1）所給的不等式運用代數(shù)手段變形比較復(fù)雜，比如分段函數(shù)，或者定義域含參等，而涉及的函數(shù)便于直接作圖或是

2、利用圖像變換作圖（2）所求的參數(shù)在圖像中具備一定的幾何含義（3）題目中所給的條件大都能翻譯成圖像上的特征二、典型例題：例1：已知不等式在上恒成立，則實數(shù)的取值范圍是_思路：本題難于進(jìn)行參變分離，考慮數(shù)形結(jié)合解決，先作出的圖像，觀察圖像可得：若要使不等式成立，則的圖像應(yīng)在的上方，所以應(yīng)為單增的對數(shù)函數(shù)，即，另一方面，觀察圖像可得：若要保證在時不等式成立，只需保證在時，即可，代入可得：，綜上可得：答案：小煉有話說：（1）通過常系數(shù)函數(shù)圖像和恒成立不等式判斷出對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而縮小了參數(shù)討論的取值范圍。（2）學(xué)會觀察圖像時要抓住圖像特征并抓住符合條件的關(guān)鍵點（例如本題中的）（3）處理好邊界值是否

3、能夠取到的問題例2：若不等式對于任意的都成立，則實數(shù)的取值范圍是_思路：本題選擇數(shù)形結(jié)合，可先作出在的圖像，扮演的角色為對數(shù)的底數(shù)，決定函數(shù)的增減，根據(jù)不等關(guān)系可得，觀察圖像進(jìn)一步可得只需時，即，所以答案：例3：若不等式對任意恒成立，求的取值范圍思路：恒成立不等式變形為，即的圖像在圖像的上方即可，先作出的圖像，對于，可看作經(jīng)過平移得到，而平移的距離與的取值有關(guān)。通過觀察圖像，可得只需，解得：答案： 小煉有話說：在本題中參數(shù)的作用是決定圖像平移變換的程度，要抓住參數(shù)在圖像中的作用，從而在數(shù)形結(jié)合中找到關(guān)于參數(shù)的范圍要求例4：若,不等式恒成立,則的取值范圍是_思路：本題中已知的范圍求的范圍，故構(gòu)造

4、函數(shù)時可看作關(guān)于的函數(shù)，恒成立不等式變形為 ,設(shè),即關(guān)于的一次函數(shù)，由圖像可得：無論直線方向如何，若要，只需在端點處函數(shù)值均大于0即可，即,解得：或答案：或小煉有話說：（1）對于不等式，每個字母的地位平等，在構(gòu)造函數(shù)時哪個字母的范圍已知，則以該字母作為自變量構(gòu)造函數(shù)。（2）線段的圖像特征：若兩個端點均在坐標(biāo)軸的一側(cè)，則線段上的點與端點同側(cè)。（3）對點評（2）的推廣：已知一個函數(shù)連續(xù)且單調(diào)，若兩個端點在坐標(biāo)軸的一側(cè)，則曲線上所有點均與端點同側(cè)例5：已知函數(shù)，若對任意的，都有成立，則實數(shù)的取值范圍是_m+1m思路：恒成立的不等式為，如果進(jìn)行參變分離，雖可解決問題，但是因為所在區(qū)間含參，的取值將決定

5、分離時不等號方向是否改變，需要進(jìn)行分類討論，較為麻煩。換一個角度觀察到是開口向上的拋物線，若要，只需端點處函數(shù)值小于零即可（無論對稱軸是否在區(qū)間內(nèi)），所以只需 ，解得 答案： 小煉有話說：本題也可以用最值法求解：若，則，而是開口向上的拋物線，最大值只能在邊界處產(chǎn)生，所以，再解出的范圍即可例6：已知函數(shù)，設(shè)關(guān)于的不等式的解集為，若，則實數(shù)的取值范圍是_思路：首先理解條件，即時，不等式恒成立，可判斷出函數(shù)為奇函數(shù)，故先作出的圖像，即，參數(shù)的符號決定開口方向與對稱軸。故分類討論：當(dāng)時，單調(diào)遞增，且為向左平移個單位，觀察圖像可得不存在滿足條件的，當(dāng)時，開口向下，且為向右平移個單位，觀察可得只需，即可保

6、證，的圖像始終在的下方。解得：；當(dāng)時，代入驗證不符題意。答案： 小煉有話說：（1）注意本題中“恒成立問題”的隱含標(biāo)志：子集關(guān)系（2）注意函數(shù)奇偶性對作圖的影響（3）本題中參數(shù)扮演兩個角色： 二次項系數(shù)決定拋物線開口， 決定二次函數(shù)對稱軸的位置； 圖像變換中決定平移的方向與幅度，所以要進(jìn)行符號的分類討論。例7：已知函數(shù).當(dāng)時，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是_思路：所證不等式可轉(zhuǎn)化為，作出的圖像，當(dāng)時的取值決定的開口，觀察可得，且時，即可，當(dāng)時，不等式為，可證明其成立答案：小煉有話說：原不等式無法直接作出圖像，則考慮先變形再數(shù)形結(jié)合，其原則為兩個函數(shù)均可進(jìn)行作圖。例8：設(shè)，若時均有，則_思路：本

7、題如果考慮常規(guī)思路，讓兩個因式同號去解的值（或范圍），則不可避免較復(fù)雜的分類討論，所以可以考慮利用圖像輔助解決。將兩個因式設(shè)為函數(shù)：，則在圖像上要求這兩個函數(shù)同時在軸的上方與下方。這兩個函數(shù)在圖像上有公共定點，且為開口向上的拋物線。所以的斜率必大于0，即，通過觀察圖像可得：與與軸的交點必須重合。，所以，解得：（舍）或答案：小煉有話說：（1）在處理不等式的問題時要有兩手準(zhǔn)備，一是傳統(tǒng)的代數(shù)方法，二是通過數(shù)形結(jié)合的方式。要根據(jù)題目選擇出合適的方法。對于數(shù)形結(jié)合而言，要求已知條件與所求問題都具備一定的圖像特征。所以在本題中一旦確定了使用圖像，則把條件都翻譯為圖像上的特點。（2）本題中隱藏的公共定點是

8、本題的一個突破口，這要求我們對于含參的函數(shù)（尤其是直線），要看是否具備過定點的特征。例9：(2015山東煙臺高三一模）已知，不等式在上恒成立，則實數(shù)的取值范圍是( )A. B. C. D. 思路：本題有兩個難點，一是所給區(qū)間含參，一個是與很難確定其范圍，從而與無法化成解析式。但由于所給不等式可視為兩個函數(shù)值的大小，且分段函數(shù)圖像易于作出，所以考慮作出圖像，看是否存在解題的突破口。通過圖像可以看出雖然是分段函數(shù)，但是圖像連續(xù)且單調(diào)遞減。所以是上的減函數(shù)。那么無論與位于哪個區(qū)間，由及單調(diào)性均可得到：只需，所以，解得 答案：A例10：已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時， ，若，則實數(shù)的取值范圍是_思路：是奇函數(shù)且在時是分段函數(shù)（以為界），且形式比較復(fù)雜，恒成立的不等式較難轉(zhuǎn)化為具體的不等式，所以不優(yōu)先考慮參變分離或是最值法。從數(shù)形結(jié)合的角度來看，一方面的圖像比較容易作出，另一方面可看作是的圖像向右平移一個單位所得