1、. WORD格式整理. .2017年高考數(shù)學(xué)空間幾何高考真題一選擇題（共9小題）1如圖，在下列四個(gè)正方體中，A，B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M，N，Q為所在棱的中點(diǎn)，則在這四個(gè)正方體中，直線AB與平面MNQ不平行的是（）ABCD2已知圓柱的高為1，它的兩個(gè)底面的圓周在直徑為2的同一個(gè)球的球面上，則該圓柱的體積為（）ABCD3在正方體ABCDA1B1C1D1中，E為棱CD的中點(diǎn)，則（）AA1EDC1BA1EBDCA1EBC1DA1EAC4某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為（）A60B30C20D105某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積（單位：cm2）是（）A+1B+3C

2、+1D+36如圖，已知正四面體DABC（所有棱長(zhǎng)均相等的三棱錐），P、Q、R分別為AB、BC、CA上的點(diǎn)，AP=PB，=2，分別記二面角DPRQ，DPQR，DQRP的平面角為、，則（）ABCD7如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗實(shí)線畫出的是某幾何體的三視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分后所得，則該幾何體的體積為（）A90B63C42D361某多面體的三視圖如圖所示，其中正視圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角形組成，正方形的邊長(zhǎng)為2，俯視圖為等腰直角三角形，該多面體的各個(gè)面中有若干個(gè)是梯形，這些梯形的面積之和為（）A10B12C14D162已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC=120

3、，AB=2，BC=CC1=1，則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為（）ABCD二填空題（共5小題）8已知三棱錐SABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，SC是球O的直徑若平面SCA平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱錐SABC的體積為9，則球O的表面積為 9長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為3，2，1，其頂點(diǎn)都在球O的球面上，則球O的表面積為 10已知一個(gè)正方體的所有頂點(diǎn)在一個(gè)球面上，若這個(gè)正方體的表面積為18，則這個(gè)球的體積為 11由一個(gè)長(zhǎng)方體和兩個(gè) 圓柱體構(gòu)成的幾何體的三視圖如圖，則該幾何體的體積為 12如圖，在圓柱O1O2內(nèi)有一個(gè)球O，該球與圓柱的上、下底面及母線均相切，記圓柱O1O2的體積為V

4、1，球O的體積為V2，則的值是 三解答題（共9小題）13如圖，在四棱錐PABCD中，ABCD，且BAP=CDP=90（1）證明：平面PAB平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，APD=90，且四棱錐PABCD的體積為，求該四棱錐的側(cè)面積14如圖，四棱錐PABCD中，側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=AD，BAD=ABC=90（1）證明：直線BC平面PAD；（2）若PCD面積為2，求四棱錐PABCD的體積15如圖四面體ABCD中，ABC是正三角形，AD=CD（1）證明：ACBD；（2）已知ACD是直角三角形，AB=BD，若E為棱BD上與D不重合的點(diǎn)，且AEEC，求四面

5、體ABCE與四面體ACDE的體積比16如圖，直三棱柱ABCA1B1C1的底面為直角三角形，兩直角邊AB和AC的長(zhǎng)分別為4和2，側(cè)棱AA1的長(zhǎng)為5（1）求三棱柱ABCA1B1C1的體積；（2）設(shè)M是BC中點(diǎn)，求直線A1M與平面ABC所成角的大小17如圖，在三棱錐PABC中，PAAB，PABC，ABBC，PA=AB=BC=2，D為線段AC的中點(diǎn)，E為線段PC上一點(diǎn)（1）求證：PABD；（2）求證：平面BDE平面PAC；（3）當(dāng)PA平面BDE時(shí)，求三棱錐EBCD的體積18如圖，在四棱錐PABCD中，AD平面PDC，ADBC，PDPB，AD=1，BC=3，CD=4，PD=2（）求異面直線AP與BC所成

6、角的余弦值；（）求證：PD平面PBC；（）求直線AB與平面PBC所成角的正弦值19如圖，已知四棱錐PABCD，PAD是以AD為斜邊的等腰直角三角形，BCAD，CDAD，PC=AD=2DC=2CB，E為PD的中點(diǎn)（）證明：CE平面PAB；（）求直線CE與平面PBC所成角的正弦值20由四棱柱ABCDA1B1C1D1截去三棱錐C1B1CD1后得到的幾何體如圖所示，四邊形ABCD為正方形，O為AC與BD 的交點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn)，A1E平面ABCD，（）證明：A1O平面B1CD1；（）設(shè)M是OD的中點(diǎn)，證明：平面A1EM平面B1CD121如圖，在三棱錐ABCD中，ABAD，BCBD，平面ABD平面BCD

7、，點(diǎn)E、F（E與A、D不重合）分別在棱AD，BD上，且EFAD求證：（1）EF平面ABC；（2）ADAC3如圖，在四棱錐PABCD中，ABCD，且BAP=CDP=90（1）證明：平面PAB平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，APD=90，求二面角APBC的余弦值4如圖，四棱錐PABCD中，側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=AD，BAD=ABC=90，E是PD的中點(diǎn)（1）證明：直線CE平面PAB；（2）點(diǎn)M在棱PC 上，且直線BM與底面ABCD所成角為45，求二面角MABD的余弦值5如圖，四面體ABCD中，ABC是正三角形，ACD是直角三角形，ABD=CBD，AB=

8、BD （1）證明：平面ACD平面ABC；（2）過AC的平面交BD于點(diǎn)E，若平面AEC把四面體ABCD分成體積相等的兩部分，求二面角DAEC的余弦值6如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD為正方形，平面PAD平面ABCD，點(diǎn)M在線段PB上，PD平面MAC，PA=PD=，AB=4（1）求證：M為PB的中點(diǎn)；（2）求二面角BPDA的大??；（3）求直線MC與平面BDP所成角的正弦值7如圖，在三棱錐PABC中，PA底面ABC，BAC=90點(diǎn)D，E，N分別為棱PA，PC，BC的中點(diǎn)，M是線段AD的中點(diǎn)，PA=AC=4，AB=2（）求證：MN平面BDE；（）求二面角CEMN的正弦值；（）已知點(diǎn)H在棱PA上

9、，且直線NH與直線BE所成角的余弦值為，求線段AH的長(zhǎng)8如圖，幾何體是圓柱的一部分，它是由矩形ABCD（及其內(nèi)部）以AB邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)120得到的，G是的中點(diǎn)（）設(shè)P是上的一點(diǎn)，且APBE，求CBP的大??； （）當(dāng)AB=3，AD=2時(shí)，求二面角EAGC的大小2017年高考數(shù)學(xué)空間幾何高考真題參考答案與試題解析一選擇題（共7小題）1如圖，在下列四個(gè)正方體中，A，B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M，N，Q為所在棱的中點(diǎn)，則在這四個(gè)正方體中，直線AB與平面MNQ不平行的是（）ABCD【解答】解：對(duì)于選項(xiàng)B，由于ABMQ，結(jié)合線面平行判定定理可知B不滿足題意；對(duì)于選項(xiàng)C，由于ABMQ，結(jié)合線面平行判定定

10、理可知C不滿足題意；對(duì)于選項(xiàng)D，由于ABNQ，結(jié)合線面平行判定定理可知D不滿足題意；所以選項(xiàng)A滿足題意，故選：A2已知圓柱的高為1，它的兩個(gè)底面的圓周在直徑為2的同一個(gè)球的球面上，則該圓柱的體積為（）ABCD【解答】解：圓柱的高為1，它的兩個(gè)底面的圓周在直徑為2的同一個(gè)球的球面上，該圓柱底面圓周半徑r=，該圓柱的體積：V=Sh=故選：B3在正方體ABCDA1B1C1D1中，E為棱CD的中點(diǎn)，則（）AA1EDC1BA1EBDCA1EBC1DA1EAC【解答】解：法一：連B1C，由題意得BC1B1C，A1B1平面B1BCC1，且BC1平面B1BCC1，A1B1BC1，A1B1B1C=B1，BC1平

11、面A1ECB1，A1E平面A1ECB1，A1EBC1故選：C法二：以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體ABCDA1B1C1D1中棱長(zhǎng)為2，則A1（2，0，2），E（0，1，0），B（2，2，0），D（0，0，0），C1（0，2，2），A（2，0，0），C（0，2，0），=（2，1，2），=（0，2，2），=（2，2，0），=（2，0，2），=（2，2，0），=2，=2，=0，=6，A1EBC1故選：C4某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為（）A60B30C20D10【解答】解：由三視圖可知：該幾何體為三棱錐，該三棱錐的體積=10故選：D5某幾何

12、體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積（單位：cm2）是（）A+1B+3C+1D+3【解答】解：由幾何的三視圖可知，該幾何體是圓錐的一半和一個(gè)三棱錐組成，圓錐的底面圓的半徑為1，三棱錐的底面是底邊長(zhǎng)2的等腰直角三角形，圓錐的高和棱錐的高相等均為3，故該幾何體的體積為123+3=+1，故選：A6如圖，已知正四面體DABC（所有棱長(zhǎng)均相等的三棱錐），P、Q、R分別為AB、BC、CA上的點(diǎn)，AP=PB，=2，分別記二面角DPRQ，DPQR，DQRP的平面角為、，則（）ABCD【解答】解法一：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系設(shè)底面ABC的中心為O不妨設(shè)OP=3則O（0，0，0），P（0，3，0

13、），C（0，6，0），D（0，0，6），Q，R，=，=（0，3，6），=（，5，0），=，=設(shè)平面PDR的法向量為=（x，y，z），則，可得，可得=，取平面ABC的法向量=（0，0，1）則cos=，取=arccos同理可得：=arccos=arccos解法二：如圖所示，連接OP，OQ，OR，過點(diǎn)O分別作垂線：OEPR，OFPQ，OGQR，垂足分別為E，F(xiàn)，G，連接DE，DF，DG設(shè)OD=h則tan=同理可得：tan=，tan=由已知可得：OEOGOFtantantan，為銳角故選：B7如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗實(shí)線畫出的是某幾何體的三視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分后所得，則

14、該幾何體的體積為（）A90B63C42D36【解答】解：由三視圖可得，直觀圖為一個(gè)完整的圓柱減去一個(gè)高為6的圓柱的一半，V=3210326=63，故選：B1某多面體的三視圖如圖所示，其中正視圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角形組成，正方形的邊長(zhǎng)為2，俯視圖為等腰直角三角形，該多面體的各個(gè)面中有若干個(gè)是梯形，這些梯形的面積之和為（）A10B12C14D16【解答】解：由三視圖可畫出直觀圖，該立體圖中只有兩個(gè)相同的梯形的面，S梯形=2（2+4）=6，這些梯形的面積之和為62=12，故選：B2已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC=120，AB=2，BC=CC1=1，則異面直線AB1與BC1所成角

15、的余弦值為（）ABCD【解答】解：【解法一】如圖所示，設(shè)M、N、P分別為AB，BB1和B1C1的中點(diǎn)，則AB1、BC1夾角為MN和NP夾角或其補(bǔ)角（因異面直線所成角為（0，），可知MN=AB1=，NP=BC1=；作BC中點(diǎn)Q，則PQM為直角三角形；PQ=1，MQ=AC，ABC中，由余弦定理得AC2=AB2+BC22ABBCcosABC=4+1221（）=7，AC=，MQ=；在MQP中，MP=；在PMN中，由余弦定理得cosMNP=；又異面直線所成角的范圍是（0，AB1與BC1所成角的余弦值為【解法二】如圖所示，補(bǔ)成四棱柱ABCDA1B1C1D1，求BC1D即可；BC1=，BD=，C1D=，+B

16、D2=，DBC1=90，cosBC1D=二填空題（共5小題）8已知三棱錐SABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，SC是球O的直徑若平面SCA平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱錐SABC的體積為9，則球O的表面積為36【解答】解：三棱錐SABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，SC是球O的直徑，若平面SCA平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱錐SABC的體積為9，可知三角形SBC與三角形SAC都是等腰直角三角形，設(shè)球的半徑為r，可得，解得r=3球O的表面積為：4r2=36故答案為：369長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為3，2，1，其頂點(diǎn)都在球O的球面上，則球O的表面積為14【解答】解：長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高

17、分別為3，2，1，其頂點(diǎn)都在球O的球面上，可知長(zhǎng)方體的對(duì)角線的長(zhǎng)就是球的直徑，所以球的半徑為：=則球O的表面積為：4=14故答案為：1410已知一個(gè)正方體的所有頂點(diǎn)在一個(gè)球面上，若這個(gè)正方體的表面積為18，則這個(gè)球的體積為【解答】解：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，這個(gè)正方體的表面積為18，6a2=18，則a2=3，即a=，一個(gè)正方體的所有頂點(diǎn)在一個(gè)球面上，正方體的體對(duì)角線等于球的直徑，即a=2R，即R=，則球的體積V=（）3=；故答案為：11由一個(gè)長(zhǎng)方體和兩個(gè) 圓柱體構(gòu)成的幾何體的三視圖如圖，則該幾何體的體積為2+【解答】解：由長(zhǎng)方體長(zhǎng)為2，寬為1，高為1，則長(zhǎng)方體的體積V1=211=2，圓柱的底面半徑

18、為1，高為1，則圓柱的體積V2=121=，則該幾何體的體積V=V1+2V1=2+，故答案為：2+12如圖，在圓柱O1O2內(nèi)有一個(gè)球O，該球與圓柱的上、下底面及母線均相切，記圓柱O1O2的體積為V1，球O的體積為V2，則的值是【解答】解：設(shè)球的半徑為R，則球的體積為：R3，圓柱的體積為：R22R=2R3則=故答案為：三解答題（共9小題）13如圖，在四棱錐PABCD中，ABCD，且BAP=CDP=90（1）證明：平面PAB平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，APD=90，且四棱錐PABCD的體積為，求該四棱錐的側(cè)面積【解答】證明：（1）在四棱錐PABCD中，BAP=CDP=90，ABPA，

19、CDPD，又ABCD，ABPD，PAPD=P，AB平面PAD，AB平面PAB，平面PAB平面PAD解：（2）設(shè)PA=PD=AB=DC=a，取AD中點(diǎn)O，連結(jié)PO，PA=PD=AB=DC，APD=90，平面PAB平面PAD，PO底面ABCD，且AD=，PO=，四棱錐PABCD的體積為，VPABCD=，解得a=2，PA=PD=AB=DC=2，AD=BC=2，PO=，PB=PC=2，該四棱錐的側(cè)面積：S側(cè)=SPAD+SPAB+SPDC+SPBC=+=6+214如圖，四棱錐PABCD中，側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=AD，BAD=ABC=90（1）證明：直線BC平面PAD；（

20、2）若PCD面積為2，求四棱錐PABCD的體積【解答】（1）證明：四棱錐PABCD中，BAD=ABC=90BCAD，AD平面PAD，BC平面PAD，直線BC平面PAD；（2）解：四棱錐PABCD中，側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=AD，BAD=ABC=90設(shè)AD=2x，則AB=BC=x，CD=，O是AD的中點(diǎn)，連接PO，OC，CD的中點(diǎn)為：E，連接OE，則OE=，PO=，PE=，PCD面積為2，可得：=2，即：，解得x=2，PE=2則V PABCD=（BC+AD）ABPO=415如圖四面體ABCD中，ABC是正三角形，AD=CD（1）證明：ACBD；（2）已知ACD是直

21、角三角形，AB=BD，若E為棱BD上與D不重合的點(diǎn)，且AEEC，求四面體ABCE與四面體ACDE的體積比【解答】證明：（1）取AC中點(diǎn)O，連結(jié)DO、BO，ABC是正三角形，AD=CD，DOAC，BOAC，DOBO=O，AC平面BDO，BD平面BDO，ACBD解：（2）法一：連結(jié)OE，由（1）知AC平面OBD，OE平面OBD，OEAC，設(shè)AD=CD=，則OC=OA=1，E是線段AC垂直平分線上的點(diǎn)，EC=EA=CD=，由余弦定理得：cosCBD=，即，解得BE=1或BE=2，BEBD=2，BE=1，BE=ED，四面體ABCE與四面體ACDE的高都是點(diǎn)A到平面BCD的高h(yuǎn)，BE=ED，SDCE=S

22、BCE，四面體ABCE與四面體ACDE的體積比為1法二：設(shè)AD=CD=，則AC=AB=BC=BD=2，AO=CO=DO=1，BO=，BO2+DO2=BD2，BODO，以O(shè)為原點(diǎn)，OA為x軸，OB為y軸，OD為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則C（1，0，0），D（0，0，1），B（0，0），A（1，0，0），設(shè)E（a，b，c），（01），則（a，b，c1）=（0，1），解得E（0，1），=（1，），=（1，），AEEC，=1+32+（1）2=0，由0，1，解得，DE=BE，四面體ABCE與四面體ACDE的高都是點(diǎn)A到平面BCD的高h(yuǎn)，DE=BE，SDCE=SBCE，四面體ABCE與四面體ACDE的體

23、積比為116如圖，直三棱柱ABCA1B1C1的底面為直角三角形，兩直角邊AB和AC的長(zhǎng)分別為4和2，側(cè)棱AA1的長(zhǎng)為5（1）求三棱柱ABCA1B1C1的體積；（2）設(shè)M是BC中點(diǎn)，求直線A1M與平面ABC所成角的大小【解答】解：（1）直三棱柱ABCA1B1C1的底面為直角三角形，兩直角邊AB和AC的長(zhǎng)分別為4和2，側(cè)棱AA1的長(zhǎng)為5三棱柱ABCA1B1C1的體積：V=SABCAA1=20（2）連結(jié)AM，直三棱柱ABCA1B1C1的底面為直角三角形，兩直角邊AB和AC的長(zhǎng)分別為4和2，側(cè)棱AA1的長(zhǎng)為5，M是BC中點(diǎn)，AA1底面ABC，AM=，A1MA是直線A1M與平面ABC所成角，tanA1M

24、A=，直線A1M與平面ABC所成角的大小為arctan17如圖，在三棱錐PABC中，PAAB，PABC，ABBC，PA=AB=BC=2，D為線段AC的中點(diǎn)，E為線段PC上一點(diǎn)（1）求證：PABD；（2）求證：平面BDE平面PAC；（3）當(dāng)PA平面BDE時(shí)，求三棱錐EBCD的體積【解答】解：（1）證明：由PAAB，PABC，AB平面ABC，BC平面ABC，且ABBC=B，可得PA平面ABC，由BD平面ABC，可得PABD；（2）證明：由AB=BC，D為線段AC的中點(diǎn)，可得BDAC，由PA平面ABC，PA平面PAC，可得平面PAC平面ABC，又平面ABC平面ABC=AC，BD平面ABC，且BDAC

25、，即有BD平面PAC，BD平面BDE，可得平面BDE平面PAC；（3）PA平面BDE，PA平面PAC，且平面PAC平面BDE=DE，可得PADE，又D為AC的中點(diǎn)，可得E為PC的中點(diǎn)，且DE=PA=1，由PA平面ABC，可得DE平面ABC，可得SBDC=SABC=22=1，則三棱錐EBCD的體積為DESBDC=11=18如圖，在四棱錐PABCD中，AD平面PDC，ADBC，PDPB，AD=1，BC=3，CD=4，PD=2（）求異面直線AP與BC所成角的余弦值；（）求證：PD平面PBC；（）求直線AB與平面PBC所成角的正弦值【解答】解：（）如圖，由已知ADBC，故DAP或其補(bǔ)角即為異面直線AP

26、與BC所成的角因?yàn)锳D平面PDC，所以ADPD在RtPDA中，由已知，得，故所以，異面直線AP與BC所成角的余弦值為證明：（）因?yàn)锳D平面PDC，直線PD平面PDC，所以ADPD又因?yàn)锽CAD，所以PDBC，又PDPB，所以PD平面PBC解：（）過點(diǎn)D作AB的平行線交BC于點(diǎn)F，連結(jié)PF，則DF與平面PBC所成的角等于AB與平面PBC所成的角因?yàn)镻D平面PBC，故PF為DF在平面PBC上的射影，所以DFP為直線DF和平面PBC所成的角由于ADBC，DFAB，故BF=AD=1，由已知，得CF=BCBF=2又ADDC，故BCDC，在RtDCF中，可得所以，直線AB與平面PBC所成角的正弦值為19如

27、圖，已知四棱錐PABCD，PAD是以AD為斜邊的等腰直角三角形，BCAD，CDAD，PC=AD=2DC=2CB，E為PD的中點(diǎn)（）證明：CE平面PAB；（）求直線CE與平面PBC所成角的正弦值【解答】證明：（）取AD的中點(diǎn)F，連結(jié)EF，CF，E為PD的中點(diǎn)，EFPA，在四邊形ABCD中，BCAD，AD=2DC=2CB，F(xiàn)為中點(diǎn)，CFAB，平面EFC平面ABP，EC平面EFC，EC平面PAB解：（）連結(jié)BF，過F作FMPB于M，連結(jié)PF，PA=PD，PFAD，推導(dǎo)出四邊形BCDF為矩形，BFAD，AD平面PBF，又ADBC，BC平面PBF，BCPB，設(shè)DC=CB=1，則AD=PC=2，PB=，B

28、F=PF=1，MF=，又BC平面PBF，BCMF，MF平面PBC，即點(diǎn)F到平面PBC的距離為，MF=，D到平面PBC的距離應(yīng)該和MF平行且相等，為，E為PD中點(diǎn)，E到平面PBC的垂足也為垂足所在線段的中點(diǎn)，即中位線，E到平面PBC的距離為，在，由余弦定理得CE=，設(shè)直線CE與平面PBC所成角為，則sin=20由四棱柱ABCDA1B1C1D1截去三棱錐C1B1CD1后得到的幾何體如圖所示，四邊形ABCD為正方形，O為AC與BD 的交點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn)，A1E平面ABCD，（）證明：A1O平面B1CD1；（）設(shè)M是OD的中點(diǎn)，證明：平面A1EM平面B1CD1【解答】證明：（）取B1D1中點(diǎn)G，連結(jié)

29、A1G、CG，四邊形ABCD為正方形，O為AC與BD 的交點(diǎn)，四棱柱ABCDA1B1C1D1截去三棱錐C1B1CD1后，A1GOC，四邊形OCGA1是平行四邊形，A1OCG，A1O平面B1CD1，CG平面B1CD1，A1O平面B1CD1（）四棱柱ABCDA1B1C1D1截去三棱錐C1B1CD1后，BDB1D1，M是OD的中點(diǎn)，O為AC與BD 的交點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn)，A1E平面ABCD，又BD平面ABCD，BDA1E，四邊形ABCD為正方形，O為AC與BD 的交點(diǎn)，AOBD，M是OD的中點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn)，EMBD，A1EEM=E，BD平面A1EM，BDB1D1，B1D1平面A1EM，B1D1平

30、面B1CD1，平面A1EM平面B1CD121如圖，在三棱錐ABCD中，ABAD，BCBD，平面ABD平面BCD，點(diǎn)E、F（E與A、D不重合）分別在棱AD，BD上，且EFAD求證：（1）EF平面ABC；（2）ADAC【解答】證明：（1）因?yàn)锳BAD，EFAD，且A、B、E、F四點(diǎn)共面，所以ABEF，又因?yàn)镋F平面ABC，AB平面ABC，所以由線面平行判定定理可知：EF平面ABC；（2）在線段CD上取點(diǎn)G，連結(jié)FG、EG使得FGBC，則EGAC，因?yàn)锽CBD，F(xiàn)GBC，所以FGBD，又因?yàn)槠矫鍭BD平面BCD，所以FG平面ABD，所以FGAD，又因?yàn)锳DEF，且EFFG=F，所以AD平面EFG，所

31、以ADEG，故ADAC3如圖，在四棱錐PABCD中，ABCD，且BAP=CDP=90（1）證明：平面PAB平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，APD=90，求二面角APBC的余弦值【解答】（1）證明：BAP=CDP=90，PAAB，PDCD，ABCD，ABPD，又PAPD=P，且PA平面PAD，PD平面PAD，AB平面PAD，又AB平面PAB，平面PAB平面PAD；（2）解：ABCD，AB=CD，四邊形ABCD為平行四邊形，由（1）知AB平面PAD，ABAD，則四邊形ABCD為矩形，在APD中，由PA=PD，APD=90，可得PAD為等腰直角三角形，設(shè)PA=AB=2a，則AD=取AD中

32、點(diǎn)O，BC中點(diǎn)E，連接PO、OE，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)A、OE、OP所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則：D（），B（），P（0，0，），C（），設(shè)平面PBC的一個(gè)法向量為，由，得，取y=1，得AB平面PAD，AD平面PAD，ABPD，又PDPA，PAAB=A，PD平面PAB，則為平面PAB的一個(gè)法向量，cos=由圖可知，二面角APBC為鈍角，二面角APBC的余弦值為4如圖，四棱錐PABCD中，側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=AD，BAD=ABC=90，E是PD的中點(diǎn)（1）證明：直線CE平面PAB；（2）點(diǎn)M在棱PC 上，且直線BM與底面ABCD所成角為45

33、，求二面角MABD的余弦值【解答】（1）證明：取PA的中點(diǎn)F，連接EF，BF，因?yàn)镋是PD的中點(diǎn)，所以EFAD，AB=BC=AD，BAD=ABC=90，BCAD，BCEF是平行四邊形，可得CEBF，BF平面PAB，CE平面PAB，直線CE平面PAB；（2）解：四棱錐PABCD中，側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=AD，BAD=ABC=90，E是PD的中點(diǎn)取AD的中點(diǎn)O，M在底面ABCD上的射影N在OC上，設(shè)AD=2，則AB=BC=1，OP=，PCO=60，直線BM與底面ABCD所成角為45，可得：BN=MN，CN=MN，BC=1，可得：1+BN2=BN2，BN=，MN=，

34、作NQAB于Q，連接MQ，所以MQN就是二面角MABD的平面角，MQ=，二面角MABD的余弦值為：=5如圖，四面體ABCD中，ABC是正三角形，ACD是直角三角形，ABD=CBD，AB=BD （1）證明：平面ACD平面ABC；（2）過AC的平面交BD于點(diǎn)E，若平面AEC把四面體ABCD分成體積相等的兩部分，求二面角DAEC的余弦值【解答】（1）證明：如圖所示，取AC的中點(diǎn)O，連接BO，ODABC是等邊三角形，OBACABD與CBD中，AB=BD=BC，ABD=CBD，ABDCBD，AD=CDACD是直角三角形，AC是斜邊，ADC=90DO=ACDO2+BO2=AB2=BD2BOD=90OBOD

35、又DOAC=O，OB平面ACD又OB平面ABC，平面ACD平面ABC（2）解：設(shè)點(diǎn)D，B到平面ACE的距離分別為hD，hE則=平面AEC把四面體ABCD分成體積相等的兩部分，=1點(diǎn)E是BD的中點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系不妨取AB=2則O（0，0，0），A（1，0，0），C（1，0，0），D（0，0，1），B（0，0），E=（1，0，1），=，=（2，0，0）設(shè)平面ADE的法向量為=（x，y，z），則，即，取=同理可得：平面ACE的法向量為=（0，1，）cos=二面角DAEC的余弦值為6如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD為正方形，平面PAD平面ABCD，點(diǎn)M在線段PB上，PD平面MAC

36、，PA=PD=，AB=4（1）求證：M為PB的中點(diǎn)；（2）求二面角BPDA的大??；（3）求直線MC與平面BDP所成角的正弦值【解答】（1）證明：如圖，設(shè)ACBD=O，ABCD為正方形，O為BD的中點(diǎn)，連接OM，PD平面MAC，PD平面PBD，平面PBD平面AMC=OM，PDOM，則，即M為PB的中點(diǎn)；（2）解：取AD中點(diǎn)G，PA=PD，PGAD，平面PAD平面ABCD，且平面PAD平面ABCD=AD，PG平面ABCD，則PGAD，連接OG，則PGOG，由G是AD的中點(diǎn)，O是AC的中點(diǎn)，可得OGDC，則OGAD以G為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以GD、GO、GP所在直線為x、y、z軸距離空間直角坐標(biāo)系，由PA=PD=，AB=4，得D（2，0，0），A（2，0，0），P（0，0，），C（2，4，0），B（2，4，0），M（1，2，），設(shè)平面PBD的一個(gè)法向量為，則由，得，取z=，得取平面PAD的一個(gè)法向量為cos=二面角BPDA的大小為60；（3）解：，平面BDP的一個(gè)法向量為直線MC與平面BDP所成角的正弦值為|cos|=|=|=7如圖，在三棱錐PABC中，PA底面ABC，BAC=90點(diǎn)D，E，N分別為棱PA，PC，BC的中點(diǎn)，M是線段AD的中點(diǎn)，PA=AC=4，AB=2（）求證：MN平面BDE；（）求二