1、不等式的基本知識（一）不等式與不等關(guān)系1、應(yīng)用不等式（組）表示不等關(guān)系；不等式的主要性質(zhì)：(1)對稱性：(2)傳遞性：(3)加法法則：；(同向可加)(4)乘法法則：；(同向同正可乘)(5)倒數(shù)法則：(6)乘方法則：(7)開方法則：2、應(yīng)用不等式的性質(zhì)比較兩個實數(shù)的大小：作差法（作差變形判斷符號結(jié)論）3、應(yīng)用不等式性質(zhì)證明不等式（二）解不等式1、一元二次不等式的解法一元二次不等式的解集：設(shè)相應(yīng)的一元二次方程的兩根為，則不等式的解的各種情況如下表：2、簡單的一元高次不等式的解法：標(biāo)根法：其步驟是：（1）分解成若干個一次因式的積，并使每一個因式中最高次項的系數(shù)為正；（2）將每一個一次因式的根標(biāo)在數(shù)軸

2、上，從最大根的右上方依次通過每一點畫曲線；并注意奇穿偶不穿；（3）根據(jù)曲線顯現(xiàn)的符號變化規(guī)律，寫出不等式的解集。3、分式不等式的解法：分式不等式的一般解題思路是先移項使右邊為0，再通分并將分子分母分解因式，并使每一個因式中最高次項的系數(shù)為正，最后用標(biāo)根法求解。解分式不等式時，一般不能去分母，但分母恒為正或恒為負(fù)時可去分母。4、不等式的恒成立問題：常應(yīng)用函數(shù)方程思想和“分離變量法”轉(zhuǎn)化為最值問題若不等式在區(qū)間上恒成立,則等價于在區(qū)間上若不等式在區(qū)間上恒成立,則等價于在區(qū)間上（三）線性規(guī)劃1、用二元一次不等式（組）表示平面區(qū)域二元一次不等式Ax+By+C0在平面直角坐標(biāo)系中表示直線Ax+By+C=

3、0某一側(cè)所有點組成的平面區(qū)域.（虛線表示區(qū)域不包括邊界直線）2、二元一次不等式表示哪個平面區(qū)域的判斷方法由于對在直線Ax+By+C=0同一側(cè)的所有點()，把它的坐標(biāo)（)代入Ax+By+C，所得到實數(shù)的符號都相同，所以只需在此直線的某一側(cè)取一特殊點（x0,y0)，從Ax0+By0+C的正負(fù)即可判斷Ax+By+C0表示直線哪一側(cè)的平面區(qū)域.（特殊地，當(dāng)C0時，常把原點作為此特殊點）3、線性規(guī)劃的有關(guān)概念：線性約束條件：在上述問題中，不等式組是一組變量x、y的約束條件，這組約束條件都是關(guān)于x、y的一次不等式，故又稱線性約束條件線性目標(biāo)函數(shù)：關(guān)于x、y的一次式z=ax+by是欲達到最大值或最小值所涉及

4、的變量x、y的解析式，叫線性目標(biāo)函數(shù)線性規(guī)劃問題：一般地，求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題可行解、可行域和最優(yōu)解：滿足線性約束條件的解（x,y）叫可行解由所有可行解組成的集合叫做可行域使目標(biāo)函數(shù)取得最大或最小值的可行解叫線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解4、求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最優(yōu)解的步驟：（1）尋找線性約束條件，列出線性目標(biāo)函數(shù)；（2）由二元一次不等式表示的平面區(qū)域做出可行域；（3）依據(jù)線性目標(biāo)函數(shù)作參照直線ax+by0，在可行域內(nèi)平移參照直線求目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解（四）基本不等式1若a,bR,則a2+b22ab,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號.2如果a,b是正數(shù)，

5、那么變形： 有:a+b；ab,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號.3如果a,bR+,ab=P(定值),當(dāng)且僅當(dāng)a=b時,a+b有最小值;如果a,bR+,且a+b=S(定值),當(dāng)且僅當(dāng)a=b時,ab有最大值.注：（1）當(dāng)兩個正數(shù)的積為定值時，可以求它們和的最小值，當(dāng)兩個正數(shù)的和為定值時，可以求它們的積的最小值，正所謂“積定和最小，和定積最大”（2）求最值的重要條件“一正，二定，三取等”4.常用不等式有：（1）(根據(jù)目標(biāo)不等式左右的運算結(jié)構(gòu)選用) ；（2）a、b、cR，（當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號）；（3）若，則（糖水的濃度問題）。不等式主要題型講解（一） 不等式與不等關(guān)系題型二：比較大小（作差法、函數(shù)單調(diào)性、中間量

6、比較，基本不等式）1. 設(shè)，試比較的大?。ǘ?解不等式題型三：解不等式解不等式。 3 .2. 不等式的解集為x|-1x2，則=_, b=_3. 關(guān)于的不等式的解集為，則關(guān)于的不等式的解集為題型四：恒成立問題4. 關(guān)于x的不等式a x2+ a x+10 恒成立，則a的取值范圍是_5. 若不等式對的所有實數(shù)都成立，求的取值范圍.6. 已知且，求使不等式恒成立的實數(shù)的取值范圍。（三）基本不等式題型五：求最值7. 求下列函數(shù)的值域 （1）y3x 2 （2）當(dāng)時，求的最大值。8. （耐克函數(shù)型）求的值域。注意：在應(yīng)用基本不等式求最值時，若遇等號取不到的情況，應(yīng)結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性。9. （用耐克函數(shù)單調(diào)性

7、）求函數(shù)的值域。（1） 若實數(shù)滿足，則的最小值是 .（2） 已知，且，求的最小值。（3） 已知x，y為正實數(shù)，且x 21，求x的最大值.（4） 已知a，b為正實數(shù)，2baba30，求函數(shù)y的最小值.題型六：利用基本不等式證明不等式10. 已知為兩兩不相等的實數(shù)，求證：11. 已知a、b、c，且。求證：（四）線性規(guī)劃題型八：目標(biāo)函數(shù)求最值12. 滿足不等式組，求目標(biāo)函數(shù)的最大值13. 已知滿足約束條件： ,則的最小值是14. 已知變量（其中a0）僅在點（3，0）處取得最大值，則a的取值范圍為 。15. 已知實數(shù)滿足如果目標(biāo)函數(shù)的最小值為，則實數(shù)等于（ ）題型九：實際問題某餅店制作的豆沙月餅每個成

8、本35元，售價50元；鳳梨月餅每個成本20元，售價30元。現(xiàn)在要將這兩種月餅裝成一盒，個數(shù)不超過10個，售價不超過350元，問豆沙月餅與鳳梨月餅各放幾個，可使利潤最大？又利潤最大為多少？復(fù)習(xí)不等式的基本知識參考答案高中數(shù)學(xué)必修內(nèi)容練習(xí)-不等式1. ；2. ；3. 當(dāng)或時，1+；當(dāng)時，1+；當(dāng)時，1+4. （ RQP。5. 6. 或；7. ）；8. 不等式的解集為x|-1x2，則=_-6_, b=_6_9. ）.10. 解：當(dāng)a0時，不等式的解集為；2分當(dāng)a0時，a(x)(x1)0；當(dāng)a0時，原不等式等價于(x)(x1)0不等式的解集為；6分當(dāng)0a1時，1，不等式的解集為；8分當(dāng)a1時，1，不等

9、式的解集為；10分當(dāng)a1時，不等式的解為12分11. _0x4_12. ）13.14. 解：（1）y3x 22 值域為，+）（2）當(dāng)x0時，yx22；當(dāng)x0時， yx= （ x）2=2值域為（，22，+）15. （1）解，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，上式等號成立，故當(dāng)時，。（2）當(dāng)，即x2時取等號 當(dāng)x2時，的最大值為8。16. 解析一：當(dāng),即時,（當(dāng)且僅當(dāng)x1時取“”號）。解析二：本題看似無法運用基本不等式，可先換元，令t=x1，化簡原式在分離求最值。當(dāng),即t=時,（當(dāng)t=2即x1時取“”號）。17. 解：令，則因，但解得不在區(qū)間，故等號不成立，考慮單調(diào)性。因為在區(qū)間單調(diào)遞增，所以在其子區(qū)間為單調(diào)遞增函

10、數(shù)，故。所以，所求函數(shù)的值域為。18. （條件不等式）（1） 解： 都是正數(shù)，當(dāng)時等號成立，由及得即當(dāng)時，的最小值是6（2） 解：，當(dāng)且僅當(dāng)時，上式等號成立，又，可得時，（3） 解：xx x下面將x，分別看成兩個因式：x 即xx （4） 解：法一：a， abb由a0得，0b15令tb+1，1t16，ab2（t）34t28 ab18 y 當(dāng)且僅當(dāng)t4，即b3，a6時，等號成立。法二：由已知得：30aba2b a2b2 30ab2令u則u22u300， 5u33，ab18，y19. 已知為兩兩不相等的實數(shù)，求證：20. 正數(shù)a，b，c滿足abc1，求證：(1a)(1b)(1c)8abc21. 已知a、b、c，且。求證：證明：a、b、c，。同理，。上述三個不等