1、基礎(chǔ)-綜合-能力-創(chuàng)新導(dǎo)數(shù)知識點總結(jié)一.導(dǎo)數(shù)的概念:變化率問題:對于函數(shù)我們把叫做函數(shù)yf(x)從x1到x2的平均變化率。習(xí)慣上用xx2x1,即x看作是相對于x1的一個“增量”,可用x1 +x來代替x2;類似的yf(x2)f(x1)。即平均變化率也可表示為注意:1.瞬時變化率與瞬時速度的概念:導(dǎo)數(shù)定義:在點處的導(dǎo)數(shù)設(shè)是函數(shù)定義域的一點,若自變量在處有增量,則函數(shù)值也引起相應(yīng)增量;則比值稱為函數(shù)在點到之間的平均變化率;若極限存在,則稱函數(shù)在點處可導(dǎo),并把這個極限叫做在處的導(dǎo)數(shù),記作或,即=.注:是增量,我們也稱為“改變量”,因為可正,可負,但不為零(趨向0).已知函數(shù)定義域為,的定義域為,則與關(guān)

2、系為函數(shù)在點處連續(xù)是在點處可導(dǎo)的必要不充分條件.可以證明,如果在點處可導(dǎo),那么點處連續(xù).事實上,令,則相當(dāng)于.于是如果點處連續(xù),那么在點處可導(dǎo),是不成立的.例如:在點處連續(xù),但在點處不可導(dǎo),因為,當(dāng)0時,;當(dāng)0時,故不存在.另注:可導(dǎo)的奇函數(shù)函數(shù)其導(dǎo)函數(shù)為偶函數(shù).可導(dǎo)的偶函數(shù)函數(shù)其導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù).導(dǎo)函數(shù)的定義:導(dǎo)數(shù)的幾何意義:理解曲線的割線與切線的含義:函數(shù)在點處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是曲線在點處的切線的斜率,也就是說,曲線在點處的切線的斜率是,切線方程為二.常用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式:(這里是常數(shù))即常數(shù)的導(dǎo)數(shù)值為0特別地: 補充: 三.求導(dǎo)數(shù)的運算法則:法則1:;(口訣:和與差的導(dǎo)數(shù)等于導(dǎo)數(shù)的

3、和與差).法則2:(口訣:前導(dǎo)后不導(dǎo)相乘,后導(dǎo)前不導(dǎo)相乘,中間是正號)法則3:(口訣:分母平方要記牢,上導(dǎo)下不導(dǎo)相乘,下導(dǎo)上不導(dǎo)相乘,中間是負號)注:1)必須是可導(dǎo)函數(shù).2)若兩個函數(shù)可導(dǎo),則它們和、差、積、商必可導(dǎo);若兩個函數(shù)均不可導(dǎo),則它們的和、差、積、商不一定不可導(dǎo).例如:設(shè),則在處均不可導(dǎo),但它們和在處均可導(dǎo).3)運算法則也可以簡記為:四.復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù):復(fù)合函數(shù)的定義:對于兩個函數(shù)和,若通過變量,可以表示成的函數(shù),那么稱這個函數(shù)為函數(shù)和的復(fù)合函數(shù),記做復(fù)合函數(shù)yf(g(x)的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)yf(u),ug(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為,即y對x的導(dǎo)數(shù)等于對的導(dǎo)數(shù)與對的導(dǎo)數(shù)的乘積五.導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)

4、中的應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性在某個區(qū)間(a,b)內(nèi),如果,那么函數(shù)yf(x)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增;如果,那么函數(shù)yf(x)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.注意:具體求單調(diào)區(qū)間的時候,還必須考慮時的值(臨界點)取不取。函數(shù)的極值點與極值:若可導(dǎo),則“有實根”是“有極值”的必要不充分條件。(1)判斷點是極值點,是極值的方法:一般地,當(dāng)函數(shù)在點處連續(xù)時,如果在x0附近的左側(cè),右側(cè),那么f(x0)是極大值;如果在x0附近的左側(cè),右側(cè),那么f(x0)是極小值.(2)求可導(dǎo)函數(shù)極值的步驟:先求 再求方程的根;檢查在方程的根左右兩邊取值的符號.如果左正右負,那么f(x)在這個根處取得極大值;如果左負右正,那么f(x)在這個根

5、處取得極小值.注意:極值反映了函數(shù)在某一點附近的大小情況,刻畫了函數(shù)的局部性質(zhì)。極值的判別方法:極值是在附近所有的點,都有,則是函數(shù)的極大值。極小值定義同理。當(dāng)函數(shù)在點處連續(xù)時,如果在附近的左側(cè)0,右側(cè)0,那么是極大值;如果在附近的左側(cè)0,右側(cè)0,那么是極小值.也就是說為極值點的充分條件是點兩側(cè)導(dǎo)數(shù)異號,而不是=0.此外,函數(shù)不可導(dǎo)的點也可能是函數(shù)的極值點.當(dāng)然,極值是一個局部概念,極值點的大小關(guān)系是不確定的,即可能極大值比極小值小(函數(shù)在某一點附近的點不同).注意:若點是可導(dǎo)函數(shù)的極值點,則=0.但反過來不一定成立.對于可導(dǎo)函數(shù),其上一點為極值點的必要條件是若函數(shù)在該點可導(dǎo),則導(dǎo)數(shù)值為零.例

6、如:函數(shù),使=0,但不是極值點.例如:函數(shù),在點處不可導(dǎo),但點是函數(shù)的極小值點.函數(shù)的最值:若函數(shù)在閉區(qū)間上的圖象是一條連續(xù)不間斷的曲線，則該函數(shù)在閉區(qū)間上必有最大值和最小值。(1)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)的函數(shù)f(x)在a,b上必有最大值與最小值.(2)若函數(shù)f(x)在a,b上單調(diào)遞增,則為函數(shù)的最小值,為函數(shù)的最大值;若函數(shù)f(x)在a,b上單調(diào)遞減,則為函數(shù)的最大值,為函數(shù)的最小值.(3)設(shè)函數(shù)f(x)在a,b上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),求f(x)在a,b上的最大值和最小值的步驟如下:求f(x)在(a,b)內(nèi)的極值點;令將f(x)的各極值與比較,其中最大的一個是最大值,最小的一個是最小值.函

7、數(shù)的極值與最值的區(qū)別:極值是在局部對函數(shù)值進行比較,它反映函數(shù)在某一點附近的局部性質(zhì);最值是在整體區(qū)間上對函數(shù)值進行比較,它反映函數(shù)在整個定義域上的性質(zhì)。注意:函數(shù)的極值點一定有意義.導(dǎo)數(shù)的常見題型及解題思路一.用定義求導(dǎo)數(shù)的步驟:求函數(shù)的增量:;求平均變化率:;取極限得導(dǎo)數(shù):二.復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求法:換元,令,則 分別求導(dǎo)再相乘回代三.導(dǎo)數(shù)的物理意義1.求瞬時速度:物體在時刻時的瞬時速度就是物體運動規(guī)律在 時的導(dǎo)數(shù)，即有。2.Vs/(t)表示即時速度。a=v/(t)表示加速度。四.導(dǎo)數(shù)的幾何意義:函數(shù)在處導(dǎo)數(shù)的幾何意義,曲線在點處切線的斜率是。于是相應(yīng)的切線方程是:。題型:用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線注

8、意兩種情況：曲線在點處切線:。相應(yīng)的切線方程是:曲線過點處切線:先設(shè)切點,切點為,則斜率k=,切點 在曲線上,切點在切線上,切點坐標代入方程得關(guān)于a,b的方程組,解方程組來求切點,最后求斜率k=確定切線方程。五.函數(shù)的單調(diào)性：設(shè)函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，該區(qū)間內(nèi)為增函數(shù);該區(qū)間內(nèi)為減函數(shù);注意:當(dāng)在某個區(qū)間內(nèi)個別點處為零,在其余點處為正(或負)時,在這個區(qū)間上仍是遞增(或遞減)的。在該區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增在該區(qū)間內(nèi)恒成立;在該區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減在該區(qū)間內(nèi)恒成立;題型一.利用導(dǎo)數(shù)證明(或判斷)函數(shù)在某一區(qū)間上單調(diào)性:步驟:求導(dǎo)數(shù)判斷導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上的符號下結(jié)論該區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)； 該區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)；題型二.利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟為:分析的定義域;求導(dǎo)數(shù) 解不等式,解集在定義域內(nèi)的部分為增區(qū)間解不等式,解集在定義域內(nèi)的部分為減區(qū)間題型三.利用單調(diào)性求參數(shù)的取值(轉(zhuǎn)化為恒成立問題)思路一.在該區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增在該區(qū)間內(nèi)恒成立;在該區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減在該區(qū)間內(nèi)恒成立;思路二.先求出函數(shù)在定義域上的單調(diào)增或減區(qū)間，則已知中限定的單調(diào)增或減區(qū)間是定義域上的單調(diào)增或減區(qū)間的子集。題型四、導(dǎo)數(shù)圖象與原函數(shù)圖象關(guān)系導(dǎo)函數(shù) 原函數(shù) 的符號 單調(diào)性與x軸的交點且交點兩側(cè)異號 極值的增減性 的每一點的切線斜率的變化趨勢(的圖象的增減幅度)增 的每一點的切線斜