1、,2010年國(guó)家級(jí)精品課程,幾何與代數(shù)習(xí)題解析第五章,教學(xué)內(nèi)容和學(xué)時(shí)分配,第五章 特征值與特征向量,特 征 值 和 特 征 向 量,|EA| = |E(P1AP)|,i = tr(A), i = |A|,A可逆A的特征值0, 1/是A1的特征值; |A|/是A*的特征值.,|EA| = |EAT|,A = f(A) =f(),對(duì)應(yīng)于不同特征值的 特征向量線性無(wú)關(guān),AT=AR,對(duì)應(yīng)于不同 特征值的特征向量正交,相似對(duì)角化,P 1AP=diag(1,n),A有n個(gè)l.i.的特征向量,A(復(fù))r(iEA)=nni,A有n個(gè)不同特征值A(chǔ),A的零化多項(xiàng)式的根可能是 但未必都是A的特征值.,32. 設(shè)n2

2、, ,都是n維實(shí)特征向量,且,是一標(biāo)準(zhǔn)正交向量組，p,q都是非零實(shí)數(shù)，A=pT+q T.證明: (1) ,都是A的特征向量, 并求相應(yīng)特征值. (2) A相似于對(duì)角陣，并求相應(yīng)對(duì)角陣.,證明：,(1) A = pT +qT,所以實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A可相似于對(duì)角陣.,= pT,= p,A = pT +qT,= qT,= q,從而,都是A的特征向量, 相應(yīng)特征值為p,q.,(2),AT = (pT+qT)T = pT+qT = A,r(A) = r(pT+qT) r(pT)+r(qT) = 2,當(dāng)n=2時(shí)，A相似于對(duì)角陣 = diag(p, q),32. 設(shè)n2, ,都是n維實(shí)特征向量,且,是一標(biāo)準(zhǔn)正交向

3、量組，p,q都是非零實(shí)數(shù)，A=pT+q T.證明: (1) ,都是A的特征向量, 并求相應(yīng)特征值. (2) A相似于對(duì)角陣，并求相應(yīng)的對(duì)角陣.,證明：,所以實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A可相似于對(duì)角陣.,從而,都是A的特征向量, 相應(yīng)特征值為p,q.,(2),r(A) 2,當(dāng)n=2時(shí)，A相似于對(duì)角陣 = diag(p, q),當(dāng)n2時(shí)，|A|=0,則Q1AQ= diag(p, q,0,0),0是A的一個(gè)特征值,p,q都是非零實(shí)數(shù)，,0對(duì)應(yīng)的特征向量與,正交,設(shè)0對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)正交特征向量為3, n,令Q=(, 3, n),32. 設(shè)n2, ,都是n維實(shí)特征向量,且,是一標(biāo)準(zhǔn)正交向量組，p,q都是非零實(shí)數(shù)，A=pT+

4、q T.證明: (1) ,都是A的特征向量, 并求相應(yīng)特征值. (2) A相似于對(duì)角陣，并求相應(yīng)對(duì)角陣.,所以實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A可相似于對(duì)角陣.,(2),r(A) 2,當(dāng)n=2時(shí)，A相似于對(duì)角陣 = diag(p, q),當(dāng)n2時(shí)，,Q1AQ= diag(p, q,0,0),(3) 當(dāng)k滿足什么條件時(shí)，kE+A正定？,kE+A與kE+相似,(3) 當(dāng)k maxp, q 時(shí)，kE+A正定.,(3) 當(dāng)k max0,p, q 時(shí)，kE+A正定.,32. 設(shè)n2, ,都是n維實(shí)特征向量,且,是一標(biāo)準(zhǔn)正交向量組，p,q都是非零實(shí)數(shù)，A=pT+q T.證明: (1) ,都是A的特征向量, 并求相應(yīng)特征值. (

5、2) A相似于對(duì)角陣，并求相應(yīng)對(duì)角陣.,所以實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A可相似于對(duì)角陣.,(2),r(A) 2,當(dāng)n2時(shí)，,則Q1AQ= diag(p, q,0,0),令Q=(, 3, n),(09-10)一(10)(3分) 設(shè)A=(1,2, n)是n階正交陣, 則 的特征多項(xiàng)式是,B的特征值是 1 (r重)，0 ( nr重).,證明:,A = 1 , T =1, B = A 1 T = A 1 = = 0,對(duì)Ai =i i , i , i=2,n, B的特征值為,設(shè)n階實(shí)對(duì)稱(chēng)陣A的特征值為 是A的屬于1的單位特征向量， 證明： 的特征值為,Bi = Ai 1Ti, Bi = Ai = i i ., Ti =

6、 0,可去掉,33. 設(shè)n階實(shí)對(duì)稱(chēng)陣A的特征值為 是A的屬于1的單位特征向量， 證明： 的特征值為,證明:, B的特征值為,實(shí)對(duì)稱(chēng)陣A可正交相似對(duì)角化, 則令正交陣,Q=(, q2, qn), s.t.,Q1AQ= = diag(1, ,n), Q1BQ= Q1AQ 1 Q1TQ,= 1 QTTQ,TQ=(T, Tq2,Tqn),=(1, 0,0), Q1BQ= 1 (TQ)TTQ,(TQ)TTQ,= diag(1, 0, ,0),= diag(11,2 ,n),= diag(0,2 ,n),證明: (1),若n階方陣A滿足A2=2A. 證明：(1) r(2EA)+ r(A)=n, (2) A

7、相似于對(duì)角陣；,所以A相似于對(duì)角陣.,r(2EA)+ r(A) r(2EA+A)=n,r(2EA)+ r(A)n,(2EA)A=2AA2= 0,r(2EA)+ r(A) = n.,A的所有可能的特征值滿足2 2=0,(2), = 0,2.,由Ax=, A對(duì)應(yīng)0有nr(A)個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量.,由(2EA)x =, A對(duì)應(yīng)2有nr(2EA)個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量.,n階方陣A共有2nn=n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量,(3) 若r(A)=r, 求|A+E|.,解: (3),若n階方陣A滿足A2=2A. 證明：(1) r(2EA)+ r(A)=n, (2) A相似于對(duì)角陣；,并且A相似于對(duì)角陣.,A的所有可能的特征值滿足2 2=0