1、博弈的三個基本要素： 1.局中人(Player)： 參與對抗的各方；參與人是理性的、智能的。 2.策略集(Strategy set)： 局中人選擇對付其它局中人的行動方案稱為策略。 某局中人的所有可能策略全體稱為策略集； 3.局勢對策的益損值(支付 Payoff)： 各局中人各自使用一個對策就形成一個局勢，一個局勢決定了個局中人的對策結果(量化),稱為該局勢對策的益損值.,博弈的其它要素： 1.虛擬參與人(Pseudo-player) 指 “自然” （Nature）、“上帝” God，也即決定外生的隨機變量的概率分布的機制。 2.行動的順序(the order of play) 博弈中參與人實

2、施決策活動的順序。同時或有先有后。 其他因素不變，但順序不同，博弈的結果也不同。 不同順序意味著不同的博弈。靜態(tài)博弈和動態(tài)博弈。 3. 信息 (Information) 指一個博弈中參與人有關該博弈的知識，如關于N的選擇、其他參與人的策略集、支付函數(shù)、行動時間等. 完全信息、完美信息、共同知識、私人信息,“田忌賽馬”齊王在各局勢中的益損值表,齊王的策略集: S1=1, 2, 3, 4, 5, 6 田忌的策略集： S2=1, 2, 3, 4, 5, 6 下列矩陣稱齊王的贏得矩陣： 3 1 1 1 -1 1 1 3 1 1 1 -1 A= 1 -1 3 1 1 1 -1 1 1 3 1 1 1 1

3、 1 -1 3 1 1 1 -1 1 1 3,二人有限零和對策： （又稱二人有限零和博弈、矩陣對策、矩陣博弈） 局中人為2； 每局中人的策略集中策略權目有限； 每一局勢的對策均有確定的損益值，并且對同一局勢的兩個局中人的益損值之和為零； 同時行動，靜態(tài)博弈。,記矩陣對策為: G = S1, S2, A “齊王賽馬”即是一個矩陣策略.,甲的策略集,乙的策略集,甲的贏得矩陣,矩陣對策的最優(yōu)純策略,在甲方贏得矩陣中： A=aijmn I 行代表甲方策略 i=1,2m J 列代表乙方策略 j=1,2n aij代表甲方取策略 i,乙方取策略 j, 這一局勢下甲的益損值，此時乙的益損值為-aij（零和性質(zhì)

4、）。 在討論各方采用的策略是必須注意一個前提就是對方是理智的。這就是要從最有把握取得的益損值情況考慮。,例：有交易雙方公司甲和乙，甲有三個策略1，2，3；乙有四個策略1，2，3，4，根據(jù)獲利情況建立甲方的益損值 贏得矩陣。 問：甲公司應采取什么策略比較適合？,甲：采取1至少得益3 2 0 3 -4 乙：采取1甲最多得益2(乙最少-2 ) 2 3 (乙-3 ) 3 0 (乙 0 ) 4 3 (乙-3 ),甲采取策略2 不管乙采取如何策略，都至少得益。 乙采取策略3 不管甲采取如何策略，都至少可以得益。（最多損失0） 分別稱甲，乙公司的最優(yōu)策略，由唯一性又稱最優(yōu)純策略。 最優(yōu)純策略存在前提： ma

5、x min aij = min max aij = v i j j i 又稱(2 ，3) 為對策G=s1,s2,A的鞍點。 值V為G的值。,純策略Nash均衡,Nash：電影美麗心靈A Beautiful Mind,Nash均衡,若策略(s1*, , sk-1*, sk*, sk+1*, , sn* ) 對任意參與人 i 和策略 k 均滿足： ui (s1*, , sk-1*, sk*, sk+1*, , sn* ) ui (s1*, , sk-1*, sk, sk+1*, , sn* ) 則稱(s1*, , sk-1*, sk*, sk+1*, , sn* ) 為該博弈的Nash均衡。,例1

6、：團體對抗賽 甲、乙兩隊開展三人制團體對抗賽，各隊的陣容安排視為一種策略，各種局勢下的損益值可由下面的甲的贏得矩陣所示：問兩隊在穩(wěn)妥原則下會選擇何種陣容？,解： max min aij = max 1, -3, -1=1 i j i min max aij = min 3, 1, 3 =1 j i j,故(1 ，2) 為上述對策的最優(yōu)純策略,例2：預先采購與大自然博弈 冬季消耗煤：冷 20噸 正常 15噸 暖 10噸 冬季煤價： 冷 20元 正常 15元 暖 10元 已知秋季煤價10元，問秋季應采購多少噸？,解：max min aij = max -300, -250, -200 = -200

7、 i j i min max aij = min -100, -150, -200 = -200 j i j,故(3 ，3) 為 上述對策的最 優(yōu)純策略,設矩陣對策 G =S1,S2,A 當 max min aij min max aij 時， i j j I 不存在最優(yōu)純策略。 任務轉變?yōu)椋?求解混合策略。,矩陣對策的混合策略,混合策略Nash均衡,例：設一個贏得矩陣如下:,例3：猜拳博弈 甲乙各出1，2，3中一個數(shù)字，兩人數(shù)字之和為m，若A為 奇數(shù)，甲付給乙m；若為偶數(shù)，乙付給甲m，求最優(yōu)策略。,解：max min aij = max -3, -3, -5 = -3 i j i min m

8、ax aij = min 4, 4, 6 = 4 j i j,不存在最 優(yōu)純策略,本例的最優(yōu)混合策略為：,甲： X* = (0.25，0.5，0.25)T V=0 乙： Y* = (0.25，0.5，0.25)T V=0,假設矩陣對策 G = S1, S2, A 甲方贏得矩陣 A=aijmn - 若存在兩行(列)，s 行(列)的各元素均優(yōu)于 t 行(列)的元素，即 asjatj ，j=1,2n (ais ait ， i=1,2m ) 稱甲方策略s優(yōu)超于t ( s優(yōu)超于t),優(yōu)超原則,當局中人甲方的策略t被其它策略所優(yōu)超時, 可在其贏得矩陣A中劃去第t行 (同理, 當局中人乙方的策略t被其它策略

9、所優(yōu)超時, 可在矩陣A中劃去第t列)。 如此得到階數(shù)較小的贏得矩陣A, 其對應的矩陣對策 G= S1, S2, A 與 G = S1, S2, A 等價, 即解相同。,被第3、4行所優(yōu)超,被第3行所優(yōu)超,被第 1、2 列所 優(yōu)超,例 設甲方的益損值 贏得矩陣。得到：,被第1行所優(yōu)超,被第1列所優(yōu)超,對A4計算，用線性規(guī)劃方法得到： （注意：余下的策略為3，4，1，2） 甲： X* = (0， 0， 1/15，2/15，0)T V=5 X*= (0， 0， 1/3 ， 2/3 ，0)T 乙： Y* = (1/10，1/10， 0， 0， 0)T V=5 Y*= (1/2 ， 1/2 ， 0， 0

10、， 0)T 注： 利用有超原則化簡贏得矩陣時，有可能將原對策問題的解也劃去一些（多解情況）； 線性規(guī)劃求解時有可能是多解問題。,反應函數(shù)：分贓博弈,博弈方1和博弈方2就如何分10000元進行討價還價。 規(guī)則： 雙方同時提出自己要求的數(shù)額s1和s2, 0s1，s210000 s1+s210000，則兩博弈方的要求都得到滿足，即分別得s1和s2，但如果s1+s10000，則該筆錢就被沒收。 問該博弈的純策略納什均衡是什么？如果你是其中一個博弈方，你會選擇什么數(shù)額，為什么？,反應函數(shù),答案: 假設博弈方1選擇s1，給定博弈方2的策略，博弈方1將選擇Maxs1=10000-s2, 這就是博弈方1的反應

11、函數(shù). 同理, 博弈方2對于另一人的反應函數(shù)為s2=10000-s1 解得：s1, s2為滿足s1+s2=10000的任意值. 此外，如果雙方判斷彼此的選擇是相同的，則s1=5000, s2=5000,反應函數(shù)：配比捐款,另一道題： 一個小鎮(zhèn)上，有N個人（人數(shù)大于3），每個人有100元，如果每人都捐款一筆（每人捐款數(shù)額可以不同，并可以為零），共募集到F元。那么李嘉誠愿意再拿出F元來，最后這筆錢給他們平均分配，也就是說，他們可以每人分得2F/N元。 問：在均衡的情況下，每人愿意集資多少？,反應函數(shù),答案: 假設捐款數(shù)量分別為s1， s2, ,sN. 給定其他人的策略，博弈方1的選擇是如下的反應函

12、數(shù)： Max 2F/N-s1 = 2(s1+ s2+ +sN) /N-s1 可見，博弈方1的最佳選擇是取S1=0 同理，所有人選擇策略都是0. 思考：如何能夠通過機制設計，來保證這種捐助的成功？,兩個囚徒的選擇：或者供出同伙，或者抵賴。 各種選擇的后果：都抵賴：沒有證據(jù)，均無罪釋放 都認罪：坦白從寬，均判處輕刑； 一人招供一人抵賴： 招供方無罪釋放，并有立功獎勵 抵賴方判處重刑，且判處罰金,1.囚徒困境,博弈說明： 完全信息靜態(tài)博弈 存在純策略Nash均衡 可用優(yōu)超求解,黃色為均衡解,延伸： (1)愛情博弈、軍備競賽、價格聯(lián)盟、股市博弈 (2)有限次重復囚徒博弈的解不變 (3)無限次重復囚徒博

13、弈，結果是二人互相信任 (4)多人重復囚徒博弈：只要有一人上次背叛，即背叛,為什么麥當勞、肯德基總是開在一起？,2.位置困境,博弈說明： 完全信息動態(tài)博弈 存在子博弈精煉Nash均衡,延伸： （1）電視節(jié)目扎推現(xiàn)象 （2）商業(yè)中心、產(chǎn)業(yè)集聚 （3）政黨爭議為何總是趨向中間路線？,兩人合作獵鹿，得鹿一頭(10)平分：各得價值5； 一人獵鹿一人獵兔：前者一無所有，后者得兔一只價值3； 二人均獵兔，各得兔一只，各得價值3.,3.獵鹿博弈,博弈說明： 完全信息靜態(tài)博弈 存在兩個純策略Nash均衡,黃色為均衡解,啟示： (1)企業(yè)強強聯(lián)合，接近于獵鹿模型的帕累托改善 (2)獵鹿模型是假設獵人雙方平均分配

14、獵物，如果分配權不同，可能無法帕累托改善 (3)多人狩獵博弈，根據(jù)分配可以分成既得利益集團與弱勢群體,大豬、小豬同槽，控制食物供應依靠按鈕。按一次按鈕有8個單位食物進槽，但需承擔2個單位的成本。按者后進槽。 若二者同時按按鈕同時進槽，大豬吃到5個食物，小豬3個 若小豬按按鈕大豬先進槽，大豬吃7個食物，小豬吃到1個 若大豬按按鈕小豬先進槽，大豬、小豬都吃到4個食物。,4.智豬博弈,博弈說明： 純策略均衡最優(yōu)策略：大豬按，小豬等待。 大豬的收益外部化，小豬不勞而獲，免費搭了大豬的便車。,黃色為均衡解,延伸： (1)新產(chǎn)品引入時，小企業(yè)的跟隨戰(zhàn)術 (2) 一個和尚挑水喝，兩個和尚抬水喝，三個和尚沒水

15、喝 (3) Scott公司 與可口可樂、百事可樂的競爭 (4) 股市上的小豬策略 (5) 改變機制，避免智豬搭便車,二人進行膽小鬼游戲，從兩頭沖向獨木橋。 如均勇進，則兩敗俱傷，效用均為-2； 若均膽怯，則受到嘲笑，效用為0； 如一方勇進一方膽怯，勇進方得到歡呼，效用4， 膽怯方受到嘲笑，效用-1.,5.膽小鬼博弈,博弈說明： 兩個純策略均衡最優(yōu)策略(膽怯，勇進)(勇進，膽怯) 狹路相逢勇者勝。,黃色為均衡解,延伸： (1)討債博弈 (2)房地產(chǎn)開發(fā)博弈 (3)賭博：跟還是不跟 (4) 贏者通吃輪流叫價拍賣,6.海盜分金,10個海盜分100金幣， 先由最兇殘的海盜來提出分配方案，然后大家一人一

16、票表決，如果有50%或以上的海盜同意這個方案，那么就以此方案分配，如果少于50%的海盜同意，那么這個提出方案的海盜就將被丟到海里去喂魚，然后由剩下的海盜中最兇殘的那個海盜提出方案，依此類推。,動態(tài)博弈的最優(yōu)策略： 96、0、1、0、1、0、1、0、1、0 先發(fā)優(yōu)勢很重要,先考慮只有2個海盜的情況（其他海盜已丟到海里）。記他們?yōu)镻1和P2，其中P2比較兇殘。P2的最佳方案當然是：他自己得100枚金幣，P1得0枚。投票時他自己的一票就足夠50%了。 往前推一步?，F(xiàn)在加一個更兇猛的海盜P3。P1知道P3知道他知道如果P3的方案被否決了，游戲就會只由P1和P2來繼續(xù)，而P1就一枚金幣也得不到。所以P3

17、知道，只要給P1一枚金幣，P1就會同意他的方案。所以P3的最佳策略是：P1得1枚，P2什么也得不到，P3得99枚。 P4的情況差不多。他只要得兩票就可以了，給P2一枚金幣就可以讓他投票贊同這個方案，因為在接下來P3的方案中P2什么也得不到。P5也是相同的推理方法只不過他要說服他的兩個同伴，于是他給每一個在P4方案中什么也得不到的P1和P3一枚金幣，自己留下98枚。 依此類推。,延伸： (1)拉攏小人物，來對抗大人物 (2)歷史上的革命都是拉上貧苦大眾,練習：分豆子博弈,5個囚犯，分別按1-5號在裝有100顆綠豆的麻袋抓綠豆，規(guī)定每人至少抓一顆，而抓得最多和最少的人將被處死，而且，他們之間不能交

18、流，但在抓的時候，可以摸出剩下的豆子數(shù)。問他們中誰的存活幾率最大？ 提示： 1，他們都是很聰明的人 2，他們的原則是先求保命，再去多殺人 3，100顆不必都分完 4，若有重復的情況，則也算最大或最小，一并處死,十支箭與四十追兵問題,假如你是一位英雄，手中的劍已經(jīng)折斷，而在你后面，正有一幫壞人追殺你。幸運的事，你騎著馬，而他們卻沒有。不幸的事，你的馬已經(jīng)筋疲力竭，而他們將最中會抓到你。幸好你有一把弓箭?？上阒挥惺Ъ?。值得慶幸的事，作為一位英雄，你總是百發(fā)百中，從未失過手。糟糕的事，后面有四十個壞人，他們以一定的間隔在你身后橫向排開一隊，以最快的速度向前沖。他們離你很緊，已經(jīng)到了射程之內(nèi)。 請運用經(jīng)濟學的方法逃脫,7.最后通牒博弈,2個海盜分100金幣： A提出分配方案，如果B同意，則以此分配；若不同意，則雙方均一無所得,最優(yōu)策略： 1，99 后發(fā)優(yōu)勢也很重要,延伸： (1)男生給女生切蛋糕 (2)找工作時要求年薪很低,在進入選美博弈后看到的第一個頁面