1、第五章 插值型數(shù)值微分與數(shù)值積分,5.1 插值型數(shù)值微分公式 5.2 插值型數(shù)值積分,5.1 插值型數(shù)值微分公式,當(dāng) x 為插值節(jié)點(diǎn) 時(shí)，上式簡(jiǎn)化為,故一般限于對(duì)節(jié)點(diǎn)上的導(dǎo)數(shù)值采用插值多項(xiàng)式的相應(yīng)導(dǎo)數(shù)值進(jìn)行近似計(jì)算，以便估計(jì)誤差。,一般地,這類公式稱為插值型數(shù)值微分公式。,5.1.1 常用的數(shù)值微分公式,給定兩點(diǎn)上的函數(shù)值,這稱為兩點(diǎn)公式。,若給定三點(diǎn)上的函數(shù)值 則由,這稱為三點(diǎn)公式，其中（54b）又稱為中點(diǎn)公式。,進(jìn)一步由 可得計(jì)算公式,5.1.2 數(shù)值微分公式的誤差分析,兩點(diǎn)公式的截?cái)嗾`差為,這里,(5-6),三點(diǎn)公式的截?cái)嗾`差為,(5-7),這里,例 5.1 為計(jì)算 在 x=2 處的一階

2、導(dǎo)數(shù)值，我們可選用中點(diǎn)公式,當(dāng)計(jì)算保留四位小數(shù)時(shí)，得到計(jì)算結(jié)果如表5-1(書103頁(yè)）。,而精確值為 ，可見當(dāng) h=0.1時(shí)近似結(jié)果最好，步長(zhǎng)太大或太小計(jì)算效果均不好。,為估計(jì)二階導(dǎo)數(shù)數(shù)值微分公式的誤差，可設(shè) f (x) 四階連續(xù)可微，故得,從而得到誤差估計(jì)式,5.2 插值型數(shù)值積分,插值型數(shù)值積分的思想是： 若已知 則利用拉格朗日插值多項(xiàng)式建立近似計(jì)算公式,這里,稱為插值型求積公式， 稱為求積節(jié)點(diǎn)，,稱為求積系數(shù)，其和,5.2.1 牛頓柯特斯公式,則 ，N-C求積公式表示為,特別地,這稱為梯形公式；,這稱為Simpson公式；,這稱為Cotes公式。,對(duì)應(yīng)于 情形的Cotes系數(shù)見表5-2

3、(書106頁(yè))。,5.2.2 復(fù)合求積公式,求積公式的穩(wěn)定性分析：,復(fù)合求積的方法：,當(dāng)取 m=1 時(shí)，稱為復(fù)合梯形公式，簡(jiǎn)記為Tn,當(dāng)取 m=2 時(shí)，稱為復(fù)合Simpson公式，簡(jiǎn)記為Sn,當(dāng)取 m=4 時(shí)，稱為復(fù)合Cotes公式，簡(jiǎn)記為Cn(公式見書107頁(yè)）,例 5.2 試?yán)帽?-3的函數(shù)表，分別用復(fù)合梯形公式、復(fù)合Simpson公式和復(fù)合Cotes公式計(jì)算定積分,解,5.2.3 插值型求積公式的誤差分析與步長(zhǎng)減半算法,記 為采用插值型求積公式進(jìn)行積分近似的截?cái)嗾`差，則由多項(xiàng)式插值公式的誤差估計(jì)式（5-1）得,因此，當(dāng) f(x) 為次數(shù)不超過 n 次的多項(xiàng)式時(shí)，插值型求積公式精確成立，

4、由此引出“代數(shù)精度”的概念。,定義 5.1（代數(shù)精度） 若近似于定積分的數(shù)值積分公式當(dāng)且僅當(dāng) f(x) 為次數(shù)不高于 n 次的代數(shù)多項(xiàng)式時(shí)恒等于定積分 I , 則稱該數(shù)值積分公式的代數(shù)精度為 m（次）。,由定義知，插值型求積公式的代數(shù)精度至少為n 。,定理 5.1 設(shè) In 為由 N-C 公式（5-10）計(jì)算生成，則當(dāng) n 為奇數(shù)時(shí)，In 的代數(shù)精度為 n ；當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí)， In 的代數(shù)精度為n+1，且當(dāng) 在區(qū)間 a, b 上連續(xù)時(shí)，我們有如下誤差估計(jì)式,特別地，,從而可得,為便于估計(jì)誤差，實(shí)際計(jì)算時(shí)常常采用步長(zhǎng)逐次減半的算法，下面介紹其思想。,由,得,所以,因此，可先用 計(jì)算出T1，并把

5、步長(zhǎng)減半算出T2 ，若 則T2 即為所求的近似值，否則再把步長(zhǎng)減半，算出T4， 根據(jù)式 (5-18a) 進(jìn)行事后誤差估計(jì) ， 如此遞推計(jì)算，直到某個(gè)n 滿足 為止 ，取 為所求的近似值，這就是梯形公式的步長(zhǎng)逐次減半算法。,類似地，可對(duì) Simpson 公式和 Cotes 公式分別利用（5-18b）和（5-18c）進(jìn)行事后誤差估計(jì)，建立步長(zhǎng)逐次減半的算法。,為減少計(jì)算量，需建立遞推公式，現(xiàn)對(duì)復(fù)合梯形公式推導(dǎo)之。,這里 對(duì)應(yīng)于新的步長(zhǎng)， 對(duì)應(yīng)于新分點(diǎn)。,因此可建立梯形公式的步長(zhǎng)逐次減半遞推公式：,例 5.3 試用梯形公式的步長(zhǎng)逐次減半算法計(jì)算定積分 使誤差小于 。,解,一般的計(jì)算結(jié)果見表5-4 (書112頁(yè))。,5.2.4 龍貝格積分法,這說明收斂較快的 Simpson 步長(zhǎng)減半序列 可由梯形公式的步長(zhǎng)減半序列 構(gòu)造生成。,類似地，,(5-20c)稱為龍貝格（Romberg）積分公式。按以上方法可繼續(xù)外推下去，建立如下收斂較快的外推算法龍貝格積分法（書114頁(yè)）。,例 5.4 試用龍貝格積分法求解例5.3的定積分 使誤差小于,用龍貝格積分法求解得到表5-5（書116頁(yè)）。 由于 ，故取,與例5.3比較可見，對(duì)于該積分采用梯形公式的步長(zhǎng)逐次減半算法計(jì)算所需乘除工作量為 ， 并需計(jì)算 個(gè)