1、6.3 置 換 群,6.3.1 置換的定義 6.3.2 置換的輪換表法 6.3.3 置換的順向圈表示 6.3.4 置換的奇偶性,6.3.1 置換的定義,定義. 設M是一個非空的有限集合，M的一個一對一變換稱為一個置換。 設M=a1,a2,an,則M的置換可簡記為 ，bi=(ai)，i=1,2,n 結(jié)論：M的置換共有n！個。 M上的置換稱為n元置換。 特別地， 若(ai)=ai, i=1,2,n,則為n元恒等置換。 Sn: n！個置換作成的集合。,置換的例,設M=1，2，3，則有3！=6個3元置換， 所有元素不動：1 一個元素不動：2 3 4 0個元素不動：5 6 故，S3 = 1，2，3，4，

2、5，6,置換的乘法,對M中任意元素a及M的任意兩個置換，規(guī)定（a）=（a）。 例. 設 ， 則= ， = ,滿足結(jié)合律：()=()，, Sn。 Sn中有單位元: n元恒等置換，設為0，有：0=0 ，Sn 每個n元置換在Sn 中都有逆元素: =,置換的乘法的性質(zhì),n次對稱群,n元置換的全體作成的集合Sn對置換的乘法作成一個群，稱為n 次對稱群。 n=1，M=a， S1= 在置換的乘法作成1次對稱群，為Abel群。 n=2, M=a，b, S2= , .在置換的乘法作成2次對稱群，為Abel群。 當n 3時，Sn不是交換群。,輪換. 設是M的置換，若可取到M的元素a1, ,ar 使 (a1)a2,

3、(a2)=a3,(ar-1)=ar,(ar)=a1， 而不變M的其余的元素（自己變換到本身），則稱為一個輪換， 記為 （a1 a2 ar ）,6.3.2 置換的輪換表法輪換的定義,例 =（134）=（341）=（413）,M的兩個輪換 =(a1ar)和=(b1bs)說 是不相雜或不相交，如果 a1,ar和b1,bs 都不相同(即a1, ,arb1,bs= ),不相雜輪換,不相雜輪換,結(jié)論：若和是M的兩個不相雜的輪換，則=. 證明：設=（a1ar），=（b1bs）， 和不相雜。命為M的任意元 若a1,ar，設=ai，則 ()=(ai)=(ai)=ai+1， ()=(ai)=(ai+1)= ai+

4、1 。 i=r時,ai+1應改為a1。 故,()=()。,不相雜輪換,同理可證，若 b1,bs， ，也有（）=（）。 設 a1,ar,b1,bs, 于是， （）=（）=， （）=（）=。 綜上，（）=（），故 =。,定理6.3.2 任意置換恰有一法寫成不相雜的 輪換乘積。即，任意置換可以寫成不相雜的 輪換的乘積（可表性），如果不考慮乘積的順 序，則寫法是唯一的(唯一性)。,不相雜輪換,證明： （1）可表性。 設是M上置換，任取a1M。 若（a1） = a1，則有輪換（a1）。 設（a1）= a2， （a2）= a3，。由于M有限，故到某一個元素ar，(ar)必然不能再是新的元素,即(ar) a

5、1,ar。由于是一對一的，已有（ai）= ai+1，i=1，2， ，r-1，所以(ar)只能是a1。于是得到一個輪換（a1ar）。,若M已經(jīng)沒有另外的元素，則就等于這個輪換，否則設b1不在a1，ar之內(nèi)，則同樣作法又可得到一個輪換（b1bs）。因為a1，ar各自已有變到它的元素，所以b1，bs中不會有a1，ar出現(xiàn)，即這兩個輪換不相雜。若M的元素已盡，則就等于這兩個輪換的乘積，否則如上又可得到一個輪換。如此類推，由于M有限，最后必得 =(a1ar)(b1bs) (c1ct) (1) 即表成了不相雜的輪換的乘積。,證明,（2）唯一性. 設又可表為不相雜的輪換的乘積如下： =(a1ar)(b1bs

6、) (c1ct) (2) 考慮(1)式中任意輪換(a1ar)。 不妨設 a1a1ar，且a1a。 于是，a2=（a1）=（a1）= a2， a3=（a2）=（a2）= a3，,證明,證明 可見，（a1ar）必和（a1ar）完全相同。這就是說，（1）中的任意輪換必出現(xiàn)在（2）中，同樣（2）中的任意輪換必出現(xiàn)在（1）中，因之，（1）和（2）一樣，最多排列的方法不同，但不相雜的輪換相乘適合交換律，所以排列的次序本來是可以任意顛倒的。,例. 設M=1，2，3，4，M的24個置換可寫成： I； (1 2),(1 3),(1 4),(2 3),(2 4),(3 4)； (1 2 3),(1 3 2),(1

7、 2 4),(1 4 2), (1 3 4),(1 4 3),(2 3 4),(2 4 3)； (1 2 3 4),(1 2 4 3),(1 3 2 4),(1 3 4 2), (1 4 2 3),(1 4 3 2), (1 2)(3 4),(1 3)(2 4),(1 4)(2 3)。,輪換的長度 其中所含的元素個數(shù)。 （a1a2ar）長度為r。 對換 長度為的輪換。 結(jié)論. 任意輪換可以寫成對換的乘積。 (a1a2ar)(a1ar)(a1ar)(a1 a3)(a1a2) (3) 證明：對r進行歸納，當r=2時命題顯然成立，假設r=t時結(jié)論為真，考慮=(a1a2arat+1)的情況。令1=(a

8、1at+1)， 2=(a1a2at)，下面證明= 1 2。,對換,任取lS,若l a1,a2,at-1，不妨設l=am,則(l)= (am)=am+1， 1 2(l)= 1 (am+1)=am+1； 若l=at，則(l)=at+1= 1(a1)= 1 (2(at)= 1 2(at)= 1 2(l)； 若l=at+1，則(l)= (at+1)= a1=1 (at+1)= 1 (2(at+1)= 1 2(l)； 若l a1,a2,at+1，則 (l)=l= 1(l)= 1 (2(l)= 1 2(l)，即 = 1 2 =(a1at+1) 2。由歸納假設， 2=(a1a2at)，可表為(a1at)(a

9、1at-1)(a1a2)，所以= (a1at+1) (a1at)(a1at-1)(a1a2)，歸納法完成。,有興趣的同學可以采用直接證明的方法進行證明。 推論. 對任意置換，有一法(未必只有一法)可將其寫成一些對換的乘積。 ()=(1 2)(1 3)(1 3)=(2 3)(1 3)(2 3)。,先把置換表成不相雜輪換之乘積，然后用一組順向圈來表示 每個順向圈的長度，即圈上所含的元素個數(shù)，就是該圈所表示的輪換的長度。 一個n元置換對應一組順向圈，這組圈的長度之總和為n；反之，一組順向圈表示一置換，置換的元素個數(shù)就是組中各圖長度之總和。,6.3.3 置換的順向圈表示,1 3 2 4,n元置換對應圖

10、形表達式 （圖型） G = =1z1 +2z2 + +rzr zi表示長度為i的圈,而zi的系數(shù)i表示如此的zi的個 數(shù);諸為非負整數(shù), 01n,n=0或1； 1+22+rr = n,6.3.3 置換的順向圈表示,設表為k個不相雜的輪換的乘積(包 括長度為1的輪換在內(nèi))，長度分別為 r1，r2，rk。 若 =n-k為奇數(shù)（偶數(shù)），則稱為奇置換（偶置換）。 例如 = =（134）是偶置換 是奇置換,6.3.4 置換的奇偶性,因每個長度為r的輪換可寫成r-1個對換的乘 積： (a1a2ar)(a1ar)(a1ar)(a1 a3)(a1a2) 于是可寫成 =n-k 個對換的乘積。 結(jié)論：奇置換可表為

11、奇數(shù)個對換之積， 偶置換可表為偶數(shù)個對換之積。,定理6.3.3 每個置換都能分解為對換的乘積，但偶置換只能分解為偶數(shù)個對換的乘積，奇置換只能分解為奇數(shù)個對換的乘積。 證明.只需證明 “只能分解”。 任取Sn，設等于k個輪換之積，這些 輪換分別含r1，r2，rk個元素，于是 可以寫成 個對換之積， 定義置換的符號sgn如下： sgn=,顯然，偶置換的符號為1，奇置換的符 號為-1。 首先證明 sgn=sgnsgn （4） 設等于k個不相雜輪換之積，等于h個不相雜輪換之積，且寫成對換乘積時最后一個對換為（a b）。 以（a b）乘而看其變化。,(1)若a和b在的兩個不同的輪換之內(nèi): =（aa1as

12、）（bb1bi） 則 （ab）=（aa1asbb1bi） 若為h個不相雜輪換之積，則（ab）為（h-1）個不相雜輪換之積, 故，sgn(ab)= (-1)n-(h-1) = -(-1)n-h = -sgn (2)若a和b在的同一個輪換之內(nèi): =（aa1asbb1bi） 則（ab）=（aa1as）（bb1bi） 故， sgn(ab)= (-1)n-(h+1) = -(-1)n-h = -sgn,補充證明,(ab)=(ab)(aa1as)(bb1bi) =,總之，以一個對換乘則將sgn變號， 今等于（n-k）個對換之積，故以乘 將sgn變號（n-k）次，即 sgn= (-1)n-ksgn=sgns

13、gn 因此，和的奇偶性與其乘積的奇偶性之關系如下： 偶偶=偶， 奇奇=偶， 奇偶=奇， 偶奇=奇。 因為對換是奇置換，所以只有奇數(shù)個 對換之積是奇置換，偶數(shù)個對換之積是偶 置換。,定理6.3.4 設M的元數(shù)為n，若n1，則奇置換的個數(shù)和偶置換的個數(shù)相等，都等于 。 證明：命 1，2，m （5） 為M的所有偶置換，由于n1，故可取到一個對換，而作下列乘積： 1，2，m （6） 顯然i是奇置換，而且諸i互不相同， 即（6）中無重復元素。反證，若i=j，則以-1左乘得i=j，矛盾，這說明M的奇置換不少于偶置換。,反之，若為M的任意奇置換，則 -1為偶置換，故必等于某一個i， -1=i，因而=i，這說

14、明M的 任意奇置換必在（6）中，（6）就是M的 所有奇置換，M的奇置換不多于偶置換。 于是奇置換的個數(shù)和偶置換的個數(shù)相等， 各占置換總數(shù)n！的一半。,定義之奇偶性的整數(shù) = n-k稱為的定性數(shù)。 定理6.3.5 設n元置換有圖型G= 則之定性數(shù)等于= 證明.n=1+22+rr+nn k=1+2+r+n n-k=2+（r-1）r+（n-1）n =,置換的定性數(shù),例子,圖1是一個22的方格圖形，它可以圍繞中心旋轉(zhuǎn)，也可以圍繞對稱軸翻轉(zhuǎn)，但要求經(jīng)過這樣的變動以后的圖形要與原來的圖形重合（方格中的數(shù)字可以改變）。例如，當它繞中心逆 時針旋轉(zhuǎn)900以后，原來的數(shù)字1，2， 3，4分別變?yōu)?，3，4和1，

15、可以把 這個變化看作是1，2，3，4上的 圖1 一個置換（4321）。下面給出所有可能的置換： 1=(1) 繞中心順時針轉(zhuǎn)00； 2=(1234) 繞中心順時針轉(zhuǎn)900； 3=(13)(24) 繞中心順時針轉(zhuǎn)1800；,4=(1432) 繞中心順時針轉(zhuǎn)2700； 5=(12)(34) 繞垂直軸翻轉(zhuǎn)1800； 6=(14) (23) 繞水平軸翻轉(zhuǎn)1800 ； 7=(24) 繞西北-東南軸翻轉(zhuǎn)1800； 8=(13) 繞西南-東北軸翻轉(zhuǎn)1800。 表1給出它們的運算表。令D4=1, 2, 8，易見D4關于置換的乘法是封閉的。 1=(1)是單位元。且1-1 =1, 2-1 =4, 3-1 =3, 4-1 =2, 5-1 =5, 6-1 =6, 7-1 =7, 8-1 =8,構(gòu)成一個群，且是S4的子群。,表1,例子,例 設