1、高考數(shù)學壓軸題精選(一)1（本小題滿分12分）設函數(shù)在上是增函數(shù)。求正實數(shù)的取值范圍；設，求證：解：（1）對恒成立，對恒成立又為所求。（2）取，一方面，由（1）知在上是增函數(shù)，即另一方面，設函數(shù)在上是增函數(shù)且在處連續(xù)，又當時，即綜上所述，2已知橢圓C的一個頂點為，焦點在x軸上，右焦點到直線的距離為（1）求橢圓C的方程；（2）過點F（1，0）作直線l與橢圓C交于不同的兩點A、B，設，若的取值范圍。解：（1）由題意得：1分由題意所以橢圓方程為3分（2）容易驗證直線l的斜率不為0。故可設直線l的方程為中，得設則5分有由7分又故8分令，即而，10分3設函數(shù)（1）若時函數(shù)有三個互不相同的零點，求的范圍；

2、（2）若函數(shù)在內(nèi)沒有極值點，求的范圍；（3）若對任意的，不等式在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍解：（1）當時，因為有三個互不相同的零點，所以，即有三個互不相同的實數(shù)根。令，則。因為在和均為減函數(shù)，在為增函數(shù)，的取值范圍（2）由題可知，方程在上沒有實數(shù)根，因為，所以（3），且，函數(shù)的遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為和；當時，又，而，又在上恒成立，即，即在恒成立。的最小值為4（本題滿分14分）已知橢圓的離心率為，直線與以原點為圓心、以橢圓的短半軸長為半徑的圓相切。（）求橢圓的方程；（）設橢圓的左焦點為F1，右焦點為F2，直線過點F1，且垂直于橢圓的長軸，動直線垂直于點P，線段PF2的垂直平分線交于點M，求點M的

3、軌跡C2的方程；（）若AC、BD為橢圓C1的兩條相互垂直的弦，垂足為右焦點F2，求四邊形ABCD的面積的最小值解：（）相切橢圓C1的方程是3分（）MP=MF2，動點M到定直線的距離等于它到定點F2（2，0）的距離，動點M的軌跡C是以為準線，F(xiàn)2為焦點的拋物線點M的軌跡C2的方程為6分（）當直線AC的斜率存在且不為零時，設直線AC的斜率為k，則直線AC的方程為聯(lián)立所以9分由于直線BD的斜率為代換上式中的k可得，四邊形ABCD的面積為12分由所以時取等號13分易知，當直線AC的斜率不存在或斜率為零時，四邊形ABCD的面積5（本小題滿分14分）已知橢圓1（ab0）的左右焦點分別為F1F2，離心率e，

4、右準線方程為x2（1）求橢圓的標準方程；（2）過點F1的直線l與該橢圓相交于MN兩點，且|，求直線l的方程解析：（1）由條件有解得a，c1b1所以，所求橢圓的方程為y21（2）由（1）知F1（1,0）F2（1,0）若直線l的斜率不存在，則直線l的方程為x1，將x1代入橢圓方程得y不妨設MN，（4,0）|4，與題設矛盾直線l的斜率存在設直線l的斜率為k，則直線l的方程為yk（x1）設M（x1，y1）N（x2，y2），聯(lián)立消y得（12k2）x24k2x2k220由根與系數(shù)的關系知x1x2，從而y1y2k（x1x22）又（x11，y1），（x21，y2），（x1x22，y1y2）|2（x1x22）2

5、（y1y2）2222化簡得40k423k2170，解得k21或k2（舍）k1所求直線l的方程為yx1或yx16.（本小題滿分12分）已知，函數(shù)，（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）（1）判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性；（2）是否存在實數(shù)，使曲線在點處的切線與軸垂直? 若存在，求出的值；若不存在，請說明理由解（1）：，令，得若，則，在區(qū)間上單調(diào)遞增. 若，當時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，當時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，若，則，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減. 6分（2）解：，由（1）可知，當時，此時在區(qū)間上的最小值為，即當，曲線在點處的切線與軸垂直等價于方程有實數(shù)解而，即方程無實數(shù)解故不存在，使曲線在處的切線與軸垂直12分7（本小

6、題滿分12分）已知線段，的中點為，動點滿足（為正常數(shù)）（1）建立適當?shù)闹苯亲鴺讼?，求動點所在的曲線方程；（2）若，動點滿足，且，試求面積的最大值和最小值解（1）以為圓心，所在直線為軸建立平面直角坐標系.若，即，動點所在的曲線不存在；若，即，動點所在的曲線方程為；若，即，動點所在的曲線方程為.4分(2)當時，其曲線方程為橢圓.由條件知兩點均在橢圓上，且設，的斜率為，則的方程為，的方程為解方程組得，同理可求得，面積=8分令則令所以，即當時，可求得,故，故的最小值為，最大值為1. 12分8.（本小題滿分12分）設上的兩點，已知向量,若且橢圓的離心率e=,短軸長為，為坐標原點.（）求橢圓的方程；（）試

7、問：AOB的面積是否為定值？如果是，請給予證明；如果不是，請說明理由解：橢圓的方程為 4分(2) 當直線AB斜率不存在時，即,由5分又在橢圓上，所以所以三角形的面積為定值.6分當直線AB斜率存在時：設AB的方程為y=kx+b ，D=(2kb)2-4(k2+4)(b2-4)08分而, 10分 S=|AB|=|b|=1綜上三角形的面積為定值1.12分9.已知函數(shù)的導數(shù)a，b為實數(shù)，(1) 若在區(qū)間上的最小值、最大值分別為、1，求a、b的值；(2) 在 (1) 的條件下，求曲線在點P（2，1）處的切線方程；(3) 設函數(shù)，試判斷函數(shù)的極值點個數(shù)解：(1) 由已知得， 由，得， 當時，遞增；www.k

8、當時， 遞減 在區(qū)間上的最大值為，又， 由題意得，即，得 故，為所求(2) 由 (1) 得，點在曲線上當切點為時，切線的斜率， 的方程為，即 (3二次函數(shù)的判別式為令，得：令，得 ，當時，函數(shù)為單調(diào)遞增，極值點個數(shù)為0；當時，此時方程有兩個不相等的實數(shù)根，根據(jù)極值點的定義，可知函數(shù)有兩個極值點10.已知函數(shù)f(x)=(1)當時, 求的最大值;(2) 設, 是圖象上不同兩點的連線的斜率，否存在實數(shù)，使得恒成立?若存在,求的取值范圍;若不存在,請說明理由(2)存在符合條件解: 因為=不妨設任意不同兩點，其中則由知: 1+又故故存在符合條件12分解法二:據(jù)題意在圖象上總可以在找一點使以

9、P為切點的切線平行圖象上任意兩點的連線,即存在故存在符合條件11ABC是直線上的三點，向量滿足：-y+2+ln(x+1)= ；（）求函數(shù)y=f(x)的表達式； （）若x0, 證明f(x)；（）當時,x及b都恒成立，求實數(shù)m的取值范圍。解I）由三點共線知識，,ABC三點共線，.，f(x)=ln(x+1)4分()令g(x)=f(x),由，x0g(x)在 (0,+)上是增函數(shù),故g(x)g(0)=0,即f(x);8分（III）原不等式等價于,令h(x)=由當x-1,1時,h(x)max=0, m2-2bm-30,令Q(b)= m2-2bm-3，則由Q(1)0及Q（-1)0解得m-3或m3. 12分1

10、2.已知經(jīng)過點，且與圓內(nèi)切.（）求動圓的圓心的軌跡的方程.（）以為方向向量的直線交曲線于不同的兩點，在曲線上是否存在點使四邊形為平行四邊形（為坐標原點）.若存在，求出所有的點的坐標與直線的方程；若不存在，請說明理由.解:（）依題意，動圓與定圓相內(nèi)切，得|，可知到兩個定點、的距離和為常數(shù)，并且常數(shù)大于，所以點的軌跡為橢圓，可以求得，所以曲線的方程為5分（）假設上存在點，使四邊形為平行四邊形由（）可知曲線E的方程為.設直線的方程為，.由，得，由得，且，7分則，上的點使四邊形為平行四邊形的充要條件是，即且，又，所以可得，9分可得，即或當時，直線方程為；當時，直線方程為12分13.已知函數(shù)和的圖象關于

11、原點對稱，且()求函數(shù)的解析式；()解不等式；()若在上是增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍解：()設函數(shù)的圖象上任意一點關于原點的對稱點為，則點在函數(shù)的圖象上()由當時，此時不等式無解。當時，解得。因此，原不等式的解集為。（）14.已知函數(shù)（1）若函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，求的取值范圍；（2）若且關于x的方程在上恰有兩個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍；（3）設各項為正的數(shù)列滿足：求證：解：（1）依題意在時恒成立，即在恒成立.則在恒成立，即當時，取最小值的取值范圍是（2）設則列表：極大值極小值極小值，極大值，又方程在1，4上恰有兩個不相等的實數(shù)根.則，得（3）設，則在為減函數(shù)，且故當時有.假設則，故從而

12、即，15（本小題滿分14分）如圖，設拋物線的焦點為F，動點P在直線上運動，過P作拋物線C的兩條切線PA、PB，且與拋物線C分別相切于A、B兩點.（1）求APB的重心G的軌跡方程.（2）證明PFA=PFB.解：（1）設切點A、B坐標分別為，切線AP的方程為： 切線BP的方程為：解得P點的坐標為：所以APB的重心G的坐標為 ，所以，由點P在直線l上運動，從而得到重心G的軌跡方程為： （2）方法1：因為由于P點在拋物線外，則同理有AFP=PFB.方法2：當所以P點坐標為，則P點到直線AF的距離為：即所以P點到直線BF的距離為：所以d1=d2，即得AFP=PFB.當時，直線AF的方程：直線BF的方程：

13、所以P點到直線AF的距離為：，同理可得到P點到直線BF的距離，因此由d1=d2，可得到AFP=PFB.16.已知（1）求函數(shù)的圖像在處的切線方程；（2）設實數(shù)，求函數(shù)在上的最小值；（3）證明對一切，都有成立解：（1）定義域為又函數(shù)的在處的切線方程為：，即3分（2）令得當，單調(diào)遞減，當，單調(diào)遞增 5分（i）當時，在單調(diào)遞增，6分（ii）當即時，7分（iii）當即時，在單調(diào)遞減，8分(3)問題等價于證明，由(2)可知的最小值是，當且僅當時取得最小值10分設，則，當時，單調(diào)遞增；當時單調(diào)遞減。故，當且僅當時取得最大值12分所以且等號不同時成立，即從而對一切，都有成立13分17（本小題滿分14分）已知

14、函數(shù)處取得極值（I）求實數(shù)的值；（II）若關于x的方程在區(qū)間0，2上恰有兩個不同的實數(shù)根，求實數(shù)b的取值范圍；（III）證明：對任意正整數(shù)n，不等式都成立解：（I）2分時，取得極值，3分故，解得a=1，經(jīng)檢驗a=1符合題意4分（II）由a=1知得令則上恰有兩個不同的實數(shù)根等價于在0，2上恰有兩個不同的實數(shù)根5分6分當上單調(diào)遞增當上單調(diào)遞減依題意有9分（III）的定義域為10分由（1）知11分令（舍去），單調(diào)遞增；當x0時，單調(diào)遞減上的最大值（12分）（當且僅當x=0時，等號成立）13分對任意正整數(shù)n，取得， 14分18. (本小題滿分12分) 已知橢圓（）的左、右焦點分別為，為橢圓短軸的一個頂

15、點，且是直角三角形，橢圓上任一點到左焦點的距離的最大值為（1）求橢圓的方程；（2）與兩坐標軸都不垂直的直線：交橢圓于兩點，且以線段為直徑的圓恒過坐標原點，當面積的最大值時，求直線的方程.解：（1）由題意得，2分，則3分所以橢圓的方程為4分（2）設，聯(lián)立得，5分又以線段為直徑的圓恒過坐標原點，所以即，代入得7分=-9分設，則當，即時，面積取得最大值，11分又，所以直線方程為-12分19.(本小題滿分12分) 已知函數(shù)（1）若對任意的恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（2）當時，設函數(shù)，若，求證解：（1）1分，即在上恒成立設，時，單調(diào)減，單調(diào)增，所以時，有最大值3分，所以5分（2）當時，,所以在上是增函數(shù)，上是減函數(shù)6分因為，所以即同理8分所以又因為當且僅當“”時，取等號10分又，11分所以所以所以：12分20本小題滿分12分的內(nèi)切圓與三邊的切點分別為，已知，內(nèi)切圓圓心，設點的軌跡為.（1）求的方程；xyABCDEF. IO