1、2.3函數(shù)的奇偶性與周期性,-2-,知識(shí)梳理,雙基自測(cè),2,3,4,1,1.函數(shù)的奇偶性,f(-x)=f(x),y軸,f(-x)=-f(x),原點(diǎn),-3-,知識(shí)梳理,雙基自測(cè),2,3,4,1,2.奇(偶)函數(shù)的性質(zhì) (1)如果函數(shù)f(x)是偶函數(shù),那么f(x)=f(|x|). (2)奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性;偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性. (3)在公共定義域內(nèi)有:奇函數(shù)奇函數(shù)=奇函數(shù),偶函數(shù)偶函數(shù)=偶函數(shù),奇函數(shù)奇函數(shù)=偶函數(shù),偶函數(shù)偶函數(shù)=偶函數(shù),奇函數(shù)偶函數(shù)=奇函數(shù). (4)若函數(shù)f(x)是奇函數(shù),且在x=0處有定義,則f(0)=0.,-4-,知識(shí)梳理,

2、雙基自測(cè),2,3,4,1,3.函數(shù)的周期性 (1)周期函數(shù):T為函數(shù)f(x)的一個(gè)周期,則需滿足的條件:T0; 對(duì)定義域內(nèi)的任意x都成立. (2)最小正周期:如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè),那么這個(gè)就叫做它的最小正周期. (3)周期不唯一:若T是函數(shù)y=f(x)(xR)的一個(gè)周期,則nT(nZ,且n0)也是函數(shù)f(x)的周期,即f(x+nT)=f(x).,f(x+T)=f(x),最小的正數(shù),最小正數(shù),-5-,知識(shí)梳理,雙基自測(cè),2,3,4,1,4.函數(shù)周期性的常用結(jié)論 對(duì)函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任一自變量的值x, (1)若f(x+a)=-f(x),則T=2a. (4)若f(x)是偶函

3、數(shù),其圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱,則T=2a. (5)若f(x)是奇函數(shù),其圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱,則T=4a. (6)若函數(shù)的圖象關(guān)于兩條直線x=a,x=b對(duì)稱,則T=2|a-b|. (7)若函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)M(a,0)和點(diǎn)N(b,0)對(duì)稱,則T=2|a-b|. (8)若函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=a和點(diǎn)M(b,0)對(duì)稱,則T=4|a-b|.,2,-6-,知識(shí)梳理,雙基自測(cè),3,4,1,5,1.下列結(jié)論正確的打“”,錯(cuò)誤的打“”. (1)函數(shù)y=x2,x(0,+)是偶函數(shù). () (2)若函數(shù)f(x)為奇函數(shù),則一定有f(0)=0. () (3)若函數(shù)y=f(x+a)是偶函數(shù),則函數(shù)y=f(x)的圖象

4、關(guān)于直線x=a對(duì)稱;若函數(shù)y=f(x+b)是奇函數(shù),則函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(b,0)中心對(duì)稱. () (4)若函數(shù)f(x),g(x)是定義域相同的偶函數(shù),則F(x)=f(x)+g(x)是偶函數(shù). () (5)已知函數(shù)y=f(x)是定義在R上的偶函數(shù),若f(x)在(-,0)上是減函數(shù),則f(x)在(0,+)上是增函數(shù). () (6)若T為y=f(x)的一個(gè)周期,則nT(nZ)是函數(shù)f(x)的周期. (),答案,-7-,知識(shí)梳理,雙基自測(cè),2,3,4,1,5,2.已知f(x)=ax2+bx是定義在a-1,2a上的偶函數(shù),那么a+b的值是(),答案,解析,-8-,知識(shí)梳理,雙基自測(cè),2,3,

5、4,1,5,3.定義域?yàn)镽的四個(gè)函數(shù)y=x3,y=2x,y=x2+1,y=2sin x中,奇函數(shù)的個(gè)數(shù)是() A.4B.3C.2D.1,答案,解析,-9-,知識(shí)梳理,雙基自測(cè),2,3,4,1,5,4.(教材習(xí)題改編P39T6)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x0時(shí),f(x)=x(1+x),則當(dāng)x0時(shí),f(x)=.,答案,解析,-10-,知識(shí)梳理,雙基自測(cè),2,3,4,1,5,答案,解析,-11-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,例1判斷下列函數(shù)的奇偶性: (1)f(x)=x3-x; 思考判斷函數(shù)的奇偶性要注意什么?,-12-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,解 (1)函數(shù)f(x)的定義

6、域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱. 又f(-x)=(-x)3-(-x)=-x3+x=-(x3-x)=-f(x),故函數(shù)f(x)為奇函數(shù). 因?yàn)楹瘮?shù)定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,所以函數(shù)為非奇非偶函數(shù). (3)函數(shù)的定義域?yàn)閤|x0,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱. 當(dāng)x0時(shí),-x0,此時(shí)f(x)=x2+x,f(-x)=-(-x)2-x=-x2-x=-(x2+x)=-f(x). 故對(duì)于x(-,0)(0,+),均有f(-x)=-f(x).即函數(shù)f(x)為奇函數(shù).,-13-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,解題心得判斷函數(shù)的奇偶性要注意兩點(diǎn): (1)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,這是函數(shù)具有奇偶性的前提. (2)判斷關(guān)系式f(x)+f(-x)=0

7、(奇函數(shù))或f(x)-f(-x)=0(偶函數(shù))是否成立.,-14-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,-15-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,即f(-x)=f(x),f(x)是偶函數(shù). (2)函數(shù)的定義域?yàn)閤|x0,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱. 當(dāng)x0時(shí),-x0,此時(shí)f(x)=x2+2x-1,f(-x)=-x2-2x+1=-f(x). 故對(duì)于x(-,0)(0,+),均有f(-x)=-f(x),即函數(shù)f(x)是奇函數(shù).,-16-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,-17-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,例2(1)已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x0時(shí),f(x)=x2-3x,則函數(shù)g(x)=f(x)-x+3

8、的零點(diǎn)所構(gòu)成的集合為() A.1,3B.-3,-1,1,3,(4)已知函數(shù)g(x)是定義在-2,2上的偶函數(shù),當(dāng)x0時(shí),g(x)單調(diào)遞減,若g(1-m)g(m),求m的取值范圍. 思考函數(shù)的奇偶性有哪幾個(gè)方面的應(yīng)用?,答案,-18-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,經(jīng)檢驗(yàn),a=1時(shí),f(x)為偶函數(shù),-19-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,-20-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,解題心得函數(shù)奇偶性的應(yīng)用主要有:利用函數(shù)奇偶性求函數(shù)解析式;利用函數(shù)的奇偶性研究函數(shù)的單調(diào)性;利用函數(shù)的奇偶性解不等式;利用函數(shù)的奇偶性求最值等.,-21-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2(1)已知f(

9、x),g(x)分別是定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù),且f(x)-g(x)=x3+x2+1,則f(1)+g(1)等于() A.-3B.-1C.1D.3 (2)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且在區(qū)間0,+)上單,(3)已知偶函數(shù)f(x)在0,+)上單調(diào)遞減,f(2)=0,若f(x-1)0,則x的取值范圍是.,答案,-22-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,解析: (1)由f(x)與g(x)分別是定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù),知f(-1)=f(1),g(-1)=-g(1). 又f(x)-g(x)=x3+x2+1, 故可令x=-1,得f(-1)-g(-1)=(-1)3+(-1)2+1=1, 即f(1

10、)+g(1)=1.故選C.,-23-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,(3)f(x)是偶函數(shù),f(-x)=f(x)=f(|x|). f(x-1)0可化為f(|x-1|)f(2). 又f(x)在0,+)上單調(diào)遞減, |x-1|2,解得-2x-12, 即-1x3. (4)f(x)在(-b,b)上是奇函數(shù),-24-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,例3(1)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+6)=f(x),當(dāng)-3x-1時(shí),f(x)=-(x+2)2;當(dāng)-1x3時(shí),f(x)=x.則f(1)+f(2)+f(3)+f(2 015)等于 () A.335B.336C.1 678D.2 012 2x3時(shí),f(

11、x)=x,則f(105.5)=. 思考函數(shù)的周期性主要的應(yīng)用是什么?,答案,-25-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,解析: (1)f(x+6)=f(x), 函數(shù)f(x)的周期T=6. 當(dāng)-3x-1時(shí),f(x)=-(x+2)2; 當(dāng)-1x3時(shí),f(x)=x, f(1)=1,f(2)=2,f(3)=f(-3)=-1,f(4)=f(-2)=0, f(5)=f(-1)=-1,f(6)=f(0)=0, f(1)+f(2)+f(6)=1. 又f(2 016)=f(0)=0, f(1)+f(2)+f(3)+f(2 015)=336.,-26-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,函數(shù)f(x)的周期為4. f(

12、105.5)=f(427-2.5)=f(-2.5)=f(2.5). 22.53,f(2.5)=2.5. f(105.5)=2.5.,-27-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,解題心得利用函數(shù)的周期性,可將其他區(qū)間上的求值、求零點(diǎn)個(gè)數(shù)、求解析式等問(wèn)題,轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間上的相應(yīng)問(wèn)題進(jìn)行求解.,-28-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3(1)已知f(x)是定義在R上的函數(shù),且f(x+2)=-f(x),當(dāng)2x3時(shí),f(x)=x,則f(2 018)=. (2)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),若對(duì)于x0,都有f(x+2)= ,且當(dāng)x0,2)時(shí),f(x)=log2(x+1),則f(-2 013

13、)+f(2 015)=.,答案,-29-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,解析: (1)因?yàn)閒(x+2)=-f(x), 所以f(x+4)=f(x+2)+2=-f(x+2)=-f(x)=f(x), 所以函數(shù)f(x)的周期為4, 所以f(2 018)=f(4504+2)=f(2). 又223,所以f(2)=2,即f(2 018)=2. 所以f(x+4)=f(x),即4是f(x)(x0)的一個(gè)周期. 所以f(-2 013)+f(2 015)=f(2 013)+f(2 015)=0.,-30-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,例4(1)已知函數(shù)f(x)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù),且f(x+1)=-f(x),

14、若f(x)在-1,0上是減函數(shù),則f(x)在1,3上是() A.增函數(shù)B.減函數(shù) C.先增后減的函數(shù)D.先減后增的函數(shù),A.(-,-1) B.(-1,2) C.(0,2) D.(1,2) 思考解有關(guān)函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性綜合問(wèn)題的策略有哪些?,答案,-31-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,解析: (1)由f(x)在-1,0上是減函數(shù),又f(x)是R上的偶函數(shù),故f(x)在0,1上是增函數(shù). 由f(x+1)=-f(x),得f(x+2)=f(x+1)+1=-f(x+1)=f(x),故2是函數(shù)f(x)的一個(gè)周期. 結(jié)合以上性質(zhì),畫出f(x)的部分草圖,如圖所示.,由圖象可以觀察出,f(x)在

15、1,2上為減函數(shù),在2,3上為增函數(shù).故選D.,-32-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,-33-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,解題心得函數(shù)性質(zhì)綜合應(yīng)用問(wèn)題的常見(jiàn)類型及解題策略: (1)函數(shù)單調(diào)性與奇偶性結(jié)合.注意奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相同,偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相反. (2)周期性與奇偶性結(jié)合.此類問(wèn)題多考查求值問(wèn)題,常利用奇偶性及周期性進(jìn)行轉(zhuǎn)換,將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的定義域內(nèi)求解. (3)周期性、奇偶性與單調(diào)性結(jié)合.解決此類問(wèn)題通常先利用周期性轉(zhuǎn)化自變量所在的區(qū)間,再利用奇偶性和單調(diào)性求解.,-34-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4(1)已知函數(shù)f(x)是R上的偶函數(shù),g(x)是R上的奇函數(shù),且g(x)=f(x-1),若f(2)=2,則f(2 014)的值為() A.2B.0C.-2D.2,答案,-35-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,解析: (1)g(-x)=f(-x-1),-g(x)=f(x+1). 又g(x)=f(x-1),f(x+1)=-f(x-1). f(x+2)=-f(x),f(x+4)=-f(