1、關(guān)于求空間距離的問題重難點(diǎn)歸納1.空間中的距離主要指以下七種(1)兩點(diǎn)之間的距離(2)點(diǎn)到直線的距離(3)點(diǎn)到平面的距離(4)兩條平行線間的距離(5)兩條異面直線間的距離(6)平面的平行直線與平面之間的距離(7)兩個(gè)平行平面之間的距離七種距離都是指它們所在的兩個(gè)點(diǎn)集之間所含兩點(diǎn)的距離中最小的距離七種距離之間有密切聯(lián)系， 有些可以相互轉(zhuǎn)化，如兩條平行線的距離可轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到直線的距離，平行線面間的距離或平行平面間的距離都可轉(zhuǎn)化成點(diǎn)到平面的距離在七種距離中，求點(diǎn)到平面的距離是重點(diǎn)，求兩條異面直線間的距離是難點(diǎn)求點(diǎn)到平面的距離(1)直接法，即直接由點(diǎn)作垂線，求垂線段的長(2)轉(zhuǎn)移法，轉(zhuǎn)化成求另一點(diǎn)到該

2、平面的距離(3)體積法(3)向量法求異面直線的距離(1)定義法，即求公垂線段的長(2)轉(zhuǎn)化成求直線與平面的距離(3)函數(shù)極值法，依據(jù)是兩條異面直線的距離是分別在兩條異面直線上兩點(diǎn)間距離中最小的2.用向量法求距離的公式：異面直線 a,b 之間的距離：ab ndn a, n b, a a, b b| n |，其中。直線 a 與平面之間的距離：ab nd，其中 aa, b| n |。 n 是平面的法向量。兩平行平面,之間的距離：ab nd，其中 a, b| n |。 n 是平面的法向量。點(diǎn) a 到平面的距離：ab nd，其中 b| n |， n 是平面的法向量。另法：點(diǎn)a( x0 , y0 , z0

3、 ),平面axbycz d0| ax0 by0 cz0 d |da2b2c 2則點(diǎn) a 到直線 a 的距離：2d| ab |2ab a| a |a ， a 是直線 a 的方向向量。，其中 b兩平行直線 a, b之間的距離：ab a2d| ab |2| a |，其中 a a, bb ， a 是 a 的方向向量。典型題例示范講解例 1 把正方形 abcd沿對角線 ac 折起成直二面角，點(diǎn) e、f 分別是 ad、bc 的中點(diǎn)，點(diǎn) o 是原正方形的中心，求(1)ef的長；(2)折起后 eof的大小命題意圖考查利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算來解決立體幾何問題知識(shí)依托空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算及數(shù)量積公式錯(cuò)解分析建立正確

4、的空間直角坐標(biāo)系其中必須保證xz d軸、 y 軸、 z 軸兩兩互相垂直eo技巧與方法建系方式有多種， 其中以 o 點(diǎn)為原點(diǎn)，以 ob 、ac yoc 、 od 的方向分別為x 軸、 y 軸、 z 軸的正方向最為簡xfb單解 如圖，以 o 點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系o xyz,設(shè)正方形 abcd邊長為 a,222則 a(0， 2a,0),b( 2a,0,0),c(0, 2a,0),2222d(0,0,2a),e(0, 4 a, a),f(4a,4 a,0)(1) | ef |2(2a0) 2(2a2a)2(02a)23a,ef3a444442(2) oe(0,22a),of224a,(a,a,0

5、)444oe of02a (222a 0a24a)(a)4844aaoe ,ofoe of1| oe |,| of |,cos| oe |of |222 eof=120例 2 正方體 abcd a1b1c1d1 的棱長為1，求異面直線a1c1 與 ab1 間的距離命題意圖本題主要考查異面直線間距離的求法知識(shí)依托求異面直線的距離，可求兩異面直線的公垂線，或轉(zhuǎn)化為求線面距離，或面面距離，亦可由最值法求得錯(cuò)解分析本題容易錯(cuò)誤認(rèn)為o1b 是 a1c與 ab1 的距離，這主要是對異面直線定義不熟悉，異面直線的距離是與兩條異面直線垂直相交的直線上垂足間的距離技巧與方法求異面直線的距離，有時(shí)較難作出它們的公

6、垂線，故通常采用化歸思想，轉(zhuǎn)化為求線面距、面面距、或由最值法求得解法一如圖，在正方體ac1 中， a1c1 ac, a1c1平面 ab1c，a1c1 與平面 ab1c間的距離等于異面直線a1c1與a1間的距離連結(jié) b1d1、 bd，設(shè) b1d1 a1c1=o1,bdac=o acbd， ac dd1， ac平面 bb1d1d平面 ab1c平面 bb1d1d，a連結(jié) b1o，則平面ab1c平面 bb1d1d=b1o作 o1gb1o 于 g，則 o1g平面 ab1co1g 為直線 a1c1與平面 ab1c 間的距離，即為異面直線d 1o 1c 1ab1b1gdcoba1c1與 ab1 間的距離22

7、26在 rt oo1b1 中， o1b1= 2 ， oo1=1， ob1= oo1o1b1= 2o1o o1b133o1g=ob13 ，即異面直線a1c1與 ab1 間距離為 3解法二如圖，在 a1c 上任取一點(diǎn) m，作 mn ab1 于 n，作 mr a1b1 于 r，連結(jié) rn，平面 a1b1c1d1平面 a1abb1，d1mc 1mr平面 a1abb1， mrab1a 1rb 1ab1 rn，設(shè) a1r=x,則 rb1=1 xn c1a1b1= ab1a1=45，dc2ab(1 x) mr=x,rn=nb1= 2mnmr2rn2x21x)23121(1( x)3 (0 x1 )22313

8、3當(dāng) x= 3時(shí)， mn 有最小值3即異面直線 a1c1 與 ab1 距離為 3解法三（向量法）如圖建立坐標(biāo)系，則a(1,0,0), a1 (1,0,1),b1 (1,1,1),c1(0,1,1)zd1c1ma 1b 1 ab1(0,1,1), ac11( 1,1,0)dnc y設(shè) mn 是直線 a1c1 與 ab1 的公垂線，axb且 anab1(0, ,), am1ac11(, ,0)則 mnma1a1 aan- (, ,0)(0,0, 1) (0, )( ,1),202mn a1c103211mn ab10從而有3mn ( 1 , 1 , 1) | mn |33333例 3 如圖，已知

9、abcd是矩形，ab=a,ad=b,pa平面 abcd，ppa 的中點(diǎn)求 (1)q 到 bd 的距離；q(2)p 到平面 bqd 的距離a解 (1)在矩形 abcd中，作 aebd，e 為垂足b連結(jié) qe，qa平面 abcd，由三垂線定理得qe beqe 的長為 q 到 bd 的距離在矩形 abcd中， ab=a,ad=b,abpae= a 2b21q在 rt qae中， qa= 2 pa=chc2a 2b 2baea2b 2qe=2a 2b2ca 2b2q 到 bd 距離為(2)解法一平面 bqd 經(jīng)過線段 pa 的中點(diǎn)，p 到平面 bqd的距離等于 a 到平面 bqd 的距離在 aqe中，

10、作 ah qe， h 為垂足bdae,bd qe, bd平面 aqe bd ahah平面 bqe，即 ah 為 a 到平面 bqd的距離ab在 rt aqe中， aq=c,ae=a2b2pa=2c,q 是dcdcabcah=( a 2b2 ) c 2a 2b2abcp 到平面bd 的距離為( a 2b 2 ) c2a2b 2解法二設(shè)點(diǎn) a 到平面 qbd 的距離為 h，由11va bqd=vqabd,得 3 s bqd h= 3 s abd aqs abd aqabcs bqd( a 2b 2 ) c2a2b 2h=學(xué)生鞏固練習(xí)1 正方形 abcd邊長為 2， e、 f 分別是 ab 和 cd

11、 的中點(diǎn)，將正方形沿圖)，m 為矩形 aefd內(nèi)一點(diǎn)，如果 mbe= mbc，mb 和平a1e成角的正切值為2 ，那么點(diǎn) m 到直線 ef 的距離為 ()b23b1a2b1c2d 2ef 折成直二面角 (如面 bcf 所dmfcc2三棱柱 abc a1b1c1 中， aa1=1， ab=4，bc=3， abc=90 ,設(shè)平面 a1bc1 與平面 abc的交線為l，則 a1c1 與 l 的距離為 ()a10b11c 2.6d2.43如左圖，空間四點(diǎn)a、b、c、d 中，每兩點(diǎn)所連線段a點(diǎn) p 在線段 ab 上，動(dòng)點(diǎn) q 在線段 cd 上，則 p 與 q 的p_dqbc的長都等于 a，動(dòng)最 短 距

12、離 為4如右上圖， abcd 與 abef 均是正方形，如果二面角e度數(shù)為30，那么 ef與平面 abcd的距離為 _5 在長方體 abcd a1b1c1d1 中，ab=4，bc=3，cc1=2，(1)求證平面 a1bc1平面 acd1；d1(2)求 (1)中兩個(gè)平行平面間的距離；a 1(3)求點(diǎn)b1 到平面 a1bc1 的距離df ab c 的eagdbc如圖c1b 1ca6已知正四棱柱abcda1b1c1d1，點(diǎn) e 在棱 d1d 上，截面beacd1c1d1b 且面 eac與底面 abcd所成的角為45 ,ab=a,求a 1b 1e(1)截面 eac的面積；(2)異面直線 a1b1 與

13、ac之間的距離；cd(3)三棱錐 b1 eac的體積ab7 如圖，已知三棱柱 a1b1c1 abc 的底面是邊長為2 的正三角c 1形，側(cè)棱 a1a 與 ab、 ac 均成 45角，且 a1e b1b 于 e，a1ffb 1 ecabcc1于 f(1)求點(diǎn) a 到平面 b1bcc1的距離；(2)當(dāng) aa1 多長時(shí)，點(diǎn)a1 到平面 abc 與平面 b1bcc1的距離相等18 如圖，在梯形abcd中， ad bc， abc=2 ,ab=3 ad=a,25padc=arccos5,pa面 abcd且 pa=aa(1)求異面直線 ad 與 pc間的距離；d(2)在線段 ad 上是否存在一點(diǎn)f，使點(diǎn) a

14、 到平面 pcfbc的 距 離 為63參考答案1 解析過點(diǎn) m 作 mm ef,則 mm 平面 bcf mbe=mbcbm為 ebc為角平分線，2 ebm =45 ,bm =2 ,從而 mn= 2答案a2 解析交線 l 過 b 與 ac 平行，作 cd l 于 d，連 c1d，則 c1d 為 a1c1 與 l 的距離，而1213cd 等于 ac 上的高，即 cd=5 ,rtc1cd中易求得 c1d= 5 =2.6答案c3 解析以 a、 b、 c、 d 為頂點(diǎn)的四邊形為空間四邊形，且為正四面體，取p、 q 分別為2ab、 cd的中點(diǎn)，因?yàn)?aq=bq= 2a, pq ab,同理可得pq cd，故

15、線段pq 的長為 p、 q 兩點(diǎn)間的最短距離，在rt apq 中， pq=aq 2ap 2( 3 a) 2( a ) 22222 a2答案2 a4 解析顯然 fad是二面角 e ab c 的平面角， fad=30 ,過 f 作 fg平面 abcd于g，則 g 必在 ad 上，由 ef平面 abcdafg 為 ef 與平面 abcd的距離，即fg= 2a答案25(1)證明由于 bc1 ad1，則 bc1平面 acd1同理， a1b平面 acd1，則平面a1bc1平面 acd1(2)解設(shè)兩平行平面a1bc1 與 acd1 間的距離為d，則 d 等于 d1 到平面 a1bc1 的距離易261求 a1

16、c1=5， a1b=25 ， bc1=13 ，則 cosa1bc1=65 ,則 sina1bc1=65 ,則 s a1 b1c1 = 61 ,vd a bcvb a c d1a bc1( 1ad c d)12 61由于d= 321 1 1 bb1,代入求得 d=61 ,即兩平11111 1，則 3 s 1112 61行平面間的距離為61(3)解由于線段b1d1 被平面 a1bc1 所平分， 則 b1、d1 到平面 a1bc1的距離相等， 則由 (2)12 61知點(diǎn) b1 到平面 a1bc1的距離等于616 解 (1)連結(jié) db 交 ac于 o，連結(jié) eo，底面 abcd是正方形doac，又 e

17、d面 abcdeo ac，即 eod=452do2又 do= 2 a， ac= 2 a， eo=cos45 =a， seac= 2 a(2) a1a底面 abcd， a1a ac，又 a1aa1b1 a1a 是異面直線 a1b1 與 ac間的公垂線又 eo bd1， o 為 bd 中點(diǎn)， d1b=2eo=2ad1d=2 a， a1b1 與 ac 距離為 2 a(3)連結(jié) b1d 交 d1b 于 p，交 eo于 q，推證出b1d面 eac3b1q 是三棱錐 b1 eac的高，得b1q= 2 avb1 eac12 a 23 a2 a 332247解(1)bb1a1e， cc1a1f， bb1cc1

18、 bb1平面 a1ef即面 a1ef面 bb1c1c在 rt a1eb1中， a1b1e=45， a1b1=a222a1e= 2 a,同理 a1f=2a,又 ef=a， a1e= 2 a2同理 a1f= 2a,又 ef=a ea1f為等腰直角三角形，ea1f=90過 a1 作 a1n ef，則 n 為 ef中點(diǎn)，且 a1n平面 bcc1b1即 a1n 為點(diǎn) a1 到平面 bcc1b1的距離1 a a1n= 2 2a又 aa1面bcc1b，a 到平面bcc1b1的距離為2a=2，所求距離為2(2)設(shè)bc、b1c1的中點(diǎn)分別為d、d1，連結(jié)ad、dd1 和a1d1，則dd1 必過點(diǎn)n，易證add1

19、a1為平行四邊形b1c1 d1d,b1c1 a1nb1c1平面 add1a1bc平面 add1a1得平面 abc平面 add1a1，過 a1 作 a1m平面 abc，交 ad 于 m ，若 a1m=a1n ，又 a1am= a1d1n， ama1= a1nd1=90 ama1 a1nd1, aa1=a1d1=3 ,即當(dāng) aa1= 3 時(shí)滿足條件8解(1)bcad,bc面 pbc, ad面 pbc從而 ad 與 pc間的距離就是直線ad 與平面 pbc間的距離過 a 作 ae pb，又 aebcae平面 pbc， ae 為所求在等腰直角三角形pab中， pa=ab=a2ae= 2 a2 5(2)作 cmab，由已知 cosadc=511 tanadc= 2 ,即 cm= 2 dmabcm 為正方形， ac=2 a,pc= 3 a6過 a 作 ah pc,在 rt pac中，得 ah= 3下面在 ad 上找一點(diǎn)f，使 pc cf取 md 中點(diǎn) f， acm、 fcm 均為等腰直角三角形 acm+ fcm=45 +45 =90fc ac,即 fc pc在 ad 上存在滿足條件的點(diǎn)f課