1、by xxx xxxx,第三節(jié) 協(xié)方差與相關(guān)系數(shù),一、協(xié)方差,1、引入背景,二維隨機變量(X,Y)的相互關(guān)系如何描述？n維變量間的關(guān)系,舉例：,（1）不同地區(qū)氣溫間的關(guān)系；,（2）人的身高、體重間的關(guān)系；,（3）不同股票收益率間的關(guān)系；,（4）公司經(jīng)營業(yè)績與資本結(jié)構(gòu)間的關(guān)系。,(X, Y)為二維隨機變量，則稱下式為X、Y的協(xié)方差。 Cov(X,Y) =E X-E(X)Y-E(Y) , 協(xié)方差為X,Y偏差 X-E(X) 與Y-E(Y) 乘積的數(shù)學期望,(3) 當X，Y相同時，Cov(X, X) = D(X)=Var(X).,2、協(xié)方差的定義,說明：,(2) Cov(X,Y)0，正相關(guān)；Cov(X

2、,Y)0, 負相關(guān)。=0，不相關(guān),(4) 由定義可知，Cov(X, Y) = Cov(Y, X) .,(4) Cov(X1+X2, Y)= Cov(X1, Y) + Cov(X2, Y),(2) 對稱性： Cov(X, Y)= Cov(Y, X),(3) Cov(aX, bY) = ab Cov(X, Y) a,b是常數(shù),3、協(xié)方差的主要性質(zhì), Cov(X, Y)=E(XY)-E(X)E(Y) (最常用計算方法),證: (1) Cov(X,Y)=E X-E(X)Y-E(Y) ,=E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)E(Y),=E(XY)-E(X)E(Y),(3) Cov(a

3、X, bY) =EaX-E(aX)bY-bE(Y) ,= ab cov(X, Y),=Eab X-E(X)Y-E(Y) ,(4) Cov(X1+X2, Y)=EX1+X2 -E(X1+X2)Y-E(Y) ,=Cov(X1, Y) + Cov(X2, Y),=EX1 -E(X1)Y-E(Y) +E X2 -E(X2) Y-E(Y) ,二、相關(guān)系數(shù),1、相關(guān)系數(shù)的定義,說明：,(2) 相關(guān)系數(shù)無量綱，消除了量綱不同對相關(guān)程度的影響。,(3) 與Cov(X,Y)同號。0, 正相關(guān)；0, 負相關(guān)； =0,不相關(guān),2、相關(guān)系數(shù)的性質(zhì),結(jié)論：,0D(Y-tX)= t2D(X )-2t Cov(X,Y)+D(Y),D(Y- tX)=,證1: (1) 根據(jù)方差的性質(zhì)，對于任意實數(shù)t,例 設(shè)(X, Y)的分布律為：,從而COV(X,Y)=0, 不相關(guān),PX=-1PY=0= 1/