1、,平面的基本性質(zhì)（2）,一、復(fù)習(xí)回顧,點(diǎn)A在直線l上,點(diǎn)A在直線l外,點(diǎn)A在平面 內(nèi),點(diǎn)A在平面 外,直線l在平面 外,直線l在平面 內(nèi),公理3：經(jīng)過(guò)不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面,3、平面的基本性質(zhì)的三種語(yǔ)言描述：,公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi).,公理2：如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們還有其他公共點(diǎn)，這些公共點(diǎn)的集合是經(jīng)過(guò)這個(gè)公共點(diǎn)的一條直線,符號(hào)語(yǔ)言：,符號(hào)語(yǔ)言：,符號(hào)語(yǔ)言：,D,C,二、建構(gòu)數(shù)學(xué),推論1：經(jīng)過(guò)一條直線和這條直線外的一點(diǎn)有 且只有一個(gè)平面.,圖形語(yǔ)言：,符號(hào)語(yǔ)言：,推論1 經(jīng)過(guò)一條直線和這條直線外一點(diǎn),有且只有

2、 一個(gè)平面.,已知：點(diǎn)A a.,求證：過(guò)點(diǎn)A和直線a可以確定一個(gè)平面.,證明：,存在性.,因?yàn)锳 a，在a上任取兩點(diǎn)B，C.,所以過(guò)不共線的三點(diǎn)A，B，C有一個(gè)平面.（公理3）,因?yàn)锽，C，,所以a .（公理1）,故經(jīng)過(guò)點(diǎn)A和直線a有一個(gè)平面.,唯一性.,如果經(jīng)過(guò)點(diǎn)A和直線a的平面還有一個(gè)平面， 那么A，a ,因?yàn)锽a， Ca，所以B，C.（公理1）,故不共線的三點(diǎn)A，B，C既在平面內(nèi)又在平面內(nèi). 所以平面和平面重合.（公理3）,所以經(jīng)過(guò)點(diǎn)A和直線a有且只有一個(gè)平面,證明：,同理：,即直線AD、BD、CD共面,直線 l 與點(diǎn) D 可以確定一個(gè)平面（推論）,又,又,直線 AD、BD、CD 在同一

3、個(gè)平面 內(nèi),【例1】已知： 求證：直線 AD、BD、CD 共面.,（公理）,推論2：經(jīng)過(guò)兩條相交直線，有且只有一個(gè) 平面.,圖形語(yǔ)言：,符號(hào)語(yǔ)言：,推論2：經(jīng)過(guò)兩條相交直線有且只有一個(gè)平面.,證明：,在a上取不同于點(diǎn)P的點(diǎn)A,即：過(guò) a，b 有一個(gè)平面,過(guò)直線 b和點(diǎn) A有一個(gè)平面,即：,過(guò)a，b有一個(gè)平面,存在性：,唯一性：,平面的基本性質(zhì),例2、兩兩相交且不同點(diǎn)的三條直線必在同一個(gè)平面內(nèi),已知：ABAC=A，ABBC=B，ACBC=C,求證：直線AB，BC，AC共面.,證法一：,因?yàn)锳BAB=A,所以直線AB，AC確定一個(gè)平面.（推論2）,因?yàn)锽AB，CAC，所以B，C，,故BC.（公理1

4、）,因此直線AB，BC，CA共面.,平面的基本性質(zhì),證法二：,因?yàn)锳 直線BC上，,所以過(guò)點(diǎn)A和直線BC確定平面.（推論1）,因?yàn)锳， BBC，所以B.,故AB ，同理AC ，,所以AB，AC，BC共面.,平面的基本性質(zhì),證法三：,因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)不在一條直線上，,所以過(guò)A，B，C三點(diǎn)可以確定平面.（公理3）,因?yàn)锳，B，所以AB .（公理1）,同理BC ，AC ，,所以AB，BC，CA三直線共面.,要證各線共面，先確定一個(gè)平面，再證明其他直線也在這個(gè)平面內(nèi)。,【例2】已知a，b，c，d是兩兩相交且不共點(diǎn) 的四條直線，求證：a，b，c，d共面.,證明：,如圖（1）,當(dāng)Q、S、R、三點(diǎn)重合時(shí)，

5、如圖（2）,同理：,a，b可確定一個(gè)平面,即,a，b，c，d共面.,推論3：經(jīng)過(guò)兩條平行的直線有且只有一個(gè) 平面.,圖形語(yǔ)言：,符號(hào)語(yǔ)言：,a，b,推論3：經(jīng)過(guò)兩條平行的直線有且只有一個(gè)平面.,證明：,由平行線的定義知,a，b在同一平面內(nèi),設(shè)點(diǎn)A為直線a上任一點(diǎn),則點(diǎn)A在直線b外,點(diǎn)A和直線b在過(guò)a，b的平面 ，內(nèi),又由推論1，過(guò)點(diǎn)A和直線b的平面只有一個(gè),過(guò) a，b 有且只有一個(gè)平面,a，b,A,如果經(jīng)過(guò)直線a ， b的平面還有一個(gè)平面， 那么a ， b ,平面 ，就是一個(gè)平面，,【例3】已知空間四點(diǎn)A、B、C、D不在同一平 面內(nèi)，求證：AB、CD既不平行也不相 交,證明：,假設(shè)AB和CD平行或相交，則AB，CD可確定一個(gè)平面,與A、B、C、D不共面矛盾,AB和CD既不平行也不相交,數(shù)學(xué)運(yùn)用,畫出由A1，C1，P三點(diǎn)所確定的平面與長(zhǎng)方體表面所在平面的交線。,數(shù)學(xué)運(yùn)用,6如圖，在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCDA1B1C1D1中， M、N分別是AA1、D1C1的中點(diǎn)，過(guò)D、M、N三點(diǎn) 的平面與正方體的下底面相交于直線l，,（1）畫出l的位置； （2）設(shè)lA1B1P，求PB1的長(zhǎng).,有三位同學(xué)證明如下，請(qǐng)判斷正誤：,問(wèn)題 研討,正方體中，試畫出過(guò)其中三