1習 題 一1.寫出下列事件的樣本空間：(1) 把一枚硬幣拋擲一次；(2) 把一枚硬幣連續(xù)拋擲兩次；(3) 擲一枚硬幣，直到首次出現(xiàn)正面為止；(4) 一個庫房在某一個時刻的庫存量( 假定最大容量為 M).解 (1) =正面，反面 正，反(2) =(正、正)，(正、反)，(反、正)，(反、反)(3) =(正)，(反，正)，(反，反，正)，(4) =x；0 x m2.擲一顆骰子的試驗，觀察其出現(xiàn)的點數(shù)，事件 A“偶數(shù)點”，B“ 奇數(shù)點 ”，C“點數(shù)小于 5”，D “小于 5 的偶數(shù)點”，討論上述各事件間的關系.解 .4,2,31,642,53,21 CBAA 與 B 為對立事件，即 B ；B 與 D 互不相容；A D， C D.3. 事件 Ai 表示某個生產(chǎn)單位第 i 車間完成生產(chǎn)任務，i 1，2，3，B 表示至少有兩個車間完成生產(chǎn)任務，C 表示最多只有兩個車間完成生產(chǎn)任務，說明事件 及 BC 的含義，并且用 Ai(i1，2，3)表示出來.解 表示最多有一個車間完成生產(chǎn)任務，即至少有兩個車間沒有完成生產(chǎn)任務.3121ABC 表示三個車間都完成生產(chǎn)任務 321321321321A321321321AA 321ACB4. 如圖 11，事件 A、B、C 都相容， 即 ABC，把事件AB，ABC，ACB，CAB 用一些互不相容事件的和表示 出來.解 A BCCA 5. 兩個事件互不相容與兩個事件對立的區(qū)別何在，舉例說明.解 兩個對立的事件一定互不相容，它們不可能同時發(fā)生，也不可能同時不發(fā)生；兩個互不相容的事件不一定是對立事件，它們只是不可能同時發(fā)生，但不一定同時不發(fā)生. 在本書第 6 頁例 2 中 A 與 D 是對立事件，C 與 D 是互不相容事件.6. 三個事件 A、 B、 C 的積是不可能事件，即 ABC ，問這三個事件是否一定互不相容?畫圖說明.解 不一定. A、 B、 C 三個事件互不相容 是指它們中任何兩個事件均互不相容，即兩兩互不相容.如圖 12，事件 ABC ，但是 A 與 B 相容.7. 事件 A 與 B 相容，記 C AB， D A+B， F AB. 說明事件A、 C、 D、 F 的關系.解 由于 AB A A+B， A B A A+B， AB 與A B 互不相容，且 A AB(A B). 因此有AC+F ，C 與 F 互不相容，D A F， A C.8. 袋內(nèi)裝有 5 個白球，3 個黑球，從中一次任取兩個，求取到的兩個球顏色不同的概率.解 記事件 A 表示“取到的兩個球顏色不同”. 則有利于事件 A 的樣本點數(shù)目A .而組成試驗的135C樣本點總數(shù)為 ，由古典概率公式有235圖 11圖 122P(A) #281535C(其中A ， 分別表示有利于 A 的樣本點數(shù)目與樣本空間的樣本點總數(shù)，余下同)9. 計算上題中取到的兩個球中有黑球的概率.解 設事件 B 表示“取到的兩個球中有黑球”則有利于事件 的樣本點數(shù)為 .B25CB149)(1)(285CP10. 拋 擲 一 枚 硬 幣 ， 連 續(xù) 3 次 ， 求 既 有 正 面 又 有 反 面 出 現(xiàn) 的 概 率 .解 設事件 A 表示“三次中既有正面又有反面出現(xiàn)”, 則 表示三次均為正面或三次均為反面出現(xiàn). 而拋A擲三次硬幣共有 8 種不同的等可能結果，即 8，因此4821#)()( P11. 10 把鑰匙中有 3 把能打開一個門鎖，今任取兩把，求能打開門鎖的概率.解 設事件 A 表示“門鎖能被打開”. 則事件 發(fā)生就是取的兩把鑰匙都不能打開門鎖.A151)()( 207C從 9 題11 題解中可以看到，有些時候計算所求事件的對立事件概率比較方便.12. 一副撲克牌有 52 張，不放回抽樣，每次一張，連續(xù)抽取 4 張，計算下列事件的概率：(1)四張花色各異；(2)四張中只有兩種花色.解 設事件 A 表示“四張花色各異” ；B 表示“四張中只有兩種花色”.1313452#CC 21B（ 05)(42.P36873#)(452.CB13. 口袋內(nèi)裝有 2 個伍分、3 個貳分，5 個壹分的硬幣共 10 枚，從中任取 5 枚，求總值超過壹角的概率.解 設事件 A 表示“取出的 5 枚硬幣總值超過壹角”. )(253128510 ， 6)(.P14. 袋中有紅、黃、黑色球各一個，每次任取一球，有放回地抽取三次，求下列事件的概率：A“三次都是紅球” “全紅” ，B“全白” ，C“全黑” ，D“無紅” ，E“無白” ，F(xiàn)“無黑” ，G“三次顏色全相同 ”，H“顏色全不相同” ，I“顏色不全相同”.解 3 3 27，ABC 1，DEF2 38，GABC3，H3！6，I G 243271)()(CPBA8FED98274)(,9276)(,91273)( IHG15. 一間宿舍內(nèi)住有 6 位同學，求他們中有 4 個人的生日在同一個月份的概率.解 設事件 A 表示“有 4 個人的生日在同一個月份”.12 6，A 216C073.8#)(P16. 事件 A 與 B 互不相容，計算 P .)(BA解 由于 A 與 B 互不相容，有 AB，P(AB)0.1)()( 17. 設事件 B A， 求證 P(B)P(A）.證 B AP(B -A)P( B) - P(A)P(B -A)0P(B )P(A )18. 已知 P(A)a，P(B) b，ab0 ( b0.3a)，P(AB )0.7a，求 P(B+A)，P(B-A) ，P( ).解 由于 AB 與 AB 互不相容，且 A(A-B)AB，因此有P(AB)P( A)-P(A-B)0.3aP(AB )P( A)P(B) P(AB)0.7abP(B-A)P( B)-P(AB)b-0.3aP( )1-P(AB )1-0.3a19. 50 個產(chǎn)品中有 46 個合格品與 4 個廢品，從中一次抽取三個，計算取到廢品的概率.解 設事件 A 表示“取到廢品” ，則 表示沒有取到廢品，有利于事件 的樣本點數(shù)目為 ，因AAA346C此P(A)1-P( )1- 35046C0.225520. 已 知 事 件 B A， P(A) lnb 0， P(B) lna， 求 a 的 取 值 范 圍 .解 因 B A，故 P(B)P(A )，即 lnalnb, ab，又因 P(A)0，P(B) 1，可得 b1，ae，綜上分析 a 的取值范圍是：1ba e21. 設事件 A 與 B 的概率都大于 0，比較概率 P(A)，P(AB)，P(A+B)，P (A)+P(B)的大小(用不等號把它們連接起來).解 由于對任何事件 A，B，均有AB A A+B且 P(A+B)P(A )P(B)-P(AB)，P(AB)0，因此有P(AB)P (A)P(A+B)P( A)P(B)22. 一個教室中有 100 名學生，求其中至少有一人的生日是在元旦的概率(設一年以 365 天計算).解 設事件 A 表示“100 名學生的生日都不在元旦” ，則有利于 A 的樣本點數(shù)目為A364 100，而樣本空間中樣本點總數(shù)為365 100，所求概率為4 103654#1)(APA= 0.239923. 從 5 副不同手套中任取 4 只手套，求其中至少有兩只手套配成一副的概率.解 設事件 A 表示“取出的四只手套至少有兩只配成一副” ，則 表示“四只手套中任何兩只均不能配成A一副”. 2108#)(41025CP6.)(24. 某單位有 92的職工訂閱報紙，93的人訂閱雜志，在不訂閱報紙的人中仍有 85的職工訂閱雜志，從單位中任找一名職工求下列事件的概率：(1)該職工至少訂閱一種報紙或期刊；(2)該職工不訂閱雜志，但是訂閱報紙.解 設事件 A 表示“任找的一名職工訂閱報紙” ，B 表示“訂閱雜志” ，依題意 P(A)0.92，P(B)0.93，P(B )0.85P(AB)P (A)P( B) P(A)P( )P(B )A0.920.080.850.988P(A )P(A B)-P(B)0.988 0.930.05825. 分 析 學 生 們 的 數(shù) 學 與 外 語 兩 科 考 試 成 績 ， 抽 查 一 名 學 生 ， 記 事 件 A 表 示 數(shù) 學 成 績 優(yōu) 秀 ， B 表 示 外 語 成 績優(yōu) 秀 ， 若 P(A) P(B) 0.4， P(AB) 0.28， 求 P(A B)， P(B A)， P(A B).解 P(A B) 7.28P(BA) )(P(AB )P( A)P(B) -P(AB)0.5226. 設 A、 B 是 兩個隨機事件. 0P(A)1，0P( B)1，P(AB )P( )1. 求證 P(AB)P(A)P( B).證 P ( A )P ( )1 且 P ( AB ) P( )1P ( AB )P (A ) (P(AB)1-P( B)P( B) P( A)-P( AB)整理可得P(AB)P( A) P( B)27. 設 A 與 B 獨立，P ( A)0.4，P( AB)0.7，求概率 P (B).解 P( AB )P(A )P( B)P( A)P( ) P( B) 0.70.40.6P( B ) P( B )0.528. 設事件 A 與 B 的概率都大于 0，如果 A 與 B 獨立，問它們是否互不相容，為什么?解 因 P ( A )，P ( B )均大于 0，又因 A 與 B 獨立，因此 P ( AB )P ( A ) P ( B )0，故 A 與 B 不可能互不相容.29. 某種電子元件的壽命在 1000 小時以上的概率為 0.8，求 3 個這種元件使用 1000 小時后，最多只壞了一個的概率.解 設事件 Ai 表示“使用 1000 小時后第 i 個元件沒有壞” ，i1，2，3，顯然 A1，A 2，A 3 相互獨立，事件 A 表示“三個元件中最多只壞了一個” ，則AA 1A2A3 A2A3A 1 A3A 1A2 ，上面等式右邊是四個兩兩互不相容事件的和，且 P(A1)P( A2)3P(A 3)0.85P( A) )(3)(1211AP0.8 330.8 20.20.89630. 加工某種零件，需經(jīng)過三道工序，假定第一、二、三道工序的廢品率分別為 0.3，0.2，0.2，并且任何一道工序是否出現(xiàn)廢品與其他各道工序無關，求零件的合格率.解 設事件 A 表示“任取一個零件為合格品” ，依題意 A 表示三道工序都合格.P(A)(10.3)(10.2)(1 0.2)0.44831. 某單位電話總機的占線率為 0.4，其中某車間分機的占線率為 0.3，假定二者獨立，現(xiàn)在從外部打電話給該車間，求一次能打通的概率；第二次才能打通的概率以及第 m 次才能打通的概率( m 為任何正整數(shù)).解 設事件 Ai 表示“第 i 次能打通” ，i 1，2，m，則P(A1)(10.4)(10.3)0.42P(A2)0.58 0.420.2436P(Am)0.58 m1 0.4232. 一間宿舍中有 4 位同學的眼鏡都放在書架上，去上課時，每人任取一副眼鏡，求每個人都沒有拿到自己眼鏡的概率.解 設 Ai 表示“第 i 人拿到自己眼鏡” ，i1,2,3,4. P ( Ai ) ，設事件 B 表示“每個人都沒有拿到自己的41眼鏡”. 顯然 則表示“至少有一人拿到自己的眼鏡”. 且 A 1A 2A 3A 4.BP( )P (A1A 2A 3A 4) 41441 4321)()(i ji kji kjiiip P(AiAj) P(Ai)P(AjA i)= 23jP(AiAjAk)=P(Ai)P(AjA i)P(AkA iAj)= （1 i j k4）4141P(A1A2A3A4) =P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)P(A4A 1A2A3)= 854)(3424CB8)(1P33. 在 1， 2，3000 這 3000 個數(shù)中任取一個數(shù)，設 Am“該數(shù)可以被 m 整除”，m2，3，求概率P(A2A3)，P( A2A 3)，P(A 2A 3).解 依題意 P(A2) ，P(A 3) 1P(A2A3)P( A6)P(A2A 3)P(A 2)P(A 3)P (A2A3) 1P(A2A 3)P(A 2)P(A 2A3) 1634. 甲、乙、丙三人進行投籃練習，每人一次，如果他們的命中率分別為 0.8，0.7，0.6，計算下列事件的概率：6(1)只有一人投中；(2)最多有一人投中；(3)最少有一人投中.解 設事件 A、B、C 分別表示“甲投中” 、 “乙投中” 、 “丙投中” ，顯然 A、B、C 相互獨立.設 Ai 表示“三人中有 i 人投中” ，i0,1,2,3,依題意， )() ()0 CPP0.20.30.4 0.024P ( A3 )=P ( ABC )=P ( A ) P ( B ) P ( C )=0.80.70.6 0.336P(A2)=P(AB )P(A C)P( BC)=0.80.70.40.80.30.60.20.70.6 0.452(1) P(A1)1P (A0)P( A2)P(A 3)10.0240.4520.3360.188(2) P(A0A 1) P(A0)P (A1)0.0240.1880.212(3) P(AB C)P( )1P (A 0)0.97635. 甲、乙二人輪流投籃，甲先開始，假定他們的命中率分別為 0.4 及 0.5，問誰先投中的概率較大，為什么?解 設事件 A2n-1B2n 分別表示“甲在第 2n1 次投中”與“乙在第 2n 次投中” ，顯然 A1，B 2，A 3，B 4，相互獨立.設事件 A 表示“甲先投中”. )()()( 5433211 ABPP 0.60.45.604273.計算得知 P(A)0.5，P( ) 0.5，因此甲先投中的概率較大 .36. 某 高 校 新 生 中 ， 北 京 考 生 占 30 ， 京 外 其 他 各 地 考 生 占 70 ， 已知在北京學生中，以英語為第一外語的占80，而京外學生以英語為第一外語的占 95，今從全校新生中任選一名學生，求該生以英語為第一外語的概率.解 設事件 A 表示“任選一名學生為北京考生” ，B 表示“任選一名學生，以英語為第一外語”. 依題意P(A)0.3，P( )0.7，P (BA) 0.8，P(B )0.95. 由全概率公式有AP(B)P(A )P(BA) P( )P(B )0.30.80.70.950.90537. A 地為甲種疾病多發(fā)區(qū)，該地共有南、北、中三個行政小區(qū)，其人口比為 9 : 7 : 4，據(jù)統(tǒng)計資料，甲種疾病在該地三個小區(qū)內(nèi)的發(fā)病率依次為 4，2，5，求 A 地的甲種疾病的發(fā)病率.解 設事件 A1，A 2，A 3 分別表示從 A 地任選一名居民其為南、北、中行政小區(qū)，易見 A1，A 2，A 3 兩兩互不相容，其和為 . 設事件 B 表示“任選一名居民其患有甲種疾病 ”，依題意：P(A1)0.45，P(A 2)0.35，P(A 3)0.2，P(BA 1)0.004，P(B A 2)0.002，P(BA 3)0.005 3|i ii 0.45 0.004 + 0.35 0.002 + 0.2 0.0050.003538. 一個機床有三分之一的時間加工零件 A，其余時間加工零件 B，加工零件 A 時，停機的概率為 0.3，加工零件 B 時停機的概率為 0.4，求這個機床停機的概率.解 設事件 A 表示“機床加工零件 A”，則 表示“機床加工零件 B”，設事件 B 表示“機床停工”.)|()|()( BPP37.024.31.039. 有編號為、的 3 個口袋，其中號袋內(nèi)裝有兩個 1 號球，1 個 2 號球與 1 個 3 號球，號袋7內(nèi)裝有兩個 1 號球和 1 個 3 號球，號袋內(nèi)裝有 3 個 1 號球與兩個 2 號球，現(xiàn)在先從號袋內(nèi)隨機地抽取一個球，放入與球上號數(shù)相同的口袋中，第二次從該口袋中任取一個球，計算第二次取到幾號球的概率最大，為什么?解 設事件 Ai 表示“第一次取到 i 號球” ，B i 表示第二次取到 i 號球，i1，2，3.依題意，A 1，A 2，A 3 構成一個完全事件組. 41)(,21)(32APP)|,| 111B4|()|(,2)|( 232A6)|,|,| 331 APP應用全概率公式 可以依次計算出 . 因此第二次1|()(i ijij BB 481)(,4813)(,2)( 321 BPBP取到 1 號球的概率最大.40. 接 37 題，用一種檢驗方法，其效果是：對甲種疾病的漏查率為 5(即一個甲種疾病患者，經(jīng)此檢驗法未查出的概率為 5)；對無甲種疾病的人用此檢驗法誤診為甲種疾病患者的概率為 1，在一次健康普查中，某人經(jīng)此檢驗法查為患有甲種疾病，計算該人確實患有此病的概率.解 設 事 件 A 表 示 “受 檢 人 患 有 甲 種 疾 病 ”， B 表 示 “受 檢 人 被 查 有 甲 種 疾 病 ”， 由 37 題 計 算 可 知 P(A) 0.0035， 應 用 貝 葉 斯 公 式 )|()|(|)|( APBP01.965.035.241. 甲、乙、丙三個機床加工一批同一種零件，其各機床加工的零件數(shù)量之比為 5 : 3 : 2，各機床所加工的零件合格率，依次為 94，90，95，現(xiàn)在從加工好的整批零件中檢查出一個廢品，判斷它不是甲機床加工的概率.解 設事件 A1，A 2，A 3 分別表示“受檢零件為甲機床加工” ， “乙機床加工” ， “丙機床加工” ，B 表示“廢品” ，應用貝葉斯公式有 3111 )|()|(i iiBPP7305206.5.74)|()|(11A42. 某人外出可以乘坐飛機、火車、輪船、汽車 4 種交通工具，其概率分別為 5，15，30，50，乘坐這幾種交通工具能如期到達的概率依次為 100，70，60與 90，已知該旅行者誤期到達，求他是乘坐火車的概率.解 設事件 A1，A 2，A 3，A 4 分別表示外出人“乘坐飛機” ， “乘坐火車” ， “乘坐輪船” ， “乘坐汽車” ，B 表示“外出人如期到達”. 41222 )|()|(i iiBPP1.054.30.50.18=0.20943. 接 39 題，若第二次取到的是 1 號球，計算它恰好取自號袋的概率.解 39 題計算知 P(B1) ，應用貝葉斯公式221)(|)|(11 AA44. 一箱產(chǎn)品 100 件，其次品個數(shù)從 0 到 2 是等可能的，開箱檢驗時，從中隨機地抽取 10 件，如果發(fā)現(xiàn)有次品，則認為該箱產(chǎn)品不合要求而拒收，若已知該箱產(chǎn)品已通過驗收，求其中確實沒有次品的概率.解 設事件 Ai 表示一箱中有 i 件次品，i 0, 1, 2. B 表示“抽取的 10 件中無次品” ，先計算 P ( B )20 1098)(31)|()(i ii CBP7.)(3|45. 設一條昆蟲生產(chǎn) n 個卵的概率為n=0, 1, 2, e!pn其中 0，又設一個蟲卵能孵化為昆蟲的概率等于 p(0p1). 如果卵的孵化是相互獨立的，問此蟲的下一代有 k 條蟲的概率是多少?解 設事件 An“一個蟲產(chǎn)下幾個卵” ，n0，1，2.B R“該蟲下一代有 k 條蟲” ，k0，1，.依題意 e!)(pPnnkqCABknnk 0| 其中 q=1p. 應用全概率公式有 knnknkk ABPP)|()|()(0l qp!e!knp)()(由于 ，所以有qknqe!)(0 ,210)(ekppBPqk9習 題 二1. 已知隨機變量 X 服從 01 分布，并且 PX00.2，求 X 的概率分布.解 X 只取 0 與 1 兩個值，PX0 P X0P X00.2，PX1 1PX 0 0.8.2. 一箱產(chǎn)品 20 件，其中有 5 件優(yōu)質(zhì)品，不放回地抽取，每次一件，共抽取兩次，求取到的優(yōu)質(zhì)品件數(shù) X的概率分布.解 X 可以取 0, 1, 2 三個值. 由古典概型公式可知)2,10(015mC依次計算得 X 的概率分布如下表所示：X 0 1 2P 3821385383. 上題中若采用重復抽取，其他條件不變，設抽取的兩件產(chǎn)品中，優(yōu)質(zhì)品為 X 件，求隨機變量 X 的概率分布.解 X 的取值仍是 0, 1, 2.每次抽取一件取到優(yōu)質(zhì)品的概率是 1/4，取到