2017年課標(biāo)高考 母題 備戰(zhàn)高考數(shù)學(xué)的一條捷徑 267 中國(guó) 高考數(shù)學(xué)母題 (第 087 號(hào) ) 雙曲線與漸近線的三個(gè)關(guān)系 漸近線是雙曲線 所 特有的 ,雙曲線 與其漸近線之間 不僅 具有 “ 伴生 ”關(guān)系 ,漸近線與離心率 也有密切聯(lián)系 ,而且 雙曲線的漸近線 控制 雙 曲線范圍 的 和發(fā)展趨勢(shì) . 母題結(jié)構(gòu) :( )(方程間的關(guān)系 )雙曲線 C 的 方程為 :22 ( 0) 雙曲線 C 的 漸近線 方程為 :22; ( )(離心率 的聯(lián)系 )若 雙曲線的漸近線的斜率為 k,則 : 焦點(diǎn)在 e= 21 k ; 焦點(diǎn)在 e=211 k; ( )(漸近線的 特性 ) 平行 于 漸近線的直 線與 雙曲線 只有一個(gè)交點(diǎn) ;過點(diǎn) (m,0)(ma)的直線 k,則 :直線 的右支有一個(gè)交點(diǎn) k線 l 與雙曲線 C 的右支有兩個(gè)交點(diǎn) 點(diǎn) (0,n)的直線 k,則 :直線 l 與雙曲線 C 的右支有交點(diǎn) ,焦點(diǎn)在 當(dāng) 0,b0)與雙曲線 2有相同的漸近線 ,且 5 ,0),則 a= ,b= . 子題類型 :(2015 年 山東 高考試題 )平面直角坐標(biāo)系 ,雙曲線 2(a0,b0)的漸近線與拋物線 py(p0)交于點(diǎn) O,A,B,若 垂心為 則 . 解析 :設(shè) 漸近線 :y= 入 2x=0, 2A(2B(由 (0,2p) 4 2;由 14 2(5 e= 21 k =23. 點(diǎn)評(píng) :由 雙曲線 漸近線的斜率 ,求 雙曲線的離心率 ,要特別注意 雙曲線 焦點(diǎn) 的位置 ,根據(jù) 焦點(diǎn) 的 位置 ,選擇相應(yīng)公式 . 同 類 試題 : 268 備戰(zhàn)高考數(shù)學(xué)的一條捷徑 2017年課標(biāo)高考 母題 3.(2006 年陜西高考試題 )己知雙曲線12222 a 2 )的兩條漸近線的夾角為3,則雙曲線的離心率為 . 4.(2008 年重慶高考試題 )己知 雙曲線22(a0,b0)的一條漸進(jìn)線為 y=kx(k0),離心率 e= 5 k,則雙曲線方程為( ) (A)14 2222 )15 2222 )14 2222 )15 2222 子題類型 :(2015 年 江蘇 高考試題 )在平面直角坐標(biāo)系 ,P 為雙曲線 右支上的 一個(gè)動(dòng)點(diǎn) ,若點(diǎn) P 到直線 =0 的距離大于 c 恒成立 ,則實(shí)數(shù) c 的最大值為 . 解析 :由雙曲線 的一 條 漸近線 : 與 直線 =0 平行 ,且距離 d=22;由 漸近線 的性質(zhì)知 ,2. 點(diǎn)評(píng) :雙 曲線只能位于由它的兩條漸近線所構(gòu)成的且含 焦點(diǎn) 的一對(duì)對(duì)頂角之內(nèi) ,且當(dāng)雙曲線上的動(dòng)點(diǎn) P 沿著雙曲線無限遠(yuǎn)離雙曲線的中心時(shí) ,點(diǎn) . 同 類 試題 : 5.(2015年 山東 高考試題 )過雙曲線 C:22(a,b0)的右焦點(diǎn)作一條與其漸近線平行的直 線 ,交 ,若點(diǎn) a,則 C 的離心率為 . 6.(2006 年福建高考試題 )己知雙曲線412 22 =1 的右焦點(diǎn)為 F,若過點(diǎn) F 的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn) ,則此直線斜率的取值范圍是 ( ) (A)(3) (B)(- 3 , 3 ) (C)3 (D)- 3 , 3 7.(2006 年天津高考試題 )如果雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為 3,0)、 ,0),一條漸近線方程為 y= 2 x,那么它的兩條準(zhǔn)線間的距離是 ( ) (A)6 3 (B)4 (C)2 (D)1 8.(2009 年天津高考試題 )設(shè)雙曲線2222 =1(a0,b0)的虛軸長(zhǎng)為 2,焦距為 2 3 ,則雙曲線的漸近線方程為 ( ) (A)y= 2 x (B)y= 2x (C)y=22x (D)y=21x 9.(2014 年 天津 高考試題 )已知雙曲線22(a0,b0)的一條漸近線平行于直線 l:y=2x+10,雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)在直線 l 上 ,則雙曲線的方程為 ( ) (A)52 (B)202 (C)2532 (D)1032 10.(2010 年 浙 江 高考試題 )設(shè) 2 分別為雙曲線2222 =1(a0,b0)的左 ,右焦點(diǎn) ,滿足|且 ,則該雙曲線的漸近方程為 ( ) (A)3x 4y=0 (B)3x 5y=0 (C)4x 3y=0 (D)5x 4y=0 11.(2008 年 四川 高考試題 )若點(diǎn) P(2,0)到雙曲線22 的一條漸近線的距離為 2 ,則雙曲線的離心率為 . 12.(2010年 遼寧 高考試題 )設(shè)雙曲線的 個(gè)焦點(diǎn)為 F,虛軸的 個(gè)端點(diǎn)為 B,如果直線 那么此雙曲線的離心率為 ( ) (A) 2 (B) 3 (C)213(D)21513.(2006年 湖 南 高考試題 )過雙曲線 M:的左頂點(diǎn) 的直線 l,若 的兩條漸近線分別相交 2017年課標(biāo)高考 母題 備戰(zhàn)高考數(shù)學(xué)的一條捷徑 269 于點(diǎn) B,C,且 |則雙曲線 M 的離心率是 ( ) (A) 10 (B) 5 (C)310(D)2514.(2009年浙江高考試題 )過雙曲線2222 =1(a0,b0)的右頂點(diǎn) 1的直線 ,該直線與雙曲線的兩條漸近線的交點(diǎn)分別為 B、 1,則雙曲線的離心率是 ( ) (A) 2 (B) 3 (C) 5 (D) 10 15.(2006 年福建高考試題 )己知雙曲線22(a0,b0)的右焦點(diǎn)為 F,若過點(diǎn) F 且傾斜角為 600的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn) ,則此雙曲線離心率的取值范圍是 ( ) (A)(1,2 (B)(1,2) (C)2,+ ) (D)(2,+ ) 16.(2013 年 重慶 高考試題 )設(shè)雙曲線 C 的中心為點(diǎn) O,若有且只有一對(duì)相 交 于點(diǎn) O、所成的角為 600的直線 2|其中 2、 的交點(diǎn) ,則該雙曲線的離心率的取值范圍是 ( ) (A)(332,2 (B)332,2) (C)(332,+ ) (D)332,+ ) 17.(2008 年 全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽 福建 預(yù)賽 試題 )雙曲線22(a0,b0)上橫坐標(biāo)為23a 的點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離大于它到左準(zhǔn)線的距離 ,則該雙曲線兩條漸近線所夾銳角的取值范圍是 . 18.(2014 年 浙 江 高考試題 )設(shè)直線 m=0(m 0)與雙曲線22(ab0)兩條漸近線分別交于點(diǎn) A,B,若點(diǎn) P(m,0)滿足 |則該雙曲線的離心率是 . 故選 (C). 由 c= 5 ,a:b=1:2 a=1,b=2. 由 e=332. 故選 (C). 由 y=ab(22 交 點(diǎn) P(2,2=2a e=2+ 3 . 由 過點(diǎn) F 的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn) kk 3C). 由 c=3,b= 2 C). 由 2b=2,2c=2 3 b=1,c= 3 a= 2 C). 由 b=2a,c=A). 由 |2c |2a+2c (2a)2+(a+c)2=(2c)2 b:a=4:3 漸近方程 :4x 3y=C). e= 2 . 由b2=e=215D). 由 | b=3 e= 10 A). 由1 3xB=a 3=+2a e= 5 . 由e C). 由 | 這對(duì)直線 關(guān)于 x 軸對(duì)稱 ,故本題等價(jià)于過 原點(diǎn)且傾斜 角為 600的直線 與 雙曲線 C 有兩個(gè)交點(diǎn) 233+e23 夾銳角的取值范圍是 (00,600). 由 m=0,y=A(,),B(,) 中點(diǎn) H(2229 ab 22293 ab ;又由 | 270 備戰(zhàn)高考數(shù)學(xué)的一條捷徑 2017年課標(biāo)高考 母題 | 3 e=25. 2017年課標(biāo)高考 母題 備戰(zhàn)高考數(shù)學(xué)的一條捷徑 267 中國(guó) 高考數(shù)學(xué)母題 (第 087 號(hào) ) 雙曲線與漸近線的三個(gè)關(guān)系 漸近線是雙曲線 所 特有的 ,雙曲線 與其漸近線之間 不僅 具有 “ 伴生 ”關(guān)系 ,漸近線與離心率 也有密切聯(lián)系 ,而且 雙曲線的漸近線 控制 雙 曲線范圍 的 和發(fā)展趨勢(shì) . 母題結(jié)構(gòu) :( )(方程間的關(guān)系 )雙曲線 C 的 方程為 :22 ( 0) 雙曲線 C 的 漸近線 方程為 :22; ( )(離心率 的聯(lián)系 )若 雙曲線的漸近線的斜率為 k,則 : 焦點(diǎn)在 e= 21 k ; 焦點(diǎn)在 e=211 k; ( )(漸近線的 特性 ) 平行 于 漸近線的直 線與 雙曲線 只有一個(gè)交點(diǎn) ;過點(diǎn) (m,0)(ma)的直線 k,則 :直線 的右支有一個(gè)交點(diǎn) k線 l 與雙曲線 C 的右支有兩 個(gè)交點(diǎn) 點(diǎn) (0,n)的直線 k,則 :直線 l 與雙曲線 C 的右支有交點(diǎn) ,焦點(diǎn)在 當(dāng) 0,b0)與雙曲線 2有相同的漸近線 ,且 5 ,0),則 a= ,b= . 子題類型 :(2015 年 山東 高考試題 )平面直角坐標(biāo)系 ,雙曲線 2(a0,b0)的漸近線與拋物線 py(p0)交于點(diǎn) O,A,B,若 垂心為 則 . 解析 :設(shè) 漸近線 :y= 入 2x=0, 2A(2B(由 (0,2p) 4 2;由 14 2(5 e= 21 k =23. 點(diǎn)評(píng) :由 雙曲線 漸近線的斜率 ,求 雙 曲線的離心率 ,要特別注意 雙曲線 焦點(diǎn) 的位置 ,根據(jù) 焦點(diǎn) 的位置 ,選擇相應(yīng)公式 . 同 類 試題 : 268 備戰(zhàn)高考數(shù)學(xué)的一條捷徑 2017年課標(biāo)高考 母題 3.(2006 年陜西高考試題 )己知雙曲線12222 a 2 )的兩條漸近線的夾角為3,則雙曲線的離心率 為 . 4.(2008 年重慶高考試題 )己知雙曲線22(a0,b0)的一條漸進(jìn)線為 y=kx(k0),離心率 e= 5 k,則雙曲線方程為( ) (A)14 2222 )15 2222 )14 2222 )15 2222 子題類型 :(2015 年 江蘇 高考試題 )在平面直角坐標(biāo)系 ,P 為雙曲線 右支上的 一個(gè)動(dòng)點(diǎn) ,若點(diǎn) P 到直線 =0 的距離大于 c 恒成立 ,則實(shí)數(shù) c 的最大值為 . 解析 :由雙曲線 的一 條 漸近線 : 與 直線 =0 平行 ,且距離 d=22;由 漸近線 的性質(zhì)知 ,2. 點(diǎn)評(píng) :雙曲線只能位于由它的兩條漸近線所構(gòu)成的且含 焦點(diǎn) 的一對(duì)對(duì)頂角之內(nèi) ,且當(dāng)雙曲線上的動(dòng)點(diǎn) P 沿著雙曲線無限遠(yuǎn)離雙曲線的中心時(shí) ,點(diǎn) . 同 類 試題 : 5.(2015年 山東 高考試題 )過雙曲線 C:22(a,b0)的右焦點(diǎn)作一條與其漸近線平行的直 線 ,交 ,若點(diǎn) a,則 C 的離心率為 . 6.(2006 年福建高考 試題 )己知雙曲線412 22 =1 的右焦點(diǎn)為 F,若過點(diǎn) F 的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn) ,則此直線斜率的取值范圍是 ( ) (A)(3) (B)(- 3 , 3 ) (C)3 (D)- 3 , 3 7.(2006 年天津高考試題 )如果雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為 3,0)、 ,0),一條漸近線方程為 y= 2 x,那么它的兩條準(zhǔn)線間的距離是 ( ) (A)6 3 (B)4 (C)2 (D)1 8.(2009 年天津高考試題 )設(shè)雙曲線2222 =1(a0,b0)的虛軸長(zhǎng)為 2,焦距為 2 3 ,則雙曲線的漸近線方程為 ( ) (A)y= 2 x (B)y= 2x (C)y=22x (D)y=21x 9.(2014 年 天津 高考試題 )已知雙曲線22(a0,b0)的一條漸近線平行于直線 l:y=2x+10,雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)在直線 l 上 ,則雙曲線的方程為 ( ) (A)52 (B)202 (C)2532 (D)1032 10.(2010 年 浙 江 高考試題 )設(shè) 2 分別為雙曲線2222 =1(a0,b0)的左 ,右焦點(diǎn) ,滿足|且 ,則該雙曲線的漸近方程為 ( ) (A)3x 4y=0 (B)3x 5y=0 (C)4x 3y=0 (D)5x 4y=0 11.(2008 年 四川 高考試題 )若點(diǎn) P(2,0)到雙曲線22 的一條漸近線的距離為 2 ,則雙曲線的離心率為 . 12.(2010年 遼寧 高考試題 )設(shè)雙曲線的 個(gè)焦點(diǎn)為 F,虛軸的 個(gè)端點(diǎn)為 B,如果直線 那么此雙曲線的離心率為 ( ) (A) 2 (B) 3 (C)213(D)21513.(2006年 湖 南 高考試題 )過雙曲線 M:的左頂點(diǎn) 的直線 l,若 的兩條漸近線分別相交 2017年課標(biāo)高考 母題 備戰(zhàn)高考數(shù)學(xué)的一條捷徑 269 于點(diǎn) B,C,且 |則雙曲線 M 的離心率是 ( ) (A) 10 (B) 5 (C)310(D)2514.(2009年浙江高考試題 )過雙曲線2222 =1(a0,b0)的右頂點(diǎn) 1的直線 ,該直線與雙曲線的兩條漸近線的交點(diǎn)分別為 B、 1,則雙曲線的離心率是 ( ) (A) 2 (B) 3 (C) 5 (D) 10 15.(2006 年福建高考試題 )己知雙曲線22(a0,b0)的右焦點(diǎn)為 F,若過點(diǎn) F 且傾斜角為 600的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn) ,則此雙曲線離心率的取值范圍是 ( ) (A)(1,2 (B)(1,2) (C)2,+ ) (D)(2,+ ) 16.(2013 年 重慶 高考試題 )設(shè)雙曲線 C 的中心為點(diǎn) O,若有且只有一對(duì)相 交 于點(diǎn) O、所成的角為 600的直線 2|其中 2、 的交點(diǎn) ,則該雙曲線的離心率的取值范圍是 ( ) (A)(332,2 (B)332,2) (C)(332,+ ) (D)332,+ ) 17.(2008 年 全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽 福建 預(yù)賽 試題 )雙曲線22(a0,b0)上橫坐