中國(guó) 高考數(shù)學(xué)母題一千題 (第 0001 號(hào) ) 愿與您共建真實(shí)的中國(guó)高考數(shù)學(xué)母題 (楊培明 閃爍在高考中的兩圓錐曲線的公切線 圓錐曲線的切線與法線 高考 解析幾何試題 具 有濃郁的切線情結(jié)是不爭(zhēng)的事實(shí) ,其中反映這一情結(jié)的一種表現(xiàn)形式是研究?jī)蓤A錐曲線的公切線問(wèn)題 ,而解決該類(lèi)問(wèn)題常借助曲線的 法線 :若點(diǎn) 上 ,則 過(guò) 點(diǎn) 線 線 的法線 . 母題結(jié)構(gòu) :若點(diǎn) P(x0,曲線 G:dx+ey+f=0 上 ,則 :( )曲線 G 在點(diǎn) P 處的切 線方程為 : f=0;( )曲線 G 在點(diǎn) P 處的 法線方程為 :(d)(e)( 母題 解 析 :( )由曲線 G:dx+ey+f=0 以點(diǎn) P(x0,中點(diǎn)的弦 :f=f,當(dāng) 點(diǎn) 上 時(shí) ,f=0,此時(shí)中點(diǎn)的弦方程變?yōu)?:f=0,此即為 曲線 處的切線方程 ; ( )由 曲線 處切線的 斜率 = 曲線 處法線的 斜率 k=2200 曲線 處的 法線方程為 : (d)(e)( 子題類(lèi)型 :(2004年 安徽春招 試 題 )已知拋物線 C:y=x+27,過(guò) ,且與 在點(diǎn) M 的法線 . ( )若 C 在點(diǎn) M 的法線的斜率為 點(diǎn) M 的坐標(biāo) (x0, ( )設(shè) P(-2,a)為 在 使得 ？若有 ,求出這些點(diǎn) ,以及 若沒(méi)有 ,請(qǐng)說(shuō)明理由 . 解析 :( )由 C 在點(diǎn) M 的法線的斜率為 C 在點(diǎn) M 的 切 線的斜率 =2 2=2 1 1 M(1); ( )設(shè) M(x0,7),則 22740020由 (2)1 a=()2;當(dāng) a 0 時(shí) ,在 C 上有一個(gè)點(diǎn) (21)在這點(diǎn)的法線過(guò)點(diǎn) P(-2,a),其方程為 :x= 當(dāng) a0時(shí) ,在 a ,212 a),(a ,212 a),及 (21),在這三點(diǎn)的法線過(guò)點(diǎn) P(-2,a),其方程分別為 :x+2 a y+2a =0,a y+2+2a a =0,x=點(diǎn)評(píng) :圓錐曲線的法線有許多有意義的性質(zhì) ,如焦點(diǎn)為 2的橢圓 G 在其上一點(diǎn) P 處的法 線 平分 點(diǎn)為 2的 雙曲 處的法 線 平分 焦點(diǎn)為 物 處的法 線 平分 中 , 的對(duì)稱(chēng)軸 ,且點(diǎn) Q 在拋物 G 的內(nèi)部 . 用 子題類(lèi)型 :(2014年 浙江 高考試 題 )如圖 ,設(shè)橢圓 C:222(ab0),動(dòng)直線 只有一個(gè)公共 點(diǎn) P,且點(diǎn) P 在第一象限 . ( )已知直線 l 的斜率為 k,用 a,b,k 表示點(diǎn) P 的坐標(biāo) ; ( )若過(guò)原點(diǎn) O 的直線 證明 :點(diǎn) P 到直線 解析 :( )設(shè) P(x,y)是 橢圓 C 與直線 l 的交點(diǎn) ,直線 l:y=kx+t,則 =(ka (222 題知 ,b2= ka:x=y=2222 P(2222; ( )設(shè) 點(diǎn) P(x0,過(guò)點(diǎn) P 且與 切線 l 垂直的 直線 為 切線 l:200 直線 2 直線 點(diǎn) P 到直線 點(diǎn) d=20420422=)( 22022020420422222)( =且僅當(dāng) a3:等 號(hào)成立 點(diǎn) P 到直線 點(diǎn)評(píng) :本題是曲線法線應(yīng)用的絕妙典例 ,記直線 l 的垂足為點(diǎn) Q,則直線 l 是以 O 為圓心 ,|半徑的圓的切線 , 因此 ,本題的實(shí) 質(zhì)是橢圓與圓的公切線段長(zhǎng)的最 大值為 子題類(lèi)型 :(原創(chuàng) 試 題 )已知橢圓 C:222(ab0),圓 :(+y2=a2+中 c= 22 ,若 A 是 圓 上的點(diǎn) ,B 是橢圓 C 上的點(diǎn) ,且使直線 橢圓 C 和 圓 均相切 ,求 點(diǎn) A 和點(diǎn) B. 解析 :如圖 ,設(shè) B(,則 橢圓 處的切線 AB:,即 直線 圓 相切 2222 co co s|= 22 點(diǎn) B(切線 2,代入 (+y2=a2+x=0 y= a 點(diǎn) A(0, a). 點(diǎn)評(píng) :解決兩圓錐曲線公切線問(wèn)題的一般方法是設(shè)非圓的圓錐曲線的切點(diǎn) ,由此寫(xiě)出切線方程 ,然 后 ,或利用該切線與另一曲線相切 ,或?qū)懗隽硪磺€的切線方程 ,由兩切線重合 ,解決問(wèn)題 . 1.(2010 年安徽高考試題 )橢圓 E 經(jīng)過(guò)點(diǎn) A(2,3),對(duì)稱(chēng)軸為坐標(biāo)軸 ,焦點(diǎn) x 軸上 ,離心率 e=21. ( )求橢圓 E 的方程 ; ( )求 2.(2003年 課程 高考試 題 )己知 拋物線 C1:y=2:y=1和 稱(chēng) 1和 公切線上兩個(gè)切 點(diǎn)之間的線段 ,稱(chēng)為公切線段 . ( )a 取什么值時(shí) ,2有且僅有一條公切線？寫(xiě)出此公切線的方程 ; ( )若 2有兩條公切線 ,證明 :相應(yīng)的兩條公切線段互相平分 . 3.(2004 年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽四川 初賽試 題 )已知橢圓 :222(ab0),動(dòng)圓 :x2+2,其中 )的離心率為23,右焦點(diǎn)為圓 )2+ 的圓心 . ( )求橢圓 ( )若直線 l 與曲線 2都只有一個(gè)公共點(diǎn) ,記直線 l 與圓 為 A,求點(diǎn) A 的坐標(biāo) . ( )E:11216 22 1(),0); ( )由橢圓的光學(xué)性質(zhì)知 ,角平分線 l 與橢圓在點(diǎn) A 處的切線123162 1 垂直 直線 l 的斜率 k=角平分線 l 的方程 :2. ( )由 拋物線 (x1,的 切 線 l1:y=2()物線 (a)處的切 線l2:y=a; 如果直線 l 是過(guò) P 和 Q 的公切線 ,則直線 線 l 2()= a (=a 2+a=0 有等根 =4+a)=0 a=21 公切線 l:y=( )由 ( )知 ,當(dāng) a 2有兩條公切線 ,且 x1+1 y1+(a)=()2+a=公切線段 中點(diǎn)為 (1a),即 公切線段 的中點(diǎn) 重合 相應(yīng)的兩條公切線段互相平分 . 如圖 ,設(shè) A(,則 橢圓 在點(diǎn) A 處的切線 AB:,即 橢圓 在點(diǎn) A 處的 法 線 l:(0 |點(diǎn) O 到法 線 l 的距 離 d=222222| = 222222=)o s)(c o s 22222222 222)( =且僅當(dāng) A(ba 此時(shí) ,R= ,等