第二節(jié)函數(shù)的單調(diào)性與最值一、基礎知識批注理解深一點1增函數(shù)、減函數(shù)定義：設函數(shù)f(x)的定義域為I：(1)增函數(shù)：如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x1，x2，當x1x2時，都有f(x1)f(x2)，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)(2)減函數(shù)：如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x1，x2，當x1f(x2)，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)增(減)函數(shù)定義中的x1，x2的三個特征一是任意性；二是有大小，即x1x2)；三是同屬于一個單調(diào)區(qū)間，三者缺一不可2單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間若函數(shù)yf(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，則稱函數(shù)yf(x)在這一區(qū)間具有(嚴格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫做函數(shù)yf(x)的單調(diào)區(qū)間. 有關單調(diào)區(qū)間的兩個防范(1)單調(diào)區(qū)間只能用區(qū)間表示，不能用不等式表示(2)有多個單調(diào)區(qū)間應分別寫，不能用符號“”連接，也不能用“或”連接，只能用“逗號”或“和”連接3函數(shù)的最值設函數(shù)yf(x)的定義域為I，如果存在實數(shù)M滿足：(1)對于任意的xI，都有f(x)M或f(x)M.(2)存在x0I，使得f(x0)M.那么，我們稱M是函數(shù)yf(x)的最大值或最小值函數(shù)最值存在的兩條結論(1)閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定存在最大值和最小值當函數(shù)在閉區(qū)間上單調(diào)時最值一定在端點取到(2)開區(qū)間上的“單峰”函數(shù)一定存在最大(小)值二、常用結論匯總規(guī)律多一點在公共定義域內(nèi)：(1)函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，g(x)單調(diào)遞增，則f(x)g(x)是增函數(shù)；(2)函數(shù)f(x)單調(diào)遞減，g(x)單調(diào)遞減，則f(x)g(x)是減函數(shù)；(3)函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，g(x)單調(diào)遞減，則f(x)g(x)是增函數(shù)；(4)函數(shù)f(x)單調(diào)遞減，g(x)單調(diào)遞增，則f(x)g(x)是減函數(shù)；(5)若k0，則kf(x)與f(x)單調(diào)性相同；若k0)在公共定義域內(nèi)與yf(x)，y的單調(diào)性相反；(7)復合函數(shù)yfg(x)的單調(diào)性與yf(u)和ug(x)的單調(diào)性有關簡記：“同增異減”三、基礎小題強化功底牢一點(1)函數(shù)y的單調(diào)遞減區(qū)間是(，0)(0，)()(2)具有相同單調(diào)性的函數(shù)的和、差、積、商函數(shù)還具有相同的單調(diào)性()(3)若定義在R上的函數(shù)f(x)有f(1)Bm Dm解析：選B若函數(shù)y(2m1)xb在R上是減函數(shù)，則2m10，即m.2下列函數(shù)中，圖象是軸對稱圖形且在區(qū)間(0，)上單調(diào)遞減的是()Ay Byx21 Cy2x Dylog2|x|解析：選B因為函數(shù)的圖象是軸對稱圖形，所以排除A、C，又yx21在 (0，)上單調(diào)遞減，ylog2|x|在(0，)上單調(diào)遞增，所以排除D.故選B.3函數(shù)f(x)|x2|x的單調(diào)減區(qū)間是()A1,2 B1,0 C0,2 D2，)解析：選A由于f(x)|x2|x結合圖象(圖略)可知函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是1,2(三)填一填4.設定義在1,7上的函數(shù)yf(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)yf(x)的增區(qū)間為_解析：由圖可知函數(shù)的增區(qū)間為1,1和5,7答案：1,1和5,75函數(shù)f(x)在2,0上的最大值與最小值之差為_解析：易知f(x)在2,0上是減函數(shù)，f(x)maxf(x)minf(2)f(0)(2).答案： 典例(1)求函數(shù)f(x)x22|x|1的單調(diào)區(qū)間(2)試討論函數(shù)f(x)(a0)在(1,1)上的單調(diào)性解(1)易知f(x)畫出函數(shù)圖象如圖所示，可知單調(diào)遞增區(qū)間為(，1和0,1，單調(diào)遞減區(qū)間為1,0和1，)(2)法一：定義法設1x1x21，f(x)aa，則f(x1)f(x2)aa.由于1x1x20，x110，x210時，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，函數(shù)f(x)在(1,1)上單調(diào)遞減；當a0時，f(x1)f(x2)0，即f(x1)0時，f(x)0，函數(shù)f(x)在(1,1)上單調(diào)遞減；當a0，函數(shù)f(x)在(1,1)上單調(diào)遞增解題技法判斷函數(shù)單調(diào)性和求單調(diào)區(qū)間的方法(1)定義法：一般步驟為設元作差變形判斷符號得出結論(2)圖象法：如果f(x)是以圖象形式給出的，或者f(x)的圖象易作出，則可由圖象的上升或下降確定單調(diào)性(3)導數(shù)法：先求導數(shù)，利用導數(shù)值的正負確定函數(shù)的單調(diào)性及區(qū)間(4)性質(zhì)法：對于由基本初等函數(shù)的和、差構成的函數(shù)，根據(jù)各初等函數(shù)的增減性及復合函數(shù)單調(diào)性性質(zhì)進行判斷；復合函數(shù)單調(diào)性，可用同增異減來確定題組訓練1下列函數(shù)中，滿足“x1，x2(0，)且x1x2，(x1x2)f(x1)f(x2)0”的是()Af(x)2xBf(x)|x1|Cf(x)x Df(x)ln(x1)解析：選C由(x1x2)f(x1)f(x2)0)在(0，)上的單調(diào)性解：設x1，x2是任意兩個正數(shù)，且x1x2，則f(x1)f(x2)(x1x2a)當0x1x2時，0x1x2a，x1x20，即f(x1)f(x2)，所以函數(shù)f(x)在(0， 上是減函數(shù)；當x1a，x1x20，所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)0)在(0， 上是減函數(shù)，在，)上是增函數(shù) 典例(1)(2019深圳調(diào)研)函數(shù)y|x1|x2|的值域為_(2)若函數(shù)f(x)b(a0)在上的值域為，則a_，b_.(3)函數(shù)f(x)的最大值為_解析(1)圖象法函數(shù)y作出函數(shù)的圖象如圖所示根據(jù)圖象可知，函數(shù)y|x1|x2|的值域為3，)(2)單調(diào)性法f(x)b(a0)在上是增函數(shù)，f(x)minf，f(x)maxf(2)2.即解得a1，b.(3)當x0時，f(x)x24x(x2)24，而2(，0，此時f(x)在x2處取得最大值，且f(2)4；當x0時，f(x)sin x，此時f(x)在區(qū)間(0，)上的最大值為1.綜上所述，函數(shù)f(x)的最大值為4.答案(1)3，)(2)1(3)4解題技法求函數(shù)最值的5種常用方法單調(diào)性法先確定函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性結合端點值求最值圖象法先作出函數(shù)的圖象，再觀察其最高點、最低點，求出最值基本不等式法先對解析式變形，使之具備“一正二定三相等”的條件后用基本不等式求出最值導數(shù)法先求出導函數(shù)，然后求出給定區(qū)間上的極值，最后結合端點值，求出最值換元法對比較復雜的函數(shù)可通過換元轉化為熟悉的函數(shù)，再用相應的方法求最值口訣歸納單調(diào)性，左邊看，上坡遞增下坡減；函數(shù)值，若有界，上界下界值域外提醒(1)求函數(shù)的最值時，應先確定函數(shù)的定義域(2)求分段函數(shù)的最值時，應先求出每一段上的最值，再選取其中最大的作為分段函數(shù)的最大值，最小的作為分段函數(shù)的最小值題組訓練1函數(shù)f(x)的值域為_解析：當x0時，f(x)x4，當且僅當x2時取等號；當x0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是_解析：對任意x1，)，f(x)0恒成立等價于x22xa0在x1，)上恒成立，即ax22x在x1，)上恒成立又函數(shù)yx22x在1，)上單調(diào)遞減，(x22x)max3，故a3，又a1，3f(3)f(2)Bf()f(2)f(3)Cf()f(3)f(2) Df()f(2)f(3)f(2)，即f()f(3)f(2)答案A解題技法比較函數(shù)值大小的解題思路比較函數(shù)值的大小時，若自變量的值不在同一個單調(diào)區(qū)間內(nèi)，要利用其函數(shù)性質(zhì)，轉化到同一個單調(diào)區(qū)間內(nèi)進行比較，對于選擇題、填空題能數(shù)形結合的盡量用圖象法求解考法(二)解函數(shù)不等式典例設函數(shù)f(x)若f(a1)f(2a1)，則實數(shù)a的取值范圍是()A(，1B(，2C2,6 D2，)解析易知函數(shù)f(x)在定義域(，)上是增函數(shù)，f(a1)f(2a1)，a12a1，解得a2.故實數(shù)a的取值范圍是(，2答案B解題技法求解含“f”的函數(shù)不等式的解題思路先利用函數(shù)的相關性質(zhì)將不等式轉化為f(g(x)f(h(x)的形式，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性去掉“f”，得到一般的不等式g(x)h(x)(或g(x)h(x)考法(三)利用單調(diào)性求參數(shù)的范圍(或值)典例 (2019南京調(diào)研)已知函數(shù)f(x)x在(1，)上是增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是_解析設1x11.函數(shù)f(x)在(1，)上是增函數(shù)，f(x1)f(x2)x1(x1x2)0.x1x20，即ax1x2.1x11，x1x2x11時，f(x2)f(x1)(x2x1)ab BcbaCacb Dbac解析：選D由于函數(shù)f(x)的圖象向左平移1個單位后得到的圖象關于y軸對稱，故函數(shù)yf(x)的圖象關于直線x1對稱，所以aff.當x2x11時，f(x2)f(x1)(x2x1)ac.2已知函數(shù)f(x)是R上的單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是()A. B.C. D.解析：選B由對數(shù)函數(shù)的定義可得a0，且a1.又函數(shù)f(x)在R上單調(diào)，而二次函數(shù)yax2x的圖象開口向上，所以函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞減，故有即所以a.A級保大分專練1下列四個函數(shù)中，在x(0，)上為增函數(shù)的是()Af(x)3xBf(x)x23xCf(x) Df(x)|x|解析：選C當x0時，f(x)3x為減函數(shù)；當x時，f(x)x23x為減函數(shù)，當x時，f(x)x23x為增函數(shù)；當x(0，)時，f(x)為增函數(shù)；當x(0，)時，f(x)|x|為減函數(shù)2若函數(shù)f(x)ax1在R上單調(diào)遞減，則函數(shù)g(x)a(x24x3)的單調(diào)遞增區(qū)間是()A(2，) B(，2)C(4，) D(，4)解析：選B因為f(x)ax1在R上單調(diào)遞減，所以a0.而g(x)a(x24x3)a(x2)2a.因為a0，所以g(x)在(，2)上單調(diào)遞增3已知函數(shù)f(x)是定義在區(qū)間0，)上的函數(shù)，且在該區(qū)間上單調(diào)遞增，則滿足f(2x1)f的x的取值范圍是()A. B.C. D.解析：選D因為函數(shù)f(x)是定義在區(qū)間0，)上的增函數(shù)，滿足f(2x1)f.所以02x1，解得x.4(2019菏澤模擬)定義新運算：當ab時，aba；當ab時，abb2，則函數(shù)f(x)(1x)x(2x)，x2，2的最大值等于()A1 B1C6 D12解析：選C由題意知當2x1時，f(x)x2，當1x2時，f(x)x32，又f(x)x2，f(x)x32在相應的定義域內(nèi)都為增函數(shù)，且f(1)1，f(2)6，f(x)的最大值為6.5已知函數(shù)f(x)是R上的增函數(shù)，A(0，3)，B(3,1)是其圖象上的兩點，那么不等式3f(x1)1的解集的補集是(全集為R)()A(1,2) B(1,4)C(，1)4，) D(，12，)解析：選D由函數(shù)f(x)是R上的增函數(shù)，A(0，3)，B(3,1)是其圖象上的兩點，知不等式3f(x1)1即為f(0)f(x1)f(3)，所以0x13，所以1x2，故不等式3f(x1)1的解集的補集是(，12，)6已知函數(shù)f(x)是R上的增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是()A3,0) B(，2C3，2 D(，0)解析：選C若f(x)是R上的增函數(shù)，則應滿足解得3a2.7已知函數(shù)f(x)，則該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為_解析：設tx22x3，由t0，即x22x30，解得x1或x3，所以函數(shù)f(x)的定義域為(，13，)因為函數(shù)tx22x3的圖象的對稱軸為x1，所以函數(shù)tx22x3在(，1上單調(diào)遞減，在3，)上單調(diào)遞增，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為3，)答案：3，)8函數(shù)f(x)的最大值為_解析：當x1時，函數(shù)f(x)為減函數(shù)，所以f(x)在x1處取得最大值，為f(1)1；當x1時，易知函數(shù)f(x)x22在x0處取得最大值，為f(0)2.故函數(shù)f(x)的最大值為2.答案：29若函數(shù)f(x)在區(qū)間2，a上的最大值與最小值的和為，則a_.解析：由f(x)的圖象知，f(x)在(0，)上是減函數(shù)，2，a(0，)，f(x)在2，a上也是減函數(shù)，f(x)maxf(2)，f(x)minf(a)，a4.答案：410(2019甘肅會寧聯(lián)考)若f(x)在區(qū)間(2，)上是增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是_解析：f(x)1，要使函數(shù)在區(qū)間(2，)上是增函數(shù)，需使a30，解得a0，解得m0.綜上可得，m的取值范圍是(0,12已知函數(shù)f(x)ln xx，若f(a2a)f(a3)，則正數(shù)a的取值范圍是_解析：因為f(x)ln xx在(0，)上是增函數(shù)，所以解得3a3.又a0，所以a3.答案：(3，)3已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：f(xy)f(x)