第五節(jié)函數(shù)的圖象一、基礎(chǔ)知識批注理解深一點1利用描點法作函數(shù)圖象其基本步驟是列表、描點、連線首先：(1)確定函數(shù)的定義域；(2)化簡函數(shù)解析式；(3)討論函數(shù)的性質(zhì)(奇偶性、單調(diào)性、周期性、對稱性等)；其次，列表，描點，連線列出的點多為零點、最值點等2函數(shù)圖象的變換(1)平移變換yf(x)的圖象yf(xa)的圖象；yf(x)的圖象yf(x)b的圖象“左加右減，上加下減”，左加右減只針對x本身，與x的系數(shù),無關(guān)，上加下減指的是在f(x)整體上加減. (2)對稱變換yf(x)的圖象yf(x)的圖象；yf(x)的圖象yf(x)的圖象；yf(x)的圖象yf(x)的圖象；yax(a0且a1)的圖象ylogax(a0且a1)的圖象(3)伸縮變換yf(x)的圖象yf(ax)的圖象yf(x)的圖象yaf(x)的圖象(4)翻折變換yf(x)的圖象y|f(x)|的圖象；yf(x)的圖象yf(|x|)的圖象二、常用結(jié)論匯總規(guī)律多一點1函數(shù)圖象自身的軸對稱(1)f(x)f(x)函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于y軸對稱；(2)函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于xa對稱f(ax)f(ax)f(x)f(2ax)f(x)f(2ax)；(3)若函數(shù)yf(x)的定義域為R，且有f(ax)f(bx)，則函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于直線x對稱2函數(shù)圖象自身的中心對稱(1)f(x)f(x)函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于原點對稱；(2)函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于(a,0)對稱f(ax)f(ax)f(x)f(2ax)f(x)f(2ax)；(3)函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于點(a，b)成中心對稱f(ax)2bf(ax)f(x)2bf(2ax)3兩個函數(shù)圖象之間的對稱關(guān)系(1)函數(shù)yf(ax)與yf(bx)的圖象關(guān)于直線x對稱(由axbx得對稱軸方程)；(2)函數(shù)yf(x)與yf(2ax)的圖象關(guān)于直線xa對稱；(3)函數(shù)yf(x)與y2bf(x)的圖象關(guān)于點(0，b)對稱；(4)函數(shù)yf(x)與y2bf(2ax)的圖象關(guān)于點(a，b)對稱三、基礎(chǔ)小題強化功底牢一點(1)將函數(shù)yf(x)的圖象先向左平移1個單位長度，再向下平移1個單位長度得到函數(shù)yf(x1)1的圖象()(2)當x(0，)時，函數(shù)y|f(x)|與yf(|x|)的圖象相同()(3)函數(shù)yf(x)與yf(x)的圖象關(guān)于原點對稱()(4)若函數(shù)yf(x)滿足f(1x)f(1x)，則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x1對稱()答案：(1)(2)(3)(4)(二)選一選1下列圖象是函數(shù)y的圖象的是()答案：C2函數(shù)f(x)的圖象向右平移1個單位長度，所得圖象與曲線yex關(guān)于y軸對稱，則f(x)()Aex1Bex1Cex1 Dex1解析：選D與曲線yex關(guān)于y軸對稱的圖象對應的解析式為yex，將函數(shù)yex的圖象向左平移1個單位長度即得yf(x)的圖象，f(x)e(x1)ex1.3甲、乙二人同時從A地趕往B地，甲先騎自行車到兩地的中點再改為跑步，乙先跑步到中點再改為騎自行車，最后兩人同時到達B地已知甲騎車比乙騎車的速度快，且兩人騎車速度均大于跑步速度現(xiàn)將兩人離開A地的距離s與所用時間t的函數(shù)關(guān)系用圖象表示，則下列給出的四個函數(shù)圖象中，甲、乙的圖象應該是()A甲是圖，乙是圖 B甲是圖，乙是圖C甲是圖，乙是圖 D甲是圖，乙是圖解析：選B由題知速度v反映在圖象上為某段圖象所在直線的斜率由題知甲騎自行車速度最大，跑步速度最小，甲與圖符合，乙與圖符合(三)填一填4.已知函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)g(x)log f(x)的定義域是_解析：當f(x)0時，函數(shù)g(x)log f(x)有意義，由函數(shù)f(x)的圖象知滿足f(x)0時，x(2,8答案：(2,85若關(guān)于x的方程|x|ax只有一個解，則實數(shù)a的取值范圍是_解析：由題意得a|x|x，令y|x|x其圖象如圖所示，故要使a|x|x只有一個解，則a0.答案：(0，) 典例作出下列函數(shù)的圖象(1)y(2)y2x2；(3)yx22|x|1.解(1)分段分別畫出函數(shù)的圖象，如圖所示(2)y2x2的圖象是由y2x的圖象向左平移2個單位長度得到的，其圖象如圖所示(3)y其圖象如圖所示變透練清1.若本例(2)變?yōu)閥x2，試作出其圖象解：yx2的圖象是由yx的圖象向右平移2個單位長度得到的，其圖象如圖 所示2.若本例(3)變?yōu)閥|x22x1|，試作出其圖象解：y其圖象如圖所示解題技法作函數(shù)圖象的一般方法直接法當函數(shù)表達式(或變形后的表達式)是熟悉的基本初等函數(shù)時，就可根據(jù)這些函數(shù)的特征直接作出圖象變換法變換包括：平移變換、伸縮變換、對稱變換、翻折變換圖象變換口訣如下：圖象變換有誰知？平移反射和位似；平移左加與右減，上下移動值增減；反射就是軸對稱，上下左右玩對稱；位似縮小與放大，有個定點叫中心.描點法當上面兩種方法都失效時，則可采用描點法為了通過描少量點，就能得到比較準確的圖象，常常需要結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性等性質(zhì)作出 例1(2018全國卷)函數(shù)f(x)的圖象大致為()解析yexex是奇函數(shù)，yx2是偶函數(shù)，f(x)是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，排除A選項；當x1時，f(1)e0，排除D選項；又e2，1，排除C選項故選B.答案B例2已知定義在區(qū)間0,4上的函數(shù)yf(x)的圖象如圖所示，則yf(2x)的圖象為()解析法一：先作出函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于y軸的對稱圖象，得到y(tǒng)f(x)的圖象；然后將yf(x)的圖象向右平移2個單位，得到y(tǒng)f(2x)的圖象；再作yf(2x)的圖象關(guān)于x軸的對稱圖象，得到y(tǒng)f(2x)的圖象故選D.法二：先作出函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于原點的對稱圖象，得到y(tǒng)f(x)的圖象；然后將yf(x)的圖象向右平移2個單位，得到y(tǒng)f(2x)的圖象故選D.答案D解題技法1函數(shù)圖象與解析式之間的4種對應關(guān)系(1)從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置，從函數(shù)的值域(或有界性)，判斷圖象的上下位置；(2)從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的升降變化趨勢；(3)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性：奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，在對稱的區(qū)間上單調(diào)性一致，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，在對稱的區(qū)間上單調(diào)性相反；(4)從函數(shù)的周期性，判斷圖象是否具有循環(huán)往復特點2通過圖象變換識別函數(shù)圖象要掌握的兩點(1)熟悉基本初等函數(shù)的圖象(如指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等函數(shù)的圖象)；(2)了解一些常見的變換形式，如平移變換、翻折變換3借助動點探究函數(shù)圖象解決此類問題可以根據(jù)已知條件求出函數(shù)解析式后再判斷函數(shù)的圖象，也可以采用“以靜觀動”，即將動點處于某些特殊的位置處考察圖象的變化特征，從而作出選擇題組訓練1(2019鄭州調(diào)研)已知函數(shù)f(x)，g(x)f(x)，則函數(shù)g(x)的圖象是()解析：選D法一：由題設得函數(shù)g(x)f(x)據(jù)此可畫出該函數(shù)的圖象，如題圖選項D中圖象故選D.法二：先畫出函數(shù)f(x)的圖象，如圖1所示，再根據(jù)函數(shù)f(x)與f(x)的圖象關(guān)于坐標原點對稱，即可畫出函數(shù)f(x)，即g(x)的圖象，如圖2所示故選D.2.如圖，不規(guī)則四邊形ABCD中，AB和CD是線段，AD和BC是圓弧，直線lAB交AB于E，當l從左至右移動(與線段AB有公共點)時，把四邊形ABCD分成兩部分，設AEx，左側(cè)部分的面積為y，則y關(guān)于x的圖象大致是()解析：選C當l從左至右移動時，一開始面積的增加速度越來越快，過了D點后面積保持勻速增加，圖象呈直線變化，過了C點后面積的增加速度又逐漸減慢故選C. 考法(一)研究函數(shù)的性質(zhì)典例已知函數(shù)f(x)x|x|2x，則下列結(jié)論正確的是()Af(x)是偶函數(shù)，遞增區(qū)間是(0，)Bf(x)是偶函數(shù)，遞減區(qū)間是(，1)Cf(x)是奇函數(shù)，遞減區(qū)間是(1,1)Df(x)是奇函數(shù)，遞增區(qū)間是(，0)解析將函數(shù)f(x)x|x|2x去掉絕對值得f(x)畫出函數(shù)f(x)的圖象，如圖，觀察圖象可知，函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于原點對稱，故函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，且在(1,1)上單調(diào)遞減答案C解題技法利用函數(shù)的圖象研究函數(shù)的性質(zhì)對于已知或解析式易畫出其在給定區(qū)間上圖象的函數(shù)，其性質(zhì)常借助圖象研究：(1)從圖象的最高點、最低點，分析函數(shù)的最值、極值；(2)從圖象的對稱性，分析函數(shù)的奇偶性；(3)從圖象的走向趨勢，分析函數(shù)的單調(diào)性、周期性考法(二)在不等式中的應用典例若不等式(x1)20，且a1)在x(1,2)內(nèi)恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為()A(1,2B.C(1，) D(，2)解析要使當x(1,2)時，不等式(x1)2logax恒成立，只需函數(shù)y(x1)2在(1,2)上的圖象在ylogax的圖象的下方即可當0a1時，如圖，要使x(1,2)時，y(x1)2的圖象在ylogax的圖象的下方，只需(21)2loga2，即loga21，解得1a2，故實數(shù)a的取值范圍是(1,2答案A解題技法當不等式問題不能用代數(shù)法求解但其與函數(shù)有關(guān)時，常將不等式問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象的上下關(guān)系問題，從而利用數(shù)形結(jié)合法求解題組訓練1設奇函數(shù)f(x)在(0，)上為增函數(shù)，且f(1)0，則不等式0的解集為()A(1,0)(1，) B(，1)(0,1)C(，1)(1，) D(1,0)(0,1)解析：選D因為f(x)為奇函數(shù)，所以不等式0可化為0，即xf(x)0，f(x)的大致圖象如圖所示所以xf(x)1時，函數(shù)f(x)x2x在(1,2)上單調(diào)遞增，在2，)上單調(diào)遞減，則最大值為f(2)2，又f(4)2，f(1)1，故所求實數(shù)m的取值范圍為8，1答案：8，1A級保大分專練1為了得到函數(shù)y2x2的圖象，可以把函數(shù)y2x的圖象上所有的點()A向右平行移動2個單位長度B向右平行移動1個單位長度C向左平行移動2個單位長度D向左平行移動1個單位長度解析：選B因為y2x22(x1)，所以只需將函數(shù)y2x的圖象上所有的點向右平移1個單位長度，即可得到y(tǒng)2(x1)2x2的圖象2若函數(shù)yf(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)yf(x1)的圖象大致為()解析：選C要想由yf(x)的圖象得到y(tǒng)f(x1)的圖象，需要先將yf(x)的圖象關(guān)于x軸對稱得到y(tǒng)f(x)的圖象，然后向左平移1個單位長度得到y(tǒng)f(x1)的圖象，根據(jù)上述步驟可知C正確3(2018浙江高考)函數(shù)y2|x|sin 2x的圖象可能是()解析：選D由y2|x|sin 2x知函數(shù)的定義域為R，令f(x)2|x|sin 2x，則f(x)2|x|sin(2x)2|x|sin 2x.f(x)f(x)，f(x)為奇函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于原點對稱，故排除A、B.令f(x)2|x|sin 2x0，解得x(kZ)，當k1時，x，故排除C，選D.4下列函數(shù)yf(x)圖象中，滿足ff(3)f(2)的只可能是()解析：選D因為ff(3)f(2)，所以函數(shù)f(x)有增有減，排除A、B.在C中，ff(0)1，f(3)f(0)，即ff(3)，排除C，選D.5.已知函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，則f(x)的解析式可以是()Af(x)Bf(x)Cf(x)1 Df(x)x解析：選A由函數(shù)圖象可知，函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，應排除B、C.若函數(shù)為f(x)x，則x時，f(x)，排除D.6已知函數(shù)yf(x1)的圖象過點(3,2)，則函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于x軸的對稱圖形一定過點_解析：因為函數(shù)yf(x1)的圖象過點(3,2)，所以函數(shù)yf(x)的圖象一定過點(4,2)，所以函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于x軸的對稱圖形一定過點(4，2)答案：(4，2)7.如圖，定義在1，)上的函數(shù)f(x)的圖象由一條線段及拋物線的一部分組成，則f(x)的解析式為_解析：當1x0時，設解析式為f(x)kxb(k0)，則得當1x0時，f(x)x1.當x0時，設解析式為f(x)a(x2)21(a0)，圖象過點(4,0)，0a(42)21，a.故函數(shù)f(x)的解析式為f(x)答案：f(x)8如圖，函數(shù)f(x)的圖象為折線ACB，則不等式f(x)log2(x1)的解集為_解析：令ylog2(x1)，作出函數(shù)ylog2(x1)圖象如圖所示由得結(jié)合圖象知不等式f(x)log2(x1)的解集為x|1x1答案：x|10且yeln xx(x0)，所以其圖象如圖所示(2)當x2，即x20時，y(x2)(x1)x2x22；當x2，即x20在 (1,3)上的解集為()A(1,3)B(1,1)C(1,0)(1,3) D(1,0)(0,1)解析：選C作出函數(shù)f(x)的圖象如圖所示當x(1,0)時，由xf(x)0得x(1,0)；當x(0,1)時，由xf(x)0得x；當x(1,3)時，由xf(x)0得x(1,3)故x(1,0)(1,3)2(2019山西四校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)|x21|，若0ab且f(a)f(b)，則b的取值范圍是()A(0，) B(1，)C(1，) D(1,2)解析：選C作出函數(shù)f(x)|x21|在區(qū)間(0，)上的圖象如圖所示，作出直線y1，交f(x)的圖象于點B，由x211可得xB，結(jié)合函數(shù)圖象可得b的取值范圍是(1，)3已知函數(shù)f(x)的圖象與函數(shù)h(x)x2的圖象關(guān)于點A(0,1)對稱(1)求f(x)的解析式；(2)若g(x)f(x)，且g(x)在區(qū)間(0,2上為減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍解：(1)設f(x)圖象上任一點P(x，y)，