第十章 等截面直桿的扭轉,要點：,（1）等截面直桿扭轉問題的基本方程, 扭轉應力函數(shù),（2）按應力求解扭轉問題的方法,（3）扭轉問題的薄膜比擬理論,10-1 扭轉問題中應力和位移,10-2 扭轉問題的薄膜比擬,10-3 橢圓截面的扭轉,10-4 矩形截面桿的扭轉,10-5 薄壁桿的扭轉,10-6 扭轉問題的差分解,主 要 內(nèi) 容,10-1 扭轉問題中應力和位移,問題：,（1）等截面直桿，截面形狀可以任意；,（2）兩端受有大小相等轉向相反的扭矩 M ；,求：桿件內(nèi)的應力與位移？,1. 扭轉應力函數(shù),求解方法：,按應力求解；,半逆解法 由材料力學中某些結果出發(fā)，求解。,（3）兩端無約束，為自由扭轉，不計體力 ；,材料力學結果：,（1）,（自由扭轉）,（2）,側表面：,（10-1）,扭轉問題的未知量：,為三向應力狀態(tài)，且不是軸對稱問題。,扭轉問題的基本方程,平衡方程：,（8-1）,將式（10-1）代入，得：,（a）, 扭轉問題的平衡方程,相容方程：,相容方程：,（9-32）, 扭轉問題的相容方程,（c）,邊界條件：,（1）側面：,（2）端面：,（n=0, ）,（b）,（d）,（e）,（f）,（a）,（b）, 扭轉問題的相容方程, 平衡方程,基本方程的求解,由式（a）的前二式，得, 二元函數(shù),由式（a）的第三式，得,由微分方程理論，可知：一定存在一函數(shù)（x，y），使得：,于是有：,（10-2）,（x，y）扭轉應力函數(shù),也稱普朗特爾(Prandtl)應力函數(shù),將式（10-2）代入相容方程（b），有,（10-3）,由此可解得：, 用應力函數(shù)表示的相容方程,式中：C 為常數(shù)。,結論：,等直桿的扭轉問題歸結為：,按相容方程（10-3）確定應力函數(shù)（x，y），然后按式（10-2）確定應力分量，并使其滿足邊界條件。,定解條件邊界條件,（1）側表面：,將 、 l、m 代入上述邊界條件，有,又由式（10-2），應力函數(shù) 差一常數(shù)不影響應力分量的大小，,表明：在桿件的側面上（橫截面的邊界上），應力函數(shù) 應取常數(shù)。,（10-4）, 扭轉問題的定解條件之一。,對于多連體（空心桿）問題， 在每一邊界上均為常數(shù)，但各個常數(shù)一般不相等，因此，只能將其中的一個邊界上取 s=0，而其余邊界上則取不同的常數(shù)，如：,于是對單連體（實心桿）可?。?Ci 的值由位移單值條件確定。,（2）上端面：,由圣維南原理轉化為：,（c）,（d）,（e）,對式（c），應有,同理，對式（d），應有,對式（e）：,分部積分，得：,同理，得：,將其代入式（e）：,得到：,（10-5）,結論：,等直桿的扭轉問題歸結為解下列方程：,（10-3）,泛定方程：,定解條件：,（10-4）,（10-5）,應力分量：,2. 扭轉的位移與變形,由物理方程，得：,再幾何方程方程代入，有,（f）,積分前三式，有,代入后三式，有,又由：,得：,從中求得：,代入 f1、f2 和 u、v 得：,其中： u0、v0 、x、y、z 和以前相同，代表剛體位移。,若不計剛體位移，只保留與變形有關的位移，則有,（10-6）,將其極坐標表示：,由,將式（10-6）代入，有：,由此可見：,對每個橫截面（z =常數(shù)）,它在 x y 面上的投影形狀不變，而只是轉動一個角度 =Kz 。,K 單位長度桿件的扭轉角 。,將其代入：,有：,將兩式相減，得：,（10-7）,（10-8）,將其對照式（10-3）：,（10-3）,可見：,（10-9）,實際問題中，K 可通過實驗測得。,10-2 扭轉問題的薄膜比擬,1. 薄膜比擬概念,比擬的概念：,如果兩個物理現(xiàn)象，具有以下相似點：,（1）泛定方程；,（2 ）定解條件；,則可舍去其物理量本身的物理意義，互相求解確定。,扭轉問題的薄膜比擬：, 由普朗特爾（Prandtl., L.）提出,薄膜在均勻壓力下的垂度 z ，與等截面直桿扭轉問題中的應力函數(shù) ，在數(shù)學上相似（泛定方程相似、定解條件相似）。,因此，可用求薄膜垂度 z,的方法來解等截面桿扭轉問題。這種方法，扭轉問題的薄膜比擬方法。, 為扭轉問題提供了一種實驗方法,2. 薄膜比擬方法,設一均勻薄膜，張在水平邊界上，水平邊界與某受扭桿件截面的邊界具有相同的形狀和大小，薄膜在微小的均勻壓力下，各點發(fā)生微小的垂度 z 。,有關薄膜假定：,不能受彎矩、扭矩、剪力作用，只能受張力 T （單位寬度的拉力）作用。,2. 薄膜比擬方法,方法說明：,取薄膜的一微小部分（ abcd 矩形），其受力如圖，,ab 邊上拉力：,ab 邊上拉力在 z 軸上投影：,cd 邊上拉力：,cd 邊上拉力在 z 軸上投影：,ad 邊上拉力：,ab 邊上拉力在 z 軸上投影：,bc 邊上拉力：,bc 邊上拉力在 z 軸上投影：,在 z 方向上外力：,兩邊同除以dxdy，整理得：,或：,（10-10）,邊界條件：,（10-11）,對于均布壓力，有：,式（10-10）和（10-11）變?yōu)椋?（a）,另一方面，扭轉問題有：,（10-8）,（10-4）,將式（10-8）、（10-4）改寫為：,（b）,比較式（a）、（b）可見：,當薄膜與扭桿橫截面具有相同的邊界時，變量：,與,決定于同樣的微分方程與邊界條件，因而，兩者應有相同的解答。并有：,（c）,3. 扭矩M、截面上的剪應力與薄膜體積、斜率的關系,薄膜與邊界平面間的體積為：,由式（c）:,（c）,得到:,代入上式，有:,由式（10-5）：,得到：,（d）,或,扭矩 M 與薄膜體積的關系,截面剪應力與薄膜斜率的關系,由,可得：,其中：,薄膜垂度 z 沿 y方向的斜率。,（e）,（f）,結論：,當薄膜受均布壓力q 作用時，使得：,則得：,（1）,（2）,（3）,由于 x、y 軸方向是可以取在扭桿橫截面上任意兩互相垂直的方向，因而可得到如下推論：,（1）在扭桿橫截面的某一點處，沿任一方向的剪應力，就等于該薄膜在該點處沿垂直方向的斜率。,（2）扭桿橫截面的最大剪應力，等于該薄膜的最大斜率。,注：最大剪應力的方向，與該薄膜的最大斜率的方向垂直。,10-3 橢圓截面的扭轉,1. 問題的描述,橢圓截面直桿：,長半軸為a，,短半軸為b，,受扭矩M作用。,求：桿中的應力與位移。,2. 問題的求解,求應力函數(shù) ,根據(jù)：,（10-4）,及橢圓截面方程：,可假設：,（a）,（b）,式中：m為待定常數(shù)。將其代入方程（10-3）：,得到：,（c）,利用方程（10-5）：,（c）,利用方程（10-5）：,（d）,式中：,代入式（d）, 有：,可求得：,（e）,（e）,（c）,將其代入式（e）, 得：,（f）,至此， 滿足所有的條件：,（10-4）,（10-3）,（10-5）,求剪應力,（1）剪應力分量：,（10-12）,（2）合剪應力：,（10-13）,（3）最大、最小剪應力：,對上式求極值，當,（10-14）,當 a = b 時，與材料力學中圓截面結果相同。,求桿的形變與位移,由,得到：,（10-15）, 桿件單位長度的扭轉角,單位長度的扭轉角,位移分量,由,（10-16）,可求得：,由式（10-7）和式（f） :,（f）,比較兩式，得：,對其分別積分，得：,式中：w0 為常數(shù)，代表剛體位移。,若不計剛體位移，則有：,（10-17）,表明：,扭桿的橫截面并不保持平面，而翹曲成曲面。,曲面的等高線在 xy 面上的投影為雙曲線，其漸近線為 x、y 軸。,僅當 a = b 時（圓截面桿），才有 w = 0，橫截面保持平面。,10-4 矩形截面桿的扭轉,1. 問題：,圖示矩形截面桿：,a、b、M,（1）,（2）,兩種情形：,a b；,求：桿的應力與位移。,2. 問題的求解,（1）a b 情形：, 狹長矩形,一般情形；,求應力函數(shù) , a b，,由薄膜比擬可以推斷，,應力函數(shù) 絕大部分截面幾乎不隨 x 變化，即不受短邊約束的影響，對應的薄膜幾乎為一柱面。,可以近似地取：,而：,變?yōu)椋?對上式積分，有,利用邊界條件：,可求得：,（a）,利用式（10-5）：,積分求得：,（b）,（c）,求剪應力,（1）剪應力分量：,（10-18）,（2）最大剪應力：,（10-19）,桿件的變形,單位長度扭轉角：,由式（10-9）：,（10-20）,此時應力函數(shù) 可表示為：,（d）,（2）任意情形（ a /b=任意值 ）：,求應力函數(shù) ,基本方程與邊界條件：,此時應力函數(shù) 為一般函數(shù)：,求解思路：,對狹長矩形結果，進行修正。,將 分解成兩部分，即：,其中： 1為狹長矩形的應力函數(shù)，即：,（e）,（f）,（g）,（g）,調(diào)整函數(shù)F，使其滿足邊界條件：,將式（g）代入方程：,得到：,因為：,有：,（h）,表明：F 應為一調(diào)和函數(shù)。,原問題轉化為：,（i）,由問題的對稱性，F(xiàn) 應為 x、y 的偶函數(shù)。,滿足上述條件的函數(shù)只能是：,（j）,將式（j）代入式（i）第二式，得：,將上式右邊為,級數(shù)，,并比較兩邊系數(shù)，有,代入函數(shù)F，有,最后確定應力函數(shù) 為：,（k）,求最大剪應力：,由薄膜比擬可以斷定，最大剪應力發(fā)生在矩形橫截面長邊的中點（如點A：x = 0 , y = b/2）,其大小為：,（l）,單位長度扭轉角K：,應用式（10-5）：,（m）,代入式（l）, 得最大剪應力公式：,（n）,將上述兩公式表示成：,（10-21）,（10-22）,式中：、1僅與a / b 有關。,扭轉問題解題小結：,（1）,求應力函數(shù) ,（10-3）,（10-4）,（10-5）,由式（10-4）及邊界的幾何形狀設定應力函數(shù) ，然后由式（10-3）、（10-5）確定待定常數(shù)。,對多連體截面桿：,（10-3）,（10-4）,（10-5）,其中：,（1）Ai 為第 i 個內(nèi)邊界所圍的面積;,（2） i 為 第 i 個內(nèi)邊界的值;,（3）,求變形與位移,單位長度扭轉角：,（10-9）,位移分量：,（2）,求應力分量和最大剪應力,合剪應力：,例：,圖示空心圓截面桿件，外半徑為a，內(nèi)半徑為b，試求其扭轉剪應力及位移。,解：,求應力函數(shù) ,為使 在外邊界上的值為零，內(nèi)邊界上的值為常數(shù)，可?。?（1）,由端部邊界條件式（10-5）得：,于是，得,（2）,（3）,求剪應力,（4）,（5）,求變形與位移,單位長度扭轉角：,位移分量：,（10-7）,由：,剛體位移,由于變形引起的軸向位移：,即平面保持平面假設成立。,10-5 薄壁桿的扭轉,1. 開口薄壁桿件扭轉,分類：,（1）,開口薄壁桿件；,（2）,閉口薄壁桿件。, 僅討論其自由扭轉。,假定：,（1）由于桿件壁厚 b 很薄，可近似視其為狹長矩形的組合；,（2）曲的狹長矩形與同長度、寬度的直狹長矩形差別不大。,扭轉剪應力與變形：,設 ai、bi 分別為扭桿橫截面的第 i 個狹長矩形的長度和寬度，Mi 為為該矩形面積上承受的扭矩（為整個橫截面上扭矩的一部分），i 代表該 矩形長邊中點附近的剪應力，K代表該扭桿的單位長度扭轉角，則狹長矩形的結果，有,扭轉剪應力與變形：,設 ai、bi 分別為扭桿橫截面的第 i 個狹長矩形的長度和寬度，Mi 為為該矩形面積上承受的扭矩（為整個橫截面上扭矩的一部分），i 代表該 矩形長邊中點附近的剪應力，K代表該扭桿的單位長度扭轉角，則狹長矩形的結果，有該 矩形長邊中點附近的剪應力及桿件的扭轉角：,（a）,（b）,由式（b）得：,（c）,整個橫截面上的扭矩為：,（d）,比較式（c）與式（d），有：,將上式代回式（a）（b），有：,（10-23）,（10-24）,由于每個狹長矩形的扭轉角相同，所以整個橫截面的抗扭剛度為：,說明：,（1） 式（10-23）給出的狹長矩形中點處的應力值精度較高；但兩個狹長矩形的連接處誤差較大，可能發(fā)生遠大于中點處的應力。 應力集中。,（2） 連接處應力隨連接圓角的半徑 而變化，圖中給出胡斯（J. H. Huth）用差分法計算得到的結果。,2. 閉口薄壁桿件扭轉,扭轉剪應力：, 由薄膜比擬方法分析。,方法說明：,在薄壁桿橫截面的外邊界上張一薄膜，使得薄膜在外邊界上的垂度為零；,為使薄壁桿橫截面的內(nèi)邊界上的垂度為常量，假想在薄膜上粘一無重不變形的平板，平板的大小、形狀與橫截面的內(nèi)邊界相同；,由于桿壁的厚度 很小， 可以預料，沿壁的厚度方向薄膜的斜率可視為常量，如圖所示。,于是，桿壁厚度為 處的剪應力大小（等于薄膜的斜率）為：,（e）,由桿橫截面上的扭矩 M 與薄膜、桿橫截面所圍的體積間關系，有：,（f）,式中 ：A 為橫截面內(nèi)外界所圍面積的平均值。,由此得：,將其代入式（e），有：,（10-25）,（10-25）,顯然，其最大值發(fā)生在壁厚最小處，即：,扭轉變形 單位長度扭轉角K,考慮平板CD的平衡：,在桿壁中線取一微小長度ds，該微段薄膜對平板的拉力為：Tds ，它在 z 軸方向的投影：,平板所受的壓力（ z 軸方向）為：,由 z 軸方向力的平衡，即,由式（f）可得：,而：,由此可得：,因而，可求得：,（10-26）,對于均勻厚度的閉口薄壁桿， 為常駐量，上式即變?yōu)椋?（10-27）,式中：s為桿壁中線的全長。,說明：,（1） 在截面的凹角處，局部的最大應力max可能發(fā)生遠大于 式（10-25）給出的應力值。,（2）局部最大應力隨凹角處的圓弧半徑 的增大而減小。,桿的抗扭剛度：,小結：,（1）開口薄壁桿件：,（10-23）,（10-24）,剪應力：,單位長度扭轉角：,抗扭剛度：,（2）閉口薄壁桿件：,剪應力：,（10-25）,單位長度扭轉角：,（10-2