如果積分區(qū)域?yàn)椋?X型,其中函數(shù) 、 在區(qū)間 上連續(xù).,二重積分的計(jì)算法(1),一、利用直角坐標(biāo)系計(jì)算二重積分,應(yīng)用計(jì)算“平行截面面積為已知的立體求體積”的方法,得,如果積分區(qū)域?yàn)椋?Y型,X型區(qū)域的特點(diǎn)： 穿過區(qū)域且平行于y軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點(diǎn).,Y型區(qū)域的特點(diǎn)：穿過區(qū)域且平行于x軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點(diǎn).,若區(qū)域如圖，,則必須分割.,在分割后的三個區(qū)域上分別使用積分公式,注,）二重積分化累次積分的步驟,畫域，選序，定限,）累次積分中積分的上限不小于 下限,）二重積分化累次積分定限是關(guān)鍵，積分限要根據(jù)積分區(qū)域的形狀來確定，這首先要畫好區(qū)域的草圖，畫好圍成D的幾條邊界線，,若是X型，,就先 y 后 x,若是Y型，就先 x 后 y ，,注意內(nèi)層積分限是外層積分變量的函數(shù)，外層積分限是常數(shù)。,解,積分區(qū)域如圖,解,積分區(qū)域如圖,例3 計(jì)算,D,解一,D：,X型,解二,D,Y型,例4 計(jì)算,解,D,Y型,I =,若先 y 后 x 由于D的下邊界曲線在 x 的不同范圍內(nèi)有不同的表達(dá)式， 須分片積分，計(jì)算較麻煩。,由以上兩例可見，為了使二重積分的計(jì)算較為方便，究竟選用哪一種積分次序主要由積分區(qū)域的特點(diǎn)來確定，在積分區(qū)域的表達(dá)式中選取比較簡單的一組，從而確定相應(yīng)的公式，同時還要兼顧被積函數(shù)的特點(diǎn)，看被積函數(shù)對哪一個變量較容易積分，總之要兼顧積分區(qū)域和被積函數(shù)的特點(diǎn)。,例5 計(jì)算,解,D是X型區(qū)域,要分部積分，不易計(jì)算,若先 x 后 y 則須分片,易見盡管須分片積分，但由于被積函數(shù)的特點(diǎn)，積分相對而言也較方便。,解,原式,解,解,解,解,曲面圍成的立體如圖.,例12 計(jì)算,解,根據(jù)積分區(qū)域的特點(diǎn),應(yīng)先對 x 后對 y 積分,但由于,對 x 的積分求不出，無法計(jì)算， 須改變積分次序。,先 x 后 y 有,奇函數(shù),化二重積分為累次積分時選擇積分次序的重要性，有些題目兩種積分次序在計(jì)算上難易程度差別不大，有些題目在計(jì)算上差別很大，甚至有些題目對一種次序能積出來，而對另一種次序卻積不出來,另外交換累次積分的次序：先由累次積分找出二重積分的積分區(qū)域，畫出積分區(qū)域，交換積分次序，寫出另一種次序下的累次積分。,以上各例說明,二。關(guān)于對稱性,利用對稱性來簡化重積分的計(jì)算是十分有效的，它與利用奇偶性來簡化定積分的計(jì)算是一樣的，不過重積分的情況比較復(fù)雜，在運(yùn)用對稱性是要兼顧被積分函數(shù)和積分區(qū)域兩個方面，不可誤用,對,若D關(guān)于 x 軸對稱,若D關(guān)于 y 軸對稱,若D關(guān)于原點(diǎn)對稱,稱為關(guān)于積分變量的輪換對稱性,是多元積分所獨(dú)有的性質(zhì),奇函數(shù)關(guān)于對稱域的積分等于0，偶函數(shù)關(guān)于對稱域的積分等于對稱的部分區(qū)域上積分的兩倍，完全類似于 對稱區(qū)間上奇偶函數(shù)的定積分的性質(zhì),簡述為“你對稱，我奇偶”,、簡單地說就是,若 D 關(guān)于直線 y = x 對稱,例1 設(shè)D是 xoy平面上以 (1,1),(-1,1)和(-1,-1) 為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域，D1 是D 在第一象限的部分，則 等于,0,例2 計(jì)算下列二重積分： (1),(2) ,D由 所圍成的區(qū)域，為連續(xù)函