,2,一、曲線積分與路徑無關(guān)的定義,B,A,如果在區(qū)域G內(nèi),3,二. 平面曲線積分與路徑無關(guān)等價(jià)條件,定理2. 設(shè)D是單連通開區(qū)域 ,在D,內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) ,(1) 沿 D 中任意分段光滑閉曲線 L , 有,(2) 對(duì)D 中任一分段光滑曲線 L , 曲線積分,(3),(4) 在D內(nèi)每一點(diǎn)都有,與路徑無關(guān), 只與起止點(diǎn)有關(guān).,函數(shù),則以下四個(gè)條件等價(jià),在D內(nèi)是某一函數(shù),的全微分,即,4,(1) 沿 D 中任意分段光滑閉曲線 L , 有,(2) 對(duì)D 中任一分段光滑曲線 L , 曲線積分,與路徑無關(guān), 只與起止點(diǎn)有關(guān).,證明 (1) (2),設(shè),為D內(nèi)任意兩條由A到B的有向分段光滑曲線,則,5,(3) 在D內(nèi)是某一函數(shù) 的全微分, 即,(2) 對(duì)D 中任一分段光滑曲線 L , 曲線積分,與路徑無關(guān), 只與起止點(diǎn)有關(guān).,證明 (2) (3),在D內(nèi)取定點(diǎn),因曲線積分,則,同理可證,因此有,和任一點(diǎn)B( x , y ) ,與路徑無關(guān) , 設(shè),6,(3) 在 D 內(nèi)是某一函數(shù) 的全微分, 即,(4) 在D內(nèi)每一點(diǎn)都有,證明 (3) (4),設(shè)存在函數(shù) u ( x , y ) 使得,則,P, Q 在 D 內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),從而在D內(nèi)每一點(diǎn)都有,7,(1) 沿 D 中任意分段光滑閉曲線 L , 有,(4) 在D內(nèi)每一點(diǎn)都有,設(shè)L為D中任一分段光滑閉曲線, 所圍區(qū)域?yàn)?(如圖 ), 因此在 上,利用格林公式 , 得,證明 (4) (1),8,二. 平面曲線積分與路徑無關(guān)等價(jià)條件,定理2. 設(shè)D是單連通開區(qū)域 ,在D,內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) ,(1) 沿 D 中任意分段光滑閉曲線 L , 有,(2) 對(duì)D 中任一分段光滑曲線 L , 曲線積分,(3),(4) 在D內(nèi)每一點(diǎn)都有,與路徑無關(guān), 只與起止點(diǎn)有關(guān).,函數(shù),則以下四個(gè)條件等價(jià),在D內(nèi)是某一函數(shù),的全微分,即,9,說明:,若在某區(qū)域內(nèi)有,則,(2) 求曲線積分時(shí), 可利用格林公式簡化計(jì)算,(3) 求全微分 Pdx+Qdy 在域 D 內(nèi)的原函數(shù):,及動(dòng)點(diǎn),或,則原函數(shù)為,若積分路徑不是閉曲線, 可添加輔助線;,取定點(diǎn),(1) 計(jì)算曲線積分時(shí), 可選擇方便的積分路徑;,10,解：因?yàn)?即不含原點(diǎn)的單連通域，積分與路徑無關(guān)。,取新路徑,11,其參數(shù)方程為,12,例2. 驗(yàn)證,是某個(gè)函數(shù)的全微分, 并求,出這個(gè)函數(shù).,證: 設(shè),則,由定理2 可知, 存在函數(shù) u (x,y) 使,。,。,13,例3. 驗(yàn)證,在右半平面 ( x 0 ) 內(nèi)存在原函數(shù),并求出它.,證: 令,則,由定理 2 可知存在原函數(shù),。,。,14,。,。,或,15,故積分路徑可取圓弧,例4. 設(shè)質(zhì)點(diǎn)在力場,作用下沿曲線 L :,由,移動(dòng)到,求力場所作的,功W. ( 其中 ),解:,令,則有,曲線積分在除原點(diǎn)外的單連通開區(qū)域上與路徑無關(guān),思考：積分路徑是否可以取 為什么？,16,設(shè)函數(shù) 平面上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)， 曲線積分,與路徑無關(guān)，并且對(duì)任意t恒有,解：由積分與路徑無關(guān)的條件知,17,兩邊對(duì)t求導(dǎo)得,18,內(nèi)容小結(jié),1. 格林公式,2. 等價(jià)條件,在 D 內(nèi)與路徑無關(guān),在 D 內(nèi)有,對(duì) D 內(nèi)任意閉曲線L,在 D 內(nèi)有,設(shè) P, Q 在 D 內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) , 則有,19,20,思考與練習(xí),1.