2019/5/23,1,1,新課程背景下的數(shù)學(xué) 新題型研究,主講： 王一柱,一、課程改革中數(shù)學(xué)試題出現(xiàn)新的變化,1、較大的變化有四個方面： 試題注重從現(xiàn)實(shí)生活中選取素材 突出對數(shù)學(xué)思想方法、應(yīng)用能力和創(chuàng)新意識的考查 突出考查學(xué)生的“數(shù)學(xué)化”意識與能力 突出考查基礎(chǔ)知識與基本技能中的核心內(nèi)容,2、為保證各類型題的質(zhì)量，要求把握以下幾方面： 選擇內(nèi)容的重心應(yīng)是課標(biāo)中最基礎(chǔ)和最核心知識 確保題目科學(xué)性、合理性 題目文字表述應(yīng)做到準(zhǔn)確、簡潔、可讀 題目難度不應(yīng)反映在對某個具體技巧的掌握及熟練程度，而應(yīng)該反映在對學(xué)生數(shù)學(xué)思維水平和對數(shù)學(xué)的理解與應(yīng)用能力上,3、鑒于理論研究與實(shí)踐需求的現(xiàn)狀，編制的新題要在確?？茖W(xué)性的前提下，提高新題型題目的質(zhì)量。 基礎(chǔ)性 公平性 現(xiàn)實(shí)性 有效性,二、關(guān)于具體題型的命題建議,1、選擇題與填空題這兩類試題只要求學(xué)生給出問題的最終答案，屬于客觀性試題 特點(diǎn)： （1）較多地用于對基本數(shù)學(xué)事實(shí)、數(shù)學(xué)技能和數(shù)學(xué)方法的考查 （2）陳述試題的語言較為簡練、明確 （3）可以用多種表達(dá)方式命題，包括文字、圖象與代數(shù)符號等,缺陷： （1）由于學(xué)生解答過程無法提供，難以了解學(xué)生起初的數(shù)學(xué)理解狀況 （2）如果選擇題所暴露的解題信息較多，可能影響題目的信度,例1 下列各圖中，每個正方形網(wǎng)格都是由四個邊長為1的小正方形組成，其中陰影部分面積為 的是 （ ）,點(diǎn)評,該題立意好，考查了學(xué)生對圖形進(jìn)行分解、組合的基本技能，學(xué)生在解決問題過程中既可以利用計算求解，還可以利用圖形的特征求解，這使得不同認(rèn)知特點(diǎn)的學(xué)生都能夠找到適合自己思考特點(diǎn)的解題思路。另外，本題表述也非常簡潔。,例2 點(diǎn)評,要證明一個四邊形是菱形，可以先證明這個四邊形是 形，再證明這個四邊形是 （只需填寫一種方法）。 該題的求解過程主要表面為知識的再現(xiàn)對菱形定義的復(fù)制，這種“單純考查學(xué)生對知識的記憶與復(fù)述”的試題，不值得提倡。,2、計算（求解）類問題目標(biāo)指向清晰，對解題所需的數(shù)學(xué)知識、方法、有比較明確的提示，解題活動靠的是回憶，嚴(yán)格按程序操作，不出現(xiàn)無意識錯誤就行。 特點(diǎn)： （1）可以提供完成運(yùn)算任務(wù)的背景意義，解題過程存在不同的算法供學(xué)生選擇 （2）運(yùn)算種類、步驟、復(fù)雜程度都不會超過課標(biāo)要求。 缺陷： 不適宜用于考查對概念與方法的理解。,例3,一家工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的出廠價為50元，其成本價為25元，因?yàn)樵谏a(chǎn)過程中，平均每生產(chǎn)一件產(chǎn)品有0.5立方米污水排出，為了凈化環(huán)境，工廠設(shè)計兩種方案對污水進(jìn)行處理，并準(zhǔn)備實(shí)施。 方案1：工廠污水先凈化處理后再排出，每處理1立方米污水所用原料費(fèi)為2元，并且每月排污設(shè)備損耗費(fèi)為30000元。 方案2：工廠將污水排到污水廠統(tǒng)一處理，每處理1立方米污水需付14元的排污費(fèi)。 若該工廠每月生產(chǎn)量為6000件產(chǎn)品，那么，在不污染環(huán)境，又節(jié)約資金的前提下，廠家應(yīng)選用哪種處理污水的方案？請通過計算加以說明。,點(diǎn)評,將計算融入解決問題之中，使得計算與答案都富有意義，具體運(yùn)算不復(fù)雜，而且聯(lián)系環(huán)保問題，有利于培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識。,例4 點(diǎn)評,已知= ，求 （ x2）的值。 該題屬于純粹的計算試題，且所涉及的計算步驟、復(fù)雜程序均超過課標(biāo)的要求。,特點(diǎn),3、證明題提供的條件與結(jié)論較明確，學(xué)生主要任務(wù)是填補(bǔ)條件與結(jié)論之間的數(shù)學(xué)邏輯關(guān)聯(lián)。 （1）答題活動中含有尋找數(shù)學(xué) 邏輯關(guān)聯(lián)的探索性活動。 （2）答題過程有對相關(guān)數(shù)學(xué)證明方法，證明技能的有效應(yīng)用。 （3）還可以蕰涵對問題不同角度，不同方式的表達(dá)。,缺陷,（1）解題目標(biāo)已經(jīng)給定，學(xué)生沒有表達(dá)自己對問題情境的理解水平。 （2）難以考查學(xué)生探索問題的結(jié)論或發(fā)現(xiàn)歸納的能力。,例5 點(diǎn)評,在ABC中，D為BC邊上的中點(diǎn)。延長AD到E，使得DE= AD，連結(jié)CE交AB的延長線于P。求證：AP=3AB。 該題所牽涉到的數(shù)學(xué)對象比較豐富、所提供的數(shù)學(xué)結(jié)論具有較為明顯的一般意義；解決問題的策略多樣，包括添加的有效輔助線、需要使用的定理等；具體證明過程不需要特殊的技巧。,例6,如圖，在矩形ABCD中，AD=a，AB=b，將該矩形沿著BD折疊，點(diǎn)C落于C處，BC交AD于E。sinABE= ，關(guān)于x的方程x28(b-1)x+4a2-48=0的兩個實(shí)根之差的平方等于240：若a，b都為整數(shù)，則反比例函數(shù)y= 的解析式為xy=3。,點(diǎn)評,該試題的背景條件繁雜，其間 沒有實(shí)質(zhì)意義上的聯(lián)系，結(jié)論也不具備很好的數(shù)學(xué)含義，求解策略空間很小，證明過程基本上是數(shù)學(xué)語言的轉(zhuǎn)換，而過程卻很復(fù)雜。,4、應(yīng)用性問題有利于考查學(xué)生數(shù)學(xué)建模的能力，對相應(yīng)知識與方法的理解水平，解決問題的意識與能力，有助于促進(jìn)學(xué)生體會數(shù)學(xué)的價值。 （1）問題背景是現(xiàn)實(shí)的 （2）問題內(nèi)容以及敘述方式是學(xué)生可理解的 （3）問題的內(nèi)涵豐富而有價值的 （4）情景與表達(dá)富有挑戰(zhàn)性和趣味性,特點(diǎn),注意點(diǎn),由于每位學(xué)生成長經(jīng)歷的差異，有時難以找到對所有學(xué)生而言是具有共同體驗(yàn)的實(shí)際問題，因而使考試的公平性遭到損害。 有些文字題不能當(dāng)作“應(yīng)用性試題”，學(xué)生在此只把非數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言后就是做計算題或證明題,例7,標(biāo)準(zhǔn)田徑場跑道的周長為400米，通常包括68條跑道，每一條跑道由兩段直線跑道和兩段半圓型跑道組成，其中每段直線跑道長約85.96米，最里面一圈跑道的一段半圓形弧長約114.04米，而每一條跑道的寬均為1米。你注意到了嗎不同跑道的起跑線是不一樣的，它們之間的差距滿足什么樣的數(shù)學(xué)關(guān)系？,點(diǎn)評,此題背景為學(xué)生日?？梢姷默F(xiàn)象，能夠很好地體現(xiàn)數(shù)學(xué)就在身邊。問題則是現(xiàn)實(shí)的，卻又常常容易忽略的一個現(xiàn)象，能夠引發(fā)學(xué)生求解的欲望，問題的求解過程雖然不復(fù)雜，但卻含有對若干基本數(shù)學(xué)概念的理解、數(shù)學(xué)關(guān)系的轉(zhuǎn)換。,例8,某學(xué)校的籃球數(shù)比排球數(shù)的2倍多2，籃球數(shù)與排球數(shù)之差是16，那么，該校的籃球數(shù)、排球數(shù)分別是多少？ 該題只能用于數(shù)學(xué)語言使用水平的考查，不能用作學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)能力的考查。,5、閱讀分析題有利于評價學(xué)生獲取數(shù)學(xué)信息及其數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的能力，以及從已有信息中做出合理推斷的能力。 （1）問題的背景往往隱含著重要的數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)或關(guān)系。 （2）問題中能以新的數(shù)學(xué)對象 （如：法則、概念、公式、命題）做為主要研究對象，側(cè)重對變化現(xiàn)象的研究，對變化關(guān)系的理解。,特點(diǎn),特點(diǎn) 注意點(diǎn),（3）問題的挑戰(zhàn)性落實(shí)在研究對象的實(shí)際意義上（不能因閱讀方面的障礙導(dǎo)致學(xué)生答題困難）。 （4）圖表閱讀題，要求通過圖表閱讀獲得的信息應(yīng)當(dāng)超越借助代數(shù)運(yùn)算獲得的結(jié)論，要求學(xué)生做一些合理的預(yù)測、推斷。 （1）不要因所選擇的“閱讀對象”自身的內(nèi)容和表達(dá)的方式影響學(xué)生解答。 （2）圖表閱讀類型問題有時可能會影響考查學(xué)生認(rèn)識對象的精確性。,例9,若一個圖形繞著一個定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一個角a(0a180)能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做旋轉(zhuǎn)對稱圖形，例如，正三角形繞著它的中心旋轉(zhuǎn)120（如圖），能夠與原來的正三角形重合，因而正三角形是旋轉(zhuǎn)對稱圖形，圖是一個五葉風(fēng)車的示意圖，它也是旋轉(zhuǎn)對稱圖形（a=72）。（圖略）,點(diǎn)評,該試題所探討的是一個生活中的現(xiàn)象，但其中卻隱含著重要的數(shù)學(xué)概念，而且問題的挑戰(zhàn)性落實(shí)在對現(xiàn)象中數(shù)學(xué)關(guān)系的概括，以及對所獲得的關(guān)系的準(zhǔn)確應(yīng)用。它既是將考試過程視為一種學(xué)習(xí)過程（值得提倡），也可以考查學(xué)生通過閱讀獲取數(shù)學(xué)知識的能力。,例10,駱駝被稱為沙漠之舟，它的體溫隨 外部環(huán)境溫度的變化而變化，下圖表現(xiàn)了一峰駱駝在兩晝夜之間體溫變化情況。（圖略，近似拋物線） 一天中，駱駝體溫的變化范圍是什么？它的體溫從最低上升到最高需要多少時間？ 在什么時間范圍內(nèi)駱駝的體溫是上升的？在什么時間范圍內(nèi)駱駝的體溫是下降的？ 如果以后兩天環(huán)境溫度沒有什么變化，你能畫出這峰駱駝體溫變化的大致圖象嗎？ 編一個與函數(shù)相關(guān)的問題，使得其中的變量之間關(guān)系能夠用這張圖來表示。,點(diǎn)評,該題的背景富有現(xiàn)實(shí)性，其中的數(shù)據(jù)、圖象都有意義；問題的求解既需讀圖的技能，也需要基本數(shù)學(xué)運(yùn)算技能，還牽涉到對函數(shù)基本概念的應(yīng)用；特別地，問題與并非直接讀圖就可以得到答案，而需要對該圖象有一個整體把握，以獲得超越圖象本身的結(jié)論。,例11,某基金在申購和贖回時，其費(fèi)率分別按下表計算：,本基金的申購金額包括申購費(fèi)用和凈申購金額，其中 申購費(fèi)用=申購金額申購費(fèi)率， 凈申購金額=申購金額-申購費(fèi)用， 申購份額=凈申購金額申購當(dāng)日基金單位資產(chǎn)凈值， 贖回值=贖回當(dāng)日基金單位資產(chǎn)凈值贖回份額贖回費(fèi)率， 贖回金額=贖回當(dāng)日基金單位資產(chǎn)凈值贖回份額-贖回費(fèi)。 甲于某日持申購金額10 355.10元申購本基金，當(dāng)日基金單位資產(chǎn)凈值為1.014 8；一段時間后，甲在贖回本基金時，當(dāng)日基金單位資產(chǎn)凈值為1.086 8。則甲在此基金的申購和贖回過程中賺了 元。,點(diǎn)評,本題出現(xiàn)了5個經(jīng)濟(jì)學(xué)術(shù)語及其解釋，對考生來說，不容易理解，從而影響答題；問題的求解基本上是套用公式，純屬“煩瑣的背景，簡單的數(shù)學(xué)”。不可取。,特點(diǎn),6、探索題 有利于考查學(xué)生的數(shù)學(xué)實(shí)踐能力、探索能力，適合于考查學(xué)生“做數(shù)學(xué)”與從事“數(shù)學(xué)化”活動的能力；評價學(xué)生從事歸納、類比、概括、推理等思維活動的水平，檢查學(xué)生自我反思能力。 試題背景具有實(shí)際意義，而不僅僅是探索歸納一列數(shù)字特征。 （2）允許借助直覺思維或?qū)栴}的整體把握而直接獲得合理的猜測。,特點(diǎn) 注意點(diǎn),試題的設(shè)問能引發(fā)學(xué)生對自我思考過程的反思。 試題的評分標(biāo)準(zhǔn)總會考慮到多 種合理性答案及其評分規(guī)定。 (5)探索過程可借助計算器、簡便模具等。 難度不易把握、制定評分標(biāo)準(zhǔn)時難于全面估計。,例12,將一把三角尺放在邊長為1的正方形ABCD上，并使它的直角頂點(diǎn)P在對角線AC上滑動，直角的一邊始終經(jīng)過點(diǎn)B，另一邊與射線DC相交于點(diǎn)Q，設(shè)A，P兩點(diǎn)間的距離為x。 當(dāng)點(diǎn)Q在邊CD上時，線段PQ與線段PB之間有怎樣的大小關(guān)系？試證明你觀察得到的結(jié)論； 當(dāng)點(diǎn)Q在邊CD上時，設(shè)四邊形PBCD的面積為y，求y與x之間的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域； 當(dāng)點(diǎn)P在線段AC上滑動時，PCQ是否可能成為等腰三角形;如果可能,指出所有能使PCQ成為等腰三角形的點(diǎn)Q的位置，并求出相應(yīng)的x的值；如果不可能，試說明理由。 （圖、的形狀大小相同，圖供操作實(shí)驗(yàn)用，圖和圖備用）,點(diǎn)評,該題正確地將探索對象定位于“一個變化過程中變量之間關(guān)系”，探索過程與方式較好地體現(xiàn)出“數(shù)學(xué)化”的傾向；學(xué)生的求解過程能夠反映出他對于現(xiàn)象中數(shù)學(xué)關(guān)系的把握水平；猜想的獲得可借助對運(yùn)動本身的整體把握獲得，而對于猜想的證明則必須依賴于對運(yùn)動過程本身的數(shù)學(xué)思考。,例13 點(diǎn)評,用尺規(guī)作圖的方式畫一個正好有兩條對稱軸的六邊形，寫出作圖過程，解釋答案的正確性。 本題的著眼點(diǎn)落實(shí)在對具體作圖過程的數(shù)學(xué)分析，所討論的對象又是較為重要的數(shù)學(xué)關(guān)系，且對說理方式與程度的要求恰當(dāng)；學(xué)生在解題過程中也需要在對相應(yīng)數(shù)學(xué)關(guān)系（對稱等）做必要的考察基礎(chǔ)之上，做適當(dāng)?shù)摹皵?shù)學(xué)化”活動，但該題的難度較大。,例14 點(diǎn)評,觀察下列各式：12+1=12,22+2=23,32+3=33， 請你將猜想到數(shù)學(xué)規(guī)律用自然數(shù)n表示出來 （n1） 該題只是一種形式上的探索題，對絕大多數(shù)學(xué)生而言，該試題的求解過程實(shí)際上只是一種簡單的數(shù)學(xué)運(yùn)算，不存在探索的味道，也沒有出現(xiàn)不同解題策略的可能性。,特點(diǎn),7、開放性問題能提供每一位學(xué)生用自己掌握的知識、熟悉的方式去表達(dá)對問題的理解的機(jī)會，有利于考查學(xué)生直覺思維和發(fā)散思維的活動水平。 問題的“開放性”落實(shí)在所提供的條件具有不確定性、解決問題的策略多樣化、不同但合理的答案個數(shù)不確定、問題結(jié)構(gòu)的可改變性等方面。,特點(diǎn) 注意點(diǎn),能使不同的學(xué)生都能夠給出自己對問題的理解、解答。 問題本身或求解過程中涉及豐 富而重要的數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)思想方法。 評分標(biāo)準(zhǔn)可照顧到不同學(xué)生的差異性。 評分標(biāo)準(zhǔn)制定和對閱卷者數(shù)學(xué)素養(yǎng)要求都較高。,例15,校運(yùn)動會名次問題：在某校舉行的一次校運(yùn)動會中，初中各班的成績?nèi)缦卤硭荆?(1)請?jiān)O(shè)計不同的計分規(guī)則,給出班級排名,并說明規(guī)則的特點(diǎn). (2)如果希望在評分標(biāo)準(zhǔn)中既反映團(tuán)隊(duì)的作用,又突出金、銀、銅牌的比重，可以采用什么規(guī)則。,點(diǎn)評,此題背景為學(xué)生所熟悉，而獲得 問題結(jié)論的途徑不