寧鄉(xiāng)一中、縣一中2019年四月高三聯(lián)考試題理科數(shù)學(xué)一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分）1.已知集合，則（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】解出集合B，再由集合間的交集運算得到結(jié)果即可.【詳解】由題可知集合，則.故答案為：C.【點睛】這個題目考查了集合的交集的運算，屬于基礎(chǔ)題.2.已知復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)的虛部為（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先化簡復(fù)數(shù),再根據(jù)虛部定義得結(jié)果.【詳解】因為,所以復(fù)數(shù)的虛部為，選A.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)除法運算以及虛部定義，考查基本求解能力，屬基礎(chǔ)題.3.微信運動，是由騰訊開發(fā)的一個類似計步數(shù)據(jù)庫的公眾賬號.用戶可以通過關(guān)注微信運動公眾號查看自己每天或每月行走的步數(shù)，同時也可以和其他用戶進行運動量的或點贊.加入微信運動后，為了讓自己的步數(shù)能領(lǐng)先于朋友，人們運動的積極性明顯增強，下面是某人2018年1月至2018年11月期間每月跑步的平均里程（單位：十公里）的數(shù)據(jù)，繪制了下面的折線圖.根據(jù)折線圖，下列結(jié)論正確的是（ ）A. 月跑步平均里程的中位數(shù)為月份對應(yīng)的里程數(shù)B. 月跑步平均里程逐月增加C. 月跑步平均里程高峰期大致在、月D. 月至月的月跑步平均里程相對于月至月，波動性更小，變化比較平穩(wěn)【答案】D【解析】【分析】根據(jù)折線圖估計中位數(shù)、確定增減性、估計最大值，研究穩(wěn)定性，即可確定選項.【詳解】根據(jù)折線圖得中位數(shù)為月份對應(yīng)的里程數(shù)；月跑步平均里程在1月、月、7月10月減少，月跑步平均里程高峰期大致在月；月至月的月跑步平均里程相對于月至月，波動性更小，變化比較平穩(wěn)，所以選D.【點睛】本題考查根據(jù)折線圖估計相關(guān)數(shù)據(jù)，考查基本分析判斷能力，屬基礎(chǔ)題.4.已知向量，且，則實數(shù)（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用兩個向量平行的充要條件計算即可.【詳解】易知，因為，所以，解得：，故選：B【點睛】利用向量的位置關(guān)系求參數(shù)是出題的熱點，主要命題方式有兩個：（1）兩向量平行，利用 解答；（2）兩向量垂直，利用 解答.5.已知，則的值為（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式以及二倍角余弦公式求解.【詳解】設(shè),則，,選C.【點睛】本題考查誘導(dǎo)公式以及二倍角余弦公式，考查基本分析判斷能力，屬基礎(chǔ)題.6.函數(shù)的部分圖象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先根據(jù)函數(shù)值舍去B，再根據(jù)函數(shù)值舍去D，最后根據(jù)上單調(diào)性確定選A.【詳解】因為,所以舍去B，因為，所以舍去D，因為時，因此選A.【點睛】本題考查函數(shù)圖象與函數(shù)單調(diào)性，考查基本分析判斷能力，屬基礎(chǔ)題.7.閱讀程序框圖，該算法的功能是輸出（ ）A. 數(shù)列的第項B. 數(shù)列的第項C. 數(shù)列的前項的和D. 數(shù)列的前項的和【答案】A【解析】【分析】執(zhí)行循環(huán)，根據(jù)輸出值確定選項.【詳解】執(zhí)行循環(huán)，結(jié)束循環(huán)，輸出即為數(shù)列的第項，選A.【點睛】本題考查循環(huán)結(jié)構(gòu)流程圖，考查基本分析判斷與求解能力，屬基礎(chǔ)題.8.某幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖中的曲線為圓弧，則該幾何體的表面積為A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根據(jù)三視圖知該幾何體是棱長為4的正方體截去一個圓柱體，結(jié)合圖中數(shù)據(jù)求出它的表面積【詳解】解：根據(jù)三視圖知，該幾何體是棱長為4的正方體，截去一個圓柱體，如圖所示；結(jié)合圖中數(shù)據(jù)，計算該幾何體的表面積為故選：D【點睛】本題考查了利用三視圖求簡單組合體的表面積應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題9.已知點是直線上的動點，由點向圓引切線，切點分別為，且，若滿足以上條件的點有且只有一個，則（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：先分析得到四邊形PMON是正方形，再分析出，再根據(jù)點到直線的距離求出b的值.詳解：由題得,四邊形PMON是正方形，|PO|=,滿足以上條件的點有且只有一個，.故選B.點睛：本題的關(guān)鍵是對已知條件的分析轉(zhuǎn)化，首先要分析出四邊形PMON是正方形，再分析出，再根據(jù)點到直線的距離求出b的值.10.古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯在深入研究比例理論時，提出了分線段的“中末比”問題：將一線段分為兩線段、，使得其中較長的一段是全長與另一段的比例中項，即滿足.后人把這個數(shù)稱為黃金分割，把點稱為線段的黃金分割點，圖中在中，若點，為線段的兩個黃金分割點，在內(nèi)任取一點，則點落在內(nèi)的概率為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)幾何概型概率求解.測度為面積.【詳解】由題意得所求概率為幾何概型概率，測度為面積.即所求概率為選B.【點睛】本題考查幾何概型概率，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.11.已知拋物線的焦點為F，點是拋物線C上一點，圓M與線段MF相交于點A，且被直線截得的弦長為，若，則A. B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】由題意：M（x0，22）在拋物線上，則8=2px0，則px0=4，由拋物線的性質(zhì)可知,， ，則，被直線截得的弦長為3|MA|，則，由，在RtMDE中，丨DE丨2+丨DM丨2=丨ME丨2，即，代入整理得： ，由，解得：x0=2，p=2， ，故選：B【點睛】本題考查拋物線的簡單幾何性質(zhì)，考查了拋物線的定義，考查勾股定理在拋物線的中的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合思想,轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題，將點A到焦點的距離轉(zhuǎn)化為點A到其準(zhǔn)線的距離是關(guān)鍵.12.若關(guān)于x的不等式成立，則的最小值是A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)圖象的性質(zhì)，借助數(shù)形結(jié)合，確定最小值，即可得到答案【詳解】令，函數(shù)單調(diào)遞增，函數(shù)單調(diào)遞減，且時，繪制函數(shù)的圖象如圖所示，滿足題意時，直線恒不在函數(shù)圖象的下方，很明顯時不合題意，當(dāng)時，令可得：，故取到最小值時，直線在x軸的截距最大，令可得：，據(jù)此可得：的最小值是故選：A【點睛】本題主要考查了導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)圖象的性質(zhì)及其應(yīng)用，其中解答合理利用導(dǎo)數(shù)得出函數(shù)的單調(diào)性，刻畫處函數(shù)的性質(zhì)上解答的關(guān)鍵，著重考查了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想等知識，屬于中等題二、填空題（本大題共4小題，每題5分，共20分）13.二項式的展開式中含的項的系數(shù)是_.【答案】【解析】【分析】根據(jù)二項展開式通項公式確定含的項的項數(shù)，進而確定含的項的系數(shù).【詳解】因為，所以令得因此含的項的系數(shù)為【點睛】本題考查二項展開式的項的系數(shù)，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.14.設(shè)，滿足約束條件，則的最小值為_.【答案】【解析】【分析】先作可行域，再根據(jù)目標(biāo)函數(shù)所表示的直線，結(jié)合圖象確定最優(yōu)解.【詳解】作可行域，如圖，則直線過點A(1.1)時取最小值【點睛】本題考查線性規(guī)劃求最值，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.15.中，角，所對的邊分別為，已知，則_.【答案】【解析】【分析】根據(jù)正弦定理化邊為角，再根據(jù)二倍角正弦公式得結(jié)果.【詳解】因為，所以,因為，所以,因為，所以【點睛】本題考查正弦定理以及二倍角正弦公式，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.16.我們常用以下方法求形如函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：先兩邊同取自然對數(shù)，再兩邊同時求導(dǎo)得 ，于是得到，運用此方法求得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是_.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題中的方法先求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，再解不等式得減區(qū)間.【詳解】因為，所以, 兩邊同時求導(dǎo)得,因此，由，得,即單調(diào)遞減區(qū)間是.【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.三、解答題（本大題共6小題，共70分，解答題應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.已知正項等比數(shù)列中，且成等差數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)條件求公比，再代入等比數(shù)列通項公式得結(jié)果，（2）先化簡，再根據(jù)裂項相消法求.【詳解】解：（1）設(shè)正項等比數(shù)列的公比為因為，成等差數(shù)列，所以，得，則，即，又所以.又，故數(shù)列的通項公式（2）由（1）知， 所以 則 【點睛】本題考查等比數(shù)列通項公式以及裂項相消法求和，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.18.如圖，在四邊形中，點在上，且，現(xiàn)將沿折起，使點到達點的位置，且與平面所成的角為，（1）求證：平面平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）見解析； （2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)折疊前后關(guān)系得PCCD，根據(jù)平幾知識得BE/CD，即得PCBE，再利用線面垂直判定定理得EB平面PBC，最后根據(jù)面面垂直判定定理得結(jié)論，（2）先根據(jù)線面角得PBE為等腰直角三角形，再取BC的中點O，證得PO平面EBCD，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)立各點坐標(biāo)，列方程組解得各面法向量，根據(jù)向量數(shù)量積得向量夾角，最后根據(jù)向量夾角與二面角關(guān)系得結(jié)果.【詳解】（1）證明：ABCD，ABBE，CD/EB，ACCD，PCCD，EBPC，且PCBC=C，EB平面PBC，又EB平面DEBC，平面PBC 平面DEBC； （2）由（1）知EB平面PBC，EBPB，由PE與平面PBC所成的角為45得EPB=45， PBE為等腰直角三角形，PB=EB， AB/DE，結(jié)合CD/EB 得BE=CD=2，PB=2，故PBC為等邊三角形， 取BC的中點O，連結(jié)PO， POBC，PO平面EBCD， 以O(shè)為坐標(biāo)原點，過點O與BE平行的直線為x軸，CB所在的直線為y軸，OP所在的直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖， 則， 從而, ，設(shè)平面PDE的一個法向量為，平面PEB的一個法向量為，則由得，令得，由得 ，令得，設(shè)二面角D-PE-B的大小為，則，即二面角D-PE-B的余弦值為. 【點睛】利用法向量求解空間線面角的關(guān)鍵在于“四破”：第一，破“建系關(guān)”，構(gòu)建恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；第二，破“求坐標(biāo)關(guān)”，準(zhǔn)確求解相關(guān)點的坐標(biāo)；第三，破“求法向量關(guān)”，求出平面的法向量；第四，破“應(yīng)用公式關(guān)”.19.已知橢圓的兩焦點分別為，其長軸長為.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)點，若直線與橢圓相交于兩點，且與的斜率之和為，求實數(shù)的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)條件求得，即得，（2）設(shè)，化簡，再聯(lián)立直線方程與橢圓方程，利用韋達定理代入化簡可得【詳解】解：（1）由題意可得，故，可得橢圓方程為；（2）設(shè)，.聯(lián)立得，化簡，得， 將，代入上式得，滿足【點睛】本題考查直線與橢圓位置關(guān)系，考查基本分析求解能力，屬中檔題.20.近期，長沙市公交公司推出“湘行一卡通”掃碼支付乘車活動，活動設(shè)置了一段時間的推廣期，乘客只需利用手機下載“湘行一卡通”，再通過掃碼即可支付乘車費用.相比傳統(tǒng)的支付方式，掃碼支付方式極為便利，吸引了越來越多的人使用掃碼支付，某線路公交車隊統(tǒng)計了活動剛推出一周內(nèi)每一天使用掃碼支付的人次，用表示活動推出的天數(shù)，表示每天使用掃碼支付的人次（單位：十人次），統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表所示：根據(jù)以上數(shù)據(jù)，繪制了散點圖.（1）根據(jù)散點圖判斷，在推廣期內(nèi)，與（，均為大于零的常數(shù)）哪一個適宜作為掃碼支付的人次關(guān)于活動推出天數(shù)的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）；（2）根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及表中的數(shù)據(jù)，建立關(guān)于的回歸方程，并預(yù)測活動推出第天使用掃碼支付的人次；（3）推廣期結(jié)束后，車隊對乘客的支付方式進行統(tǒng)計，結(jié)果如下支付方式現(xiàn)金乘車卡掃碼比例假設(shè)該線路公交車票價為元，使用現(xiàn)金支付的乘客無優(yōu)惠，使用乘車卡支付的乘客享受折優(yōu)惠，掃碼支付的乘客隨機優(yōu)惠，根據(jù)統(tǒng)計結(jié)果得知，使用掃碼支付的乘客中有的概率享受折優(yōu)惠，有的概率享受折優(yōu)惠，有的概率享受折優(yōu)惠.根據(jù)給定數(shù)據(jù)以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率，在不考慮其它因素的條件下，求一名乘客一次乘車的平均費用.參考數(shù)據(jù)：其中：，參考公式：對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為： ，.【答案】（1）（2）；（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)散點圖可判斷，（2）先取對數(shù)，轉(zhuǎn)化為直線方程，再求均值，代入公式可得回歸方程，最后代入自變量可得預(yù)測值，（3）根據(jù)概率與對應(yīng)支付的費用乘積的和求平均值.【詳解】解：（1）根據(jù)散點圖判斷，適宜作為掃碼支付的人次關(guān)于活動推出天數(shù)的回歸方程類型；（2），兩邊同時取常用對數(shù)得： ；設(shè)， ，把樣本中心點代入，得：，關(guān)于的回歸方程式： ；把代入上式：；故活動推出第天使用掃碼支付的人數(shù)為；（3）記一名乘客乘車支付的費用為，則的取值可能為：，；，；，所以，一名乘客一次乘車的平均費用為：（元）.【點睛】本題考查散點圖、回歸方程以及平均值計算，考查基本分析求解能力，屬中檔題.21.已知函數(shù)，.（1）若函數(shù)圖像在點處的切線斜率為時，求的值，并求此時函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若，為函數(shù)的兩個不同極值點，證明：.【答案】（1）,減區(qū)間為，無增區(qū)間.（2）見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義列式解得的值，再求導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)符號確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間，（2）先取對數(shù)化簡所證不等式為，再通過極值點條件化簡為再轉(zhuǎn)化不等式為，令，轉(zhuǎn)化不等式為，最后根據(jù)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，即可證明不等式.【詳解】（1）解：求得當(dāng)時，所以有，令，所以當(dāng)時，單調(diào)遞增：當(dāng)時，單調(diào)遞減，故，所以.則，故的單調(diào)減區(qū)間為，無增區(qū)間.（2）要證：，也即證：，又，所以，為方程的兩根，即，即證，而-得，即證：，不妨設(shè)，則證：，所以，設(shè)，則 ，在單調(diào)遞增，即結(jié)論成立.【點睛】利用導(dǎo)數(shù)證明不等式常見類型及解題策略(1) 構(gòu)造差函數(shù).根據(jù)差函數(shù)導(dǎo)函數(shù)符號，確定差函數(shù)單調(diào)性，利用單調(diào)性得不等量關(guān)系，進而證明不等式.（2）根據(jù)條件，尋找目標(biāo)函數(shù).一般思路為利用條件將求和問題轉(zhuǎn)化為對應(yīng)項之間大小關(guān)系，或利用放縮、等量代換將多元函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元函數(shù).22.在平面直角坐標(biāo)系