摘要 非線性泛函分析是現(xiàn)代分析數(shù)學的一個重要分支，它能夠清楚地解釋自然界中很多 自然現(xiàn)象，因而受到了越來越多的數(shù)學家與數(shù)學工作者的關(guān)注其中，非線性問題來源 于應(yīng)用數(shù)學和物理的多個分支，是目前分析數(shù)學中研究最為活躍的領(lǐng)域之一本論文主 要討論了一階混合型非線性積微分方程，無窮區(qū)域上的非線性脈沖積一微分方程以及 b a n a c h 空間中非線性積一微分方程組解的存在性，全文共分四章 第一章，前言部分，主要介紹了選題來源、研究意義、國內(nèi)外研究現(xiàn)狀，以及論文 的主要研究內(nèi)容和目標 第二章，利用新的比較原理和上下解方法，討論了一階混合型積一微分方程積分邊 值問題，并改進了某些已有的結(jié)果 第三章，利用錐理論和單調(diào)迭代方法，研究了b a n a c h 空間中無窮區(qū)域上一類二階 脈沖積一微分方程的初值問題極值解和唯一解的存在性 第四章，利用錐理論和上下解方法，研究了b a n a c h 空間中非線性積一微分方程組初 值問題唯一解的存在性，對某些已有結(jié)果作了推廣和改進 法 關(guān)鍵詞：積一微分方程( 組) ，積分邊值問題，初值問題，單調(diào)迭代技巧，上下解方 t h ea p p l i c a t i o na n de x i s t e n c eo fs o l u t i o n so fs o m ea b s t r a c te q u a t i o n ( s ) w a n gg u o t a o ( a p p l i e dm a t h e m a t i c s ) d i r e c t e db yp r o f s o n gg u a n g x i n g a b s t r a c t n o n l i n e a rf u n c t i o n a la n a l y s i si sa ni m p o r t a n tb r a n c ho fm o d e r na n a l y s i sm a t h e m a t i c s i t c a ne x p l a i nal o to fn a t u r a lp h e n o m e n ac l e a r l y , s om o r ea n dm o r em a t h e m a t i c a lr e s e a r c h e r s a r ed e v o t i n gt h e i rt i m et oi t a m o n gt h e m ，t h en o n l i n e a rp r o b l e mc o m e sf r o mal o to f b r a n c h e so fa p p l i e dm a t h e m a t i c sa n dp h y s i c s ，i ti sa tp r e s e n to n eo ft h em o s ta c t i v ef i e l d st h a t i ss t u d i e di na n a l y s i c a lm a t h e m a t i c s t h ep r e s e n tt h e s i sm a i n l yd i s c u s s e st h ep r o b l e m sf o rs o l u t i o n so fn o n l i n e a r i n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o n ( s ) a n dn o n l i n e a ri m p u l s i v ei n t e g r o d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s i n b a n a c hs p a c e i tc o n s i s t sf i v ec h a p t e r s i n c h a p t e ro n e ，w em a i n l y i n t r o d u c eb a c k g r o u n d ，r e s e a r c hm e a n i n ga n dc u r r e n t s i t u a t i o n so ft h i ss t u d y , a n dt h em a i nc o n c l u s i o n sa n dm o t i v eo ft h i st h e s i s i nc h a p t e rt w o ，w ed i s c u s st h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o n so ff i r s to r d e ri n t e g r o - d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n so fm i x e dt y p ew i t hd e v i a t i n ga r g u m e n t s ，b yu s i n gac o m p a r i s o nr e s u l ta n dp a r t i a l m e t h o d i tg e n e r a l i z e sa n di m p r o v e ss o m ef o r m e rc o r r e s p o n d i n gr e s u l t s i nc h a p t e rt h r e e ，b yu s i n gt h ec o n et h e o r ya n dm o n o t o n ei t e r a t i v et e c h n i q u e ，w e i n v e s t i g a t et h ee x i s t e n c eo fe x t r e m a ls o l u t i o n sa n du n i q u es o l u t i o n so ft h ei n i t i a lv a l u e p r o b l e m ( i v p ) f o rac l a s so fs e c o n do r d e ri m p u l s i v ei n t e g r o d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s o n u n b o u n d e dd o m a i ni nab a n a c hs p a c e o u rr e s u l t si m p r o v ea n de x t e n dm a n yr e c e n tr e s u l t s i nc h a p t e rf 0 峨b yu s i n gt h ec o n et h e o r ya n dl o w e ra n du p p e rs o l u t i o n s ，w ei n v e s t i g a t e t h ee x i s t e n c eo fu n i q u es o l u t i o no ft h ei n i t i a lv a l u ep r o b l e m sf o rs y s t e m so fn o n l i n e a r s e c o n d - o r d e ri n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o n si nb a n a c hs p a c e o u rr e s u r si m p r o v ea n de x t e n d s o m er e c e n tr e s u l t s k e yw o r d s ：i n t e g r o d i f f e r e n t i a le q u a t i o n ( s ) ，i n t e g r a lb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ，i n i t i a l v a l u ep r o b l e m ，m o n o t o n ei t e r a t i v et e c h n i q u e ，u p p e ra n dl o w e rs o l u t i o n 關(guān)于學位論文的獨創(chuàng)性聲明 本人鄭重聲明：所呈交的論文是本人在指導(dǎo)教師指導(dǎo)下獨立進行研究工作所取得的 成果，論文中有關(guān)資料和數(shù)據(jù)是實事求是的。盡我所知，除文中已經(jīng)加以標注和致謝外， 本論文不包含其他人已經(jīng)發(fā)表或撰寫的研究成果，也不包含本人或他人為獲得中國石油 大學( 華東) 或其它教育機構(gòu)的學位或?qū)W歷證書而使用過的材料。與我一同工作的同志 對研究所做的任何貢獻均已在論文中作出了明確的說明。 若有不實之處，本人愿意承擔相關(guān)法律責任。 學位論文作者簽名： 衛(wèi)! 司埴 日期：年月 e l 學位論文使用授權(quán)書 本人完全同意中國石油大學( 華東) 有權(quán)使用本學位論文( 包括但不限于其印 刷版和電子版) ，使用方式包括但不限于：保留學位論文，按規(guī)定向國家有關(guān)部門( 機 構(gòu)) 送交學位論文，以學術(shù)交流為目的贈送和交換學位論文，允許學位論文被查閱、 借閱和復(fù)印，將學位論文的全部或部分內(nèi)容編入有關(guān)數(shù)據(jù)庫進行檢索，采用影印、 縮印或其他復(fù)制手段保存學位論文。 保密學位論文在解密后的使用授權(quán)同上。 學位論文作者簽名：衛(wèi)! 魚堵 指導(dǎo)教師簽名：，倦拯緩 日期： 日期： 年 年 月 月 日 日 中國石油大學( 華東) 碩士學位論文 第一章前言 1 1 課題研究背景及其研究意義 在微分幾何和數(shù)學物理以及其它領(lǐng)域里，很多問題都可以概括為抽象空間中的問 題，進而歸結(jié)為與抽象方程( 組) 解有關(guān)的問題抽象空間中的各類方程( 組) 是數(shù)學 及其它自然科學中具體問題提取的數(shù)學模型的高度概括和統(tǒng)一 將具體問題概括為抽象空間方程( 組) 問題，其本質(zhì)在于：用函數(shù)空間的語言把所 給問題加以改寫；然后，借助泛函分析方法對這個抽象問題盡可能完善的加以分析：最 后再把所得結(jié)果進行“翻譯，以回到原來的問題這種方法去掉了無關(guān)緊要的枝節(jié)， 更易于揭示和分析問題的核心，而且表面上看來不同的問題可以用同一空間理論來處 理因此有關(guān)抽象空間的一些問題也就顯得非常重要，而其方程( 組) 解的問題又是研 究空間問題的核心問題不但它對數(shù)學的基礎(chǔ)理論有著推動作用，而且應(yīng)用于解決幾何 學與物理學中的一些實際問題，推動自然學科的發(fā)展另外，自然科學和工程技術(shù)中大 量非線性現(xiàn)象又為抽象空間方程( 組) 的發(fā)展提供了基本素材 利用抽象空間各類方程( 組) ，對問題進行研究和解析是一個十分巧妙而又應(yīng)用廣 泛的方法在許多數(shù)學領(lǐng)域中也正是由于這些應(yīng)用，才使得抽象方程( 組) 理論得以更 加迅速發(fā)展 另外，非線性泛函分析理論的研究及完備化具有非常重要的意義，尤其是近幾十年 來，國內(nèi)外的許多研究學者對非線性問題的研究做了大量工作 郭大鈞先生在專著【1 1 中對非線性泛函分析的幾個重要課題及其應(yīng)用，諸如某些經(jīng)典 的非線性算子、h a m m e r s t e i n 型積分方程、常微分方程和偏微分方程、遷移方程、錐理 論及非線性算子方程的正解、非線性算子拓撲度和不動點以及固有值、解的個數(shù)與分支， 都做了系統(tǒng)的概括和總結(jié)文【2 j 中利用錐理論討論了多種非線性問題，主要是近些年來 發(fā)展起來的最新成果文【3 1 貝0 討論了各種多樣的積分方程解的存在性其中內(nèi)容可謂是 豐富多彩，包括了非線性泛函分析這一領(lǐng)域各個方面的成果 本課題正是在上述背景下提出的，通過研究抽象空間中幾類方程( 組) 解的理論， 希望找到使相應(yīng)方程( 組) 解存在且較容易驗證或檢驗的條件；同時努力構(gòu)造逼近一致 收斂于解的迭代序列，以及給出相應(yīng)的誤差估計式 中國石油大學( 華東) 碩士學位論文 1 2 國內(nèi)外研究現(xiàn)狀分析 抽象空間中的常微分方程是近些年來發(fā)展起來的一個新的教學分支，它把微分方程 理論和泛函分析理論結(jié)合起來，利用泛函分析方法研究抽象空間的微分方程郭大鈞和 孫經(jīng)先合著文獻【5 】是這一課題的集大成之作，概括了b a n a c h 空間常微分方程理論文【6 l 全面綜述了抽象空間內(nèi)非線性微分方程各個分支的內(nèi)容，包括證明解的存在性時所使用 的方法以及解的某些性質(zhì)，文1 7 1 則是一篇綜合報告，概括了微分方程發(fā)展的一些最新成 果 在專著【1 1 中，郭大鈞先生對非線性泛函分析的幾個重要課題和應(yīng)用作了系統(tǒng)的概括 和總結(jié)文獻【1 0 1 在抽象空間中研究了各種非線性積分方程解的存在性和唯一性問題文 獻 3 , 4 , 8 - 1 0 , 1 4 - 2 1 , 2 3 ，2 4 1 討論了多種非線性問題，主要是近些年來發(fā)展起來的一些最新成果，包 括了非線性分析這一領(lǐng)域各個方面的成果文酬9 】則利用非線性分析研究常微分方程解 的存在性，唯一性及多解性，其中使用了非線性泛函分析中的理論和方法，例如拓撲度 理論，半序方法，上下解方法等 研究解的存在性的理論方法有多種：壓縮映象原理、變分原理、單調(diào)算子理論、不 動點理論、拓撲度理論但其側(cè)重點不一樣其中，壓縮映象原理重點在于討論非線性 算子方程解的存在性與唯一性；拓撲度方法要求算子全連續(xù)且只能給出解在特定意義下 的存在個數(shù) 現(xiàn)階段，單調(diào)迭代方法、上下解方法以及拓撲度方法是研究熱點利用上下解方法、 單調(diào)迭代方法不僅可以得出解的存在性，而且可以獲得方程的最大解、最小解以及一致 收斂于解的迭代逼近序列更好的結(jié)果是我們能夠得到相應(yīng)近似解的誤差估計式但上 下解方法和單調(diào)迭代方法對方程要求條件較高，而拓撲度方法只能給出解的存在性，一 般不能給出逼近解的迭代序列因此，如何在較廣的空間中，較弱的條件下利用上下解 方法與單調(diào)迭代方法得到我們想要的結(jié)果是許多數(shù)學工作者非常感興趣的研究問題之 一宋光興教授( 本課題指導(dǎo)教師) 以及國內(nèi)外一些數(shù)學專家在這方面做出了許多工作， 這些工作中的基本思想對本課題的研究有著重要的啟發(fā) 1 3 主要研究內(nèi)容和目標 本課題主要是充分利用上下解方法和單調(diào)迭代方法以及不動點定理，研究抽象空 間方程解的存在性、構(gòu)造逼近解的迭代序列以及相應(yīng)誤差估計研究的方程更具一般 2 中國石油大學( 華東) 碩士學位論文 性，構(gòu)造新的比較定理，在利用上下解方法與單調(diào)迭代方法時盡可能減弱有關(guān)條件是本 文主要的研究目標 利用上下解方法和單調(diào)迭代法研究積一微分方程的解一般需要以下幾個步驟： ( 1 ) 建立比較定理； ( 2 ) 利用積分方程與微分方程的關(guān)系將積一微分方程的相關(guān)線性問題轉(zhuǎn)化為積分方 程； ( 3 ) 通過研究該積分方程解的存在唯一性構(gòu)造非線性自映射算子a ； ( 4 ) 通過算子a 的性質(zhì)尋求所研究積一微分方程的解的存在性 本文主要研究的抽象方程有以下幾種： 1 具有時滯的一階混合型積微分方程積分邊值問題： f ”t ( f ) = f ( t ，“( f ) ，甜( ( z ( f ”，( 耽) ( f ) ，( j s 釓) ( f ) ) 三( j ；k ) ( f ) ， 1 硼) = 五m ) + 乞j c r 彩( 刪( j 渺+ k 其中( 耽，) ( ，) = r 7 k ( t , s ) “( y ( s ) ) 出，( 勛) ( f ) = r j l z ( f ，s ) ”( 艿( s ) ) 凼， 2 無窮區(qū)域上帶有無限個脈沖次的非線性二階脈沖積一微分方程的i v p - x ”( f ) = f ( t ，x ( f ) ，x ( f ) ，? x ( f ) ) ，v o t 0 ) ，f c ( j xr 4 , 尺) ，口c ( j ，) ，f ( o ，f 】，國c ( j xr ，尺) ， ，五，k r ， ( 耽) ( f ) = ，f 。o p ( t ) k ( t , s ) “( y ( s ) ) 幽，( 砌) ( f ) = f h ( t , s ) 甜( 萬( j ) ) 凼， ，7 ，萬c ( j ，) ，k ( t ，s ) c d ，r + 】，h ( t ，s ) c 【d 0 ，r + 】，d = ( ，s ) r 2 , 0 j ( f ) ，f ，) ， d o = o ，s ) r 20 s t , t ，) ，r + = 0 , o o ) 在 = 1 ，如= k = o ，f = r 的情形下，邊值條件為周期邊值條件；在 = 0 的情形下， 邊值條件為積分邊值條件；在a = 五= 0 的情形下，( 2 1 ) 為初值問題 注2 1 在( 2 - 1 ) 的邊值條件中，如果f 取( 0 ，t 】中的任意常數(shù)，則邊值條件將改變因此， ( 2 1 ) 具有非常廣泛的形式 注2 2 在合適的選擇口，y ，萬，a ，如，f 的情形下，方程( 2 - 1 ) 包含幾類微分方程、具有時 滯的微分方程、積微分方程和具有時滯的積微分方程，這些方程已經(jīng)被許多學者研究， 詳見文 1 1 - 1 5 , 1 8 , 2 1 1 具有時滯的積微分方程理論研究是非線性分析中的一個重要分支，這類方程經(jīng)常 出現(xiàn)在有關(guān)數(shù)學物理、機械、工程、經(jīng)濟等調(diào)查研究中( 詳見文【3 2 2 】) 其中，對這類方程 理論研究的一個重要方向是在適當條件下驗證方程解的存在性本章利用一個新的比 較原理和單調(diào)迭代技巧，研究了一階混合型積一微分方程積分邊值問題( 2 - 1 ) 的極值解 及相應(yīng)解的迭代逼近 2 2 幾個引理 設(shè)c ( ，尺) = 伽( f ) ：，專尺i “( r ) 在，上連續(xù) ，c 1 ( ，r ) = 仁p ) ：一ri “( f ) 在上具有 4 中國石油大學( 華東) 碩上學位論文 一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)) ，c ( j ，r ) 在范數(shù)i = s u p i u ( t ) l ：t j f 是一個b a n a c h 空i 司 引理2 1 設(shè)口，7 ，萬c ( j ，刀，口( f ) f ，f l ( t ) ，y ( f ) f ，8 ( 0 ，v t j ，且存在p c 1 ( ，r ) 滿足 p 黧 - m ( 帥( ) 一k o ) p 缸一 ( 蚴) ( d 屯o ) ( 勛) ，( 2 - 2 ) 【p ( o ) 0 ， 其中m ( f ) ，k ( ) ，( f ) ，三( f ) 是了上的非負有界可積函數(shù)，且滿足 r m ( f ) + k ( f ) + ( f ) r 。后( 柚) 凼+ 三( f ) r 廳( f ，s ) 凼 出1 ( 2 3 ) 貝j j p ( t ) o ，v t j 證明：假設(shè)p ( t ) o ，v t ej 不成立，由條件知，存在t o ( o ，明， 使得p ( t o ) 0 由條件( 2 2 ) 知 p ( f ) 一a m ( t ) 一2 k ( t ) 一a n ( t ) f ：k ( t ，j ) d s 一2 l ( t ) f ：h ( t ，j ) d s = 一五瞰( f ) + k ( ，) + o ) r 。k ( t ，s ) d s + l ( t ) f r oh ( t ，s ) d s ，v f 【o ，t o 于是 p 瓴) = p ( ，1 ) + f ：o p o ) a t 兄一名r 陬m 州d r 嘏蛐刪，) r 嘏渺p = 2 , ( 1 - r m ( d + k + ( r ) r 。后( f ，s ) 凼+ 三( d r 辦( f ，s ) 出p ) 因此，由p ( f o ) 1 ，與( 2 - 3 ) 矛盾 綜上可知p ( t ) 0 ，v t j 引理2 1 得證 引理2 2 設(shè)h c ( j ，r ) ，口，九萬c ( j ，n ，口o ) t , f l ( t ) f ，y o ) f ，萬o ) ，v t j ，并且 5 中國石油大學( 華東) 碩士學位論文 m ( f ) ，k ( r ) ，( r ) ，三( f ) 是j 上的菲負有界司積函數(shù)，則u c 1 ( ，尺) 是線性l 司題 iu o ) = 。2 7 “x 、l 一 f o ) 材( f ) 一k ( r ) ( 口o ) ) 一( f ) ( “) ( f ) 一三( f ) ( 吼1 ) ( f ) ， 卅+ 五r 吣取啪地 p 4 的解當且僅當u c ( j ，r ) 是下面積分方程的解 甜o ) = j 。0 t r - 1 2 m ( r ) d rl r 占：s ) 一k ( s ) 擾( 口( j ) ) 一o ) ( h ) ( j ) 一三( s ) ( 5 池) ( s ) 】凼 + p 一觸) 出【 廳( f ) + 五r 彩( j ，辦( s ) 陟+ 糾 ( 2 5 ) 其中 g o ) = f ( t ，辦( ，) ，辦( 口o ) ) ，( 哥茲) ( f ) ，( s 忍) o ) ) + 彳( r ) 廳( f ) + k o ) 辦( 口o ) ) + ( ，) ( f 哥礪) ( f ) + 三( ，) ( s 鋤) o ) 弓i 理2 3 設(shè)h c ( j ，r ) ，口，y ，萬c ( j ，j r ) ，c t ( t ) t , f l ( t ) f ，r ( t ) t , 6 ( t ) f ，v t j ，并且非 負有界可積函數(shù)m ( f ) ，k ( ，) ，( f ) ，三( f ) 滿足( 2 - 3 ) 和f m ( t ) d t 0 ，則積分方程( 2 5 ) 在 c ( d ，r ) 中具有唯一解 證明：令 ( 4 ”) ( ，) ：rp f m ( r 渺 g ( s ) 一k o ) 甜( 口( s ) ) 一( s ) ( h ) o ) 一三。) ( s “) o ) 】出 + p 一肌) 毋 辦( f ) + 五r 緲( s ，辦( s ) 油+ 糾 顯然，甜+ ( ，) 是( 2 - 5 ) 的解當且僅當甜( r ) 是彳的一個不動點，即a u = u 。 v u ，1 ，c ( j ，r ) ，我們有 ( 么甜) o ) 一( 彳v ) ( ，) = 【e j ，m 毋卜k ( s ) ( “一1 ，) ( 口( s ) ) 一o ) ( f 玩一礦v ) ( j ) 一三( s ) ( 鋤一5 t v ) o ) 】西， 于是 i ( 么“一么1 ，) ( f ) | n k o ) 1 1 一1 ，i i + ( j ) r 5 后( s ，) 咖f i 甜一1 ，i l + 三( s ) r 辦( s ，) d ri i 材一v l l 】凼 n k ( s ) + ( s ) p 后( ) d r + 三( s ) j c r 辦( ) d r d s i i u - - p i i 因此 i i 么“一彳v 1 1 - 1 時，( 2 - 9 ) 式成立，即一?！?。，。v 令g ( f ) = u k + l ( f ) 一( ，) ，根據(jù) ( 2 - 1 0 ) ，( 皿) 和( 馬) ，我們有 f g ( f ) 一a ，( f ) g ( f ) 一k ( f ) g ( c r ( f ) ) 一( ，) ( 明) ( f ) 一三( ，) ( j 躅) ( f ) ， 1 9 ( o ) ( 一z ，) ( f ) + 五r 口( j ) ( u k - u k _ 。) ( j ) d s o 于是，根據(jù)引理2 1 ，得q ( t ) 0 ，v t ，即“。( f ) u k + l ( f ) v t j 由( 2 - 1 1 ) ，( 皿) ，( 馬) 和引理2 1 ，同理可證v k + l ( f ) 1 ，j ( f ) ，v t j 下證u k + l ( f ) v k + l ( f ) ，v t j 令g ( f ) = 唯+ 。( f ) 一+ l ( f ) ，于是，根據(jù)( 2 - l o ) ，( 2 - 1 1 ) ， ( 馬) 和( 馬) ，我們有 g ( f ) = f v io ) 一f “i ( f ) 一m ( t ) ( v ，j + l 一1 ，) ( f ) 一k ( f ) ( v + 1 一v ) ( c z o ) ) 一( f ) 礦( ( v i + i 一心) ( f ) 一三( f ) s ( u + 。一叱) o ) + f ( f ) ( z ，i + l 一甜i ) ( ，) + k ( f ) ( 甜i + l 一甜i ) ( c z ( f ) ) + ( f ) ( “i + l 一“i ) ( f ) + 三( f ) s ( “i + l 一甜t ) ( f ) - m ( t ) q ( t ) 一k o ) g ( 口( f ) ) 一o ) ( 阡，g ) o ) 一l ( t x s q ) ( t ) , ， 打 g ( o ) 五( v i u i ) ( f ) + 五【 國( s ，v i ( s ) ) 一緲( j ，z ，i ( s ) ) 協(xié) 訂 如【口( j ) ( 唯一甜i ) ( j ) 婦0 故此，根據(jù)引理2 1 ，得g ( f ) o , v t j ，即u k + l ( f ) 屹+ 。( f ) ，v t j 因此，我們有 心心+ 。k + 。通過數(shù)學歸納法，可得 u o 甜l 甜1 ，屹m v o ( 2 - 1 z ) 9 中國石油大學( 華東) 碩士學位論文 易知， ) ，n ) 在，】上一致有界且等度連續(xù)根據(jù)( 2 - 1 2 ) 式和a r z e l a - a s c o l i 定 理，我們有 “。( f ) ) ， ( f ) ) 在，上分別一致收斂于“，1 ，而且“，v u o ，v 0 】根據(jù)引理2 4 易 知，材( f ) ，v ( t ) 是( 2 - 1 ) 在 ，】中的解 下 i e ( 2 1 ) 具有極值解u ，【u 0 ，o 】假設(shè)z 【u 0 , v o 是( 2 - 1 ) 的任意解，則 izt ( f ) = f ( t ，z ( ，) ，z 似( f ) ) ，w z ( t ) ，& ( r ) ) ，v t j ， lz ( o ) = z ( r ) + 五【緲0 ，z ( s ) ) d s + k 根據(jù)( 2 1 0 ) ，( 2 - 1 1 ) ，( ) ，( 只) 和引理2 1 ，易知 u n z 心，刀=1，2，(213) 在( 2 - 1 3 ) q a 令刀專佃，我們有u z 仇即材，v 是( 2 - 1 ) 在【，】中的極值解 定理2 1 得證 注2 3 在( 2 1 ) 中，若c o ( s ，x ( j ) ) = a ( s ) x ( s ) ，這里口( s ) c ( j ，r + ) ，那么定理2 1 中的條件 ( 馬) 可去掉我們有以下定理2 2 定理2 2 設(shè)u 。，v o c 1 ( ，尺) 是方程( 2 1 ) 相應(yīng)的下解和上解，且( r ) v o ( t ) ，t j 假設(shè)條 件( 日) ，( 4 ) 滿足，則定理2 1 的結(jié)論成立 證明：與定理2 1 的證明方法幾乎完全相同，從略 2 4 例子 例2 1 考慮具有時滯的一階混合型積微分方程積分邊值問題： 比) = 一擊郵) + 扣( ) ) 】3 + 2 ( f f - f 2 加小) 酬 + ( f 3 一e2 t s 甜( s ) 豳) 7 - f u ( t ) ，t 歹= o ，1 】， ( 2 1 4 ) “( o ) = 五甜( f ) + 乃【( 2 s + s 2 u ( s ) ) a s + k ，f ( o ，1 】， ，五，k 【o ，佃) 令姒歸o ，v o ( 忙1 ，口c ( j ，刀，) 軋v ，吐五+ 詈五+ 后虬則 = t s + t 2 s + t 2 t o = 啪) ， 1 0 中國石油大學( 華東) 碩士學位論文 ( o ) = o 五+ 七= 五e 2 s d s + k ； 凡( ，) 一擊r + 文) 3 o = 啪) ， v o ( o ) = 1 ”詈五+ k = + 五f ( 2 s + j 2 炒他 ) = 五+ 五+ = + 五 ( + j 2 x 西+ 后 - v 面驗eu o ，1 o 是( 2 - 1 4 ) 的下上解令 們，訓，v ，w ) 一擊m + 扣卜+ 2 ( t 5 - v ) 5 彬一毗 我們有 ，“，v ，們一廠( f ，萬，刀，礦，功= 一而1f 一訂) + ；川。一) 3 一。一刀) 3 】+ 2 ( t s - v ) 5 一0 5 - v ) 5 】 + 【0 3 一w ) 7 一0 3 一們7 】 一去舷一萬) 一詈f 2 ( 一乃) 一1 0 t 2 。o 一礦) 一7 t t s ( w 一勸， 甘南u o ( t ) 訂甜v o ( t ) ，z 島( 口o ”乃1 i d ( 口o ) ) ， 。w u o o ) 可s ，玢k o ) ，s 0 ) 諑w s 【o ) 注意到m ) = 而1f ，k ( f ) = 詈 i v ( f ) = 1 0 嚴，三( r ) = 7 產(chǎn)， 而且，n m ( f ) + k ( f ) + n ( t ) i a 。k ( t ，s ) a s + l ( t ) f h ( t ，s ) d s a t = f 擊r + 吾t(yī) 2 + o t 2 0f 2 孫出+ 7 t i sf 加幽協(xié) 土+ 三+ 三+ 7 1 2 051 32 0 對口( f ) = f 2 ，容易驗證條件( 馬) 滿足于是，定理2 1 中的所有條件均滿足因此， 根據(jù)定理2 1 ，( 2 1 4 ) 具有極值解甜v r u n v 1 它們可從某迭代序列取極限得到 中國石油大學( 華東) 碩上學位論文 第三章b a n a c h 空間中無窮區(qū)域上的一類二階脈沖積一微分方程 3 1引言 近些年來，許多作者曾討論過脈沖微分方程【2 5 之引通常在b a n a c h 空間中只考慮在 有限區(qū)域中帶有有限脈沖項的微分方程或者積一微分方程 2 6 - 2 8 , 3 1 3 2 1 本章利用錐理論和 單調(diào)迭代技術(shù)，研究了b a n a c h 空間中無窮區(qū)域上的一類二階脈沖積微分方程的初值問 題極值解和唯一解的存在性 設(shè)e 是一實b a n a c h 空間，其中范數(shù)為l | | i ，p 是e 中的一個錐，由錐p 引出e 的半 序”掣，若存在一個常數(shù)五，使得秒x 少jl x l - 五ly l i ，則稱尸為正規(guī)錐，稱元為正規(guī) 常數(shù)其中0 表示e 中的零元素若e 中每個單調(diào)遞增且按序有上界的序列必有極限， 則稱尸為正則錐顯然，由p 的正則性可以推出p 的正規(guī)性設(shè)e 是e 的對偶空間，尸 是e 中的錐，p + = f e + ：廠( x ) o , v x p ) 為p 的對偶錐關(guān)于錐理論的進一步討論 可參考文【2 ，3 ，1 0 1 ，不失一般性，本章始終假設(shè)正規(guī)錐的正規(guī)常數(shù)為1 考慮下列無窮區(qū)域中帶有無限個脈沖次的非線性二階脈沖積微分方程的i v p ： ”r ) = 廠( f ，x o ) ，x ( f ) ，戤( f ) ) ，v 0 t o o ，t t k ， a 血x 器簍k 乩2 3 一， p ， i ( 氣) = 一所x i ( 氣) ， = l ， r7 【x ( o ) = x o ，x ( o ) = 其中f c j e e e ，e 】，j = 0 ，c o ) ，0 ， 尸c 1 ，e 】= x p c i j ，e 】ix ( ，) 在r 氣點連續(xù)可微，且v 七= 1 , 2 ，m ，x ( 巧) 和x ( 磚) 存 在) ，j = j p l ，f 2 ，島，) j o = 0 ， 】，以= ( ，氣+ l 】( k = 1 , 2 ，3 ，) 中國石油大學( 華東) 碩上學位論文 定義空i 司 d p c i j ，e 】= x p c i j ，e 】ls u p ( e 叫i lx 1 1 ) ， d p c i 【j ，e 】= 石p c i 【，e 】ls u p ( e 一x 1 1 ) 0 0 和s u p ( e 叫l(wèi) lx 1 1 ) 0 ) ，0 f l 乙 ， 乞+ l 顯然，d p c i j ，明，d p c i ，明和p c i j r ，e 】分別在以下范數(shù)下是b a n a c h 空間， i l x l l d = s ，u “p ( e - o - x i i ) ，ix l l 。- = m a x l l x 0 。，i i x1 1 。) ，i l x l l ，= s ，。u 以p i | x 我們稱x p c i ，e l f i c 2 【，明是問題( 3 - 1 ) 的解，如果它滿f f ：( 3 1 ) 3 2 無窮區(qū)域上一階脈沖微分方程的結(jié)果 考慮下列e 中非線性一階脈沖微分方程的初值問題： h 歸心，b 甜( f ) ，甜( ，) ，縐“( ，) ) ，v ，j ，r “ 甜( 以) = - y k u ( t t ) ，k = 1 , 2 圳3 一， ( 3 2 ) 【甜( o ) = 石：， 其中廠，丁，兒，缸( 七= 1 , 2 ，3 ，) ，x ：如i v p ( 3 - 1 ) 中定義，并且 b “( f ) = x 。+ r “( s ) 凼+ 反甜( 氣) ， 其中，屈( 尼= 1 ，2 ，3 ，) 如i v p ( 3 - 1 ) 中定義 引理3 1 設(shè)p p c i j ，e i n c l ，e 】滿足 f p o ) - a ( t ) c p ( t ) - b ( t ) p ( t ) - c ( t ) t c p ( t ) ，v t j ，t k ， p ( 氣) 一y k p ( t k ) ，七= 1 ，2 ，3 ， 【p ( o ) 秒， 其中a , b ，c p c i j ，r 】且 c p ( 滬脅脅。私p 瓴) ( 3 - 3 ) 如果 1 3 中國石油人學( 華東) 碩上學位論文 娟+ 善反弘出+ 腳出+ 腳衍n 妻k = i 展卜蛐+ 羔k = l 以虬p 4 ， 則p ( f ) 秒，j 證明：對于任給的g p * 9 令v ( f ) = g ( p ( ，) ) ，則v p c i j ，r 1 f l c l 【，r 1 】且v (