摘要 首先，本文基于全相位d f t 數(shù)字濾波器的直接頻域?qū)崿F(xiàn)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，對輸入 或輸出數(shù)據(jù)加窗，導(dǎo)出了一種新型的加窗全相位d f t 數(shù)字濾波器。它的頻率特性 比不加窗又有很大提高，幅頻響應(yīng)等于或逼近頻率采樣值，通帶紋波極小，阻 帶衰減極大，過渡帶陡峭，零相位，濾波性能和實現(xiàn)的簡潔性超過其他傳統(tǒng)方 法。它除了可以采用通常的卷積結(jié)構(gòu)外，也可以采用直接頻域網(wǎng)絡(luò)實現(xiàn)，本文 給出了它的直接頻域網(wǎng)絡(luò)組成及其簡化算法。這種網(wǎng)絡(luò)具有實時自設(shè)計功能， 可構(gòu)成時變系統(tǒng)用于濾波器傳遞函數(shù)實時可變的場合，便于集成為頻響和長度 均可編程的通用零相位數(shù)字濾波器，是數(shù)字濾波器的一種新的設(shè)計理念和實現(xiàn) 結(jié)構(gòu)。 其次，本文提出一種新型的半帶濾波器一全相位半帶濾波器( a p h f ) ，這種 半帶濾波器具有頻率采樣特性，通帶和阻帶紋波小，過渡帶陡峭，頻率響應(yīng)沒 有過沖，可以直接進(jìn)行譜分解用于設(shè)計二通道完全重建正交鏡像濾波器( q m f ) 組。本文針對這種半帶波器提出了新的高精度譜分解方法。與傳統(tǒng)半帶濾波器 譜分解設(shè)計二通道完全重建q m f 組相比，q m f 組的重建精度由1 0 。d b 提高到 1 0 4d 8 ，是半帶濾波器和準(zhǔn)確重建二通道q m f 組的一種新的設(shè)計方法。 最后，本文把加窗全相位d f t 數(shù)字濾波器的設(shè)計方法用于設(shè)計具有上述優(yōu) 點(diǎn)的全相位m 帶濾波器，從而得到全相位均勻濾波器組。全相位均勻濾波器組 可以用于時頻分析一加窗傅里葉變換。小波變換是時頻分析的有力工具，但不 適合線性c h a r p 信號的分析。加窗全相位可以有效減小窗函數(shù)的旁瓣，特別適 用于線性c h a r p 信號的時頻分析。 關(guān)鍵詞：d f t ( d i s c r e t ef o u r i e rt r a n s f o r m ) i d f t 濾波：全相位d f t 數(shù)字濾波器； 加窗全相位d f t 數(shù)字濾波器；全相位半帶濾波器；二通道完全重建q m f 組；全相 位均勻d f t 濾波器組；時頻分析 a b s t r a c t f i r s t ，b a s e do nt h ea r c h i t e c t u r eo ft h ea p d f tf i l t e r , t h i sp a p e rb r i n g so u tan e w t y p eo fz e r o p h a s ed i g i t a lf i l t e rc a l l e dt h ew i n d o w e da l lp h a s ed f t ( w a p d f t ) d i g i t a lf i l t e r , b yw i n d o w i n gt h ei n p u ta n d o ro u t p u td a t ao ft h ed f t i d f tb l o c k si n t h ea p d f tf i l t e rn e t w o r k t h ef r e q u e n c yc h a r a c t e r i s t i c so ft h ea p d f tf i l t e ra r e i m p r o v e dg r e a t l yb yt h i sw a y w h i l et h ef r e q u e n c yr e s p o n s eo f t h ef i l t e rs t i l lp a s s e so r a p p r o a c h e st h ed e s i r e df r e q u e n c ys a m p l e s ，i th a sm u c hl e s sp a s s - b a n da n ds t o p - b a n d r i p p l e s ，a n ds h a r pt r a n s i t i o n t h ew a p d f t f i l t e rc a bb ei m p l e m e n t e dw i t hc o m l t l o n c o n v o l u t i o ns t r u c t u r ea n dt h ef r e q u e n c yd o m a i nd i r e c tn e t w o r kl i k et h ea p d f tf i l t e r , a n dr e a l i z e di nas i m p l i f i e ds t r u c t u r ea l s o t h i sp a p e rg i v e st h en e t w o r ko ft h en e w s t r u c t u r ea n dt h ea s s o c i a t ea l g o r i t h m t h i sn e t w o r ki sn o ts e n s i t i v et of i n i t ew o r d l e n g t he f f e c tc o m p a r e dw i t ht r a d i t i o n a lf r e q u e n c ys a m p l i n gs t r u c t u r e s i th a sr e a l t i m e s e l f - d e s i g nf u n c t i o n a n dm a yc o n s t i t u t eat i m e - v a r i a n ts y s t e m ，i tc a nb ee a s i l y i n t e g r a t e di n t oau n i v e r s a lz e r o p h a s ed i g i t a lf i l t e rw i t hf r e q u e n c yr e s p o n s ea n dl e n g t h p r o g r a m m a b l e s e c o n d t h i sp a p e rp r o p o s e san e wt y p eo fh a l fb a n df i l t e 卜- _ t h ea l lp h a s eh a l f b a n df i l t e r ( a p h f ) i th a st h ep r o p e r t yo ff f e q u e n c ys a m p l i n g ，i e t h er e s p o n s ec u r v e p a s s e sd e s i r e df r e q u e n c ys a m p l e s i t sf r e q u e n c yr e s p o n s eh a sv e r ys m a l lp a s s - b a n d t i p p l e ，g r e a ts t o p b a n da t t e n u a t i o n ，s h a r pt r a n s i t i o nb a n da n dw i t h o u to v e r s h o o t i n g w h e t h e ri ns t o p b a n do rp a s s b a n d i tc a nb eu s e dt od e s i g nt w o c h a n n e lp e r f e c t r e c o n s t r u c t i o nq m f ( q u a d r a t u r em i r r o rf i l t e r ) b a n k sb yf a c t o r i z i n gt h es p e c t n t mf o r t h ea p h fd i r e c t l y an e wm e t h o di sg i v e nt og e tt h es p e c t r a lf a c t o r so ft h ea p h f w i t hh i g hp r e c i s i o n c o m p a r e dw i t ht r a d i t i o n a ls p e c t r a lf a c t o t i z a t i o nm e t h o do f d e s i g n i n gt w o c h a n n e lp e r f e c tr e c o n s t r u c t i o nq m fb a n k s ，t h eq m fb a n k sd e s i g n e d b yf a c t o r i z i n ga p h fh a sb e u e rr e c o n s t r u c t i o np r e c i s i o nt h a tt h ee r r o ri sd e c r e a s e d f r o m1 0 - 3d bt o1 0 一d b i t san e wm e t h o df o rd e s i g n i n gh a l fb a n df i l t e r sa n d t w o c h a n n e lp e r f e c tr e c o n s t r u c t i o nq m fb a n k s f i n a l l y , u s i n gt h ew a p d f tf i l t e rd e s i g nm e t h o d ，t h i sp a p e rp r o p o s e sa na l l p h a s em b a n df i l t e rw i t ha l lt h ea d v a n t a g e sm e n t i o n e da b o v ea n da l la l lp h a s eu n i f o r m d f tf i l t e rb a n k t h eu n i f o i t nd f tf i l t e rb a n kc a nb eu s e dt ot i m e f r e q u e n c y a n a l y s i s - - w i n d o w e df o u r i e rt r a n s f o r m a i t h o u g hw a v e l e tt r a n s f o r l ni sau s e f u lt o o l f o rt i m e - f r e q u e n c ya n a l y s i s ，i ti sn o ts u i t a b l ef o ra n a l y s i n gl i n e a rc h a r ps i g n a l s w h e r e a s ，t h ea l lp h a s eu n i f o r md f tf i l t e rb a n kc a nd oi tv e r yw e l ld u ot ot h e w i n d o w e da l lp h a s ec a ne f f i c i e n t l yr e d u c et h es i d el o b e so ft h ew i n d o w k e yw o r d ：d f 1 7 1 d f tf i l t e r i n g ；a l lp h a s ed f td i g i t a lf i l t e r ；w i n d o w e da l lp h a s e d f td i g i t a lf i l t e r ；a l lp h a s eh a l fb a n df i l t e r ；t w o c h a n n e lp e r f e c tr e c o n s t r u c t i o nq m f b a n k s ；a l lp h a s eu n i f o r md f t f i l t e rb a n k ；t i m e - f r e q u e n c ya n a l y s i s 獨(dú)創(chuàng)性聲明 本人聲明所呈交的學(xué)位論文是本人在導(dǎo)師指導(dǎo)下進(jìn)行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特別加以標(biāo)注和致謝之處外，論文中不包含其他人已經(jīng)發(fā) 表或撰寫過的研究成果，也不包含為獲得鑫盜盤莖或其他教育機(jī)構(gòu)的學(xué)位或 證書而使用過的材料。與我一同工作的同志對本研究所做的任何貢獻(xiàn)均已在論 文中作了明確的說明并表示了謝意。 學(xué)位論文作者簽名：徐疵虢，簽字日期：2 m f年一月：a 日 學(xué)位論文版權(quán)使用授權(quán)書 本學(xué)位論文作者完全了解垂洼盤堂有關(guān)保留、使用學(xué)位論文的規(guī)定。 特授權(quán)盤生盤莖可以將學(xué)位論文的全部或部分內(nèi)容編入有關(guān)數(shù)據(jù)庫進(jìn)行檢 索，并采用影印、縮印或掃描等復(fù)制手段保存、匯編以供查閱和借閱。同意學(xué) 校向國家有關(guān)部門或機(jī)構(gòu)送交論文的復(fù)印件和磁盤。 ( 保密的學(xué)位論文在解密后適用本授權(quán)說明) 學(xué)位論文作者簽名：粥溉導(dǎo)師簽名： 1 交加氣乏 簽字日期：岫；年。月2 日簽字日期：儼廣年a 月a a 日 第一章多抽樣率系統(tǒng)基礎(chǔ) 第一章多抽樣率系統(tǒng)基礎(chǔ) 本章是關(guān)于多抽樣率( 下文簡稱多率) 系統(tǒng)和濾波器組的基礎(chǔ)知識和應(yīng) 用的介紹，是其它各章的基礎(chǔ)。 1 1 多率的基本運(yùn)算 1 1 1 抽取和內(nèi)插 多率系統(tǒng)中最基本的運(yùn)算就是抽取和內(nèi)插，這樣做的目的是為了滿足系統(tǒng) 中各處需要不同的抽樣率，以利于信號的處理、編碼、傳輸和存儲，有時則是 為了節(jié)省計算工作量。使抽樣率降低的抽樣率轉(zhuǎn)換稱為抽取，這樣的抽樣率轉(zhuǎn) 換器稱為抽取器；使抽樣率升高的抽樣率轉(zhuǎn)換稱為內(nèi)插，這樣的抽樣率轉(zhuǎn)換器 稱為內(nèi)插器。 抽取因子為肘的抽取器 抽取因子為m 的抽取器如圖i 卜1 ( a ) 所示，x ( n ) 是輸入信號，y 。( n ) 是輸 出信號，m 是整數(shù)。抽取器的輸入輸出關(guān)系為： ( ) = x ( m n ) ( 1 1 1 ) 廣 x ( 月) 1 m 卜一一y o ( n ) ( a ) 抽取器 砌) 一! ! 卜一小) c o ) 內(nèi)插器 圖1 卜1 抽取器和內(nèi)插器 圖1 1 2 抽取因子m = 2 時x ( n ) 與( ”) 的關(guān)系 信號x ( n ) 通過抽取器時，只有m 的整數(shù)倍時刻點(diǎn)被保留下來，當(dāng)抽取因子m = 2 ， x ( n ) 與蜘( ”) 的關(guān)系如圖】卜2 所示。下文將證明，由于抽取器使信號的抽樣率 第一章多抽樣率系統(tǒng)基礎(chǔ) 降低可能導(dǎo)致頻譜混疊，致使x ( n ) 無法用兒( ”) 恢復(fù)。 內(nèi)插因子為上的內(nèi)插器 內(nèi)插因子為上的內(nèi)插器如圖1 卜1 ( b ) 所示， 是整數(shù)。抽取器的輸入輸 出關(guān)系為： 姒爐甕簍菩整數(shù) ， 當(dāng)內(nèi)插因子上= 2 時，x ( n ) 與兒( ) 的關(guān)系如圖1 1 3 所示。很顯然，內(nèi)插器沒有 導(dǎo)致信息的丟失，( ”) 可以用y 。( ”) 完全恢復(fù)。 圖1 卜3 內(nèi)插因子三= 2 時j ( n ) 與y e ( h ) 的關(guān)系 抽取器和內(nèi)插器的頻域分析 內(nèi)插器的頻域輸入、輸出關(guān)系為： ( ：) = y a n ) z = y r ( g ) z “ “1 ( 1 1 3 ) = x ( k ) z = x ( z 2 ) 因此，瑤( p ，。) = x ( p 肼) 。珞( p 。) 的帶寬是爿( p 。) 的帶寬的1 l ，如圖1 卜4 ( a ) ， ( b ) 所示。圖( b ) 中每個周期內(nèi)除了包含頻點(diǎn)= 2 女口( 為整數(shù)) 的譜，其他 頻譜稱為鏡像譜。 抽取器的頻域輸入、輸出關(guān)系為 圪( p 。) = - g e j ( “- 2 x k ) l m ) ( 1 1 4 ) 證明： y 。( n ) 的z 變換為 y d ( z ) = y o ( n ) z = x ( m n ) z “ 第一章多抽樣率系統(tǒng)基礎(chǔ) 定義中間變量 柏，書。茹整數(shù)倍 因此，y 。( 月) = x ( m n ) = ( a 如) ( 1 】5 ) ( z ) = x ，( m n ) z = 毛( t ) = 。 ( 1 1 6 ) 一 一 u y o ( z ) = x l ( 2 17 “) 問題的關(guān)鍵是如何用x ( z ) 表達(dá)x 、( z ) 。由( 1 1 5 ) 式得： ( ) = c 0 ( n ) ( ) 式中c 0 ( ”) 為梳狀序列，定義式為： 啪，= 怯磐戥倍 ( 6 ) 圖1 卜4 內(nèi)插器和抽取器的頻域特性。( a ) x c n ) 的頻域特性， ( b ) y 。( ”) ( 三= 2 ) 的頻域特性，( c ) 蜘( n ) ( m = 2 ) 的頻域特性。 梳狀序列( 一) 可以表示為 式中， c 0 ( 月) 壺薈“ ( 1 1 7 ) ( 1 1 8 ) ( 1 1 9 ) 第一章多抽樣率系統(tǒng)基礎(chǔ) 堿，= e o “( 1 ，1 1 1 ) 在不致b l 起混淆時，的下標(biāo)一般省略不寫。此時x i ( ”) 的z 變換為： 五扛) 2 擊善互“”矽“z 一2 擊丟墨砌她曠r2 擊善蓋( ：) “1 。1 2 ) 把上式代入( 1 i 7 ) 式得： 馳) 2 擊篆x ( 2 1 z m w )( 1 1 1 3 ) 將：= p 。代入，得( 1 1 4 ) 式。頻譜y d ( e 。) 幾何上可以理解為：( 1 ) 對x ( e ，。) 進(jìn) 行m 倍膨脹得到x ( e o j t m ) ，( 2 ) 復(fù)制m 一1 個x ( e ”) ，然后在軸上分別右移 2 x k ，( 3 ) 對( 1 ) ( 2 ) 產(chǎn)生的譜相加并乘以1 m 。當(dāng)m = 2 時，相應(yīng)于圖 1 卜4 ( a ) ，r 0 ”) 的頻譜如圖1 卜4 ( c ) 所示。 如果z ( ”) 的頻譜如圖1 卜5 ( a ) 所示，對x ( ”) 進(jìn)行抽樣，抽取因子m = 2 ， ( ) 的頻譜發(fā)生混疊，如圖1 卜5 ( b ) 所示。由香農(nóng)采樣定理可知，當(dāng)頻譜發(fā) 生混疊時，信號x t n ) 無法完全恢復(fù)。為了避免混疊，要求x ( 帕為低通帶限信號且 k i 7 r m 。當(dāng)然，這不是抽樣信號完全恢復(fù)的必要條件。如果x ( ) 的頻譜在區(qū) 間0 2 x 內(nèi)，除了在區(qū)間， 印 h ，( p ，4 ) 的幅頻特性( ( b ) ，( c ) 二圖取m ；1 0 ) m 一) x a n ) = ( ”) “ ( 1 1 1 5 ) j = o 上式兩邊取z 變換得： 爿。( z ) = e s ，( z 渺一= z w “x ( z ) = ( z w 。) 。x ( = ) ( 1 - 1 1 6 ) 令也( z ) = 打。( z ) j ( z ) ，式中 珥( z ) 蘭h o ( z w ) ( 1 1 ，1 7 ) ( 1 1 1 8 ) 此濾波器組的分析濾波器為以( = ) ，h 。( z ) 和，( z ) 的頻率特性分別為圖1 卜1 1 ( b ) ，( c ) ( 二者取m = 1 0 ) ，可見兩頻譜間存在很大的混疊。峨( ：) 是風(fēng)( z ) 頻率 特性的在m 軸上的移位，當(dāng)m 的值增大時，相鄰兩子帶間的混疊變小，但旁瓣 衰減不變。滿足( 1 1 _ 1 7 ) 式的濾波器組稱為均勻d f t 濾波器組，原型濾波器 h o ( z 1 滿足( 1 1 1 8 ) 式時僅是均勻d f t 濾波器組的一個特例。 d f t 濾波器組可以用作時頻分析。為簡單起見，用”+ m 一1 代替( 1 1 1 5 ) 式 中的”，得 o + w 1 ) = j o + m j f ) = e x o + f ) 矽“ ( 1 1 1 9 ) j = 0l = 0 式中，f _ m 一1 一f 。x k ( n + m 1 ) 有很明顯的物理意義，l x k ( n + m 1 ) i 是m 點(diǎn)序列 j ( n ) ，x ( n + 1 x ，x ( n + ，一1 ) ( 1 1 2 0 ) 的d f t 變換的第k 個值的幅度。對于不同的”值，l 0 + 甜一1 ) i 的值隨之變化， 因此這個濾波器組可以用作時頻分析。在實際應(yīng)用中，為了減小旁瓣，通常對 乓( ”) 加窗，如圖】卜1 2 所示。有的文獻(xiàn)也稱之為加窗傅里葉變換。 x ( n ) ，窗 if f im 訊 圖1 卜1 2d f t 濾波器組對s ( ) 加窗 1 2 g ( z ) 與抽取器和內(nèi)插器的連接 多抽樣率系統(tǒng)基礎(chǔ) ( c ) h ( p p ) 的幅頻特陛( f b ) ，( c ) 二闊取m = 1 0 ) - ( ”) 一( ) “ ( 1 】15 ) 上式兩邊取z 變換得： m 一1m 一1 m 一1 丑( z ) = 置( z ) 阿“= r 。礦“( ：) = ( 擁，) 7 ( z ) ( 1 】1 6 ) f - or 一0 一0 令x 。( z ) = h 。( z ) z ( z ) ，武中 ( 1 1 1 7 ) ( 1 1 1 8 ) 此濾波器組的分析濾波器為風(fēng)( 習(xí)，廿。( 。) 和h ，( ；) 的頻率特性分別為圖1 卜l l ( b ) ，( c ) ( 二者取m = 1 0 ) ，可見兩頻譜問存在很大的混疊。以( z ) 是風(fēng)( z ) 頻率 特性的在。軸上的移位，當(dāng)m 的值增大時，相鄰兩子帶間的混疊變小，但旁瓣 衰減不變。滿足( 】1 1 7 ) 式的濾波器組稱為均勻d f t 濾波器組，原型濾波器 峨( = ) 滿足( 1 1 1 8 ) 式時僅是均勻d f t 濾波器組的一個特例。 b f t 濾波器組可以用作時頻分析。為簡單起見，用h + m 一1 代替( 1 1 1 5 ) 式 中的”，得 x k ( n + m 一1 ) ；x 加+ m 一1 一緲= x ( n + i ) w “ ( 1 1 1 9 ) p 0 ，一0 式中，m 1 口x k ( n + m 一1 ) 肯很明屆的物理意義k 印+ m1 ) i 是m 點(diǎn)序列 x ( h ) ，缸+ 1 ) ，x ( n + m 一1 ) ( 1 】2 0 ) 的d f t 變換的第女個值的幅度。對于不同的”值，k 扣+ m - 1 ) 的值隨之變化， 因此這個濾波器組可以用作時頻分析。在實際應(yīng)用中，為了減小旁瓣，通常對 4 ( ”) 加窗，如圖1 卜1 2 所示。有的文獻(xiàn)也稱之為加窗傅里葉變換。 圖1 卜1 2d f t 濾波器組對s ，( ) 加窗 12g ( r ) 與抽取器和內(nèi)插器的連接 12g ( ：) 與抽取器和內(nèi)插器的連接 第一章多抽樣率系統(tǒng)基礎(chǔ) 抽取器與內(nèi)插器的級連 圖1 2 1 ( a ) 和圖1 2 一l ( b ) 一般不等價。例如，當(dāng)l = m 時，y l ( ) = x o ) ( ) ，式中氣( ”) 是( 1 1 9 ) 式描述的梳狀序列；而媽( ”) = x o ) 。當(dāng)且僅當(dāng)l 與 x c ”， ! ! ! j ： phtn，xc，z，：!：9，：t一， ( d )( 6 ) 圖1 2 - 1 抽取器與內(nèi)插器的級連 m 互質(zhì)時，圖l _ 2 一l ( a ) 與圖1 2 1 ( b ) 等價。因為 i ( z ) 2 壺篆戈( ”畋) ，藝( z ) 2 擊善x ( z l m 嘭) ( 1 2 1 令s ，= 嘭，o - k 莖m 一1 ) ，疋= 略，o 女 - m 一1 ) ，當(dāng)且僅當(dāng)m 與三互質(zhì)時s = 邑。 所以，當(dāng)且僅當(dāng)三與塒互質(zhì)時，( 1 2 1 ) 式成立。 兩個著名的等效系統(tǒng) 圖1 2 - 2 中，有理式g ( z ) 與抽取器、內(nèi)插器的連接在多率系統(tǒng)中經(jīng)常用到， 其等效電路是多率理論證明的有力工具，也是多率理論中兩個著名的等效系統(tǒng)。 必須強(qiáng)調(diào)，只有g(shù) ( z ) 為有理式時這兩個等效才成立。 缸趣寸口 ( 口) 州至檸 ( c ) 蘭刊王丑廿 ( b ) 三叫衛(wèi)哩蟛 ( d ) 圖t2 - 2 兩個著名的等效系統(tǒng) 證明：由于 e ( z ) = 擊善( z l m w k ) g ( ( “廣) = 擊薹( 一“) g ( z ) = k ( z ) ( 1 2 2 ) 只0 ) = g ( z ) ( 2 ) = g ( z ) x ( z ) = 墨( z ) ( 1 2 3 ) 因此圖1 2 - 2 中的兩個等效系統(tǒng)成立。 1 3 多相分解 第一章多抽樣率系統(tǒng)基礎(chǔ) 多相分解“1 在多率信號處理中是一種基本方法，使用它可以使抽取和內(nèi)插提 高計算效率，在實現(xiàn)濾波器組時也非常有用。多相分解是指將數(shù)字濾波器的傳 遞函數(shù)h ( = ) 分解成若干個不同相位的組合。 設(shè)數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)為： h ( z ) = h ( n ) z “ ( 1 3 1 ) h ( z ) 可以分解為： 日( = ) = + z “h ( n m + 1 ) z “ + z 叫。1 h ( n m 十吖一1 ) z “ ( 1 3 2 ) 式中，m 為整數(shù)。令日( 。) = h ( n m + 1 ) z ，0 f m l ，則 曰( z ) = z 。乓( ) ( 1 3 3 ) - u 式( 1 3 3 ) 即為日( z ) 的多相i 型分解，日( z ) 為多相分量。 ( ”) 與h ( n m + ，) 的關(guān) 系如圖1 3 一l 所示。 一c ”，- ：；： f ：! ：! ! j ! 卜一c 一，+ d 圖1 3 - 1 ( 月) 與h ( r t m 十f ) 的關(guān)系 下面描述多相分解的第二種形式。令r ，( ：) 竺+ 肛) ，( 1 3 3 ) 式變成 m l ( z ) = z 叫+ 蜀( ) ? = o 式( 1 3 4 ) 即為日( z ) 的多相l(xiāng) l 型分解。 1 3 1 抽取濾波器和內(nèi)插濾波器的高效實現(xiàn)結(jié)構(gòu) ( 1 3 4 ) 為了敘述簡單起見，令圖1 】一7 抽取濾波器電路中抽取因子為m = 2 ，如 ( 1 3 3 ) 式對口( = ) 進(jìn)行多相i 型分解，抽取濾波器電路變形為圖1 3 - 2 ( a ) ， 然后利用圖1 2 2 中的等效，圖1 3 - 2 ( 8 - ) 變?yōu)閳D1 3 2 ( b ) 。設(shè)h ( z ) 為階 f i r 濾波器，其傳統(tǒng)的直接實現(xiàn)結(jié)構(gòu)如圖1 3 - 2 ( c ) 。圖1 3 - 2 ( b ) 與圖1 3 2 第一章多抽樣率系統(tǒng)基礎(chǔ) ( c ) 相比是高效的實現(xiàn)結(jié)構(gòu)。圖1 3 2 ( c ) 在偶數(shù)時刻有輸出，每一個輸出需 要n + 1 次乘法，次加法，并且這些運(yùn)算要在一個單位時間內(nèi)完成( 單位時間 指輸入信號的一個采樣周期) 。而圖1 3 - 2 ( b ) 雖然每一個輸出需要的運(yùn)算量與 直接實現(xiàn)電路相同，但這些運(yùn)算可以在兩個單位時間內(nèi)完成，因此 m p u s = ( n i ) 2 ，a p u s = n t 2 ( m p u s 為m u ir i p l i c a t i o n sp e ru r d tt i m e 的縮寫， a p u s 為a d d i t i o n sp e ru n i tt i m e 的縮寫) ，可見高效實現(xiàn)結(jié)構(gòu)單位時間運(yùn)算量為 直接實現(xiàn)單位時間運(yùn)算量的一半。 x f n 、 ( n ) z ( 帕 砌，t 咂卜匝丑 t 2 0+ 陽一) l f 卜眄司j 一坤。) ( c ) 圖1 3 - 2 抽取濾波器的實現(xiàn)結(jié)構(gòu)( a ) 抽取濾波器多相分解 ( b ) 高效實現(xiàn)結(jié)構(gòu)，( c ) 直接實現(xiàn)結(jié)構(gòu) j(n)筠：，。， 圖1 3 - 3 內(nèi)插濾波器的高效實現(xiàn)結(jié)構(gòu) 令圖1 卜8 內(nèi)插濾波器電路中內(nèi)插因子為l ：2 ，對內(nèi)插濾波器按( 1 3 4 ) 式進(jìn)行多相i i 型分解，然后用( 1 2 3 ) 式中的等效，得到其高效實現(xiàn)結(jié)構(gòu)如圖 1 3 3 。設(shè)h ( z ) 為階f 1 r 濾波器，其直接實現(xiàn)結(jié)構(gòu)m p u s = 2 ( n + 1 、，a p u s = 2 n ， 而高效實現(xiàn)結(jié)構(gòu)m p u s = n + 1 ，a p u s = n 一1 ( 注：圖1 3 - 3 的輸出是時分多路復(fù)用， 不是加法) 。 抽取濾波器電路和內(nèi)插濾波器電路的抽取因子和內(nèi)插因子不局限于2 時，前 者多相分解高效實現(xiàn)結(jié)構(gòu)運(yùn)算量為m p u s = ( n + 1 ) m ，a p u s = n m ；后者多相 分解高效實現(xiàn)結(jié)構(gòu)運(yùn)算量為m p u s = n + 1 ，a p u s = n l + l 。 第一章多抽樣率系繞基礎(chǔ) 上述數(shù)字濾波器h ( z ) 沒有限制其具有線性相位特性，存具有線性相位特性 時，運(yùn)算量還可以進(jìn)一步減小。 1 3 ，2 均勻d f t 濾波器組的多相實現(xiàn) 均勻d f t 濾波器組通過多相分解可以得到高效的實現(xiàn)結(jié)構(gòu)。假設(shè)原型濾波 器h 。( ：) 用多相i 型分解，則第k 個濾波器可以表示成： h a z ) = h o ( ；w ) = ( z 。礦“) 7e f ( ) ( 1 3 5 ) k o 用x 。( z ) 表示日；( = ) 的輸出，則 m 一1 五( ：) = “( z 。易( z m ) x ( z ) ) ( 1 3 6 ) i - 0 由( 1 3 6 ) 式得到圖1 3 - 4 高效實現(xiàn)結(jié)構(gòu)。若j v 。( z ) 為n 階f i r 濾波器，均勻 d f t 濾波器組的高效實現(xiàn)結(jié)構(gòu)每個時刻僅需要十1 次乘法，一m 十1 次加法， 及m 點(diǎn)d f t 運(yùn)算。例如n = 5 0 ，m = 3 2 ，f f t ”1 需要大約1 3 6 次實乘法運(yùn)算，均 勻d f t 濾波器組的總的乘法運(yùn)算為1 8 7 次；而直接實現(xiàn)需要3 2 x5 1 = 1 6 3 2 次乘法， 且為復(fù)數(shù)乘法，因為風(fēng)( z ) ，k = 1 , 2 ，m 一1 的單位脈沖響應(yīng)為復(fù)數(shù)?？梢姼咝崿F(xiàn) 結(jié)構(gòu)有很高的效率。 ：( h )毛( m ) 斟1 3 - 4 均勻d f t 濾波器組的高效實現(xiàn)結(jié)構(gòu) 若e ( z ) = 1 ，= o ，m 一1 ，則圖1 卜1 1 變成圖1 3 - 4 的一個特例。五( = ) 的階次 不為零，可以使原型濾波器風(fēng)( z ) 具有較高的階次，從而具有更好的頻率特性。 1 4多率系統(tǒng)的幾種應(yīng)用 1 4 1 數(shù)字語音系統(tǒng) 在數(shù)字音頻處理中經(jīng)常要改變帶限信號的抽樣率“1 。例如，模擬音頻信號 x o ( t ) 轉(zhuǎn)化為數(shù)字音頻信號。1 。般認(rèn)為模擬音頻信號的帶寬為0 s n 2 z 2 2k h z ， 第一章多抽樣率系統(tǒng)基礎(chǔ) 由采樣定理知，最小采樣頻率為4 4 k h z ，如圖1 4 一l ( a ) 。在對模擬信號采樣前， 首要先進(jìn)行模擬低通濾波，濾除高頻噪聲，以防i e 離散信號頻譜發(fā)生混疊。模 擬低通濾波器的頻率特性h 。( 嗡如圖1 4 - l ( b ) 。為保證有用的音頻信號不失真， h 。( n ) 要求通帶紋波很小，過渡帶十分陡峭，通帶和過渡帶近似線性相位，這樣 的模擬濾波器現(xiàn)實中很難實現(xiàn)。 通常的方法是對( r ) 進(jìn)行過采樣，采樣頻率為8 8 k h z ，此時。( q ) 就可以具 有比較寬的過渡帶，如圖i 。4 1 ( c ) ，這種濾波器的頻率特性易于實現(xiàn)。過采 樣的得到的數(shù)字信號玉( ”) 經(jīng)低通數(shù)字濾波器h ( z ) 濾波( 由于h ( z ) 是數(shù)字濾波 器，易于實現(xiàn)過渡帶陡峭，通帶和阻帶紋波小及線性相位特性) ，然后抽取( 抽 取因子為m = 2 ) ，最終得到數(shù)字音頻信號x ( ”) 。 圖1 ，4 一l ( a ) 屯( c ) 的譜；( b ) 采樣頻率為4 4 k l - l z 的防混疊濾波器； ( c ) 采樣頻率為8 8 k h z 的防混疊濾波器：( d ) 改進(jìn)的數(shù)字音頻a d 轉(zhuǎn)換 在d a 轉(zhuǎn)換階段會產(chǎn)生類似的問題。數(shù)字音頻信號y ( n ) 經(jīng)過模擬低通濾波 轉(zhuǎn)化為模擬信號時為了濾去】，( e 一) 在2 2 k h z 外的鏡像譜，同樣要求模擬低通濾 波器通帶紋波很小，過渡帶非常陡峭，上文已知這樣的濾波器很難實現(xiàn)。通常 的方法是采用內(nèi)插器，對y ( ”) 進(jìn)行零值內(nèi)插，內(nèi)插因子為三= 2 ，然后用內(nèi)插低 通線性相位數(shù)字濾波器濾波( 這樣無相位失真) ，最后通過低通模擬濾波器進(jìn)行 d a 轉(zhuǎn)換。 在改進(jìn)的音頻信號的a 0 ，d a 轉(zhuǎn)換中，付出的代價是由于信號的采樣率高， 增大了單位時間內(nèi)的運(yùn)算量，但用上文所述的抽取濾波器和內(nèi)插濾波器的多相 第一章多拙樣率系統(tǒng)基礎(chǔ) 高效實現(xiàn)，能使單位時間內(nèi)的運(yùn)算量大大降低。 1 4 2 語音信號和圖像的子帶編碼 在現(xiàn)實中，常常遇到信號x ( n ) 不是帶限的，而大部分能量集中在某頻帶內(nèi)， 如圖1 4 2 ( a ) 。能量較小的頻帶，j r 2 中能量還沒有小到可以完全丟棄，當(dāng) 對x ( ”) 抽取，必然導(dǎo)致頻譜混疊。為了避免混疊發(fā)生，用頻率特性圖1 4 - 2 ( b ) 所示的分析濾波器組( 圖1 4 3 ) 對x ( h ) 進(jìn)行子帶分解，子帶信號葺( ”) 比x o ( n ) 有 更少的能量，所以編碼時可以用比較少的比特。例如，x ( n ) 為1 0 k h z 信號，每個 采樣需要1 6 比特量化，波特率為1 6 0 k s e c 。假設(shè)五( ”) 和x o ( n ) 每個采樣分別需 要1 6 比特和8 比特，由于子帶信號要用抽取器m = 2 抽取，所以波特率變?yōu)?1 2 0 k s e e ，壓縮率為3 4 。用樹形濾波器組可以把信號j ( h ) 分解為多個子帶，每 圖1 ，4 - 2 信號x ( n ) 被分解為二個子帶信號x o ( n ) 和一( n ) ( n ) 圖1 4 - 3 用了子帶編碼的分析、綜合濾波器組( 2 通道q m f 組) x ( n ) 個子帶根據(jù)其能量特性單獨(dú)量化。例如語音信號的子帶分解和量化是以人耳對 重建信號的質(zhì)量感覺為基礎(chǔ)的”1 。 第一章多抽樣率系統(tǒng)基礎(chǔ) 圖l 4 2 ( c ) 中的子帶信號用圖1 4 - 3 中的內(nèi)插器和綜合濾波器組重建原 信號。內(nèi)插器用于恢復(fù)采樣率，綜合濾波器組e ( z ) 用于消除鏡像譜。圖1 d - 3 又 稱為q m f ( q u a d r a t u r em if f o yf ii t e r ) 組，具有完全重建特性的f i r 剛f 組 是本論文主要討論的問題。 文獻(xiàn)”?！薄！啊敝杏懈嚓P(guān)于語音信號子帶編碼的細(xì)節(jié)。子帶信號不儀僅是 量化，還要進(jìn)行d p c m 或a d p c m 編碼”1 以得到更高的壓縮率。 二維多率濾波器組用于圖像處理最早由文獻(xiàn) 1 1 提出。子帶編碼“2 “【 在圖像壓縮中得到廣泛應(yīng)用。上世紀(jì)8 0 年代發(fā)展起來的小波理論，在圖像的子 帶編碼中得到非常成功的應(yīng)用。 1 4 3 模擬語音加密 模擬語音加密“”是為了用現(xiàn)有的模擬電話系統(tǒng)傳輸語音信號，并且信號保 密。其主要思想是把信號x ( n ) 分解為m 個子帶信號 ( 功，然后把t ( ”) 劃分為時 間段。不同的時間段和子帶按預(yù)定的方案形成新的加密信號_ y ( ) ，y ( ”) 經(jīng)d a 轉(zhuǎn)換即可傳輸。這種加密信號在不知密鑰時很難解密，解密信號能保持很好的 語音質(zhì)量。 1 。4 4 多路復(fù)用 通信系統(tǒng)中經(jīng)常用到時分( t d m ) 和頻分( f d m ) 多路復(fù)用技術(shù)。圖1 _ 4 - 4 ( a ) 是t d m 發(fā)送端工作原理圖。圖中3 個子帶信號( n ) 經(jīng)內(nèi)插器( l = 3 ) 內(nèi)插，然 后經(jīng)延遲鏈得到發(fā)送端信號y ( n ) ，它實際上是( ”) 在時間上有序組合，即 _ y ( h ) 一- x o ( o ) 王( 0 ) 鼉( o ) x o ( 1 ) x l ( 1 ) x a l ) 五( n ) 可以通過圖1 4 - 4 ( b ) 中的接收端電路恢復(fù)。五( z ) ，置( z ) 和五( z ) 實際上 是y ( z ) 的多相分量。 f d m 發(fā)送端原理如圖1 4 - 5 ，為簡單起見，僅討論3 個信號的頻分復(fù)用方法。 ( n l 王( ) ，x a n ) 的頻譜如圖1 4 5 ( a ) ，( b ) ，( c ) 。為了能在0 0 功率對稱條件( 2 3 1 ) n 則稱( z ) 是功率對稱濾波器。式中f ，c z ) = h + ( ”) ，上標(biāo)v 表示取共軛。當(dāng)日( z ) n = o 是實系數(shù)時，l t l ( 一礦4 = i h ( e h ) 1 = f ( e “1 ) ，1 h ( 一。) l 和1 日( # b x - w ) ) 1 關(guān)于”2 對 稱，這是功率對稱名字的由來。雖然僅當(dāng)h ( z ) 是實系數(shù)時上述對稱關(guān)系才 存在，實際上仍把( 2 3 1 ) 式作為功率對稱條件。 上文已說明綜合濾波器組滿足( 2 1 7 ) 式，圖2 卜l 所示的q m f 組無混疊 存在，即： 名( z ) = 去【風(fēng)( z ) 一( 一z ) 一h ( z ) 峨( 一z ) 】x ( z ) ( 2 3 2 ) 對于p r 系統(tǒng)，要求系統(tǒng)傳遞函數(shù)是一個延遲因子。上文已分析了分析濾波器組 君，( z ) = h 。( 一= ) 的局限性。假設(shè)h o ( z ) 是功率對稱f i r 濾波器，根據(jù)( 2 3 2 ) 式， 若( z ) 如下選取： 日。( 力= 一z “由。( 一z ) ( 2 3 3 ) 式中n 為奇數(shù)，則( 2 3 2 ) 式變成j ( z ) = c z - z ( z ) ，此時系統(tǒng)是完全重建的! 把( 2 3 3 ) 式代入( 2 1 7 ) 式得： y o ( z ) = z “o o ( z ) ，互( z ) = z “宜( z ) ( 2 3 4 ) ( 2 3 3 ) 和( 2 ，3 ，4 ) 式使得p rq m f 組的所有濾波器都是f i r 濾波器，適當(dāng)選 擇，可以使它們都是因果濾波器。 如果n ( = ) 是功率對稱f i r 濾波器，其他濾波器滿足( 2 3 3 ) 和( 2 3 4 ) 式， 則稱這種濾波器組為功率對稱f i r 完全重建0 m f 組。 上述濾波器的時域表示為： 矗( ”) = ( 一1 ) ”焉( 一 ) ，l ( - ) = 聰( 一” 彳( ”) = 耳( ，一) ( 2 3 5 ) 容易證明，如果濾波器組滿足上述特性，那么 ( a ) l e ( e 4 ) 1 _ l 珥( e ”) i ，即分析濾波器組和綜合濾波器組有相同的幅頻特性。 ( b ) i h i ( e j 。) i = i 峨( 一e 。) | ，如果( 一) 是實系數(shù)的，若h o ( e s 。) 是低通濾波器，則 h ，( e 一) 是高通濾波器。 第二章最大抽取濾波器組 ( c ) 1 h ，( z m 2 = c ，即分析濾波器組滿足功率互補(bǔ)特性。 j = 0 ( d ) l y t ( z ) h ( z ) 是半帶濾波器。 設(shè)計步驟： 由上文可知，設(shè)計功率對稱f i r 完全重建q m f 組的關(guān)鍵是設(shè)計低通分析濾 波器n o ( z ) ，由( ：) 的功率對稱性可知零相位濾波器月( ：) = 鼠( z ) 0 ( z ) 是半帶濾 波器，且h ( e ，。) 0 。當(dāng)h o ( n ) 為實系數(shù)時，具體設(shè)計步驟如下： 1 首先設(shè)計2 n 階零相位f i r 半帶濾波器g ( = ) = g ( n ) z 。例如，用m c c l e l l 一 一 a n p a r k s 算法( 等波紋法) ，通過限制+ 峨= z ( 出，為通帶邊緣，c o 為阻 帶邊緣) ，通帶和阻帶紋波相同，得到半帶濾波器幅頻特性g ( e ”) 如圖 2 3 一l 。 2 定義h ( z ) = g ( z ) + 占( j 是g ( 擴(kuò)) 的阻帶波紋峰值，也稱為抬高因子) ，則 h ( e j 。) 0 ，如圖2 3 - 1 。 3 對h ( ：) 進(jìn)行譜分解得h o ( z ) ，由( 2 3 ，5 ) 式可以得到其它濾波器的系數(shù)。 設(shè)計過程中的幾點(diǎn)注意事項： 1 由于半帶濾波器g ( z ) 的階次為2 n ( n 為奇數(shù)) ，因此h 。( 。) 的階次是。按 ( 2 3 3 ) 式選取h ( z ) ，可以使濾波器組中的所有濾波器都是因果的。 2 如果峨和正分別為風(fēng)( z ) 的阻帶邊緣和阻帶紋波峰值，那么g ( ：) 的阻帶邊緣 和阻帶紋波峰值分別為珊。和艿= 霹1 2 。根據(jù)半帶濾波器的特性，通帶和阻帶 峰值紋波相同，。+ c o = z ，則可以得到g ( z ) 的通帶特性指標(biāo)。 3 g ( z 1 有很多設(shè)計方法如等波紋設(shè)計法，窗函數(shù)法，全相位半帶濾波器設(shè)計法 等，不同的設(shè)計方法得到的g ( z ) 有不同的特性， h ( z ) = g ( z ) 十j 譜分解精度 也各不相同，致使2 通道0 m f 組的重建精度不同。 4 h 。( ：) 由何( z ) = g ( = ) + 占譜分解得到，使得日。0 ) 有很多相位選擇的可能。通常 選取h 。( z ) 具有最小相位”“，或接近線性相位。實際上這種設(shè)計方法h 。( z ) 不 可能真正具有線性相位，除非風(fēng)( z ) = a g “+ 把，如( 2