y 互i6 0 3 謝t j “銣喃硼c l i f f o r d 分析中高階奇異積分和邊值問題。 要 k t v a h l e n 1 j 在本世紀(jì)初創(chuàng)建了c l i f r o r d 代數(shù)，它是一個可結(jié)合但不可交換的代數(shù) c l i 助r d 分析是上世紀(jì)七十年代新興起的一個數(shù)學(xué)分支。研究的是從實向量空間映射到不可交 換的實c l i 肋r d 代數(shù)的函數(shù)理論，它在數(shù)學(xué)其它分支、場論、量子力學(xué)等方面有著重要的應(yīng)用 許多數(shù)學(xué)家對它給予很大關(guān)注 r o b e r tp g i l b e r t 2 1 ，f b r a c k ，r r e l a n g h e ，f s o m m e n ， 聞國椿【4 ，l e h u a n gs o n g 引，黃沙等1 6 1 2 】將c l i f f o r d 分析與單、多元復(fù)分析函數(shù)理論相對 照，做了很多工作到上世紀(jì)末，c l i f f o r d 分析有了長足的發(fā)展 本文在c l i 舫r d 分析中考慮高階奇異積分，函數(shù)的性質(zhì)以及邊值問題，全文共分八章 第一到第三章討論c l i f f o r d 分析中高階奇異積分在實分析中積分理論是非常重要的， 它不但是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的理論基礎(chǔ)，而且是數(shù)學(xué)應(yīng)用的主要工具之一但是有些實際問題只用正常 積分是不夠的，需要考慮奇異積分，甚至是高階奇異積分h a d a m a r d 1 3 j 在實分析中是用積 分有限部分的思想，定義高階奇異積分的例如考慮高階奇異積分z 6 石墨宅憊，它的有限 部分如下定義 、。 其中 f p z 6 話墨宅考等= ! 覡 z 卜8 石冬宅毒殺一日( 。，m ，s ) ，吣)：k-iu(b掣( 。“) j，k ，) = 半( 。“) j j = o j 主要思想是舍去不可積的部分，用其余部分定義高階奇異積分在文 1 4 中，路見可直截了當(dāng) 地定義閉曲線l 上的高階奇異積分為z 譽摯= 上畿戤即定義上( 高) ，( 馳 = z ( f 毛) ，( t ) 出，這里( f 毛) 比( f 去) 7 具有較低階的奇性路先生關(guān)于高階奇異積 分的理論得到了數(shù)學(xué)理論界的廣泛認(rèn)同并在實際工作中得到了應(yīng)用這是按歸納法思想用正常 積分或弱奇異積分定義奇異積分，用低階奇異積分來定義高階奇異積分對高階奇異積分的研 究還有一些成果見文獻 1 4 1 5 1 6 黃沙在文 1 7 】中討論了c l i f f o r d 分析中3 種高階奇異積分，本文在文 1 7 的基礎(chǔ)上， 借助于高階奇異積分的h a d a m a r d 主值的思想以及歸納法的思想，在第- - n 第三章討論了幾 類擬b o c h n e r m a r t i n e l l i 型( 以下簡稱為擬b m 型) 高階奇異積分的歸納定義、計算、性質(zhì) 及p o i n c a r 6 一b e r t r a n d 置換公式等我們知道積分算子、積分方程在解邊值問題及微分方程 中都有重要應(yīng)用所以這部分內(nèi)容無論在數(shù)學(xué)理論上還是應(yīng)用方面都有一定的意義 第四章討論了第二類積分方程的可解性和解的表示式積分方程問題是實際中非常重要的 一個問題，c l i f f o r d 分析中積分方程的研究還是空白m s p i v a r k 在他的專著 中，對n 維實空間中流形上的函數(shù)，借助于單位分解的方法給出了廣義積 分的定義( 見文 1 8 】) ，這個定義是一維實廣義積分定義的推廣，它允許在流形上出現(xiàn)多個奇 點我們是在c l i f f o r d 分析中用類似的方法定義了廣義積分 r o b e r tp g i l b e r t 在文獻1 2 中引入了交換因子的概念，部分的解決了c l i 肋r d 分析中乘積不可交換的問題借助于這一思 想我們設(shè)計了帶交換因子的積分算子核，并研究第二類帶交換因子核的積分方程的可解性和解 的級數(shù)表達(dá)式 第五和第六兩章考慮了兩類函數(shù)的邊值問題在c l i f r o r d 分析中的正則函數(shù)相當(dāng)于單元 復(fù)分析中所講的全純函數(shù)。它的定義首先是由文f 2 2 1 給出的關(guān)于正則函數(shù)的c a u c h y 型奇異 l l 積分及p i e m e l j 公式已有研究，文 2 0 就利用上面的結(jié)果討論了正則函數(shù)的一種特殊的邊值 問題文f 1 9 1 定義了c l i f f o r d 分析中的雙正則函數(shù)和廣義雙正則函數(shù)，雙正則函數(shù)和廣義雙 正則函數(shù)是比正則函數(shù)更廣泛的函數(shù)類，它們的研究是近年來函數(shù)論領(lǐng)域內(nèi)的一個熱門分支， 受f 2 1 1 的啟發(fā)，本文第五和第六兩章考慮了這兩類函數(shù)的帶位移的邊值問題設(shè)計積分算子研 究它們的c a u c h y 型奇異積分的性質(zhì)，將邊值問題轉(zhuǎn)化成積分方程問題，借助于積分方程理論 和s c h a u d e r 不動點理論證明了邊值問題解的存在性并給出了解的積分表達(dá)式 在文1 2 3 2 4 i 的基礎(chǔ)上，第七章在無界區(qū)域上討論了c l i f f o r d 分析中的雙正則函數(shù)及其 p l e m e l j 公式 最后一章在復(fù)c l i 肋r d 代數(shù)空間a 。( g ) 中討論了復(fù)趣正則函敦的等價條件及性質(zhì)復(fù) c l i f f o r d 代數(shù)空間的基和實c 1 i f f o r d 代數(shù)空間相屙，不同的是系數(shù)用復(fù)數(shù)實c l i l f 0 t d 分析 是研究從實向量空間j 釅“到a ；( 冗) 的函數(shù)的數(shù)學(xué)分支復(fù)c l i f f b r d 分析是研究從多復(fù)向 量空間c 葉1 到a ( c ) 的函數(shù)的數(shù)學(xué)分支對復(fù)c l i f f o r d 分析，f s o m m e n ，j r y a 等人 做了許多工作，證明了復(fù)正則函數(shù)在位于復(fù)c l i f f o r d 代數(shù)中的個l i e 群作用下的不變性， 并且利用復(fù)調(diào)和函數(shù)去構(gòu)造全純函數(shù)黃沙【2 5 【2 q 2 7 】得到了復(fù)正則函數(shù)的充分必要條件和復(fù) 正則函數(shù)與復(fù)調(diào)和函數(shù)的關(guān)系近年來c l i f r o r d 分析中實超正則函數(shù)成為學(xué)者們研究的熱門 課題這一。實超正則函數(shù)是c l i 肋r d 分析中被研究較多的一類函數(shù)，是一類c l i f f o r d 分析中 微分方程的解h 型解是指向量值的超正則函數(shù) w h e n g a r t n e r 和h l e n t w i l e r 研究 了r 3 中的超正則函數(shù)，使c l i f f o r d 分析中的函數(shù)理論有了進一步的發(fā)展；h l e u t w i l e r 在 文 2 8 2 9 3 0 】中研究了h 型解，使超正則函數(shù)有了更加具體的表現(xiàn)形式本文第八章在復(fù) c l i f f o r d 分析中給出了復(fù)正則函數(shù)和復(fù)超正則函數(shù)的等價條件，這些條件與單元復(fù)分析中全純 函數(shù)的c r 條件非常類似另外還給出了h 型解和復(fù)超正則函數(shù)的關(guān)系( 見定理8 3 和8 4 ) 這些結(jié)論對進一步研究函數(shù)的性質(zhì)有一定的意義 h i g ho r d e rs i n g u l a r p r o b l e m s i n t e g r a l sa n db o u n d a r y v a l u e i nc l i f f o r da n a l y s i s a b s t r a c t k t v a h l e n l 1s e tu pc l i f f o r da l g e b r aa tt h eb e g i no fl a s tc e n t u r y i ti sak i n d o fa l g e b r a i cs t r u c t u r ew h i c hi sa s s o c i a t i v ea n di n c o m m u t a b l e c l i f r o r da n a l y s i si s ab r a n c ho fm a t h e m a t i c sa r i s i n gi n1 9 7 0 s i ts t u d i e st h e o r yo ff u n c t i o nf r o mr e a l v e c t o rs p a c et or e a li n c o m m u t a b l ec l i f f o r da l g e b r a i tp l a y sa ni m p o r t a n tr o l ei n m a n yf i e l d s s u c ha so t h e rm a t h e m a t i c a lb r a n c h e s t h e o r yo ff i e l d sa n dq u a n t u m r m e c h a n i c sa n ds oo n m a n ym a t h e m a t i c i a n sp a ym u c ha t t e n t i o nt oi t r o b e r t p g i l b e r t n ，f b r a c k ，r r e l a n g h e ，f s o m m e n n ，w e n g u o c h u n n ，l e h u a n gs o n g 引， h u a n g s h a f 6 - 1 2 ja n ds oo nd i dm a n y w d r k st h r o u g hc o m p a r i n gc l i f f o r da n a l y s i sw i t h s i n g l ev a r i a b l e ，m u l t i p l ev a r i a b l e sc o m p l e xa n a l y s i sf u n c t i o nt h e o r y t h es t u d i e st o c l i f f o r da n a l y s i sw e r ed e v e l o p e dr a p i d l yb yt h ee n do fl a s tc e n t u r y i nt h i sp a p e r ，w ec o n s i d e rh i g ho r d e r s i n g u l a ri n t e g r a l s ，f u n c t i o np r o p e r t i e sa n d b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s i nc l i f f o r da n a l y s i s t h e r ea r ee i g h tc h a p t e r si nt h i sp a p e r w ed i s c u s s h i g ho r d e rs i n g u l a ri n t e g r a l si nc l i f f o r da n a l y s i sf r o mt h ef i r s tc h a p t e r t ot h et h i r dc h a p t e r t h ei n t e g r a lt h e o r yi sv e r yi m p o r t a n ti nr e a la n a l y s i s ，i ti sn o t o n l yt h et h e o r yb a s eo fm o d e r nm a t h e m a t i c s b u ta l s oo n eo ft h em a i nt o o l si nm a t h a p p l i c a t i o n b u ts o m ep r a c t i c a lp r o b l e m sc a d tb es o l v e db yt h en o r m a li n t e g r a l i ti sn e c e s s a r yt oc o n s i d e rs i n g u l a ri n t e g r a l sa n de v e nh i g ho r d e r s i n g u l a ri n t e g r a l s 一 h a d a m a r d 1 3 j d e f i n e dh i g ho r d e rs i n g u l a ri n t e g r a l sb yt h et h i n ko ft h ei n t e g r a lf o r f i n i t ep a r ti nr e a la n a l y s i s f o re x a m p l e ，w ec o n s i d e rt h e h i g ho r d e rs i n g u l a ri n t e g r a l f 6 熊，i t 8 f i n j t e p a r t i s 枷n e d l i k e t h i s ： h e r e 叫：普 日( k 。) ：塞掣( z 一妒日( 6 ，g ) = 半p 一妒 j = 0 j 日( 6 。) 1 j 、 一 篇 沁 t h em a i ni d e ai st od i s c a r dt h eu n i n t e g r a b l ep a r t a n dd e f i n et h eh i g ho r d e r s i n g u l a ri n t e g r a lb yu s eo ft h eo t h e rp a r t s i np a p e r 1 4 ，l u j i a n k e d e f i n e dd i r e c t l y h i g ho r d e rs i n g u l a ri n t e g r a l so nt h ec l o s e dc u r v el l i k et h i s ： 上器以= 正筆哪h a t i s i 正( 高) ，d t = 正一( 毫) ，( 舳，h e r e ， c o m p a r i n g 一( ；_ ) w i t h ( ；) ，t h es i n g u l a r i t yo ft h e f o r m e ri sl o w e r p r o f e s s o r l u st h e o r ya b o u t 矗i g ho r d e rs i n - v g u l a ri n t e g r a l sw a sa p p r o v e dw i d e l yi nt h ef i d do f m a t h e m a t i c s m o r e o v e r ，i ti su s e di np r a c t i c a lw o r k b yt h et h i n ko fi n d u c t i o n ，w e u s en o r m a li n t e g r a lo rw e a k l y - s i n g u l a ri n t e g r a l st od e f i n es i n g u l a ri n t e g r a l sa n du s e t h el o w e r o r d e rs i n g u l a r i n t e g r a lt o d e f i n eh i g ho r d e rs i n g u l a ri n t e g r a l s s o m er e s u l t s a b o u th i g ho r d e rs i n g u l a ri n t e g r a l sw e r ep r o v e di nt h ed o c u m e n t 1 4 1 5 1 1 1 6 】 h u a n g s h ah a sd i s c u s s e dt h r e ek i n d so fh i g ho r d e rs i n g u l a ri n t e g r a l si uc l i 舫r d a n a l y s i s b a s e do np a p e r 1 7 ，b yt h et h i n ko fh a d a m a r dp r i n c i p a lv a l u eo fh i g h 0 r d e rs i n g u l a ri n t e g r a l sa n dt h et h i n ko fi n d u c t i o n ，w ed i s c u s st h ei n d u c t i v ed e f i n i - t i o n ，c o m p u t a t i o nf o r m u l a ，p r o p e r t i e sa n dp o i n c a r 6 - b e r t r a n de x c h a n g ef o r m u l a f o r h i g ho r d e rs i n g u l a ri n t e g r a l so fq u a s ib o c h n e r - m a r t i n e l l i t y p e ( i nt h ef o l l o w i n g i ti s a b b r e v i a t e dq u a s ib ，mt y p e lf r o mt h ef i r s tc h a p t e rt ot h et h i r dc h a p t e r w ek n o w i n t e g r a lo p e r a t o ra n di n t e g r a le q u a t i o np l a ya l li m p o r t a n t r o l ei ns o l v i n gb o u n d a r y v a l u ep r o b l e m sa n dd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s s ot h ec o n t e n ti nt h i sp a r ti ss i g n i f i c a n t i nm a t h e m a t i c a lt h e o r ya n d a p p l i c a t i o n i nt h ef o u r t hc h a p t e r ，w ed i s c u s st h es o | v a b i l i t vo ft h es e c o n dk i n di n t e g r a le q u a - t i o na n dt h es o l u t i o ne x p r e s s i o nf o r m u l a t h ei n t e g r a le q u a t i o np r o b l e mi sa n o t h e r i m p o r t a n tp r o b l e mi np r a c t i c e s t u d y i n gi n t e g r a le q u a t i o ni nc l i f f o r da n a l y s i si s b l a n ks p a c ey e t r e s o r t i n gt ou n i t r e s o l u t i o n m s p i v a r kg a v et h ed e f i n i t i o no f i m p r o p e ri n t e g r a ld e 矗n e do nt h em a n i f o l di nnd i m e n s i o n a lr e a ls d a c ei nh i sw o r k s ，i tc a nb ef o u n di n p a p e r i s t h i sd e 五n i t i o ni st h e g e n e r a l i z a t i o no fr e a li m p r o p e ri n t e g r a l si no n ed i m e n s i o n a ls p a c e ，i tp e r m i t st h a t t h e r ea r em a n y s i n g u l a rp o i n t so nt h em a n i f o l d ，w ed e f n ei m p r o p e ri n t e g r a l su s i n g t h es i m i l a rm e t h o di nc l i f f o r da n a l y s i s r o b e r tp g i l b e r ti n t r o d u c e dd e f i n i t i o no f t h ec o m m u t a t i v ef a c t o ri np a p e r 2 ，t h e nh es o l v e dp a r t l yt h ei n c o m m u t a b l e p r o b - l e mo fm u l t i p l i c a t i o ni nc l i f f o r da n a l y s i s r e s o r t i n gt ot h i si d e a ，w ed e s i g ni n t e g r a l o p e r a t o rk e r n e jw i t hc o m m u t a t i v ef a c t o ra n ds t u d yt h e s o l v a b i l i t yo f t h es e c o n dk i n d i n t e g r a le q u a t i o na n ds e r i e se x p r e s s i o nf o r m u l ao fs o l u t i o n w ed i s c u s sb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sf o rt h et w ok i n d so ff u n c t i o n si nt h ef i f t h c h a p t e ra n dt h es i x t hc h a p t e r t h er e g u l a rf u n c t i o ni nc l i 肋r da n a l y s i si ss i m i l a r w i t ht h eh o l o m o r p h i cf u n c t i o ni ns i n g l ev a r i a b l ec o m p l e x a n a l y s i s 。i t 8d e f i n i t i o nw a s g i v e nf i r s t l yi np a p e r 2 2 t h ec a u c h yt y p es i n g u l a ri n t e g r a la n dp l e m e l jf o r m u l a a b o u tr e g u l a rf u n c t i o nh a v eb e e ns t u d i e d ，i np a p e r 2 0 1 ，t h ea u t h o rd i s c u s s e da s p e - l l c i a lb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mf o rr e g u l a rf u n c t i o nb yu s eo ft h ea b o v e r e s u l t 8 上n e d e f t n i t i o no fb ir e g u l a xa n dg e n e r a l i z e db ir e g u l a rf u n c t i o n s i nc l i 舫r da n a l y s i sw e r e g i v e ni np a p e r 1 9 b ir e g u l a rf u n c t i o n sa n dg e n e r a l i z e db ir e g u l a rf u n c t l o 璐a r 8 m o r ew i d e rt h a nr e g u l a rf u n c t i o n s t h es t u d yt ot h e m i sap o p u l a rb r a n c hi nt h e f i e l do ff u n c t i o nt h e o r yi nr e c e n ty e a r s e n l i g h t e n e db yp a p e r 2 1 ，i nt h i sp a p e r t h eb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mw i t hd i s p l a c e m e n tf o rt h e s et w ok i n d so ff u n c t i o n s1 s d i s c u s s e di nt h ef i f t hc h a p t e ra n dt h es i x t hc h a p t e r w ed e s i g ni n t e g r a lo p e r a t o rt o s t u d yt h e i rc a u c h yt y p es i n g u l a ri n t e g r a l sa n d t r a n s f o r mb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s t oi n t e g r a le q u a t i o np r o b l e m s t h e n ，r e s o r t i n gt ot h e o r yo fi n t e g r a le q u a t i o na n d t h e o r yo fs c h a u d e r f i x e dp o i n t ，w ep r o v et h ee x i s t e n c eo f s o l u t i o nt ob o u n d a r yv a l u e p r o b l e m sa n dg i v ei n t e g r a le x p r e s s i o nf o r m u l ao f t h es o l u t i o n b a s e do np a p e r 2 3 1 ， 2 4 1 ，i nt h es e v e n t hc h a p t e r ，w ed i s c u s st h e b ir e g u l a rf u n c t i o n a n di t sp l e m e l jf o r m u l ao nu n b o u n d e dd o m a i ni nc l i f r o r da n a l y s i s i nt h el a s tc h a p t e r w ed i s c u s se q u i v a l e n c ec o n d i t i o n sa n dp r o p e r t i e so fc o m p l e x h y p e r m o n o g e n i cf u n c t i o n si nc o m p l e xc 1 i 肋r da l g e b r as p a c ea l ( c ) t h eb a s eo f c o m p l e xc l i f r o r da l g e b r as p a c ei ss 出- f l e w i t hr e a lc l i f r o r da l g e b r as p a c e t h ed i f f e n e n c ei st h a tt h ec o e m c i e n ti nc o m p l e xc l i f r o r da l g e b r as p a c ei sc o m p l e x n u m b e r r e a l_ c l i 行0 f da n a l y s i si sam a t h e m a t i c a lb r a n c hw h i c hs t u d i e st h ef u n c t i o nf r o mr e a lv e c t o rs p a c e p + 1t o k ( r ) c o m p l e xc l i f r o r da n a l y s i si sam a t h e m a t i c a lb r a n c hw h i c h s t u d i e st h ef u n c t i o nf r o mc o m p l e xv e c t o rs p a c ec 蚪1t oa l ( g ) f s o m m e n ，j a y a n a n ds oo nd i dm a n yw o r k sa b o u tc o m p l e xc l i f r o r da n a l y s i s t h e yp r o v e du n c h a n g - i n gp r o p e r t yo fc o m p l e xr e g u l a rf u n c t i o n su n d e ral i eg r o u pi nc o m p l e xc l i 飪b r d a l g e b r aa n dc o n s t r u c t e dh o l o m o r p h i cf u n c t i o n sb yu s eo fc o m p l e xh a r m o n i cf u n c t i o n s h u a n g s h a 2 5 1 2 6 】 2 1g o ts u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o n so fc o m p l e xr e g u l a r f u n c t i o n sa n dr e l a t i o nb e t w e e nc o m p l e xr e g u l a rf u n c t i o n sa n dc o m p l e xh a r m o n i c f u n c t i o n s r e c e n t l y , t h er e a lh y p e r m o n o g e n i cf u n c t i o ni nc l i f r o r da n a l y s i si so n e o ft h ep o p u l a rt o p i c s p e o p l eg a v em a n ys t u d i e st ot h er e a lh y p e r m o n o g e n i cf u n c t i o ni nc l i f r o r da n a l y s i s ，a n di ti st h es o l u t i o nt oak i n do fd i f i e r e n t i a le q u a t i o ni n c l i 舫r da n a l y s i s ht y p es o l u t i o ni st h ev e c t o r - v a l u e dh y p e r m o n o g e n i cf u n c t i o n w h e n g a x t n e ra n dh l e n t w i l e rs t u d i e dh y p e r m o n o g e n i cf u n c t i o n si nr 3 s o ，t h e t h e o r yo ff u n c t i o ni nc l i f r o r da n a l y s i sw a sr a p i d l yi m p r o v e d h l e u t w i l e rs t u d i e dh t y p es o l u t i o ni np a p e r 2 s 2 9 3 0 s o ，h y p e r m o n o g e n i cf u n c t i o n sh a v em o r ec o n c r e t e e x p r e s s i o n i nt h ee i g h t hc h a p t e r ，w eg i v ee q u i v a l e n c ec o n d i t i o n sb e t w e e nc o m p l e x r e g u l a r f u n c t i o n sa n d h y p e r m o n o g e n i cf u n c t i o n s i nc o m p l e xc l i t f o r da n a l y s i s t h e s e c o n d i t i o n sa r es i m i l a rw i t hc rc o n d i t i o no fh o l o m o r p h i cf u n c t i o n si ns i n g l ev a r i a b l ec o m p l e xa n a l y s i s i na d d i t i o n ，w eg i v et h er e l a t i o n sb e t w e e nh t y p es o l u t i o n a n dc o m p l e x h y p e r m o n o g e n i cf u n c t i o n s i ti sp r o v e di nt h e o r e m 8 3a n d8 4 t h e s e r e s u l t sa x es i g n i f i c a n tt os t u d yf u r t h e rf u n c t i o np r o p e r t i e s n 1 第一章 c l i f f o r d 分析中高階奇異積分的定義 1 1 引言及預(yù)備知識 在單復(fù)變中，按h a d a r a a r d 1 a 】主值的思想，王傳榮先生在文f 1 5 】是用有限部分的思 想來定義高階奇異積分的在文【1 4 1 中，路見可先生直接定義閉曲線l 上的高階奇異積分為 上器拈上袈姍定義上( 未) ，( t ) 拈五( 擊( t ) 雌里( 去) 比( _ ) 具有較低階的奇性路先生關(guān)于高階奇異積分的理論得到了數(shù)學(xué)理論界的廣泛認(rèn) 同并在實際工作中得到了應(yīng)用這是按歸納法思想用正常積分或弱奇異積分定義奇異積分，用 低階奇異積分來定義高階奇異積分在多元復(fù)分析中人們也討論了高階奇異積分的h a d 鋤a r d 主值。這方面的有文【1 6 】黃沙在文 1 7 1 中i # t c tc l i f f o r d 分析中3 種高階奇異積分。本章 在文f 1 7 】的基礎(chǔ)上，借助于高階奇異積分的h a d a m a r d 主值的思想以及歸納法的思想，在第 一章討論了幾類含一個奇點的擬b o c h n e r - m a r t i n e l l i 型( 以下簡稱為擬b - m 型) 高階奇異 積分的歸納定義， 記以8 0 ，e l ，e 2 ，- 一，e 。為基底的實向量空間為刀。+ 1 ，8 0 為兄”1 的單位元素，?！? 1 的元素為 z 。2 一z 女，z 。x o e o 一乙x k e k ， 設(shè)a 是實c l i f f o r d 代數(shù)，其基底由 e 母= e o ，c a ：a = ( l ， ，) ，l h 1 k 0 ，在引理1 5 的( 1 1 2 ) 式中令 = f 苫兩x 一- v y i 稀，“= ，【。，圳，則 ( 以鋤( 兩南+ 兩南) 卜們 = 點i 冪+ 毒殺i ( 島一瓦) m ，! ，) 一 一a 【i z 一l “+ 1 + 。i 塵一f “+ 1 + 。j l 、。 。7 。、山9 7 j + 卜玩，( 兩南+ 翮驀南) 卜劫 由引理1 1 ，引理1 2 可得 ( 以棚葡熹+ 兩條) 卜掣) 2 【以同南) 倒砑南) 吲砑南) _ 瓦砑南) 卜可) 6壹垂菱蘭絲絲塑叁墅墮堡墅墮墮墮塹塑堡墅墅墜 u = = = = = = = = = = = = = = = = = = 一一 ：乏絡(luò)巾刊良( 一i ( 一o ) i z yj “+ 1 + “、 + 瓦砸o z ( x 矛- y ) + ( z y ) 色瓦而毛陌) 一高籬耘鄧刊瓦葡