基于商階統(tǒng)計(jì)實(shí)現(xiàn)地震反射系數(shù)和子波估計(jì) 基于高階統(tǒng)計(jì)實(shí)現(xiàn)地震反射系數(shù)和子波估計(jì) 兩要 本文對地震子波估計(jì)和反褶積的理論方法進(jìn)行了研究。在常規(guī)的地震子波估 計(jì)和反褶積的處理中，通常假設(shè)地震子波是最小相位，反射系數(shù)為白噪的。這些 假設(shè)條件及其對應(yīng)的方法在實(shí)際應(yīng)用中效果一般較好，但不能保證假設(shè)條件總是 正確的。而基于高階統(tǒng)計(jì)的地震子波估計(jì)恰恰能夠消除對地震子波的最小相位假 設(shè)和反射系數(shù)的白噪假設(shè)，并為進(jìn)一步求解反射系數(shù)，實(shí)現(xiàn)反褶積奠定基礎(chǔ)。本 文就是在前人研究的基礎(chǔ)上，研究和實(shí)現(xiàn)基于高階統(tǒng)計(jì)量的非最小相位的地震子 波估計(jì)的方法，并進(jìn)一步探討了反射系數(shù)的求取。同時(shí)，創(chuàng)造性的將獨(dú)立分量分 析( i c a ) 算法應(yīng)用于地震資料的反褶積處理中，實(shí)現(xiàn)了地震子波和反射系數(shù)的 同時(shí)求取。主要完成了以下工作： 1 在無噪聲假設(shè)條件下，實(shí)現(xiàn)了最小相位地震子波估計(jì)及地震反褶積。 2 在無噪聲假設(shè)條件下，利用高階譜( 雙譜) 估計(jì)出非最小相位地震子波。 然后，結(jié)合同態(tài)反褶積方法的思想求出了反射系數(shù)。 3 在無噪聲假設(shè)條件下，利用地震記錄時(shí)間延遲矩陣和地震子波帶狀褶積矩 陣，將地震褶積模型轉(zhuǎn)化為一般線性混合i c a 模型，采用f a s t l c a 算法，將帶狀 性質(zhì)作為先驗(yàn)信息，實(shí)現(xiàn)所謂的帶狀i c a 算法( b i c a ) ，得到個(gè)數(shù)與子波算子 長度相等的多個(gè)反射系數(shù)序列估計(jì)和子波序列估計(jì)，最后利用褶積模型提供的附 加信息優(yōu)選出最佳的反射系數(shù)和地震子波。 4 在無噪聲的條件下，結(jié)合同態(tài)反褶積思想，將地震記錄由時(shí)域變換到復(fù)倒 譜域，使地震褶積模型變換為一般線性混合i c a 模型，再利用f a s t l c a 算法將地 震子波和反射系數(shù)分離，最后將分離的地震子波和反射系數(shù)再反變換到時(shí)域，得 到相應(yīng)的地震子波和反射系數(shù)。 模型數(shù)據(jù)和實(shí)際二維地震道數(shù)值算例表明：對于統(tǒng)計(jì)性反褶積，在不對反射 系數(shù)作高斯白噪假設(shè)和不對子波作最小相位假設(shè)的所謂“全盲條件下，本文介 紹的基于i c a 的兩種反褶積方法可以較好解決地震盲反褶積問題，是基于二階 統(tǒng)計(jì)特性的地震信號統(tǒng)計(jì)性反褶積方法的提升，具有可行性和應(yīng)用前景。 關(guān)鍵詞：子波估計(jì)；地震反褶積；反射系數(shù)；高階統(tǒng)計(jì)；獨(dú)立變量分析 h i g h o r d e rs t a t i s t i c sb a s e dr e a l i z a t i o no fs e i s m i cr e l e c t i c i t ya n d w a v e l e t a b s t r a c t b o t ht h ew a v e l e te s t i m a t i o na n dt h es e i s t o i cd e c o n v o l u t i o na r es t u d i e di nt h i s p a p e r t h ew a v e l e te s t i m a t i o na n ds e i s m i cd e c o n v o l u t i o na l ea l w a y sb a s e do nt h e a s s u m p s i t i o no fg u a s s a l i t ya n dw h i t e nn o i s et or e l e c t i c i t ya n dm i n i m u mp h a s et ot h e s e i s m i cw a v e l e t i tc o m m o n l yh a sag o o de f f e c ti nt h ep r a c t i c a la p p l i c a t i o n ，b u ti t c a l l tb es u r et h a tt h e s ea s s u m p s i t i o n sa y ea l w a y sa c c u r a t e h o w e v e r , t h ew a v e l e t e s t i m a t i o nb a s e do nt h eh i g h - o r d e rs t a t i s t i cc a ne l i m i n a t et h ea s s u m p s i t i o no f g u a s s a l i t ya n dw h i t e nn o i s et or e l e c t i c i t ya n dm i n i m u mp h a s et ot h es e i s m i cw a v e l e t f u r t h e r m o r e , t h er e l e c t i c i t yc a nb es e p a r a t e d t h e nt h es e i s m i cd e c o n v o l u t i o nc a nb e a c h i e v e d t h ep a p e rs t u d i e st h en o n m i n i m u mp h a s es e i s m i cw a v e l e te s t i m a t i o na n d s e i s m i cd e c o n v o l u t i o nb a s e do nt h ep r o d u c t i o no ff o r ep e o p l e a tt h es a m et i m e ， a p p l y i n gi n d e p e n d e n tc o m p o n e n ta n a y s i st ot h eb l i n dd e c o n v o l u t i o no fs e i s m i cd a t ai n ac r e a t i v ew a y c o m p l e t e dp r i m a r i l yb e l o ww o r k ： 1 n e g l e c t i n gn o i s e ，a c h i e v e st h em i n i m u mp h a s es e i s m i cw a v e l e te s t i m a t i o na n d s e i s m i cd e c o n v o l u t i o n 2 n e g l e c t i n gn o i s e ，a p p l y i n gb i s p e c t r u mt or e c o v e rt h en om i n i m u mw a v e l e t , a n dt h e n a p p l y i n g t h eh o m o m o r p h i cd e c o n v o l u t i o nm e t h o dt or e a l i z et h e d e c o n v o l u t i o nt oo b t a i nt h er e l e c t i c i t y 3 n e g l e c t i n gn o i s e ，m a k i n gu s eo ft i m el a g g e dv e r s i o nm a t r i xo fc o n v o l v e d s i g n a la n ds e i s m i cw a v e l e tb a n d e de o n v o l v i n gm i x t u r em a t r i xt oc o n s t r u c tab a s i c i c am o d e l b ya p p l y i n gf a s t l c aa l g o r i t h m ，a n dc o m b i n i n gt h eb a n d e dp r o p e r t ya sa p r i o ri n f o r m a t i o n ，g i v i n gr i s e dt oab a n d e di c aa l g o r i t h m ( b i c a ) ，m o r er e f l e c t i v i t y s e r i e sa r ep r o d u c e s 弱m a n ya st h ed i m e n s i o no ft h es e i s m i cw a v e l e tf i l t e r , a n df i n a l l y o n eb e s ti n d e p e n d e n tc o m p o n e n tc a nb ee x t r a c t e df r o mt h ec a n d i n a t es o l u t i o n sb y a d d i t i o n a l i n f o r r n a t i o nf r o mt h es e i s m i cc o n v o l u t i o nm o d e l 4 n e g l e c t i n gn o i s e , c h a n g i n gt h es e i s m i cr e c o r d 舶mt i m er e a l mt oc o m p l e x c e p s t r u mr e a l mt ot r a n s f o n nm ec o n l n l o ns e i s m i cm o d e lt ot h eb a s i ci c am o d e l b y a p p l y i n gt h ef a s t l c aa l g o r i t h m ，s e p a r a t i n gt h et h es e i s m i cw a v e l e ta n dr e f l e c t i v i t y a n dc h a n g i n gt h er e s u l tb a c kt ot h et i m er e a l m t h em o d e la n dr e a ls e i s m i cd a t am u m e r i c a le x a m p l e sa l ls h o w st h a tt h e s t a s t i c s t i c a ld e c o n v o l u t i o nb a s e do ni c ac a ni n v e r s eb l i n d l yt h ew a v e l e ta n dt h e l i 基于高階統(tǒng)計(jì)實(shí)現(xiàn)地震反射系數(shù)和子波估計(jì) r e f l e c t i v i t ya tt h es a l l l et i m ew i t hn oa s s u m p s i t i o no fg u a s s a l i t ya n dw h i t e nn o i s et o r e l e c t i c i t y , a n d1 1 0m i n i m u mp h a s et os e i s m i cw a v e l e t t h ea l g o r i t h m sb a s e do ni c a r c f c r e dh e r ec a ns l o v et h es e i s m i cs i g n a l sb l i n dd c c o n v o l u t i o ne f f e c t i v e l ya n dw o r t h d o i n gm o r e r e s c a r c h s k e yw o r d s ：w a v e l e te s t i m a t i o n ；s d s m i cd e e o n v o l u t i o n ；r e l e e t i e i t y ；h i g h o r d e r s t a t i s t i c s ；i n d e p e n d e n tc o m p o n e n ta n a l y s i s u i 基于高階統(tǒng)計(jì)實(shí)現(xiàn)地震反射系數(shù)和了波估計(jì) 獨(dú)創(chuàng)聲明 本人聲明所呈交的學(xué)位論文是本人在導(dǎo)師指導(dǎo)下進(jìn)行的研究工作及取得的 研究成果。據(jù)我所知，除了文中特別加以標(biāo)注和致謝的地方外，論文中不包含其 他人已經(jīng)發(fā)表或撰寫過的研究成果，也不包含未獲得 ! 洼! 翅遺查墓絲霞要掛剔重明的：奎攔亙窒2 或其他教育機(jī)構(gòu)的學(xué)位或證書使 用過的材料。與我一同工作的同志對本研究所做的任何貢獻(xiàn)均已在論文中作了明 確的說明并表示謝意。 學(xué)位論文作者躲島f 書簽字腳砂易年f 月7 日 學(xué)位論文版權(quán)使用授權(quán)書 本學(xué)位論文作者完全了解學(xué)校有關(guān)保留、使用學(xué)位論文的規(guī)定，有權(quán)保留并 向國家有關(guān)部門或機(jī)構(gòu)送交論文的復(fù)印件和磁盤，允許論文被查閱和借閱。本人 授權(quán)學(xué)校可以將學(xué)位論文的全部或部分內(nèi)容編入有關(guān)數(shù)據(jù)庫進(jìn)行檢索，可以采用 影印、縮印或掃描等復(fù)制手段保存、匯編學(xué)位論文。同時(shí)授權(quán)中國科學(xué)技術(shù)信息 研究所將本學(xué)位論文收錄到中國學(xué)位論文全文數(shù)據(jù)庫，并通過網(wǎng)絡(luò)向社會(huì)公 眾提供信息服務(wù)。( 保密的學(xué)位論文在解密后適用本授權(quán)書) 學(xué)位論文作者簽名南彳 簽字日期加寥年 月1 日 基十高階統(tǒng)計(jì)實(shí)現(xiàn)地震反射系數(shù)和了波估計(jì) 1 前言 1 1 選題依據(jù) 在通常的地震反褶積處理中，二階統(tǒng)計(jì)量( 如相關(guān)函數(shù)、功率譜等) 作為主要 的處理手段。但是二階統(tǒng)計(jì)量本身存在很多的不足：一方面功率譜估計(jì)的過程中， 如果把隨機(jī)過程作為不同分量的組合體，就必須假設(shè)各諧波分量互不相關(guān)，然后 估計(jì)各個(gè)頻率成分的分布，這樣各個(gè)頻率分量的相位關(guān)系受到抑制。因此，該方 法只對線性系統(tǒng)有效。此外，相關(guān)函數(shù)與功率譜中所包含的信息只能完整的描述 一個(gè)己知均值的高斯過程，其應(yīng)用取決于信號的高斯性假設(shè)。另一方面，自相關(guān) 與功率譜只能提供研究信號的振幅信息，而不能提供其相位信息。另外，自相關(guān) 與功率譜估計(jì)技術(shù)處理許多問題的前提是假設(shè)所觀測噪聲是高斯白噪聲。因此， 不能處理非高斯信號?？傊?，基于二階統(tǒng)計(jì)量的地震子波估計(jì)和反褶積的方法在 應(yīng)用時(shí)，不能保證對地震子波和反射系數(shù)所作的假設(shè)總是正確的，因此引入高階 統(tǒng)計(jì)量這一新的數(shù)學(xué)工具。 高階統(tǒng)計(jì)量方法是近幾年國內(nèi)外信號處理領(lǐng)域內(nèi)的一個(gè)前沿課題。高階統(tǒng)計(jì) 量廣泛應(yīng)用于所有需要考慮非高斯性、非最小相位、有色噪聲、非線性或循環(huán)平 穩(wěn)性的各類問題中。高階統(tǒng)計(jì)量與二階統(tǒng)計(jì)量( 自相關(guān)函數(shù)) 相比具有三方面顯 著的優(yōu)點(diǎn)【1 3 1 ：( 1 ) 高階累積量具有對高斯有色噪聲恒為零的特點(diǎn)，可用于提取高 斯有色噪聲中的非高斯信號：( 2 ) 高階累積量含有系統(tǒng)的相位信息，可用于非最小 相位系統(tǒng)辨識：( 3 ) 高階統(tǒng)計(jì)量可用于檢測和描述系統(tǒng)的非線性。而且，基于高階 統(tǒng)計(jì)的非最小相位子波估計(jì)，無論是從理論方法還是實(shí)際的應(yīng)用中都取得了比較 好的效果，顯示了一定的優(yōu)越性。而在此基礎(chǔ)上再進(jìn)行進(jìn)一步的研究，為實(shí)現(xiàn)地 震反褶積奠定了基礎(chǔ)。 起源于盲源分離( b 1 i n ds o u r c es e p a r a t i o n ) 或盲信號分離( b l i n ds i g n a l s e p a r a t i o n ) 的獨(dú)立分量分析( i n d e p e n d e n tc o m p o n e n ta n a l y s i s ，i c a ) 基于高階 統(tǒng)計(jì)特性，是盲源分離技術(shù)近年來的一項(xiàng)重要進(jìn)展。它可以僅在信號統(tǒng)計(jì)行獨(dú)立 而不對反射系數(shù)和子波增加任何假設(shè)的條件下進(jìn)行地震反演，為解決地震反射系 數(shù)和地震子波的求解問題提供了一條重要途徑。 基于高階統(tǒng)計(jì)實(shí)現(xiàn)地震反射系數(shù)和子波估計(jì) 1 2 地震子波估計(jì)和反褶積方法研究現(xiàn)狀 1 2 1 地震子波估計(jì)方法研究現(xiàn)狀 提取地震子波的方法包括兩類，第一類是確定性子波提取方法，第二類是統(tǒng) 計(jì)性子波的提取方法。確定性子波提取方法，如維納濾波、譜除法、廣義線性反 演等，是利用測井資料首先計(jì)算出反射系數(shù)序列，然后結(jié)合井旁地震道由褶積理 論求出地震子波。第二類統(tǒng)計(jì)子波提取的方法，如自相關(guān)的多道統(tǒng)計(jì)、同態(tài)反褶 積、以及利用高階累積量估算子波的方法等。 子波提取的兩類方法各有其優(yōu)缺點(diǎn)。確定性子波提取方法的優(yōu)點(diǎn)是不需要對 反射系數(shù)序列的分布作任何假設(shè)，能得到較為準(zhǔn)確的子波，缺點(diǎn)是需要利用測井 資料；統(tǒng)計(jì)方法的優(yōu)點(diǎn)是不需要測井信息，也可以得到子波的估計(jì)，但是往往需 對反射系數(shù)與地震子波作出假設(shè)( 地下反射率是具有白噪聲譜的隨機(jī)序列，地震 子波是時(shí)不變和最小相位的) ，其假設(shè)條件與實(shí)際情況的吻合程度對提取子波的 精確程度有很大的影響。在上述假設(shè)條件下，地震記錄道的自相關(guān)就相當(dāng)于地震 子波自相關(guān)的一個(gè)估計(jì)，即地震子波的振幅譜是已知的。在此基礎(chǔ)上：若給出子 波是最小相位、零相位或最大相位的假設(shè)，則該方法可提取出較為準(zhǔn)確的地震子 波。但是實(shí)際當(dāng)中地震子波是一種接近最小相位的混合相位子波，因此使用該方 法并不能得到準(zhǔn)確的結(jié)果。子波估算的另一類統(tǒng)計(jì)性方法是同態(tài)反褶積方法，從 復(fù)賽譜域中分離子波【4 1 。 整體上來說，前期提出的子波提取的方法只得到地震子波準(zhǔn)確的振幅譜信 息，后期才有一些學(xué)者進(jìn)一步提出確定子波相位的方法。 劉金俊提出了一種提取子波相位的方法【5 】。該方法利用最小相位子波振幅譜 的自然對數(shù)與相位譜之間的希爾伯特變換關(guān)系，經(jīng)z 變換求得相同振幅譜不同相 位譜的一系列的各個(gè)子波，通過掃描的方法在最大方差模準(zhǔn)則下確定子波。 c a m b o is 和s t o f f a 利用對數(shù)付氏域的表面連續(xù)相位展開來求取子波f 酗。子波的 相位譜是變化緩慢的，只在少數(shù)點(diǎn)有劇烈變化，而反射系數(shù)和噪音的相位譜是變 化劇烈的均值近于零的雜亂無章的曲線，因而可用地震道各點(diǎn)的平均相位來代替 子波的平均相位，從而求得近似的子波。此方法的假設(shè)條件是：平均反射系數(shù)是 白噪的；平均子波是最小相位的。l a z e a r 提出混合相位子波估計(jì)的指數(shù)衰減法【7 1 。 2 基十商階統(tǒng)計(jì)實(shí)現(xiàn)地震反射系數(shù)和了波估計(jì) 但是，此方法只在有時(shí)窗起點(diǎn)取在地震道開始前時(shí)才是有效的，而實(shí)際中做到這 一點(diǎn)很難，并且根本無法判斷方法是否失敗。 累積量的提出最早可以追溯到1 9 世紀(jì)8 0 年代，丹麥統(tǒng)計(jì)學(xué)家t h i e l e 最早 對累積量函數(shù)進(jìn)行研究。到1 9 8 4 年s h i r y a e v 將前人的研究概括為統(tǒng)計(jì)理論之后， 累積量逐漸被廣泛應(yīng)用；而高階譜的應(yīng)用到了2 0 世紀(jì)9 0 年代初才開始發(fā)展起來。 將高階統(tǒng)計(jì)用于提取子波則是l a z e a r l 9 9 3 年提出的，這才真正意義上拋棄了對 子波最小相位的假設(shè)【8 】。此類方法假設(shè)地層反射系數(shù)是三階或四階平穩(wěn)的、零均 值、非高斯、獨(dú)立同分布的隨機(jī)序列，噪聲為正態(tài)隨機(jī)序列( 可以是有色的，也 可以是白色的，但與信號不相關(guān)) ，l a z e a r 通過將某一給定的初始子波的高階累 積量與地震記錄的高階累積量在最小平方準(zhǔn)則下擬合并利用最速下降法來估計(jì) 非最小相位子波。最速下降法是線性擬合方法，這種方法有兩個(gè)缺點(diǎn)：第一，所 得的結(jié)果受給定的初值影響很大，并有和初值相像的趨勢；第二，結(jié)果可能陷入 局部極值。第一個(gè)缺點(diǎn)隱含了如果初值給得不恰當(dāng)，所得結(jié)果可能會(huì)有較大誤差， 這是擬合方法難以避免的。但是，試驗(yàn)驗(yàn)證當(dāng)給定的初始子波為位于零點(diǎn)的脈沖 時(shí)，則可以得到較為滿意的結(jié)果。為了減小第二個(gè)結(jié)果的誤差，v e l i s 和u l r y c h 【9 】( 1 9 9 6 ) 提出了一種非線性擬合方法：模擬退火法。該方法有效地避免了結(jié)果陷 入局部極小的可能。u l r y c h 和v e l i s 等提出用一個(gè)多維的錐形函數(shù)去圓滑累積 量估計(jì)，然后再利用模擬退火法提取子波，將結(jié)果與利用倒譜迭加方法提取的子 波比較，發(fā)現(xiàn)兩種方法的結(jié)果具有很好的一致性【l o 】。但是模擬退火法求解也有它 自身的缺點(diǎn)，如控制參數(shù)的選擇比較困難( 通常需要通過多次實(shí)驗(yàn)來確定) ，并且 運(yùn)算時(shí)間長。因此，尹成等提出通過求解高階累積量矩陣方程法來提取子波【l 。 該方法將地震模型定義為平穩(wěn)的非高斯的滑動(dòng)平均模型，由此推導(dǎo)出矩陣方程求 解子波。梁光河提出將高階累積量方法與確定性方法結(jié)合起來進(jìn)行子波提取。具 體做法是先用確定性方法得到較可靠的井旁道子波，然后用這個(gè)子波作為初始子 波，利用模擬退火法通過累積量擬合的方法提取子波【4 1 。 上述各種方法都是在時(shí)間域利用高階累積量提取子波。在頻率域應(yīng)用的有謝 桂生等提出的由地震記錄的雙譜( 地震記錄三階累積量的二維付氏變換) 求得子 波的相位譜【1 2 】，同時(shí)利用分形的原理求得子波的振幅譜，由振幅譜和相位譜通過 反付氏變換求得時(shí)間域的子波。 基于高階統(tǒng)計(jì)實(shí)現(xiàn)地震反射系數(shù)和了波估計(jì) 1 2 2 地震反褶積方法研究現(xiàn)狀 地震反褶積方法分為：確定性反褶積和統(tǒng)計(jì)性反褶積。確定性反褶積方法主 要是利用測井資料計(jì)算出反射系數(shù)序列，或者利用測井資料和地震道聯(lián)合提取出 一個(gè)恒定的地震子波，并以計(jì)算出的地震子波或者反射系數(shù)為已知條件來進(jìn)行反 褶積。這種方法的優(yōu)點(diǎn)是不需要對反射系數(shù)序列的分布或是子波的相位作任何假 設(shè)，就能得到較為準(zhǔn)確的反褶積結(jié)果：缺點(diǎn)是需要利用測井資料，這就大大限制 了其應(yīng)用。統(tǒng)計(jì)性反褶積方法是利用地震記錄來估計(jì)地震子波，然后作子波反褶 積。分為兩類：一是常規(guī)的基于二階統(tǒng)計(jì)學(xué)( s o s ) 方法的統(tǒng)計(jì)性反褶積：一是 基于高階統(tǒng)計(jì)學(xué)( h o s ) 方法的統(tǒng)計(jì)性反褶積?；诙A統(tǒng)計(jì)學(xué)方法的反褶積的 優(yōu)點(diǎn)是不需要測井資料，但往往要對反射系數(shù)和地震子波作出一定的假設(shè)，例如 假設(shè)地震子波是是不變和最小相位的，地震反射系數(shù)是白噪的隨機(jī)序列。 長期以來，人們一直嘗試拋開這些假設(shè)，來實(shí)現(xiàn)地震的盲反褶積。例如同態(tài) 反褶積。a v o p p e n h e i m 1 3 】( 1 9 6 5 ) 首先提出了用同態(tài)反褶積來分離地震子波和反 射系數(shù)，同態(tài)變換是一非線性變換，對地震子波不做最小相位假設(shè)，利用對數(shù)譜 平均提取子波直接分離出地震子波和反射系數(shù)序列【1 4 】。其假設(shè)前提是：子波部分 比較光滑( 以低頻為主) ，而反射系數(shù)部分則很不光滑( 以高頻為主) 。在復(fù)賽譜上， 子波主要分布在數(shù)值較低的區(qū)域，反射系數(shù)主要分布在數(shù)值較高的區(qū)域，這樣在 復(fù)賽譜上就能將兩者分開。但實(shí)際上兩者是有部分重合的，為此國內(nèi)外許多學(xué)者 提出利用多時(shí)窗隨機(jī)疊加的方法來提高估算精度【4 】。在解決地震信號處理方面， 國內(nèi)外的一些學(xué)者也進(jìn)行了研究。r w s e h a f e r 1 5 】提出了相位曲線展開法，但該 方法比較復(fù)雜，而且由于用此法展開的相位曲線不規(guī)則，在最后分離出的反射系 數(shù)中會(huì)產(chǎn)生明顯的附加噪音。p l s t o f f a 1 6 , 1 7 】等人還提出了先求相位曲線的微分值 而后積分的方法，將z 變換對數(shù)譜展開成泰勒級數(shù)。俞壽朋【1 8 】對子波相位的展開 進(jìn)行了探討，周興元【1 4 】為克服實(shí)際數(shù)據(jù)相位展開的問題，提出了統(tǒng)計(jì)同態(tài)反褶積 方法。另有一些文獻(xiàn)中也提出了各種改進(jìn)的同態(tài)反褶積的方法【1 9 珈1 。 信號處理界和地震界已經(jīng)有大量文章研究在不對子波相位和反射系數(shù)的分 布作假設(shè)的條件下進(jìn)行地震反褶積，并給出了很多有效的方法，但大多是基于二 階統(tǒng)計(jì)量【2 1 1 。而基于高階統(tǒng)計(jì)學(xué)方法的反褶積能夠直接反演出子波的相位，與以 往的常規(guī)反褶積相比，不需要對地震子波和反射系數(shù)作最小相位和白噪假設(shè)，能 4 基十高階統(tǒng)計(jì)實(shí)現(xiàn)地震反射系數(shù)和子波估計(jì) 夠?qū)崿F(xiàn)所謂真正的盲反褶積。 w i g g i n s ( 1 9 7 8 ) 提出的最小熵反褶積( m i n i m u me n t r o p yd e c o n v o l u t i o n ， m e d ) 方法提供了最有價(jià)值的方法【2 2 1 ，僅對反射系數(shù)要求為“簡單特征的稀疏 尖脈沖”，進(jìn)而尋求與地震道一致的大的尖脈沖具有最小數(shù)目，也就是引入目標(biāo) 函數(shù)，把反褶積結(jié)果的簡單程度歸結(jié)為數(shù)值大小的比較，即在最小熵( 最大確定 性、簡單性) 條件下尋優(yōu)。d o n o h o ( 1 9 8 1 ) 發(fā)展了w i g 百n s 方法【2 3 1 ，并給出了一 般解釋，以后由于高階譜估計(jì)理論研究的發(fā)展以及地震勘探反褶積實(shí)際應(yīng)用的需 要，促進(jìn)了最小熵反褶積的深入研究，得出了較為有效的算法與更為明確的解釋。 最小熵反褶積對反射系數(shù)采用方差最大準(zhǔn)則( 四階累量峰度) ，并且要求反 射系數(shù)是非高斯分布的，對地震子波沒有相位假設(shè)，屬高階統(tǒng)計(jì)學(xué)方法。 鑒于盲分離與盲反褶積方法的淵源聯(lián)系，可根據(jù)基于高階統(tǒng)計(jì)學(xué)盲源分離方 法一獨(dú)立分量分析( i n d e p e n d e n t c o m p o n e n t sa n a l y s i s ，i c a ) 導(dǎo)出的一種實(shí)現(xiàn)地震 盲反褶積的方法來同時(shí)實(shí)現(xiàn)地震反射系數(shù)和子波估計(jì)，是對最小熵反褶積方法的 擴(kuò)展和提升。 獨(dú)立分量分析是針對語音分離問題發(fā)展的一種盲信號分離技術(shù)，已成為信號 處理中的一個(gè)研究熱點(diǎn)，在語音識別、圖像識別、通訊、醫(yī)學(xué)和地震信號處理等 領(lǐng)域倍受關(guān)注【2 4 1 ，現(xiàn)已經(jīng)被廣泛地應(yīng)用在很多領(lǐng)域中。劉喜武和陸文凱等在國內(nèi) 率先將獨(dú)立分量分析方法引入地球物理領(lǐng)域，提出了利用獨(dú)立分量分析進(jìn)行地震 信號去噪【2 5 2 6 1 、實(shí)現(xiàn)地震臺站接收到的轉(zhuǎn)換波和多次波的分離【2 7 1 和解決多次波 自適應(yīng)相減等問題【2 8 】。針對時(shí)間延遲的盲信號分離，即所謂的盲反褶積問題，文 獻(xiàn) 2 9 提出用i c a 實(shí)現(xiàn)同態(tài)反褶積( 盲反褶積) 的方法，地震信號反褶積可以借 鑒。文獻(xiàn) 2 1 中曾提出了一種用i c a 方法進(jìn)行地震信號盲反褶積的思路。2 0 0 3 年 在日本召開的“獨(dú)立分量分析與盲信號分離”年會(huì)上，k a p l a n 與u l r y c h 給出用i c a 實(shí)現(xiàn)地震盲反褶積的初步方法。 1 3 本文的基本研究思路和研究內(nèi)容 本文研究基于高階統(tǒng)計(jì)的地震子波估計(jì)和反褶積的方法，基本的研究思路為： 研究時(shí)間域的反褶積，利用高階譜估計(jì)出非最小相位的地震子波并進(jìn)一步求出反 射系數(shù)。利用基于高階統(tǒng)計(jì)的盲分離方法獨(dú)立變量分析( i c a ) 來實(shí)現(xiàn)地震 5 基于高階統(tǒng)計(jì)實(shí)現(xiàn)地震反射系數(shù)和子波估計(jì) 子波和反射系數(shù)的同時(shí)求取。本文的主要研究內(nèi)容： 傳統(tǒng)的地震反褶積方法研究與數(shù)值實(shí)現(xiàn) 基于高階統(tǒng)計(jì)的子波估計(jì)及反射系數(shù)的求取。 基于獨(dú)立變量分析的子波估計(jì)和反射系數(shù)的同時(shí)求取。 1 4 主要?jiǎng)?chuàng)新點(diǎn) 在時(shí)間域無噪條件下，應(yīng)用獨(dú)立變量分析( i c a ) 算法實(shí)現(xiàn)了地震盲反褶 積，同時(shí)實(shí)現(xiàn)了地震反射系數(shù)和子波的求解。 在無噪條件下，實(shí)現(xiàn)了基于獨(dú)立變量分析( i c a ) 的同態(tài)反褶積，同時(shí)實(shí) 現(xiàn)了地震反射系數(shù)和子波的求解。 1 5 理論意義和實(shí)際應(yīng)用價(jià)值 基于高階統(tǒng)計(jì)的地震子波估計(jì)和地震反褶積方法能夠擺脫對地震子波最小 相位和反射系數(shù)是白噪的假設(shè)的束縛，使地震子波估計(jì)和地震反褶積的結(jié)果更符 合實(shí)際情況，具有重要的理論意義和實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。 6 基十高階統(tǒng)計(jì)實(shí)現(xiàn)地震反射系數(shù)和了波估計(jì) 2 地震反褶積和子波估計(jì) 2 1 最小平方反褶積 提高地震記錄的分辨率，關(guān)鍵要盡可能地消除地震子波的影響，即把拉長的 地震子波盡量變成一個(gè)較窄的脈沖，這就是反褶積3 0 1 要解決的問題。 2 1 1 最小平方濾波 由于激發(fā)脈沖經(jīng)過大地地層濾波后接收到的不再是一個(gè)脈沖，而是一個(gè)拉長 了的子波，這樣每道地震記錄就是一些不同到達(dá)時(shí)間和不同幅度的波形疊加，從 而模糊了各反射系數(shù)界面的到達(dá)時(shí)間和反射系數(shù)的大小。如果能找到一個(gè)反濾波 因子( 反子波因子) a ，使子波島變成一個(gè)窄脈沖4 。即 口f 幸勿= 4 ( 2 - 1 ) 但是，當(dāng)子波包的頻譜b ( 國) 有零點(diǎn)時(shí)，滿足式( 2 1 ) 的口，使不存在的，即 要使包經(jīng)過褶積后精確地等于諺是不可能的。于是有 a t 奉包4 ( 2 - 2 ) 設(shè)誤差為，則 e = ( a t 幸6 f 一4 ) ( 2 3 ) 要求在任何時(shí)間，誤差都要小。由于式( 2 3 ) 右邊的差值可正、可負(fù)，因此每 個(gè)時(shí)刻差值之和最小反映不出總誤差的大小，所以用每個(gè)時(shí)刻差的平方和最小來 反映總誤差最小，即用 q = s ；- - e ( q 木包一巧) 2 = m i n ( 2 - 4 ) 來衡量式( 2 3 ) 的近似度。所謂最小平方濾波就是找出濾波因子a t ，使誤差能量 q 達(dá)到最小q m i n o 用數(shù)學(xué)模型來表達(dá)就是：已知輸入信號( 可認(rèn)為是子波2 j 1 ) ，要求設(shè)計(jì)的 濾波器( 濾波因子) 向( 可認(rèn)為是反濾波因子a ，) 使得實(shí)際輸出y ，= 幸噍與期 望輸出( 已知) 乙( 不限于諺) 的誤差平方和q = ( 只一z ，) 2 一s ；為最小( q m ；。) 。 7 基于高階統(tǒng)計(jì)實(shí)現(xiàn)地震反射系數(shù)和子波估計(jì) 顯然，當(dāng)實(shí)際輸出與期望輸出完全一致時(shí)，即e a = 只- - z t = 0 ( = 0 ) ，此 時(shí)把已知信號通過濾波因子曩作用后精確地轉(zhuǎn)化為另一個(gè)已知信號z r ，所以有 t 鬼 - z t ，在頻率域上有x ( 緲) 日( 彩) = z ( 緲) 。 2 1 2 最小平方濾波因子的求解 求濾波因子鬼，要使其誤差平方和達(dá)到最小q m ，也就是要求實(shí)際輸出y t 與 期望輸出z t 盡量接近。接近的標(biāo)準(zhǔn)采用最小平方準(zhǔn)則，其中q 是依賴于濾波因子 鬼，即為i 的多元函數(shù)，實(shí)際上是求多元函數(shù)的極值，即求 q = # = i 見k - z , 1 2 、 tt f ( 2 5 ) 對每一個(gè)曩的偏導(dǎo)數(shù)，并令其為零所滿足的方程署= o ( t - o ，l ，2 ，) ，具 簟2 藻墨- z , 翻：0 6 ， = l 2 l i 一，i 一乙一，i = 設(shè)脅+ 1 長度的濾波因子為 j i r - ( h 嘞，舡嘶+ 。，紅噸+ 肼) 仿照式( 2 - 7 ) 可得 8 ( 2 9 ) 皋十高階統(tǒng)計(jì)實(shí)現(xiàn)地震反射系數(shù)和了波估計(jì) 一m 0 + m hr x ( i f ) = o ( m ( 1 = - m o ，一m 。+ 1 , - - - , 一聊。+ m ) ( 2 - 1 0 ) t = - - m 0 式( 2 1 0 ) 就是式( 2 - 9 ) 中的曩要滿足的方程。由于自相關(guān)函數(shù)是對稱的，即 乞( ，) = r ( - 1 ) ，因此式( 2 1 0 ) 可寫成如下矩陣形式 o ( 0 ) o ( 1 ) k ( 1 ) 名( 0 ) k ( m ) o ( m - 1 ) 名( m ) r ( m - 1 ) 名( o ) 舡。 垃m 0 + l 舡+ 。 2 1 3 最小平方反褶積( 脈沖反褶積) 原理 0 ( 一聊。) o ( 一+ 1 ) ； o ( 一+ 優(yōu)) ( 2 1 1 ) 最小平方反褶積是最小平方濾波的一個(gè)特例。前提是假設(shè)反射系數(shù)序列，；為 一白噪序列，地震子波包為最小相位的。最小平方反褶積的數(shù)學(xué)模型為：已知輸 入信號為子波包= ( 6 b ，6 l ，吃) ，要求設(shè)計(jì)的濾波因子口，= ( 口咄，口嘞+ ，口飛+ 。) 使得實(shí)際輸出只= a t 幸包= 以，包一，與期望輸出( 已知) 吐( 一個(gè)短脈沖) 之間 t 2 - - m 0 的誤差平方和q = ( q 掌島一z ) 2 = # 為最小，即要求口r 使誤差平方和紼達(dá) 到最小值。 由式( 2 - 1 0 ) 可知a ，必須滿足方程 一m 0 + m a r r b b ( 1 - r ) = 么( m ，= - m 0 ，m 。+ 1 ，一腳。+ 聊 ( 2 1 2 ) f 2 - r t l 0 寫成矩陣形式為 ( 0 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 0 ) ( m ) ( m - 1 ) ( 聊) r 。b ( m - 1 ) ( o ) 口一 口一m 0 + l 口一m 。+ 冊 ( 一) ( 一+ 1 ) ( 一+ 聊) ( 2 1 3 ) 當(dāng)取短脈沖z = 巧= 【1 。, ，t f - - o 。，有( ，) = 軍z + ，6 ，= 莩4 + ，6 r = 6 ，因此式 ( 2 1 3 ) 變?yōu)?9 基于高階統(tǒng)計(jì)實(shí)現(xiàn)地震反射系數(shù)和了波估計(jì) ( o )r b b ( 1 ) r b b ( 1 )( o ) i； ( m ) r b b ( m - 1 ) r 6 b ( m ) ( m - 1 ) r 。s ( o ) 口- a - m o + l a - t o o + m 一。 一。 ( 2 1 4 ) 式( 2 - 1 4 ) 即為通常所說的最小平方反褶積方程。 反射系數(shù)序列，：為一白噪序列時(shí)，可推出地震記錄的自相關(guān)函數(shù)，曩( ，) 等于 地震子波6 r 的自相關(guān)函數(shù)( ，) 。地震子波6 f 為最小相位的，其反子波( 反濾波 因子) q 存在，且為物理可實(shí)現(xiàn)的( 即當(dāng)f m ) = 0 ，j i ，口幾。 由式( 2 - 3 0 ) 可知，只要知道m(xù) l 階所有系數(shù)a m - l , mm - o ，l ，m 一1 ) 和 幾( 當(dāng)前階) ，就可遞推出a m ，( m = 0 , 1 ，m ) ，式( 2 - 3 0 ) 即為l e v i n s o n 遞推 公式。 2 2 1 3b u r g 算法 利用b u r g 算法【3 3 】計(jì)算幾既不需要計(jì)算全部的預(yù)測誤差系數(shù)，又能保證結(jié)果 是穩(wěn)定的，即i 幾i = i 朋i 2 ，則除以一個(gè)比例因子。把這個(gè)冪級數(shù)代入由對數(shù)展開 的冪級數(shù)中，得 v ( z ) - - h 1 r ( z ) ：( r - 1 ) 一掣+ 學(xué)0 丌二一川二=x 基于高階統(tǒng)計(jì)實(shí)現(xiàn)地震反射系數(shù)和子波估計(jì) 3 基于高階統(tǒng)計(jì)量實(shí)現(xiàn)非最, j , t h 位子波和反射系數(shù)估計(jì) 3 1 高階統(tǒng)計(jì)量方法的理論基礎(chǔ) 非高斯信號處理是信號理論的一個(gè)新領(lǐng)域，與傳統(tǒng)信號處理不同，非高斯信 號處理使用高階統(tǒng)計(jì)量作為主要分析工具，高階累積量【3 9 , 4 0 】作為一種高階統(tǒng)計(jì) 量，其應(yīng)用引起了人們廣泛的興趣，尤其是近幾年來，其迅速發(fā)展使大量新的重 要理論結(jié)果涌現(xiàn)，可以幫助人們?nèi)ソ鉀Q很多實(shí)際問題。 3 1 1 特征函數(shù) 定義：設(shè)隨機(jī)變量善的分布函數(shù)為f ( x ) ，其特征函數(shù)為 ( 國) = 擴(kuò)扭( j ) ( 3 - 1 ) 特征函數(shù)( 國) 在原點(diǎn)有最大值，即 l ( 緲) i l o ( o ) i = 1 ( 3 2 ) 利用概率論中的公式： e g ( 孝) = g ( x ) 卵( x ) ( 3 - 3 ) 可得到特征函數(shù)一般形式 (緲)=e)(3-4) 特別地，當(dāng)孝為連續(xù)隨機(jī)變量，s ( x ) 為概率密度，則式( 3 - 1 ) 變?yōu)?( 緲) = 廠( x ) 扭( 工) ( 3 5 ) 由傅立葉變換可以得到 飾) 2 石1e ( 國) e - j e j x 砌( 3 - 6 ) 令隨機(jī)變量孝的分布函數(shù)為磊= 名( x ) ，且f ( 緲) = e 為特征函數(shù)。設(shè) ，7 = 口孝+ 6 ，貝0 有 。( 緲) = f ( a g o ) ( 3 7 ) 基于高階統(tǒng)計(jì)實(shí)現(xiàn)地震反射系數(shù)和了波估計(jì) 進(jìn)一步，若石，乞，磊為獨(dú)立的隨機(jī)變量，且孝= 卣+ + 鼻，則 中f ( 緲) = n 岳( 緲) ( 3 8 ) 即獨(dú)立( 有界的) 隨機(jī)變量之和的特征函數(shù)等于它們的特征函數(shù)之積。 若f ( x ) 和g ( x ) 是具有相同特征函數(shù)的分布函數(shù)，即對于所有石r ， p 脅卵( z ) = p 脅a g ( 工) 則有f ( x ) 蘭g ( x ) ( 3 9 ) 定義：i - 2 x = 【五，以】7 是一隨機(jī)向量，r r o = 【q ，q 】2 ，則隨機(jī)向量 z 的特征函數(shù)定義為 ( 一，q ) = e p 啪+ + 堿 ( 3 1 0 ) 關(guān)于隨機(jī)向量，有如下結(jié)論：隨機(jī)向量x = i x l ，一，以】7 的各個(gè)分量彼此獨(dú) 立的充分條件是，其特征函數(shù)是各分量的特征函數(shù)之積，即 e p “q 而+ 他以 = 兀t , le p 廁局) ，( q ，q ) r ( 3 1 1 ) 3 1 2 高階統(tǒng)計(jì)量的定義 高階統(tǒng)計(jì)量，也即二階以上的統(tǒng)計(jì)量，一般包括高階矩、高階累積量以及它 們的譜，此外，還有循環(huán)累積量，倒高階累積量譜倒多譜等1 3 9 , 4 1 4 2 1 ，目前高階 統(tǒng)計(jì)量應(yīng)用研究主要集中在三階累積量、四階累積量及相應(yīng)的高階譜( 雙譜和三 階譜) 方面。 3 1 2 1 高階矩和高階累計(jì)量的定義 特征函數(shù)方法是概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)的主要分析工具之一，因此，首先從特征 函數(shù)入手，給出高階矩和高階累積量的定義。 根據(jù)特征函數(shù)的定義中的式( 3 - 1 ) ，令s = ，緲，并記( 緲) 為( s ) ，則有 隨機(jī)變量x 的特征函數(shù)為 ( s ) = e “d f ( x ) = e e d ) ( 3 1 2 ) 基于高階統(tǒng)計(jì)實(shí)現(xiàn)地震反射系數(shù)和予波估計(jì) 對上式求七次導(dǎo)數(shù)得：( o ) = e x ) 。因此， m k = e z = 西( j ) b ( 3 - 1 3 ) l 馬瓦 m k = ( 一西( 緲) k ( 3 - 1 4 ) 即( s ) 在原點(diǎn)的七階導(dǎo)數(shù)等于x 的七階矩。因此常將( s ) 或( 緲) 稱為 x 的矩生成函數(shù)( 又叫第一特征函數(shù)) 。 甲( j ) = h l ( s ) ( 3 - 1 5 ) 或甲( s ) 被稱為x 的累積量生成函數(shù)( 又叫第二特征函數(shù)) 。隨機(jī)變量x 的七階 累積量生成函數(shù)、王，( s ) 的七階導(dǎo)數(shù)在原點(diǎn)的值，即 q = 掣b ( 3 - 1 6 ) 由式( 3 - 1 2 ) 得0 ( 0 ) - 1 ，從而有甲( o ) = o 。因此，我們將、王，( j ) 以t a y l o r 級數(shù)展 開得 甲( s ) = q j + 三c 2 “+ 擊q ( 3 - 1 7 ) 另一方面，由于o ( s ) = ，所以有 7 0 ) = 甲( se ，( s ) = 甲。( s ) + 甲( s ) 2 e j 令s = 0 ，得 m 7 ( o ) = 、王，( o ) = 瑪，。( o ) = 甲。( o ) + 甲( o ) 2 = 鴨 ( 3 1 8 ) 比較式( 3 1 6 ) 和式( 3 1 8 ) 可知， q = 瑪，乞= m 2 - m ； ( 3 - 1 9 ) 推廣到隨機(jī)向量的高階矩和高階累積量的定義，令x = 【五，t 】7 為一隨機(jī) 向量。對其特征函數(shù)( q ，q ) = e e x p 歹( q 五+ + q 置) 求，= + + 以 次佩可得裂吖e 陋暈黼i + + 訓(xùn) 。若令壚一q - 0 ， 則1 - 式可得 3 2 基于i 商階統(tǒng)計(jì)實(shí)現(xiàn)地震反射系數(shù)和了波估計(jì) 兒= e 叭刖制7 裂卜嘲卸( 3 - 2 0 ) 該式是隨機(jī)向量 五，五】的，階矩的定義。 類似的， 【x i ，x k 】的r 階累積量可用其累積量生成函數(shù) 甲( q ，略) = l i l ( q 9q * * 9 q ) 定義，即 c y i y k = ( m 7 裂k 剛 ：( 一) ，靜f q 一。略卻 3 - 2 1 可以證明，偏導(dǎo)數(shù)螽x ( q ，q ) 存在且連續(xù)。因此，如果將 x ( q ，嗥) 展開成t a y l o r 級數(shù)，則有 吲 訓(xùn)- - ”z +