1 3.8 模糊邏輯與模糊推理 二值邏輯是當前計算機的邏輯基礎(chǔ)。人的思維邏輯的秘密至今尚未解開。計算機要模擬人的智力，用二值邏輯顯然是不行的。雖然現(xiàn)在還不能斷言模糊邏輯就是人的思維邏輯，但近三十多年來的實踐表明，模糊邏輯比二值邏輯更接近人的思維規(guī)律。盡管計算機本身目前還是以二值邏輯為基礎(chǔ)，但用 2 這種計算機來計算和處理信息時，卻可以采用非二值邏輯，例如模糊邏輯，這樣做就使計算機的應(yīng)用 領(lǐng)域可以擴展到知識工程的領(lǐng)域。 3.8.1 模糊邏輯 1. 命題與邏輯符號 定義 3.8.1 一個有意義 (具有真假可言 )的陳述句稱為命題 。 3 如： (1) 該書是中文寫的。 (2) 4 加 2 等于 6。 (3) 他很年輕。 (4) 今天氣溫較高。 4 定義 3.8.2 若陳述句的意義明確，可以分辨真假，這種命題就稱為 二值命題 （ 簡稱 命題 ） ； 若陳述句的意義是模糊概念，不能用簡單的真假分辨，則這種命題就稱為 模糊命題 。 如上述 (1)、 (2) 句是二值命題； (3)、 (4) 句是模糊命題。 5 定義 3.8.3 對于二值命題，可以用一些連接詞如“或”、“與”、“非”、“如果 ，那么 ” （ “若 ，則 ” ） 等連接起來。 (1) “或 ” (or)：用符號 “ ” 表示，與集合中的并 “ ” 相 對應(yīng)，又稱 “ 析取 ”，即兩個命題至少有一個成立。 6 (2) “與 ” (and)：用符號 “ ” 表示，與集合中的交 “ ” 相 對應(yīng)，又稱 “ 合取 ”，即兩個命題必須同時成立。 (3) “非 ” (not)：在原命題上加 “ ” 橫線，或在命題前加 “ 符號，也稱“ 否定 ”，它與集合中的補集相對應(yīng)。 7 設(shè)有如下兩個命題： P： 他愛好英語， Q： 他愛好日語。 則有 PQ： 表示他愛好英語或愛好日語， PQ： 表示他愛好英語和日語， 或 P： 表示他不愛好英語。 P8 (4) “如果 ，那么 ” ( if.than )：用符號“ ”（或 “ ” ）表示，是推斷的意思，與集合中的包含“ ” 相對應(yīng)，又稱 蘊含 。 例如，如果 ABC是等邊三角形 ( S )， 那么 ABC是等腰三角形 ( T )， 用符號寫就是： S T 或 S T。 (5) “當且僅當 ”：用符號 “ ”（ 或 “ ”） 表示，它表示 兩個命題等價 。 9 定義 3.8.4 一個命題的真與假，叫做它的 真值 。常用“ 1 表示真，用 “ 0 表示假。兩個命題構(gòu)成一個 復(fù)合命題 時，它的真值表如表 3.14 所示。 命題 P Q PQ PQ P PQ PQ 真值 真 (1) 真 (1) 假 (0) 假 (0) 真 (1) 假 (0) 真 (1) 假 (0) 真 (1) 真 (1) 真 (1) 假 (0) 真 (1) 假 (0) 假 (0) 假 (0) 假 (0) 假 (0) 真 (1) 真 (1) 真 (1) 假 (0) 真 (1) 真 (1) 真 (1) 假 (0) 假 (0) 真 (1) 表 3.14 復(fù)合命題的真值表 10 2. 模糊命題的真值 模糊命題的取值不是單純的用來表示命題的真和假，而是用來表示命題的真和假的程度。仿照經(jīng)典集合向模糊集合推廣的情形，我們也可以將二值命題的取值范圍由 0， 1 推廣到 0, 1 區(qū)間上取連續(xù)值，從而得到模糊命題的真值。 11 定義 3.8.5 模糊命題 P 的真值記作 T ( P ) = x, 0 x 1。 顯然，當 x 1 時表示 P 完全真； x 0 時表示 P 完全假。 x 介于 0， 1 之間時，表示 P 真假的程度。 x 越接近于 1，表明真的程度越大； x 越接近于 0，表明真的程度越小，即假的程度越大。 12 定義 3.8.6 復(fù)合模糊邏輯命題仍用連接詞 、 、 （ 或 ） ，其意義分別是： 表示取大值、 表示取小值， （ 或 ） 表示取補值 （ 即取值 1 x， x 是 P 的真值 ） 。 例如，若有 T(P) = x 0.8， T(Q) = y 0.6， 則復(fù)合模糊邏輯命題的真值表如表 3.15 所示 13 由表可知，二值命題的復(fù)合運算是模糊命題的復(fù)合運算的特例。 模糊命題的 “ ” （或 “ ” ）運算，就是 模糊推理 ，將在以后討論。 模糊命題 P Q PQ PQ P 真值 T 0.8 0.6 0.8 0.6 0.2 表 3.15 復(fù)合模糊邏輯命題的真值表 14 (9) 歸約律： 由二值邏輯的真值表可以證明 ： “ ” 及 “ ” 兩種邏輯運算是非獨立的，即存在下述等式： P Q = Q P Q = ( Q) (P ) 所以在二值邏輯中，獨立的邏輯連接詞只有三個：“ ”、“ ”、“ ” 。 PPQ15 3. 格、布爾代數(shù)與 De-Morgan 代數(shù) 定義 3.8.7 （ 格的定義 ） 一個集合 L，若在其中定義了 “ ” 與 “ ” 兩種運算，且具有下述性質(zhì)： (1) 冪等律：若 L， 則有 ， ； (2) 交換律：若 ， L， 則有 ， ； 16 (3) 結(jié)合律：若 ， ， L， 則有 ( ) ( )， ( ) ( )； (4) 吸收律：若 ， L， 并有 ( ) = ， ( ) = ， 則稱 L 是一個格，并記為 L ( L， ， )。 17 若格 L 還滿足： (5) 分配律： ( ) ( ) ( )， ( ) = ( ) ( )， 則稱 L 是一個 分配格 。 18 若在 L 中 還有： (6) 兩極律：在 L 中存在兩個元素，記為 0 和 1，滿足 L， 有 1 1， 1 ， 0 ， 0 0。 則稱 L 有最小元 0 和最大元 1 。 19 在有最小元 0 和最大元 1 的分配格 L 中進一步規(guī)定一種一元運算 “ c （ 稱為 補運算 ） ，且滿足 (7) 復(fù)原律：若 L， 則有 ( c ) c= ； (8) 互補律： c 1， c 0。 定義 3.8.8 (布爾代數(shù)定義 ) 滿足 (1) (8) 的 L ( L， ， ， c ) 稱為一個布爾代數(shù)。 20 例如 (0, 1， ， ， c) 是一個布爾代數(shù)，其中運算： max ( , ), min ( , ), c =1- 。 定義 3.8.9 （ De - Morgan 代數(shù)的定義 ） 若除上述 (1) (7) 性質(zhì)外，還滿足 De Morgan 律 ( (10) 對偶律 ) ( )c = c c ， ( )c = c c， 則稱代數(shù)系統(tǒng) ( L， ， ， c ) 為 De-Morgan 代數(shù)。 21 De - Morgan 代數(shù)與布爾代數(shù)的顯著區(qū)別在于前者不滿足互補律，即在 De-Morgan 代數(shù)中，一般有 c 1， c 0 。 正因為這一點，它才成為研究模糊邏輯運算的有力工具。 22 例如 ( 0, 1， ， ， c ) 是一個 De Morgan 代數(shù)，而不是一個布爾代數(shù)，因為互補律不成立。如取 0.80, 1， 則有 0.8 (0.8)c = 0.8 0.2 = 0.8 1， 0.8 (0.8)c = 0.8 0.2 = 0.2 0。 23 (9) 歸約律： 由二值邏輯的真值表可以證明 ： “ ” 及 “ ” 兩種邏輯運算是非獨立的，即存在下述等式： P Q = Q P Q = ( Q) (P ) 所以在二值邏輯中，獨立的邏輯連接詞只有三個：“ ”、“ ”、“ ” 。 PPQ24 4. 模糊邏輯函數(shù) 定義 3.8.10 若一個邏輯命題 的取值 是可以變化的，則稱這樣的邏輯命題為 邏輯變量 x。 二值邏輯變量的取值是 0, 1， 而模糊邏輯變量的取值為 0, 1。 25 定義 3.8.11 由邏輯變量 x 及邏輯運算 、 、 和括號所形成的函數(shù) F 稱為 邏輯函數(shù) (又稱 邏輯公式 )。 若變量 x 的取值及邏輯運算是二值的，則稱 F 是 二值邏輯函數(shù) (邏輯公式 )； 若變量 x 的取值及邏輯運 算是模糊的，則稱 F 是 模糊邏輯函數(shù) (模糊邏輯公式 )。 26 例如 等都是邏輯函數(shù) （ 邏輯公式 ）。 有時為了書寫方便，常將符號 “ ”、 “ ” 及 “ c用簡便符號 “”、“ 及 “ ” 分別取代，“ 有時不寫。這樣簡化后，上述邏輯函數(shù)就可簡化成： 3211111 )(, xxxFxxFxxF .)(, 321111111 xxxFxxxxFxxF 27 5. 模糊邏輯轉(zhuǎn)化成多值邏輯 如果我們把模糊邏輯變量 x、 y、 z 看作是 X、Y、 Z 的隸屬函數(shù)在某一點 x0 的值，即 x = X (x0), y = Y (x0), z = Z (x0) 則模糊邏輯變量的運算便代表了模糊集合的運算。 28 為了討論問題方便，常將區(qū)間 0, 1 分成若干相等部分，使得隸屬函數(shù)只能在子區(qū)間邊緣上取值。例如分成五個相等部分，則隸屬函數(shù)只能在集合 M = 0， 0.2， 0.4， 0.6， 0.8， 1 中取值，這樣模糊邏輯便轉(zhuǎn)化成多值邏輯。在上例中，邏輯值共有 6 個。 29 例如 的真值表列于表 3.16 YXyx y(Y) x(X) 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 0.8 0 0.2 0.4 0.6 0.6 0.6 0 0.2 0.4 0.4 0.4 0.4 0 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0 0 0 0 0 0 30 6. 模糊邏輯函數(shù)的范式 定義 3.8.12（ 析取范式 ） 若 xij 是邏輯變量，則下列邏輯函數(shù)稱為析取范式 （ 邏輯并標準型 ） ： 定義 3.8.13（ 合取范式 ） 若 xij 是邏輯變量，則下列邏輯函數(shù)稱為合取范式 （ 邏輯交標準型 ） ： 1.8.31 1 pinjijxF 2.8.31 1 njpiijxF31 式中， 表示連加，即 ； 表示連乘，即 。所以析取標準型為 “ 積之和 ” 型，而合取標準型為 “ 和之積 ” 型。 一般，對于一個給定的模糊邏輯函數(shù)式，總可以通過等價變換使其成為析取范式或合取范式，或是析取范式和合取范式的組合。 為了把模糊邏輯函數(shù)式化成標準型，我們要利用以下兩個定理，因證明要占很大篇幅，故略去。 32 定理 3.8.1 公式 F 在模糊邏輯中為真 ， 當且僅當該公式在二值邏輯中為真 。 (定義：當模糊邏輯公式 F 的取值大于等于 1/2 時 ，稱 F 為真 。 ) 定理 3.8.2 公式 F 在模糊邏輯中可化成標準型 ， 當且僅當 F 在二值邏輯中可化成標準型 。 33 以下舉例說明模糊邏輯函數(shù)化成標準型的方法。 例 3.8.1 設(shè) x、 y、 z 均為模糊邏輯變量，它們分別為某些命題的真值，試求模糊邏輯函數(shù) F ( x， y， z ) =( x y ) z ( x z) y 的析取范式和合取范式。 先求析取范式。為此先確定邏輯變量 x、 y、 z 分別為 0 和 1 時的模糊邏輯函數(shù)值 （ 相當于二值 34 邏輯的情況），結(jié)果如表 3.17 所示 x y z F (x， y， z) 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 35 1. 用邏輯函數(shù) F (x, y, z) 取值為 1 時所對應(yīng)取 1 的邏輯變量求交作為析取范式的一項。 例如表中第四行， F (x, y, z) =1，對應(yīng) x =1， y =1， 故 xy 即為析取范式的一項。 最后對析取范式的每一項求并 ，再 根據(jù)吸收律 化簡 ，即可求得析取范式為 F (x， y， z) = (x y) (x z) (y z) (x y z) = (x y) (x z) (y z) 。 36 2. 求合取范式的步驟與上式類同，只不過 按 F (x, y, z) 0 時取值為 0 的邏輯變量求并作為合取范式的一 項 ， 然后對各項求交后再化簡 ， 所得合取范式如下： F (x， y， z) = (x y z) (y z) (x z) (x y) (y z) (x z) (x y) 。 由以上求得的析取范式與合取范式不難看出 ， 對于同一模糊邏輯函數(shù) ， 兩種范式之間是對偶的 。 37 3. 如果邏輯函數(shù)式中的邏輯變量有 的形式，則通過真值表示范式時， 選取每一子項應(yīng)遍歷所有變量 。例如求析取范式時， 根據(jù) F (x, y, z) 1 的那一行，應(yīng)取 1 的變量和取 0 的變量的補 。在上例表中第四行，當 F (x, y, z) 1 時， x =1， y =1， z = 0， 故應(yīng)選 為析取范式的一項。 zyx zyx ,38 當然，例 3.8.1 中選取每一子項時，也可遍歷所有變量，化簡后其結(jié)果是相同的。 關(guān)于化簡模糊邏輯函數(shù)的問題 （ 極小化問題 ） ，限于篇幅在此不作進一步討論。 39 3.8.2 模糊語言 語言是人們進行思維和信息交流的工具。語言分為自然語言與形式語言兩種。 自然語言 是一些詞 （ 或字 ） 連接成的句子，一般帶有模糊性。 形式語言 是一些符號按一定規(guī)則連接成的符號串，它代表機器的某些單元的狀態(tài)或操作，一般具有確定性。 40 隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，人們不但希望用機器代替人的體力勞動，更希望機器能具有人的智力，模擬人腦的思維推理，使人們從復(fù)雜艱難的腦力勞動中解放出來。這樣就自然提出了下述 兩個任務(wù) ： 41 (1) 用以二值邏輯為基礎(chǔ)的形式語言來處理模糊的自然語言； (2) 創(chuàng)造某種以模糊邏輯為基礎(chǔ)的形式語言來處理模糊性的自然語言。這方面的研究，構(gòu)成模糊數(shù)學(xué)的一個分支，現(xiàn)在還很不成熟，但已在人工智能、模糊控制等方面獲得了廣泛應(yīng)用。 42 1. 模糊語言變量 帶有模糊性的語言稱為 模糊語言 ，如： “ 他很年輕 ”、 “ 小張起得很早 ”、 “ 老李是高個子 ” 等等。 模糊語言的核心是模糊集合，如上述語言中的 43 很年輕 ”、 “ 很早 ”、 “ 高個子 ” 等就分別是論域為 “ 年齡 ”、“ 時間 ”、“ 身高 ” 上的模糊集。模糊語言還有一定的語法和語義。 44 語言變量 是以自然或人工語言中的字或句作為變量，而不是以數(shù)值作為變量 。 語言變量用以表征那些十分復(fù)雜或定義很不完善，又無法用通常的精確術(shù)語進行描述的現(xiàn)象。 模糊語言變量 比起模糊變量來是一個級別更高的變量，它是將模糊語言形式化的重要工具。 45 L.A.查德 (Zadeh) 定義 模糊語言變量 為如下的五元組： ( X， T ( X )， U， G， M ) (3.8.3) 其中 X 是語言變量的名稱， U 是 X 的論域， T ( X ) 是語言變量值的集合，每個語言變量值是定義在論域 U 上的模糊集合， G 是語法規(guī)則，用以產(chǎn)生語言變量 X 值的名稱， M 是語義規(guī)則，用以產(chǎn)生模糊集合的隸屬度函數(shù)。 46 例 3.8.2 以速度為模糊語言變量 X ，論域 U 取 0, 200 (km / h)，速度的語言值集合 T ( X ) 為 慢，適中，快 ，其中 “ 慢 ”、“ 適中 ”、“ 快 ” 為模糊集合。模糊集合的隸屬度用模糊語義規(guī)則 M 來決定，具體如圖 3.53 所示。把速度分成若干語言值的規(guī)則，就是語法規(guī)則 G。 在本例中我們把速度分成三個語言值，即 “ 慢 ”、“ 適中 ”、“ 快 ” 。 47 1 0.5 慢 適中 快 60 80 100 速度 ( km / h ) 圖 3.53 模糊語言變量 “速度” 的隸屬度函數(shù) 48 圖 3.54 是速度這個模糊語言變量五元組的示意圖 速 度 適中 快 慢 60 70 80 90 100 1 0.5 0 1 0.5 0 1 0.5 0 0 0.5 km/h 語言變量 X 語法規(guī)則 G 語言值 T (X) 語義規(guī)則 M 論域 U 圖 3.54 模糊語言變量速度的五元組 49 2. 模糊語言算子 自然語言中有一些通過改變語氣而改變語義的詞，如加強肯定語氣的詞 “ 很 ”、“ 非常 ”、“ 極 ” 等；也有一些使詞義變?yōu)槟：脑~，如 “ 大概 ”、“ 近似于 ” 等；還有些使詞義由模糊變?yōu)榭隙ǖ脑~，如 “ 偏向 ”、“ 傾向于 ” 等。這些詞在模糊推理中都可作為語言算子來考慮，相應(yīng)地分為三種算子。 50 1） 語氣算子 H: (HA)(x) 語氣算子的數(shù)學(xué)描述是 加強語氣的詞稱為 集中算子 ，此時 n 1， 減弱語氣的詞稱為 散漫化算子 ，此時 n 1。 .)( xxHA nA51 例 3.8.3 描述 “ 青年人 ” 的集合為 其中 A = 青年人 ” 。由上式算得 28 歲和 30 歲的人對于 “ 青年人 ” 的隸屬度為 A(28) = 0.74， A(30) = 0.5。 ,25,52511,2515,12xxxxA52 現(xiàn)在我們加上集中算子 “ 很 ” ，取 n = 2， 則 分別算出 28 歲和 30 歲對 “ 很年輕 ” 的隸屬度為 很年輕 (28) = 0.54， 很年輕 (30) = 0.25。 .25,52511,2515,1222xxxxx青年人很年輕 53 若加上散漫化算子 “ 較 ” ，取 n = 0.5， 則 分別求出 28 歲和 30 歲對 “ 較年輕 ” 的隸屬度為 較年輕 (28) = 0.88， 較年輕 (30) = 0.71。 .25,52511,2515,12xxxxx青年人較年輕 54 2） 模糊化算子 F： (FA)(x) 這些算子的作用，是使肯定詞轉(zhuǎn)化為模糊的詞，如 “ 大概 ”、“ 近似 ”、“ 可能 ” 等等。用隸屬度函數(shù)圖形來表示這類算子的作用，如圖 3.55 所示 1 0 1 2 3 4 5 6 x (x) FA (4) A (4) 數(shù) 4 是一個肯定詞，用 A(4) （ 豎線 ） 來表示，而“大約 4則是一個模糊數(shù)，記為 4，它是 A(4) 加上模糊化算子 F后形成的，記作 FA (4)。 55 3） 判定化算子 P： (PA)(x) 判定化算子把模糊量轉(zhuǎn)化成精確量，其意義是“ 傾向于 ”、“ 接近 ”、“ 屬于 ” 。判定化算子的數(shù)學(xué)描述為 (PA)(x) =PA(x) 其中 P() 是定義在 0, 1 區(qū)間上的實函數(shù)，表示為 56 若取 1/2， 則 210111210zzzzP .211,21021zzzP57 例如 ，用上例 “ 青年人 ” 的定義，則 “ 傾向年輕 ” 就可采用上述判定化算子 P1/2 ( A ) (由于 A(30) 1/2) 傾向年輕 ( A ) = P1/2 ( A ) = .301,30021)(121)(0xxxxAA58 即不到 30 歲者為傾向年輕，其結(jié)果如圖 3.56 所示。 除了上面介紹的三種算子外，還有美化、比喻、聯(lián)想等算子。因為研究不成熟，此處從略。 0.5 0 30 (x) 年輕 傾向年輕 x 59 3.8.3 模糊推理 1. 判斷與推理 人們的思維就是利用概念來進行判斷和推理。判斷 是概念與概念的關(guān)聯(lián) ， 而 推理 則是判斷與判斷的聯(lián)合 。 如果概念是模糊的，則判斷和推理就是模糊的。 若用符號及其運算來表示思維的過程，就稱為思維的形式化 。我們的目的，就是要尋求符合思維實際情況的思維形式化的規(guī)律與方法。 60 1） 判斷句 句型為 “ x 是 A 的陳述句稱為 判斷句 ，其中 A 是表示概念的一個詞或詞組， x 稱為 語言變量 ，它可以表示論域 X 中任何一個特定對象。 通常概念 A 對應(yīng)論域 X 上的一個集合 。 如果 A 的外延是清晰的，則 A 所對應(yīng)的集合是普通集合；若 A 的外延是模糊的，則 A 對應(yīng)的集合是模糊集合。 我們將判斷句 “ x 是 A 簡記作 ( A )。 61 普通判斷句及其集合表示： 在判斷句 ( A ) 中，若詞 A 所表示的概念是確切的，則稱 ( A ) 為 普通判斷句 。 例如，判斷句 “ x 是大學(xué)生 ” 就是普通判斷句。 若取 x = 張三 ”， 則得到 “ 張三是大學(xué)生 ” 這樣一句話。當然，這句話可能是真的，也可能是假的。 62 一般地，一個普通判斷句對應(yīng)一個普通集合 A： A = x ( A ) 對 x 真 X， 這里 “ ( A ) 對 x 真 ” 指的是對此特定的 x ，命題 “ x 是 A 為 真。我們 稱 A 為判斷句 ( A ) 的 集合表示 或稱為 真域 。 若 A = X， 則稱判斷句 ( A ) 永真或定理 ，即對任意 x X，“ x 是 A 為 真。 63 在二值邏輯中，如果 x A， 則稱 ( A ) 的判斷為真， A 就是 ( A ) 的真值域；如果 x A ，稱 ( A ) 為假。如圖 3.57 所示圖中陰影部分表示 ( A ) 為真，是判定 ( A ) 的真值域。顯然有 x A ( A ) 為真。 (3.8.4) (A)假 (A)真 X A 64 又例如 “ x 是菱形 ” ， “ x 是人 ” 等都是普通判斷句。 65 模糊判斷句及其集合表示： 在判斷句 ( A ) 中，若詞 A 所表示的概念是模糊的，則稱 ( A ) 為 模糊判斷句 。 例如，判斷句 “ x 是老人 ” 就是模糊判斷句。 若取定 x = 張三 ”， 則得到 “ 張三是老人 ” 這樣一句話。這時，由于 “ 老人 ” 概念的模糊性，我們 66 無法判斷 “ 張三是老人 ” 這句話是絕對真還是絕對假。但是我們可以根據(jù)張三的具體情況，取其 真值為 0， 1 區(qū)間中的數(shù)，例如為 0.7。 記為 T( A)(張三 ) = 0.7， 稱為 ( A ) 對張三的 真值 。 一般地，我們將 x 對模糊概念 A 的隸屬度定義為模糊 判斷句 ( A ) 的真值 ， 以此來表示 ( A ) 的 真假 67 程度。如果模糊概念 A 所對應(yīng)的模糊集的隸屬函數(shù)為 A(x)，則令 T ( A )(x) ) = A(x) ， 稱 A 為模糊判斷句 ( A ) 的 集合表示 或稱為 真域 。 注： 在模糊邏輯中， “ x 是 A 的判斷沒有絕對的真假。 又如 “ x 是晴天 ”，“ x 很暖和 ” 等都是模糊判斷句。 68 判斷句的邏輯演算： ( 或 ) ， ( 且 ) ， ( 非 )。 判斷句通過邏輯演算可以得到新的判斷句。 例如，設(shè) ( A )： “ x 是 A ( B )： “ x 是 B 則這兩個判斷句通過邏輯演算得到的新的判斷句為： 69 ( A )( B )： “ x 是 A 或 “ x 是 B ， ( A )( B )： “ x 是 A 且 “ x 是 B ， ( A )： “ x 不是 A 。 如果 (A)和 (B) 的真域為 A和 B， 則新判斷句的真域為： ( A )( B )的真域為 A B， ( A )( B )的真域為 AB， ( A )的真域為 Ac。 70 一般地，判斷句的邏輯演算 ( ， ， ) 與它們真域的集合運算 ( ， ， c ) 是一致的 。 71 2） 推理句 句型為 “ 若 x 是 A，則 x 是 B 的判斷句，稱為 推理句 ，簡記作 “ ( A ) ( B ) 。 若 (A)、 (B) 對應(yīng)的真域為普通集合，則稱為普通推理句 ， 若 (A)、 (B) 對應(yīng)的真域為模糊集合，則稱為模糊推理句 。 72 例如 “ 若 x 是菱形，則 x 是平行四邊形 ” 是普通推理句，因為 “ 菱形 ”、“ 平行四邊形 ” 這些概念對應(yīng)的是普通集合 ； 而 “ 若 x 是晴天，則 x 很暖和 ” 就是模糊推理句，因為 “ 晴天 ”、“ 暖和 ” 這些概念對應(yīng)的是模糊集合。 73 3） 推理句的形式化 用符號及運算來表示推理句的過程，稱為 推理句的形式化 。當然這種形式化必須符合推理的真實含義。 我們在 普通集合范圍內(nèi)來考慮 “ 若 x 是 A，則 x是 B 這一推理句。我們用前述定義的符號來代表有關(guān)的判斷句，即 “ x 是 A 用 ( A )， “ x 是 B 用 (B)， 74 x 是 A，則 x 是 B 用 ( A ) ( B ) 來表示。 我們對論域中的所有 x 來考察上述推理句時，可以分成四種情況： ( A ) 是真同時 (B) 也是真，當然 ( A ) ( B ) 為真； ( A ) 是真但 ( B ) 是假，顯然 ( A ) ( B )不成立，即為假。 75 由于 ( A ) 為假時 （ 即 x 不在 A 中 ） ，推理句中沒有限制 “ x 是 B 或 “ x 不是 B ，也就是說 ( B ) 為真或為假都可以，即此時 ( A ) ( B ) 都能成立（ 為真 ） 。這樣就有 ( A ) 是假， ( B ) 為真時， ( A ) ( B ) 為真； ( A ) 是假， ( B ) 為假時， ( A ) ( B ) 為真。 76 舉一例來說明上述推理，更易理解，例如有下列推理句： “ 如果今天下雨，我就在家中 ” 顯然有： “如果今天下雨，我就在家” 這是真的； “如果今天下雨，我不在家” 是假的； “如果今天不下雨，我也在家”，這也是可以的 77 （ 真的 ） ； “如果今天不下雨，我不在家”，這也是可以的（ 真的 ） 。 這是因為 兩種情況，推理句沒有限制，即如果不下雨，我們可以在家，也可以不在家。根據(jù)上述分析，我們可以作出如表 3.18 所示的真值表 78 根據(jù)真值表，我們可以得出如下推理的形式化模型 或?qū)⑸鲜胶唽懗?(A) (B) 真 假 真 真 真 假 假 真 表 3.18 蘊涵式 ( A ) ( B ) 的真值表 5.8.3BABA 6.8.3BABABA 79 這就是二值邏輯中歸約律的情況。 若令 A B = C， 則普通推理句 “ ( A ) ( B ) 等價于判斷句 “ x 是 C ，即 “ (A) (B) 對 x 為真 xC x (3.8.7) 的真值域如圖 3.58 所示。 BA BA A-B A B 80 為了便于將普通推理推廣到模糊推理的情形，常把 (3.8.6) 式寫成相應(yīng)真值的等式： 8.8.3)( xBAAxBAxBA 81 若推理句是一個恒真的判斷句 （ 即對任意 x X，判斷句 ( A ) ( B ) 都為真 ） ，則稱它是一個 定理 。 顯然有 ( A ) ( B ) 是定理 A B = A B (3.8.9) 例如 “ 若 x 是等邊三角形，則 x 是等腰三角形 ” 是 一個定理。 82 演繹推理的三段論法 ) 肯定前件的假言推理 ( MP) ： ( A ) ( B ) 是定理且 ( A ) 對 x 為真 ( B ) 對 x 為真 。 (3.8.10) 而用集合描述有 A B 且 x A x B。 (3.8.11) 83 X B A x 圖 3.59 三段論集合 圖 3.59 為三段論集合描述的示意圖。 84 ) 否定 后件的假言推理 ( MT ) ： ( A ) ( B ) 是定理， ( B ) 對 x 為假 ( A ) 對 x 假 。 用集合描述有 A B， x B x A 。 85 ) 復(fù)合原則： 若 ( A ) ( B ) 是定理，且 ( B ) ( C ) 是定理 ，則 ( A ) ( C ) 是定理。 用集合表示的復(fù)合原則為 A B 且 B C A C (3.8.12) 86 2. 模糊蘊涵關(guān)系 （ 模糊推理句 ） 在推理句 ( A ) ( B ) 中，若 A、 B 所表示的概念是模糊的，則上述推理句就成為模糊推理句。模糊推理句的真值可以根據(jù)普通推理句的真值公式來定義 T1(AB)(x) = (1 A(x) B(x) (3.8.13) T2(AB)(x) = (1 A(x) ( A(x) B(x) 87 例如 “ 若 x 是晴天，則 x 很暖和 ” 是模糊推理句，其真值的隸屬函數(shù)曲線如圖 3.60 所示，其中 A 表示 “ 晴天 ” 的隸屬函數(shù)， B 表示 “ 暖和 ” 的隸屬函數(shù)， 則 A B 由圖中上半部 V 型實線所描述，它給出了 “ 若晴則暖 ” 為真的程度的定 量表示。 88 1 0.5 A B X 0 (a) 圖 3.60 A B 模糊推理句的隸屬函數(shù) (b) 1 0.5 X 0 BA 89 在較復(fù)雜的場合，句型為 “ 若 x 是 A ，則 y 是 B 的推理句，涉及兩個不同的語言變量 x 與 y，它們可以分別屬于兩個不同的論域 X 與 Y， 因而是一個二元謂詞。記作 ( A(x) (B(y) ， 它的真域是 X Y 的子集或模糊子集，也可以看作 X 到 Y 的關(guān)系或模糊關(guān)系。 在推理句 ( A(x) (B(y) 中，若 A， B 所表示的 90 概念都是確切的，則稱為普通推理句；若 A， B 所表示的概念都是模糊的，則稱為模糊推理句。 普通推理句 ( A(x) (B(y) 的集合表示 (真域 ) 為 R P ( X Y )： R = (Ac Y) (A B) = (Ac Y) (X B)， 其特征函數(shù)為： R(x, y) = (1 A(x) (A(x) B(y) ) = (1 A(x) B(y)。 91 A B X Y 92 模糊推理句 ( A(x) (B(y) 的集合表示 (真域 ) 為 R F ( X Y )， 其中 A 是論域 X 上的模糊集 ， B 是論域 Y 上的模糊集 ， R 是從 X 到 Y 的一個模糊關(guān)系。 93 許多人對 ( A(x) (B(y) 的運算規(guī)則 (即隸屬度函數(shù)的運算方法 ) 進行了研究，提出了許多定義。這里將常見的模糊蘊涵關(guān)系的運算方法列舉如下 (公式 ( 3.8.13) 也是其中的一種，被稱為模糊蘊涵的布爾運算 )：（ 為書寫方便起見，以下將模糊集符號中的波紋線 “ ” 全部省略。 ） 94 1) 模糊蘊涵最小運算 （ Mamdani ) 2) 模糊蘊涵積運算 ( Larsen ) 3) 模糊蘊涵算術(shù)運算 ( Zadeh ) 14.8.3,/ yxyxBABARYXBAc 15.8.3,/ yxyxBABARYXBAp 16.8.3,/11 yxyxBXYABARYXBAa95 4) 模糊蘊涵的最大最小運算 ( Zadeh ) 5) 模糊蘊涵的布爾運算 17.8.3,/1 yxxyxYABABARYXABAm 18.8.3,/1 yxyxBXYABARYXBAb96 6) 模糊蘊涵的標準算法運算 (1) 其中 19.8.3,/ yxyxBXYABARYXBAs yxyxyxBABABA 0197 7) 模糊蘊涵的標準算法運算 (2) 其中 在應(yīng)用中，究竟選取哪一種運算方法為好，應(yīng)視實際情況而定。 20.8.3,/ yxyxBXYABARYXBA yxxyyxyxBAABBABA198 3. 模糊推理 模糊推理又稱 近似推理 （ 似然推理 ） 。它是在模糊大前提的條件下，給定模糊小前提而推論出模糊結(jié)論的推理方法。 根據(jù)小前提的不同，又分為兩類： 99 (1) 廣義正向式模糊推理 。其推理規(guī)則是 大前提 x 是 A 則 y 是 B (即 (A(x) (B(y) 小前提 x 是 A 結(jié) 論 y 是 B = A ( A B ) = A R (3.8.21) 100 (2) 廣義逆向式模糊推理 。其推理規(guī)則是 大前提 x 是 A 則 y 是 B (即 (A(x) (B(y) 小前提 y 是 B 結(jié) 論 x 是 A = ( A B ) B = R B (3.8.22) 101 式中， ( A(x) (B(y) 是蘊涵關(guān)系，即 X Y 上的模糊關(guān)系，其隸屬函數(shù)可以選用上述七個公式 (3.8.14) (3.8.20) 中的任一式來運算 (盡量與實際情況相符合 )，而運算符號 “ ” ，則表示模糊關(guān)系合成運算，通常可以采用如下四種不同的方法： 102 1) 最大 最小合成法 （ Zadeh, 1973） 2) 最大 代數(shù)積合成法 （ Kaufman, 1975） 3) 最大 有界積合成法 （ Mizumoto, 1981） 23.8.3, yxxy RAXxB 24.8.3, yxxy RAXxB 25.8.31,0m a x,yxxyxxyRAXxRAXxB103 4) 最大 強制積合成法 （ Mizumoto, 1981） 其中 在上述各式中 （ R 是 AB 蘊涵關(guān)系 ） ，通常使用最多的是 1)、 2) 兩種合成運算方法，原因是這兩種方法計算比較簡單。 26.8.3, yxxy RAXxB 1,01,1,yxxxyxyxxyxxRAARRARA104 模糊推理過程，可以看成是一個模糊變換器的工作過程。當輸入一個模糊子集 A ， 經(jīng)過模糊變換器 R AB 時，輸出為 A (AB)，如圖 3.61 所示 R A B A B A (A B) 輸入 輸出 圖 3.61 模糊變換器 105 例 3.8.4 若 A B 采用積運算式 (3.8.15)， 合成運算“ ” 采用最大 最小合成法， (3.8.23) 式，給定小前提分別是 求廣義正向式模糊推理及廣義反向式模糊推理的結(jié)論 ./)1(,/222yyBBxxAAAYBXA）非（非常非常106 解： 1） 廣義正向式模糊推理 由 (3.8.21) 式可知 采用最大 最小合成法，可求得 yxyxxxRARAB BX YXAApp ,/22 .,m i ns u p 22yxxyxxyBAAXxBAAXxB107 2） 廣義逆向式模糊推理 由 (3.8.22) 式可知 采用最大 最小合成法，可求得 YBBYXApp yxyxyxBRA /)1(,/2 yyxyyxxBBAYyBBAYyA221,m i ns up1108 例 3.8.5 若工人調(diào)節(jié)爐溫，有如下經(jīng)驗 “ 如果爐溫低，則應(yīng)施加高電壓 ” 。試問爐溫 較低 時，應(yīng)施加怎樣的電