2015年北京市門頭溝區(qū)九年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷 一、選擇題（本題共 30 分，每小題 3分）下列各題均有四個選項，其中只有一個是符合題意的 1如果 4a=5b（ ），那么下列比例式變形正確的是（ ） A B C D 2在 ，如果 C=90， 0， ，那么 值是（ ） A B C D 3已知 O 的半徑為 5，點 P 到圓心 O 的距離為 8，那么點 P 與 O 的位置關(guān)系是（ ） A點 P 在 O 上 B點 P 在 O 內(nèi) C點 P 在 O 外 D無法確定 4小明的媽媽讓他在無法看到袋子里糖果的情形下從袋子里抽出一顆糖果袋子里有三種顏色的糖果，它們的大小、形狀、質(zhì)量等都相同，其中所有糖果的數(shù)量統(tǒng)計如圖所示小明抽到紅色糖果的概率為（ ） A B C D 5如圖，在 ， D 為 上一點， A， ， ，則 長為（ ） A 1 B C 2 D 6將拋物線 y=5向左平移 2 個單位，再向上平移 3 個單位后得到新的拋物線，則新拋物線的表達(dá)式是（ ） A y=5（ x+2） 2+3 B y=5（ x 2） 2+3 C y=5（ x 2） 2 3 D y=5（ x+2） 2 3 7已知點 A（ 1， m）與點 B（ 3， n）都在反比例函數(shù) 的圖象上，那么 m 與 n 之間的關(guān)系是（ ） A m n B m n C mn D mn 8如圖，點 A（ 6， 3）、 B（ 6， 0）在直角坐標(biāo)系內(nèi)以原點 O 為位似中心，相似比為 ，在第一象限內(nèi)把線段 小后得到線段 么點 C 的坐標(biāo)為（ ） A（ 3， 1） B（ 2， 0） C（ 3， 3） D（ 2， 1） 9如圖，線段 O 的直徑，弦 0，則 于（ ） A 160 B 150 C 140 D 120 10如圖，點 C 是以點 O 為圓心、 直徑的半圓上的一個動點（點 C 不與點 A、 B 重合），如果，過點 C 作 D，設(shè)弦 長為 x，線段 長為 y，那么在下列圖象中，能表示 y 與 x 函數(shù)關(guān)系的圖象大致是（ ） A B CD 二、填空題（本題共 18 分，每小題 3分） 11如果兩個相似三角形的相似比是 1： 3，那么這兩個三角形面積的比是 12頤和園是我國現(xiàn)存規(guī)模最大，保存最完整的古代皇家園林，它和承德避暑山莊、蘇州拙政園、蘇州留園并稱為中國四大名園該園有一個六角亭，如果它的地基是半徑為 2 米的正六邊形，那么這個地基的周長是 米 13圖 1 中的三翼式旋轉(zhuǎn)門在圓形的空間內(nèi)旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)門的三片旋轉(zhuǎn)翼把空間等分成三個部分，圖2 是旋轉(zhuǎn)門的俯視圖，顯示了某一時刻旋轉(zhuǎn)翼的位置，根據(jù)圖 2 中的數(shù)據(jù)，可知 的長是 m 14寫出一個圖象位于二、四象限的反比例函數(shù)的表達(dá)式， y= 15 “圓材埋壁 ”是我國古代著名數(shù)學(xué)著作九章算術(shù)中的一個問題： “今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何 ”此問題的實質(zhì)就是解決下面的問題： “如圖， O 的直徑，弦 點 E， ， 0，求 長 ”根據(jù)題意可得 長為 16學(xué)習(xí)了反比例函數(shù)的相關(guān)內(nèi)容后，張老師請同學(xué)們討論這樣的一個問題： “已知反比例函數(shù)，當(dāng) x 1 時，求 y 的取值范圍？ ”同學(xué)們經(jīng)過片刻的思考和交流后，小明同學(xué)舉手回答說： “由于反比例函數(shù) 的圖象位于第四象限，因此 y 的取值范圍是 y 0 ”你認(rèn)為小明的回答是否正確： ，你的理由是： 三、解答題（本題共 30 分，每小題 5分） 17計算： | 18如圖，在 ， 0， 邊 的高 （ 1）求證： （ 2）如果 ， ，求 長 19已知二次函數(shù) y=6x+5 （ 1）將 y=6x+5 化成 y=a（ x h） 2+k 的形式； （ 2）求該二次函數(shù)的圖象的對稱軸和頂點坐標(biāo)； （ 3）當(dāng) x 取何值時， y 隨 x 的增大而減小 20如圖， 在 ， 0， ， （ 1）以點 B 為旋轉(zhuǎn)中心，將 逆時針方向旋轉(zhuǎn) 90得到 A請畫出變換后的圖形； （ 2）求點 A 和點 A之間的距離 21如圖，在平面直角坐標(biāo)系 ，一次函數(shù) y= 2x 的圖象與反比例函數(shù) y= 的圖象交于點 A（ 1， n） （ 1）求反比例函數(shù) y= 的解析式； （ 2）若 P 是坐標(biāo)軸上一點，且滿足 A，直接寫出點 P 的坐標(biāo) 22 “永定樓 ”是門頭溝區(qū)的地標(biāo)性建筑，某中學(xué)九年級數(shù)學(xué)興趣小組進(jìn)行了測量它高度的社會實踐活動 如圖，他們在 A 點測得頂端 D 的仰角 0，向前走了 46 米到達(dá) B 點后，在 B 點測得頂端 D 的仰角 5求永定樓的高度 結(jié)果保留根號） 四、解答題（本題共 20 分，每小題 5分） 23已知二次函數(shù) y= m+2） x+2（ m0） （ 1）求證：此二次函數(shù)的圖象與 x 軸總有交點； （ 2）如果此二次函數(shù)的圖象與 x 軸兩個交點的橫坐標(biāo)都是整數(shù)，求正整數(shù) m 的值 24如圖，在四邊形 ， 點 C 作 E，連接 于點 F （ 1）求 證：四邊形 平行四邊形； （ 2）如果 ， 0， 5，求 長 25已知二次函數(shù) y1=x+m 5 （ 1）如果該二次函數(shù)的圖象與 x 軸有兩個交點，求 m 的取值范圍； （ 2）如果該二次函數(shù)的圖象與 x 軸交于 A、 B 兩點，與 y 軸交于點 C，且點 B 的坐標(biāo)為（ 1， 0），求它的表達(dá)式和點 C 的坐標(biāo)； （ 3）如果一次函數(shù) y2=px+q 的圖象經(jīng)過點 A、 C，請根據(jù)圖象直接寫出 ， x 的取值范圍 26如圖， O 為 外接圓， O 的直徑， 分 點 A 作 足為 D （ 1）求證： O 的切線； （ 2）若 ， ，求 O 的直徑 五、解答題（本題共 22 分，第 27題 7分，第 28題 8 分，第 29題 7分） 27在平面直角坐標(biāo)系 ，拋物線 經(jīng)過點 A（ 0， 2）和 B（ 1， ） （ 1）求該拋物線的表達(dá)式； （ 2）已知點 C 與點 A 關(guān)于此拋物線的對稱軸對稱，點 D 在拋物線上，且點 D 的橫坐標(biāo)為 4，求點C 與點 D 的坐標(biāo)； （ 3）在（ 2）的條件下，將拋物線在點 A， D 之間的部分（含點 A， D）記為圖象 G，如果圖象 t（ t 0）個單位后與直線 有一個公共點，求 t 的取值范圍 28在平面直角坐標(biāo)系 ，對于點 P（ x， y）和 Q（ x， y），給出如下定義： 如果 y= ，那么稱點 Q 為點 P 的 “關(guān)聯(lián)點 ” 例如：點（ 5， 6）的 “關(guān)聯(lián)點 ”為點（ 5， 6），點（ 5， 6）的 “關(guān)聯(lián)點 ” 為點（ 5， 6） （ 1） 點（ 2， 1）的 “關(guān)聯(lián)點 ”為 ； 如果點 A（ 3， 1）， B（ 1， 3）的 “關(guān)聯(lián)點 ”中有一個在函數(shù) 的圖象上，那么這個點是 （填 “點 A”或 “點 B”） （ 2） 如果點 M*（ 1， 2）是一次 函數(shù) y=x+3 圖象上點 M 的 “關(guān)聯(lián)點 ”， 那么點 M 的坐標(biāo)為 ； 如果點 N*（ m+1， 2）是一次函數(shù) y=x+3 圖象上點 N 的 “關(guān)聯(lián)點 ”，求點 N 的坐標(biāo) （ 3）如果點 P 在函數(shù) y= （ 2 xa）的圖象上，其 “關(guān)聯(lián)點 ”Q 的縱坐標(biāo) y的取值范圍是 4 y4，那么實數(shù) a 的取值范圍是 29在菱形 ， 20，射線 于該菱形外側(cè)，點 B 關(guān)于直線 對稱點為 E，連接 線 直線 于 F，連接 （ 1）依題意補(bǔ)全圖 1； （ 2）如圖 1，如果 0 30，判斷 數(shù)量關(guān)系，并證明； （ 3）如圖 2，如果 30 60，寫出判斷線段 可以不寫出證明過程） （ 4）如果 60 90，直接寫出線段 間的數(shù)量關(guān)系 2015年北京市門頭溝區(qū)九年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷 參考答案與試題解析 一、選擇題（本題共 30 分，每小題 3分）下列各題均有四個選項，其中只有一個是符合題意的 1如果 4a=5b（ ），那么下列比例式變形正確的是 （ ） A B C D 【考點】 比例的性質(zhì) 【分析】 根據(jù)等式的性質(zhì)：兩邊都除以同一個不為零的數(shù)（或整式），結(jié)果不變，可得答案 【解答】 解：兩邊都除以 = ，故 A 正確； B、兩邊都除以 20，得 = ，故 B 錯誤； C、兩邊都除以 4b，得 = ，故 C 錯誤； D、兩邊都除以 5a，得 = ，故 D 錯誤 故選： A 【點評】 本題考查了比例的性質(zhì)，利用兩邊都除以同一個不為零的數(shù)（或整式），結(jié)果不變是解題關(guān)鍵 2在 ，如果 C=90， 0， ，那么 值 是（ ） A B C D 【考點】 銳角三角函數(shù)的定義 【分析】 根據(jù)在直角三角形中，銳角的余弦為鄰邊比斜邊，可得答案 【解答】 解： = = ， 故選： D 【點評】 本題考查銳角三角函數(shù)的定義及運(yùn)用：在直角三角形中，銳角的正弦為對邊比斜邊，余弦為鄰邊比斜邊，正切為對邊比鄰邊 3已知 O 的半徑為 5，點 P 到圓心 O 的距離為 8，那么點 P 與 O 的位置關(guān)系是（ ） A點 P 在 O 上 B點 P 在 O 內(nèi) C點 P 在 O 外 D無法確定 【考點】 點與圓的位置關(guān)系 【分析】 根據(jù)點在圓上 ，則 d=r；點在圓外， d r；點在圓內(nèi)， d r（ d 即點到圓心的距離， r 即圓的半徑） 【解答】 解： 5， 點 P 與 O 的位置關(guān)系是點在圓外 故選： C 【點評】 此題主要考查了點與圓的位置關(guān)系，注意：點和圓的位置關(guān)系與數(shù)量之間的等價關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵 4小明的媽媽讓他在無法看到袋子里糖果的情形下從袋子里抽出一顆糖果袋子里有三種顏色的糖果，它們的大小、形狀、質(zhì)量等都相同，其中所有糖果的數(shù)量統(tǒng)計如圖所示小明抽到紅色糖果的概率為（ ） A B C D 【考點】 概率公式； 條形統(tǒng)計圖 【專題 】 計算題 【分析】 先利用條形統(tǒng)計圖得到綠色糖果的個數(shù)為 2，紅色糖果的個數(shù)為 5，紫色糖果的個數(shù)為 8，然后根據(jù)概率公式求解 【解答】 解：根據(jù)統(tǒng)計圖得綠色糖果的個數(shù)為 2，紅色糖果的個數(shù)為 5，紫色糖果的個數(shù)為 8， 所以小明抽到紅色糖果的概率 = = 故選 B 【點評】 本題考查了概率公式：隨機(jī)事件 A 的概率 P（ A） =事件 A 可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)除以所有可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)也考查了條形統(tǒng)計圖 5如圖，在 ， D 為 上一點， A， ， ，則 長為（ ） A 1 B C 2 D 【考點】 相似三角形的判定與性質(zhì) 【分析】 由條件可證明 得到 = ，代入可求得 【解答】 解： A， C= C， = ，即 = ， ， 故選 C 【點評】 本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵 6將拋物線 y=5向左平移 2 個單位，再向上平移 3 個單位后得到新的拋物線，則新拋物線的表達(dá)式是（ ） A y=5（ x+2） 2+3 B y=5（ x 2） 2+3 C y=5（ x 2） 2 3 D y=5（ x+2） 2 3 【考點】 二次函數(shù)圖象與幾何變換 【專題】 幾何變換 【分析】 先確定拋物線 y=50， 0），再利用點平移的規(guī)律得到點（ 0， 0）平移后所得對應(yīng)點的坐標(biāo)，然后根據(jù)頂點式寫出平移后的拋物線解析式 【解答】 解：拋物線 y=5頂點坐標(biāo)為（ 0， 0），把點（ 0， 0）向左平移 2 個單位，再向上平移 3個單位后得到對應(yīng)點的坐標(biāo)為（ 2， 3），所以新拋物線的表達(dá)式是 y=5（ x+2） 2+3 故選 A 【點評】 本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換：由于拋物線平移后的 形狀不變，故 a 不變，所以求平移后的拋物線解析式通?？衫脙煞N方法：一是求出原拋物線上任意兩點平移后的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出解析式；二是只考慮平移后的頂點坐標(biāo)，即可求出解析式 7已知點 A（ 1， m）與點 B（ 3， n）都在反比例函數(shù) 的圖象上，那么 m 與 n 之間的關(guān)系是（ ） A m n B m n C mn D mn 【考點】 反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征 【分析】 根據(jù)反比例函數(shù)圖象的增減性來比較 m 與 n 的大小 【解答】 解： 反比例函數(shù) 中系數(shù) 2 0， 反比例函數(shù) 的圖象位于第一、三象限，且在每一象 限內(nèi) y 隨 x 的增大而減小 又 點 A（ 1， m）與點 B（ 3， n）都位于第一象限，且 1 3， m n 故選： A 【點評】 本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，解答該題時，也可以把點 A、 B 的坐標(biāo)分別代入函數(shù)解析式求得相應(yīng)的 m、 n 的值，然后比較它們的大小即可 8如圖，點 A（ 6， 3）、 B（ 6， 0）在直角坐標(biāo)系內(nèi)以原點 O 為位似中心，相似比為 ，在第一象限內(nèi)把線段 小后得到線段 么點 C 的坐標(biāo)為（ ） A（ 3， 1） B（ 2， 0） C（ 3， 3） D（ 2， 1） 【考點】 位似變換；坐標(biāo)與圖 形性質(zhì) 【分析】 根據(jù)得 A、 B 的坐標(biāo)求出 長，根據(jù)位似的概念得到比例式，計算求出 到點 C 的坐標(biāo) 【解答】 解： A（ 6， 3）、 B（ 6， 0）， ， ， 由題意得， 似比為 ， = = ， ， ， 點 C 的坐標(biāo)為（ 2， 1）， 故選： D 【點評】 本題考查的是位似變換的概念和性質(zhì)以及坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，掌握位似的兩個圖形一定是相似形和相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵 9如圖，線段 O 的直徑，弦 0，則 于（ ） A 160 B 150 C 140 D 120 【考點】 圓周角定理；垂徑定理 【專題】 壓軸題 【分析】 利用垂徑定理得出 = ，進(jìn)而求出 0，再利用鄰補(bǔ)角的性質(zhì)得出答案 【解答】 解： 線段 O 的直徑，弦 = ， 0， 0， 40 故選： C 【點評】 此題主要考查了圓周角定理以及垂徑定理等知識，得出 度數(shù)是解題關(guān)鍵 10如圖，點 C 是以點 O 為圓心、 直徑的半圓上的一個動點 （點 C 不與點 A、 B 重合），如果，過點 C 作 D，設(shè)弦 長為 x，線段 長為 y，那么在下列圖象中，能表示 y 與 x 函數(shù)關(guān)系的圖象大致是（ ） A B CD 【考點】 動點問題的函數(shù)圖象 【專題】 計算題 【分析】 連結(jié) 圖，根據(jù)圓周角定理得到 0，則利用勾股定理得到 ，再利用面積法可得到 y= ， 半徑時最大，即 y 的最大值為 2，此時 x=2 ，由于 y與 x 函數(shù)關(guān)系的圖象不是拋物線，也不是一次函數(shù)圖象，則可判斷 A、 C 錯誤；利用 y 最大時， x=2可對 B、 D 進(jìn)行判斷 【解答】 解：連結(jié) 圖， 直徑， 0， = ， B= C， y= ， y 的最大值為 2，此時 x=2 故選 B 【點評】 本題考查了動點問題的函數(shù)圖象：函數(shù)圖象是典型的數(shù)形結(jié)合，圖象應(yīng)用信息廣泛，通過看圖獲取信息，不僅可以解決生活中的實際問題，還可以提高分析問題、解決問題的能力解決本題的關(guān)鍵是利用圓周角定理得到 0 二、填空題（本題共 18 分，每小題 3分） 11如果兩個相似三角形的相似比是 1： 3，那么這兩個三 角形面積的比是 1： 9 【考點】 相似三角形的性質(zhì) 【分析】 根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方求出即可 【解答】 解： 兩個相似三角形的相似比是 1： 3， 又 相似三角形的面積比等于相似比的平方， 這兩個三角形面積的比是 1： 9 故答案為： 1： 9 【點評】 本題考查了相似三角形的性質(zhì)，注意：相似三角形的面積比等于相似比的平方 12頤和園是我國現(xiàn)存規(guī)模最大，保存最完整的古代皇家園林，它和承德避暑山莊、蘇州拙政園、蘇州留園并稱為中國四大名園該園有一個六角亭，如果它的地基是半徑為 2 米的正六邊形， 那么這個地基的周長是 12 米 【考點】 正多邊形和圓 【分析】 由正六邊形的半徑為 2，則 B=2 米；由 0，得出 等邊三角形，則A= 米，即可得出結(jié)果 【解答】 解：如圖所示： 正六邊形的半徑為 2 米， B=2 米， 正六邊形的中心角 =60， 等邊三角形， A= 米， 正六邊形的周長為 62=12（米）； 故答案為： 12 【點評】 本題考查了正六邊形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)；解決正多邊形的 問題，常常把多邊形問題轉(zhuǎn)化為等腰三角形或直角三角形來解決 13圖 1 中的三翼式旋轉(zhuǎn)門在圓形的空間內(nèi)旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)門的三片旋轉(zhuǎn)翼把空間等分成三個部分，圖2 是旋轉(zhuǎn)門的俯視圖，顯示了某一時刻旋轉(zhuǎn)翼的位置，根據(jù)圖 2 中的數(shù)據(jù)，可知 的長是 m 【考點】 弧長的計算 【專題】 應(yīng)用題 【分析】 首先根據(jù)題意，可得 ，然后根據(jù)圓的周長公式，求出直徑是 2m 的圓的周長是多少；最后用直徑是 2m 的圓的周長除以 3，求出 的長是多少即可 【解答】 解：根據(jù)題意，可得 ， （ m）， 即 的長是 m 故答案為： 【點 評】 此題主要考查了弧長的計算，以及圓的周長的計算方法，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是判斷出 ，并求出直徑是 2m 的圓的周長是多少 14寫出一個圖象位于二、四象限的反比例函數(shù)的表達(dá)式， y= 答案不唯一，如 y= x 等 【考點】 正比例函數(shù)的性質(zhì) 【專題】 開放型 【分析】 根據(jù)正比例函數(shù)的系數(shù)與圖象所過象限的關(guān)系，易得答案 【解答】 解：根據(jù)正比例函數(shù)的性質(zhì)，其圖象位于第二、四象限，則其系數(shù) k 0； 故只要給出 k 小于 0 的正比例函數(shù)即可；答案不唯一，如 y= x 等 【點評】 解題關(guān)鍵是掌握正比例函數(shù)的圖象特點 15 “圓材埋壁 ”是我國古代著名數(shù)學(xué)著作九章算術(shù)中的一個問題： “今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何 ”此問題的實質(zhì)就是解決下面的問題： “如圖， O 的直徑，弦 點 E， ， 0，求 長 ”根據(jù)題意可得 長為 26 【考點】 垂徑定理的應(yīng)用 【專題】 壓軸題 【分析】 根據(jù)垂徑定理和勾股定理求解 【解答】 解：連接 由垂徑定理知，點 E 是 中點， ， A 設(shè)半徑為 r， 由勾股定理得， 2，即 2+（ r 1） 2， 解得 ： r=13， 所以 r=26， 即圓的直徑為 26 【點評】 本題利用了垂徑定理和勾股定理求解 16學(xué)習(xí)了反比例函數(shù)的相關(guān)內(nèi)容后，張老師請同學(xué)們討論這樣的一個問題： “已知反比例函數(shù)，當(dāng) x 1 時，求 y 的取值范圍？ ”同學(xué)們經(jīng)過片刻的思考和交流后，小明同學(xué)舉手回答說： “由于反比例函數(shù) 的圖象位于第四象限，因此 y 的取值范圍是 y 0 ”你認(rèn)為小明的回答是否正確： 否 ，你的理由是： y 2 【考點】 反比例函數(shù)的性質(zhì) 【分析】 根據(jù)反比例函數(shù)圖象所經(jīng)過的象限和函數(shù)的增加性解答 【解答】 解：否，理由如下： 反比例函數(shù) ，且 x 1， 反比例函數(shù) 的圖象位于第四象限， y 2 故答案是：否； y 2 【點評】 本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)注意在本題中，當(dāng) x 0 時， y 0 三、解答題（本題共 30 分，每小題 5分） 17計算： | 【考點】 實數(shù)的運(yùn)算；特殊角的三角函數(shù)值 【專題】 計算題；實數(shù) 【分析】 原式利用特殊角的三角函數(shù)值，以及絕對值的代數(shù)意義化簡，計算即可得到結(jié)果 【解答 】 解：原式 = + 1 = 1 【點評】 此題考查了實數(shù)的運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵 18如圖，在 ， 0， 邊 的高 （ 1）求證： （ 2）如果 ， ，求 長 【考點】 相似三角形的判定與性質(zhì) 【分析】 （ 1）根據(jù)相似三角形的判定，由已知可證 A= 因為 0，即證 （ 2）根據(jù)勾股定理得到 ，根據(jù)三角形的面積公式得到 ，然后根據(jù)勾股定理即可得到結(jié) 論 【解答】 （ 1）證明： 0 A+ 0 0， 0 A= 又 0， （ 2）解： 0， ， ， ， ， = = 【點評】 本題考查了相似三角形的判定，解直角三角形，熟練掌握相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵 19已知二次函數(shù) y=6x+5 （ 1）將 y=6x+5 化成 y=a（ x h） 2+k 的形式； （ 2）求該二次函數(shù)的圖象的對稱軸和頂點坐標(biāo)； （ 3）當(dāng) x 取何值時， y 隨 x 的增大而減小 【考點】 二次函數(shù)的三種形式；二次函數(shù)的性質(zhì) 【分析】 （ 1）運(yùn)用配方法把一般式化為頂點式； （ 2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解答即可； （ 3）根據(jù)二次函數(shù)的開口方向和對稱軸解答即可 【解答】 解：（ 1） y=6x+5=（ x 3） 2 4； （ 2）二次函數(shù)的圖象的對稱軸是 x=3，頂點坐標(biāo)是（ 3， 4）； （ 3） 拋物線的開口向上，對稱軸是 x=3， 當(dāng) x3 時， y 隨 x 的增大而減小 【點評】 本題考 查的是二次函數(shù)的三種形式和二次函數(shù)的性質(zhì)，靈活運(yùn)用配方法把一般式化為頂點式是解題的關(guān)鍵，注意二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用 20如圖，在 ， 0， ， （ 1）以點 B 為旋轉(zhuǎn)中心，將 逆時針方向旋轉(zhuǎn) 90得到 A請畫出變換后的圖形； （ 2）求點 A 和點 A之間的距離 【考點】 作圖 【專題】 作圖題 【分析】 （ 1）在 截取 長 A使 后連結(jié) AC，則 A足條件； （ 2）先利用勾股定理計算出 ，再利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得 A， 90，然后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)計算 長即可 【解答】 解：（ 1）如圖， A所作； （ 2） 0， B C=1， ， =2， 逆時針方向旋轉(zhuǎn) 90得到 A A， 90， 等腰直角三角形， 【點評】 本題考查了作圖旋轉(zhuǎn)變換：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，對應(yīng)角都相等都等于旋轉(zhuǎn)角，對應(yīng)線段也相等，由此可以通過作相等的角，在角的邊上截取相 等的線段的方法，找到對應(yīng)點，順次連接得出旋轉(zhuǎn)后的圖形 21如圖，在平面直角坐標(biāo)系 ，一次函數(shù) y= 2x 的圖象與反比例函數(shù) y= 的圖象交于點 A（ 1， n） （ 1）求反比例函數(shù) y= 的解析式； （ 2）若 P 是坐標(biāo)軸上一點，且滿足 A，直接寫出點 P 的坐標(biāo) 【考點】 反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題 【專題】 計算題 【分析】 （ 1）先把 A（ 1， n）代入 y= 2x 求出 n 的值，確定 A 點坐標(biāo)為（ 1， 2），然后把 A（1， 2）代入 y= 可求出 k 的值，從而可確定反比例函數(shù)的解析式； （ 2）過 A 作 x 軸于點 B， y 軸于點 C，則 B 點坐標(biāo)為（ 1， 0）， C 點坐標(biāo)為（ 0， 2），由于 A，然后利用等腰三角形的性質(zhì)易確定滿足條件的 P 點坐標(biāo) 【解答】 解：（ 1）把 A（ 1， n）代入 y= 2x 得 n= 2（ 1） =2， A 點坐標(biāo)為（ 1， 2）， 把 A（ 1， 2）代入 y= 得 k= 12= 2， 反比例函數(shù)的解析式為 y= ； （ 2） 過 A 作 x 軸于點 B， y 軸于點 C，如圖， 點 A 的坐標(biāo)為（ 1， 2）， B 點坐標(biāo)為（ 1， 0）， C 點坐標(biāo)為（ 0， 2） 當(dāng) P 在 x 軸上，其坐標(biāo)為（ 2， 0）； 當(dāng) P 點在 y 軸上，其坐標(biāo)為（ 0， 4）； 點 P 的坐標(biāo)為（ 2， 0）或（ 0， 4） 【點評】 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題：反比例函數(shù)圖象與一次函數(shù)圖象的交點坐標(biāo)滿足兩函數(shù)的解析式也考查了等腰三角形的性質(zhì) 22 “永定樓 ”是門頭溝區(qū)的地標(biāo)性建筑，某中學(xué)九年級數(shù)學(xué)興趣小組進(jìn)行了測量它高度的社會實踐活動如圖，他們在 A 點測得頂端 D 的仰角 0，向前走了 46 米到達(dá) B 點后，在 B 點測得頂端 D 的仰角 5求永定樓的高度 結(jié)果保留根號） 【考點】 解直角三角形的應(yīng)用 【分析】 根據(jù)題意得出 C，進(jìn)而利用 求出答案 【解答】 解：由題意可得： 6m， 5， 則 C， 故 = = ， 解得： 3（ +1） 答：永定樓的高度 23（ +1） m 【點評】 此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是從題目中整理出直角三角形并正確的利用邊角關(guān)系求解 四、解答題（本題共 20 分，每小題 5分） 23已知二次函數(shù) y= m+2） x+2（ m0） （ 1）求證：此二次函數(shù)的圖象與 x 軸總有交點 ； （ 2）如果此二次函數(shù)的圖象與 x 軸兩個交點的橫坐標(biāo)都是整數(shù)，求正整數(shù) m 的值 【考點】 拋物線與 x 軸的交點 【專題】 證明題 【分析】 （ 1）令 y=0，使得二次函數(shù)變?yōu)橐辉畏匠?，然后求出方程?的值，即可證明結(jié)論； （ 2）令 y=0，使得二次函數(shù)變?yōu)橐辉畏匠蹋缓髮Ψ匠谭纸庖蚴?，又因此二次函?shù)的圖象與 而可以求得符合要求的正整數(shù) m 的值 【解答】 解：（ 1）證明： 二次函數(shù) y= m+2） x+2（ m0）， 當(dāng) y=0 時， 0= m+2） x+2（ m0）， =（ m+2） 2 4m2=m+4 8m=4m+4=（ m 2） 20 0= m+2） x+2（ m0）有兩個實數(shù)根， 即二次函數(shù) y= m+2） x+2（ m0）的圖象與 x 軸總有交點； （ 2） 二次函數(shù) y= m+2） x+2（ m0）， 當(dāng) y=0 時， 0= m+2） x+2=（ 2）（ x 1）， ， 又 此二次函數(shù)的圖象與 x 軸兩個交點的橫坐標(biāo)都是整數(shù)， 正整數(shù) m 的值是： 1 或 2， 即正整數(shù) m 的值是 1 或 2 【點評】 本題考查拋物線與 x 軸的交點，解題的關(guān)鍵是建立 二次函數(shù)與一元二次方程之間的關(guān)系，然后找出所求問題需要的條件 24如圖，在四邊形 ， 點 C 作 E，連接 于點 F （ 1）求證：四邊形 平行四邊形； （ 2）如果 ， 0， 5，求 長 【考點】 平行四邊形的判定與性質(zhì) 【分析】 （ 1）由平行四邊形的定義即可得出四邊形 平行四邊形； （ 2）作 M，由平行四邊形的性質(zhì)得出 F=2 ，由已知條件得出 等腰直角三角形， M= ，由含 30角的直角三角形的性質(zhì)和勾股定理得出 ， ，得出 M+2 即可 【解答】 （ 1）證明： 四邊形 平行四邊形； （ 2）解：作 M，如圖所示： 則 0， 四邊形 平行四邊形， D F= ， 0， 5， 等腰直角三角形， M= ， ， ， M+2 【點評 】 本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、含 30角的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理；熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)，通過作輔助線構(gòu)造直角三角形是解決問題（ 2）的關(guān)鍵 25已知二次函數(shù) y1=x+m 5 （ 1）如果該二次函數(shù)的圖象與 x 軸有兩個交點，求 m 的取值范圍； （ 2）如果該二次函數(shù)的圖象 與 x 軸交于 A、 B 兩點，與 y 軸交于點 C，且點 B 的坐標(biāo)為（ 1， 0），求它的表達(dá)式和點 C 的坐標(biāo)； （ 3）如果一次函數(shù) y2=px+q 的圖象經(jīng)過點 A、 C，請根據(jù)圖象直接寫出 ， x 的取值 范圍 【考點】 拋物線與 x 軸的交點；二次函數(shù)與不等式（組） 【分析】 （ 1）由二次函數(shù)的圖象與 x 軸有兩個交點得出判別式 0，得出不等式，解不等式即可； （ 2）二次函數(shù) y1=x+m 5 的圖象經(jīng)過把點 B 坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式求出 m 的值，即可得出結(jié)果；點 B（ 1， 0）； （ 3）由圖象可知：當(dāng) ，比較兩個函數(shù)圖象的位置，即可得出結(jié)果 【解答】 解：（ 1） 二次函數(shù) y1=x+m 5 的圖象與 x 軸有兩個交點， 0， 22 4（ m 5） 0， 解得： m 6； （ 2） 二次函數(shù) y1=x+m 5 的圖象經(jīng)過點（ 1， 0）， 1+2+m 5=0， 解得： m=2， 它的表達(dá)式是 y1=x 3， 當(dāng) x=0 時， y= 3， C（ 0， 3）； （ 3）由圖象可知：當(dāng) ， x 的取值范圍是 x 3 或 x 0 【點評】 本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、拋物線與 x 軸的交點；由題意求出二次函數(shù)的解析式是解決問題的關(guān)鍵 26如圖， O 為 外接圓， O 的直徑， 分 點 A 作 足為 D （ 1）求證： O 的切線； （ 2）若 ， ，求 O 的直徑 【考點】 切線的判定 【分析】 （ 1）要證 O 的切線，連接 證 0即可 （ 2）根據(jù)三角函數(shù)的知識可求出 而根據(jù)勾股定理求出 長，根據(jù)三角函數(shù)的知識即可得出 O 的直徑 【解答】 （ 1）證明：連接 O 的直徑， 分 0， 0， O 的切線 （ 2）解： ， ， ， = ， ； = =5 O 的直徑為 5 【點評】 本題考查了切線的判定要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可同時考查了三角函數(shù)的知識 五、解答題（本題共 22 分，第 27題 7分，第 28題 8 分，第 29題 7分） 27在平面直角坐標(biāo)系 ，拋物線 經(jīng)過點 A（ 0， 2）和 B（ 1， ） （ 1）求該拋物線的表達(dá)式； （ 2）已知點 C 與點 A 關(guān)于此拋物線的對稱軸對稱，點 D 在拋 物線上，且點 D 的橫坐標(biāo)為 4，求點C 與點 D 的坐標(biāo)； （ 3）在（ 2）的條件下，將拋物線在點 A， D 之間的部分（含點 A， D）記為圖象 G，如果圖象 t（ t 0）個單位后與直線 有一個公共點，求 t 的取值范圍 【考點】 二次函數(shù)圖象與幾何變換；待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式 【專題】 計算題 【分析】 （ 1）把 A 點和 B 點坐標(biāo)代入 得到關(guān)于 b、 c 的方程組，然后解方程組求出 b、c 即可得到拋物線解析式； （ 2）利用配方法得到 y= （ x 1） 2+ ，則拋物線的對稱軸為直線 x=1，利用點 C 與點 A 關(guān)于直線x=1 對稱得到 C 點坐標(biāo)為（ 2， 2）；然后利用二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征求 D 點坐標(biāo)； （ 3） 畫出拋物線，如圖，先利用待定系數(shù)法求出直線 解析式為 y= x+1，再利用平移的性質(zhì)得到圖象 G 向下平移 1 個單位時，點 A 在直線 ；圖象 G 向下平移 3 個單位時，點 D 在直線，由于圖象 G 向下平移 t（ t 0）個單位后與直線 有一個公共點，所以 1 t3 【解答】 解：（ 1）把 A（ 0， 2）和 B（ 1， ）代入 得 ，解得 ， 所以拋物線解析式為 y= x+2； （ 2） y= x+2= （ x 1） 2+ ， 拋物線的對稱軸為 直線 x=1， 點 C 與點 A 關(guān)于此拋物線的對稱軸對稱， C 點坐標(biāo)為（ 2， 2）； 當(dāng) x=4 時， y= x+2=8 4+2=6， D 點坐標(biāo)為（ 4， 6）； （ 3）如圖， 設(shè)直線 解析式為 y=mx+n， 把 B（ 1， ）， C（ 2， 2）代入得 ，解得 ， 直線 解析式為 y= x+1， 當(dāng) x=0 時， y= x+1=1， 點圖象 G 向下平移 1 個單位時，點 A 在直線 ， 當(dāng) x=4 時， y= x+1=3， 點圖象 G 向下平移 3 個單位時，點 D 在直線 ， 當(dāng) 1 t3 時，圖象 G 向下平移 t（ t 0）個單位后與直線 有一個公共點 【點評】 本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換：由于拋物線平移后的形狀不變，故 a 不變，所以求平移后的拋物線解析式通?？衫脙煞N方法：一是求出原拋物線上任意兩點平移后的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出解析式；二是只考慮平移后的頂點坐標(biāo)，即可求出解析式也考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式 28在平面直角坐標(biāo)系 ，對于點 P（ x， y）和 Q（ x， y），給出如下定義： 如果 y= ，那么稱點 Q 為點 P 的 “關(guān)聯(lián)點 ” 例如：點（ 5， 6）的 “關(guān)聯(lián)點 ”為點（ 5， 6），點（ 5， 6）的 “關(guān)聯(lián)點 ” 為點（ 5， 6） （ 1） 點（ 2， 1）的 “關(guān)聯(lián)點 ”為 （ 2， 1） ； 如果點 A（ 3， 1）， B（ 1， 3）的 “關(guān)聯(lián)點 ”中有一個在函數(shù) 的圖象上，那么這個點是 B （填 “點 A”或 “點 B”） （ 2） 如果點 M*（ 1， 2）是一次函數(shù) y=x+3 圖象上點 M 的 “關(guān)聯(lián)點 ”， 那么點 M 的坐標(biāo)為 （ 1， 2） ； 如果點 N*（ m+1， 2）是一次函 數(shù) y=x+3 圖象上點 N 的 “關(guān)聯(lián)點 ”，求點 N 的坐標(biāo) （ 3）如果點