難點(diǎn) 17 三角形中的三角函數(shù)式 三角形中的三角函數(shù)關(guān)系是歷年高考的重點(diǎn)內(nèi)容之一，本節(jié)主要幫助考生深刻理解正、余弦定理，掌握解斜三角形的方法和技巧 . 難點(diǎn)磁場(chǎng) ( )已知 、 B、 +C=co s 2co ，求 值 . 案例探究 例 1在海島 A 上有一座海拔 1 千米的山，山頂設(shè)有一個(gè)觀察站 P，上午 11 時(shí)，測(cè)得一輪船在島北 30東，俯角為 60的 11 時(shí) 10 分又測(cè)得該船在島北 60西、俯 角為 30的 (1)求船的航行速度是每小時(shí)多少千米； (2)又經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后，船到達(dá)海島的正西方向的 此時(shí)船距島 A 有多遠(yuǎn)？ 命題意圖：本題主要考查三角形基礎(chǔ)知識(shí)，以及學(xué)生的識(shí)圖能力和綜合運(yùn)用三角知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力 . 知識(shí)依托：主要利用三角形的三角關(guān)系，關(guān)鍵找準(zhǔn)方位角，合理利用邊角關(guān)系 . 錯(cuò)解分析：考生對(duì)方位角識(shí)別不準(zhǔn)，計(jì)算易出錯(cuò) . 技巧與方法：主要依據(jù)三角形中的邊角關(guān)系并且運(yùn)用正弦定理來(lái)解決問(wèn)題 . 解： (1)在 ， 0 ， 3 (千米 ) 在 0， 3(千米 ) 在 ， 0 +60 =90 )/(30261330330)3()33( 2222時(shí)千米 ) 0 60 =30 80 01033303 30 )= 10103. 20 10)133()10103(1212 3 2 在 正弦定理得s ， 13392010)133(1010333s i ns i n C D 答：此時(shí)船距島 A 為1339千米 . 例 2已知 三內(nèi)角 A、 B、 C 滿足 A+C=2B，設(shè) x=f(x)=A ). (1)試求函數(shù) f(x)的解析式及其定義域； (2)判斷其單調(diào)性，并加以證 明； (3)求這個(gè)函數(shù)的值域 . 命題意圖：本題主要考查考生運(yùn)用三角知識(shí)解決綜合問(wèn)題的能力，并且考查考生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的靈活運(yùn)用的程度和考生的運(yùn)算能力，屬級(jí)題目 . 知識(shí)依托：主要依據(jù)三角函數(shù)的有關(guān)公式和性質(zhì)以及函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)去解決問(wèn)題 . 錯(cuò)解分析：考生對(duì)三角函數(shù)中有關(guān)公式的靈活運(yùn)用是難點(diǎn)，并且不易想到運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性去求函數(shù)的值域問(wèn)題 . 技巧與方法：本題的關(guān)鍵是運(yùn)用三角函數(shù)的有關(guān)公式求出 f(x)的解析式，公式主要是和差化積和積化和差公式 2的范圍 . 解： (1) A+C=2B， B=60， A+C=120 ,3421221)c o s ()c o s (2c o o o sc o sc o sc o 22 0 |2 60， x= (21， 1 又 43 0， x23，定義域?yàn)?(21，23) (23， 1 . (2)設(shè) f( f(34234221 122 2 =)34)(34()34)(22221 2121 若 ( 23,21 )，則 43 0， 43 0， 4 0，0， f( f( 0 即 f( f(若 (23， 1，則 43 0. 43 0， 4 0， 0， f( f( 0. 即 f( f( f(x)在 (21,23)和 (23， 1 上都是減函數(shù) . (3)由 (2)知， f(x) f(21)=21或 f(x) f(1)=2. 故 f(x)的值域?yàn)?( ，21) 2， + ) . 錦囊妙計(jì) 本難點(diǎn)所涉及的問(wèn)題以及解決的方法主要有： (1)運(yùn)用方程觀點(diǎn)結(jié)合恒等變形方法巧解三角形； (2)熟練地進(jìn)行邊角和已知關(guān)系式的等價(jià)轉(zhuǎn)化； (3)能熟練運(yùn)用三角形基礎(chǔ)知識(shí)，正、余弦定理及面積公式與三角函數(shù)公式配合，通過(guò)等價(jià)轉(zhuǎn)化或構(gòu)建方程解答三角形的綜合問(wèn)題，注意隱含條件的挖掘 . 殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練 一、選擇題 1.( )給出四個(gè)命題： (1)若 等腰三 角形； (2)若 (3)若 2，則 4)若 B) C) A)=1，則 以上正確命題的個(gè)數(shù)是 ( ) 、填空題 2.( )在 知 A、 B、 2t a a a a n 的值為 _. 3.( )在 A 為最小角， 知 A+C)=34， 4，則 +C)=_. 三、解答題 4.( )已知圓內(nèi)接四邊形 B=2， ， A=4，求四邊形 5.( )如右圖，在半徑為 子邊緣一點(diǎn)處的照度和燈光射到桌子邊緣的光線與桌面的夾角 的正弦成正比，角和這一點(diǎn)到光源的距離 I=k2其中 k 是一個(gè)和燈光強(qiáng)度有關(guān)的常數(shù)，那么怎樣選擇電燈懸掛的高度 h，才能使桌子邊緣處最亮？ 6.( )在 a、 b、 、 B、 7c o (1)求角 A 的度數(shù)； (2)若 a= 3 ， b+c=3，求 b和 7.( )在 A、 B、 a、 b、 c，且 a、 b、 3 A C=2，試求 A、 B、 8.( )在正三角形 B、 、 E 兩點(diǎn)，使沿線段 疊三角形時(shí)，頂點(diǎn) A 正好落在邊 這種情況下，若要使 參考答案 難點(diǎn)磁場(chǎng) 解法一：由題設(shè)條件知 B=60， A+C=120 . 設(shè) =2則 A C=2 ，可得 A=60 + ， C=60 ， ,43c o sc o ss i o o ss i o i o 0c o s (1)60c o s (1c o o 43 o sc o s,21c o B 整理得 4 2 2 3 2 =0(M) (2 2 )(2 2 3)=0， 2 2 3 0， 2 2 = 解法二：由題設(shè)條件知 B=60， A+C=120 22c o o 260c o s 2 ，把式化為 2 2 ， 利用和差化積及積化和差公式，式可化為 )c o s () c o s (22c o o ， 將 =21， +C)=21代入式得： )c o s (22 22c o s 將 C)=2 1 代入 ： 4 2 +2 3 2 =0， (*)，2c o s:,022c o 32c o )32c o 222c o 滅難點(diǎn)訓(xùn)練 一、 中 (3） (4）正確 . 答 案： B 二、 A+B+C= ， A+C=2B， a a a a n)2t a a 2t a a n,3)2t a n (,32案： 3 A 為最小角 2A+C=A+A+C A+B+C=180 . A+C)=54， A+C)=53. B 為銳角，又 4.故 3. 即 +C)=54， +C)=53. +C)= (2A+C) (A+C) =2524， +C)=2+C) 1=625527. 答案：625527三、 圖：連結(jié) 有四邊形 S=S 1 1 A+C=180， S=21(C CD)1(2 4+6 4)6余弦定理，在 20 16 ， 22 48 20 162 48 64 32， 21，又 0 A 180， A=120故 S=16=8 3 . R=由此得：20,co a n,33s i n,392)32()()s i s i n1(s i 2)c o s( s i nc o ss i ns i 32:3,21221c o o s:)2(60,1 8 00,21c o s,01c o o o s4)c o ,271c o c o s (12:,1 8 0272c o i (: a、 b、 3： (21) +C) C) B= (A+C). +C)=23 +C) 即 1 +C)=23+C)，解得 +C)=21. 0 A+C ， A+C=32 C=2 A=127 ， B=3， C=12. 題意，設(shè)折疊后 A 點(diǎn)落在邊 點(diǎn)，顯然 A、 P 兩點(diǎn)關(guān)于折線 稱，又設(shè) ， ， ，再設(shè) AB=a， AD=x， DP= 80 20 由正弦定理知：s . 120 60si n 2si