1 2016 年適應(yīng)性考試 理科 數(shù)學(xué) 一、選擇題 :本大題共 12 小題 ,每小題 5 分 ,共 60 分在每小題給出的四個選項中 ,只有一項是符合題目要求的 1已知集合 2 4 3 0 A x x x ， 2 1，則 （ ） A 3, 1 B ( , 3 1, 0 ) U C ( , 3 ) ( 1, 0 U D ( ,0) 【答案】 B 【解析】 ( , 3 1 , )A U ， ( , 0)B ， ( , 3 1 , 0 ) 2若 ( 2 )z a a i 為純虛數(shù)，其中 a R，則 7a （ ） A i B 1 C i D 1 【答案】 C 【解析】 z 為純虛數(shù) ， 2a ， 7i 2 i ( 2 i ) ( 1 2 i ) 3 i i1 i 31 2 i ( 1 2 i ) ( 1 2 i ) 3 設(shè)列 n 項的和，且 *3 ( 1 ) ( )2a n N，則 ） A 3(3 2 ) B 32n C 3n D 132n 【答案】 C 【解析】 1 1 11 2 23 ( 1 )23 ( 1 )2a S aa a a ， 1239， 經(jīng)代入選項檢驗，只有 C 符合 4 執(zhí)行 如圖 的程序框圖，如果輸入的 100N ， 則輸出的 x （ ） A B C D 【答案】 C 【解析】 1 1 1 11 2 2 3 3 4 9 9 1 0 0x 1 1 1 1 1 1 1 9 9( 1 ) ( ) ( ) ( )2 2 3 3 4 9 9 1 0 0 1 0 0 n = n + 1x= x+1n (n + 1 ) 1 ,x= 0是否開始輸入 N 2 5三角函數(shù) ( ) s i n ( 2 ) c o s 26f x x x 的振幅和最小正周期分別是（ ） A 3,2B 3, C 2,2D 2, 【答案】 B 【解析】 ( ) s i n c o s 2 c o s s i n 2 c o s 266f x x x x 3 3 3 1c o s 2 s i n 2 3 ( c o s 2 s i n 2 )2 2 2 2x x x x 3 c o s ( 2 )6x ，故選 B 6一空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（ ） A 12 B 6 C 4 D 2 【答案】 D 【解析】 11= 2 ( 2 + 1 ) 2 232V 正 四 棱 錐 7設(shè) p 、 q 是兩個命題，若 ()是真命題， 那么（ ） A p 是真命題且 q 是假命題 B p 是真命題且 q 是真命題 C p 是假命題且 q 是真命題 D p 是假命題且 q 是假命題 【答案】 D 8從一個邊長為 2 的等邊三角形的中心、各邊中點及三個頂點這 7 個點中任取兩個點，則這兩點間的距離小于 1 的概率是（ ） A71B73C74D76【答案】 A 【解析】 兩點間的距離小于 1 共有 3種情況， 分別為中心到三個中點的情況， 故 兩點間的距離小于 1 的概率27317P C 9已知平面向量 a 、 b 滿足 | | | | 1 ( 2 )a a b ，則 | ） A 0 B 2 C 2 D 3 【答案】 D 【解析】 ( 2 )a a b ， ( 2 ) 0 a a b ， 21122 a b a， 2 2 2| | ( ) 2 a b a b a a b b 2211 2 1 32 112221 3 10 62 )21( 的展開式中，常數(shù)項是（ ） A45B45C1615D1615【答案】 D 【解析】2 6 1 2 31 6 611( ) ( ) ( )22r r r r r x C ， 令 12 3 0r，解得 4r 常數(shù)項為4461 1 5()2 1 6C 11 （ 2016 廣東適應(yīng)） 已知雙曲線的頂點為橢圓 1222 軸的端點，且雙曲線的離心率與橢圓的離心率的乘積等于 1 ，則雙曲線的方程是（ ） A 122 B 122 C 222 D 222 【答案】 D 【解析】 橢圓 的端點為 (0, 2) ， 離心率 為 22， 雙曲線的離心率 為 2 ， 依題意 雙曲線 的實半軸 2a ， 2c ， 2b ，故選 D 12如果定義在 R 上的函數(shù) )(足：對于任意 21 ，都有 )()( 2211 )()( 1221 ，則稱 )( “ H 函數(shù) ” 給 出 下 列 函 數(shù) ： 13 )c o ss 3 ； 1 000|其中 “H 函數(shù) ”的個數(shù)是（ ） A 4 B 3 C 2 D 1 【答案】 C 【解析】 1 1 2 2( ) ( )x f x x f x )()( 1221 ， 1 2 1 2( ) ( ) ( ) 0x x f x f x ， )( R 上單調(diào)遞增 231 ， 3( , )3x ， 0y ，不符合 條件 ； 3 2 ( c o s + s i n ) = 3 2 2 s i n ( ) 04y x x x ， 符合條件； 0， 符合條件； ,0) 單調(diào)遞減， 不符合 條件 ； 綜上所述，其中 “H 函數(shù) ”是 4 二、填空題：本大題共 4 小題，每小題 5 分，滿分 20 分 13已知實數(shù) x ， y 滿足約束條件1122若目標(biāo)函數(shù) 2 僅在點 )4,3( 取得最小值，則 【答案】( , 2)【解析】不等式組表示的平面區(qū)域的角點坐標(biāo)分別為 (1 , 0 ) , ( 0 , 1 ) , ( 3 , 4 )A B C, 2， 64 6 4 264，解得 2a 14已知雙曲線 1163 222 左焦點在拋物線 2 的準(zhǔn)線上，則 p 【答案】 4 【解析】 2 23 ( )1 6 2， 4p 15已知數(shù)列 n 項和，且對任意 n N* ，均有na、2 【答案】 n 【解析】 na，2 22n n nS a a當(dāng) 1n 時， 21 1 1 122a S a a 又1 0a1 1a當(dāng) 2n 時， 221 1 12 2 ( )n n n n n n S a a a a ， 2211( ) ( ) 0n n n na a a a ， 1 1 1( ) ( ) ( ) 0n n n n n na a a a a a ， 又1 0， 1 1， 公差為 1， 1 1a， *( N )na n n 5 16已知函數(shù) )(定義域 R，直線 1x 和 2x 是曲線 )( 的對稱軸，且 1)0( f ，則 )10()4( 【答案】 2 【解析】 直線 1x 和 2x 是曲線 )( 的對稱軸， ( 2 ) ( )f x f x ， ( 4 ) ( )f x f x ， ( 2 ) ( 4 )f x f x ， )( 的 周期 2T ( 4 ) ( 1 0 ) ( 0 ) ( 0 ) 2f f f f 三、解答題：解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟 17（本小題滿分 12 分） 已知頂點在單位圓上的 中，角 A 、 B 、 C 的對邊分別為 a 、 b 、 c ，且 c o sc o sc o （ 1） 值； （ 2）若 422 求 的面積 【解析】（ 1） 2 c o s c o s c o c B b C， 2 s i n c o s s i n c o s s i n c o C B B C ， 2 s i n c o s s i n ( )A A B C ， A B C ， s i n ( ) s i A ， 2 s i n c o s s i A 0 A ， A ， 2A ， 1 （ 2）由 1得 3， 由 2，得 2 s 2 2 2 2 c o sa b c b c A ， 2 2 2 4 3 1b c b c a ， 1 1 3 3s i 2 4b c A 6 18（本小題滿分 12 分） 某單位共有 10 名員工，他們某年的收入如下表： 員工編號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 年薪（萬元） 3 3 5 4 5 5 5 6 5 7 7 5 8 50 （ 1）求該單位員工當(dāng)年年薪的平均值和中位數(shù)； （ 2）從該單位中任取 2 人，此 2 人中年薪收入高于 5 萬的人數(shù)記為 ，求 的分布列和期望； （ 3）已知員工年薪收入與工作年限成正相關(guān)關(guān)系，某員工工作第一年至第四年的年薪分別為 3 萬元、元、 元、 元，預(yù)測該員工第五年的年薪為多少？ 附：線性回歸方程 中系數(shù)計算公式分別為： 121( ) ( )()x y $ ， ，其中 x 、 y 為樣本均值 【解析】（ 1） 平均值為 10 萬元，中位數(shù)為 6 萬元 （ 2）年薪高于 5 萬的有 6 人，低于或等于 5 萬的有 4 人； 取值為 0， 1， 2 152)0(21024 ，158)1(2101614 ，31)2(21026 ， 的分布列為 0 1 2 P 152 158 31 2 8 1 6( ) 0 1 21 5 1 5 3 5E （ 3）設(shè) )4,3,2,1(, 5, 21( ) 2 . 2 5 0 . 2 5 0 . 2 5 2 . 2 5 5n ， 41( ) ( ) 1 . 5 ( 2 ) ( 0 . 5 ) ( 0 . 8 ) 0 . 5 0 . 6 1 . 5 2 . 2 7x y y ， 121( ) ( ) 71 . 45()x y $ ， 5 1 . 4 2 . 5 1 . 5a y b x ， 由線性回歸方程 為 可預(yù)測該員工年后的年薪收入為 元 7 19（本小題滿分 12 分） 如圖，在直二面角 中，四邊形 矩形， 2 32 是以 A 為直角頂點的等腰直角三角形，點 P 是線段 的一點， 3 （ 1）證明： （ 2）求異面直線 成角的余弦值 【解析】（ 1）證明： 以 A 為原點，建立空間直角坐標(biāo)系， 如圖， 則 (0,0,0)A ， (2,0,0)B ， (0,2,0)C ， (0, 0, 2 3 )F 22 4B F A B A F ， 3， 33( , 0, )22P， ( 2 , 0 , 2 3 ) (0, 2, 0 ) 33( , 0 , )22 0C C 0P P C ， P ， P AI ， 平面 （ 2） (2, 0, 0)AB 33( , 2 , )22 記 角為 ，則 3 37c o s =1427A B P P C u u ur u u u ur u u 【方法 2】 （ 1） 4, 3c o s c o A B F A ， 22 2 c o P F F A P F F A P F A 9 1 2 2 3 2 3 3 / 2 3 2 2 23 9 1 2P A P F A F ， F 平面 平面 平面 面 B ， C ， 平面 平面 平面 F C AI ， 平面 （ 2）過 P 作 / / , / /P M A B P N A F，分別交 ,A 于 , 的補角為 成的角 連接 32P N M B， 32， 22 52N C A N A C ， 22， 22 7P C P N N C ， 22 352M C M B B C ， 1 3 573 3 744c o 427272M P C 異面直線 成的角的余弦值為 3714 9 20（本小題滿分 12 分） 已知拋物線 C ： 2 ，過其焦點 F 作兩條相互垂直且不平行于 x 軸的直線，分別交拋物線 C 于點 1P 、 2P 和點3P、 4P ，線段 2143M 、 2M （ 1）求 21面積的最小值； （ 2）求線段 21中點 P 滿足的方程 【解析】（ 1） 由題設(shè)條件得焦點坐標(biāo)為 (1,0)F ， 設(shè)直線12 ( 1)y k x， 0k 聯(lián)立2( 1)4y k ，得 2 2 2 22 ( 2 ) 0k x k x k （ *） 2 2 2 2 2 2 ( 2 ) 4 1 6 ( 1 ) 0k k k k 設(shè)1 1 1( , )P x y，2 2 2( , )P x y，則 212 22 ( 2 )k 設(shè)111 ( , )x y，則 1112122222( 1 )k 類似地，設(shè)222 ( , )x y，則2222212211221 2 2 2 21 222 2 2| | ( 1 ) ( ) 1 kk k k ， 2 2 2 22| | ( 2 ) ( 2 ) 2 | | 1F M k k k k ， 因此12 1211| | | | 2 ( | | )2 | |F M M F M 1 | | 2|， 12 4S ， 當(dāng)且僅當(dāng) 1 |，即 1k 時，12到最小值 4 （ 2）設(shè)線段12 , )Px y ，由（ 1）得 121222221 1 2 1( ) ( 2 2 ) 1221 1 2 1( ) ( 2 )22x x k y y k ， 消去 k 后得 2 3 線段12 滿足的方程為 2 3 10 21（本小題滿分 12 分） 設(shè)函數(shù) 2（ 0m ） （ 1）求 )(單調(diào)區(qū)間； （ 2）求 )(零點個數(shù)； （ 3）證明：曲線 )( 沒有經(jīng)過原點的切線 【解析】（ 1） ()0, ) ， 211() x m xf x x 令 ( ) 0 ，得 2 10x 當(dāng) 2 40m ，即 02m 時， ( ) 0 ， ()0, ) 內(nèi)單調(diào)遞增 當(dāng) 2 40m ，即 2m 時，由 2 10x 解得 2142 ， 2242 ，且 120 ， 在區(qū)間1(0, ), )x 內(nèi) , ( ) 0 ，在12( , )( ) 0 ， (), ), )x 內(nèi)單調(diào)遞增，在12( , ) （ 2）由（ 1）可知，當(dāng) 02m 時， ()0, ) 內(nèi)單調(diào)遞增， ()多只有一個零點 又 1( ) ( 2 ) l x x x m x ， 當(dāng) 02 且 1x 時， ( ) 0； 當(dāng) 2且 1x 時， ( ) 0，故 () 當(dāng) 2m 時， (), ), )x 內(nèi)單調(diào)遞增，在12( , ) 且 2 2 2211 4 4 ( 4 )( ) ( ) l 2 2m m m m m m 2 2 24 2 4m m m m ， 而 2 2 2 24 2 2 044m m m m m ， 224 4 401242 ( 4 ) （ 2m ）， 1( ) 0由此知21( ) ( ) 0f x f x， 又 當(dāng) 2且 1x 時， ( ) 0，故 ()0, ) 內(nèi)有且僅有一個零點 綜上所述，當(dāng) 0m 時， () （ 3）假設(shè)曲線 ()y f x 在點 ( , ( )x f x （ 0x ）處的切線經(jīng)過原點， 則有 () ()fx ，即 21 x x m 1 ， 化簡得： 21 02 （ 0x ） （ *） 記 21( ) l n 12g x x x （ 0x ），則 211() xg x ， 令 ( ) 0 ，解得 1x 當(dāng) 01x時， ( ) 0 ，當(dāng) 1x 時， ( ) 0 ， 3(1)2g 是 ()當(dāng) 0x 時， 21322 由此說明方程（ *）無解， 曲線 ()y f x 沒有經(jīng)過原點的切線 11 請考生在 22、 23、 24 題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分作答時請寫清楚題號 22（本小題滿分 10 分）選修 4何證明選講 如圖所示， 半圓 O 的直徑， C ，垂足為 D ， F ， 別交于點 E 、G （ 1）證明： D ； （ 2） 證明： E 【解析】（ 1）連接 F ， F ， 點 G 是 中點， F 直徑， F /F ， 9 0 , 9 0D A O A O B F B C F C B ， D （ 2）在 與 中， 由（ 1）知 D A O G B O ， 又 B ， ，于是 G A G O A O G O B O D B D 在 與 中，