題庫 學(xué)生 版 本講是數(shù)論知識體系中的一個基石，整除知識點的特點介于 “定性分析與定量計算之間 ”即本講中的題型有定性分析層面的也有定量計算層面的，是很重要的一講，也是競賽常考的知識板塊。 本講力求實現(xiàn)的一個核心目標(biāo)是讓孩子熟悉和掌握常見數(shù)字的整除判定特性，在這個基礎(chǔ)上對沒有整除判定特性的數(shù)字可以將其轉(zhuǎn)化為幾個有整除判定特性的數(shù)字乘積形式來分析其整除性質(zhì)。另 外一個難點是將數(shù)字的整除性上升到字母和代數(shù)式的整除性 上，這個對于 學(xué)生的代數(shù)思維是一個良好的訓(xùn)練也是一個不小的挑戰(zhàn)。 一、常見數(shù)字的整除判定方法 1. 一個數(shù)的末位能被 2或 5整除，這個數(shù)就能被 2或 5整除； 一個數(shù)的末兩位能被 4或 25整除，這個數(shù)就能被 4或 25整除； 一個數(shù)的末三位能被 8或 125整除，這個數(shù)就能被 8或 125整除； 2. 一個 位數(shù)數(shù)字和能被 3整除，這個數(shù)就能被 3整除； 一個數(shù)各位數(shù)數(shù)字和能被 9整除，這個數(shù)就能被 9整除； 3. 如果一個整數(shù)的奇數(shù)位上的數(shù)字之和與偶數(shù)位上的數(shù)字之和的差能被 11 整除，那么這個數(shù)能被 11整除 . 4. 如果一個整數(shù)的末三位與末三位以前的數(shù)字組成的數(shù)之差能被 7、 11 或 13 整除，那么這個數(shù)能被 7、11 或 13整除 . 【備注】（以上規(guī)律僅在十進(jìn)制數(shù)中成立 .） 二、整除性質(zhì) 性質(zhì) 1 如果數(shù) 么它們的和或差也能被 如果 c a， c b，那么 c (ab) 性質(zhì) 2 如果數(shù) 么 如果 b a， c b，那么 c a 用同樣的方法，我們還可以得出： 性質(zhì) 3 如果數(shù) 么 b和 如果 a，那 么 b a， c a 性質(zhì) 4 如果數(shù) 能被數(shù) 數(shù) 么 b 與 如果 b a， c a，且 (b， c)=1，那么 a 例如：如果 3 12， 4 12，且 (3， 4)=1，那么 (34) 12 性質(zhì) 5 如果數(shù) 么 果 b a，那么 整數(shù)）； 性質(zhì) 6 如果數(shù) 數(shù) 么 果 b a ，且 d c ，那么 知識點撥 教學(xué)目標(biāo) 5的整除 題庫 學(xué)生 版 模塊一、 常見數(shù)的整除 判定 特征 【例 1】 已知道六位數(shù) 20279 是 13 的倍數(shù)，求 中的數(shù)字是幾？ 【 鞏鞏 固固 】 六位數(shù) 20 08被 99 整除， 多少？ 【 鞏鞏 固固 】 六位數(shù) 2008 能被 49 整除， 中的數(shù)是多少？ 【例 2】 173是個四位數(shù)字。數(shù)學(xué)老師說： “我在這個 中先后填人 3 個數(shù)字，所得到的 3 個四位數(shù)，依次可被 9、 11、 6 整除。 ”問：數(shù)學(xué)老師先后填入的 3 個數(shù)字的和是多少？ 【 鞏鞏 固固 】 某個七位數(shù) 1993能夠同時被 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9 整除，那么它的最后三位數(shù)字依次是多少？ 【 鞏鞏 固固 】 如果六位數(shù) 1992能被 105 整除，那么它的最后兩位數(shù)是多少？ 【例 3】 在六位數(shù) 1111 中的兩個方框內(nèi)各填入一個數(shù)字，使此數(shù)能被 17 和 19 整除，那么方框中的兩位數(shù)是多少 ? 【 鞏鞏 固固 】 已知四十一位數(shù) 555999 （其中 5 和 9 各有 20 個）能被 7 整除，那么中間方格內(nèi)的數(shù)字是多少？ 【例 4】 在方框中填上兩個數(shù)字，可以相同也可以不同，使 432是 9 的倍數(shù) . 請隨便填出一種，并檢查自己填的是否正確； 一共有多少種滿足條件的填法？ 【例 5】 (2008“數(shù)學(xué)解題能力展示 ”初賽 )已知九位數(shù) 2007 12 2 既是 9 的倍數(shù)，又是 11 的倍數(shù)；那么，這個九位數(shù)是多少？ 【例 6】 一位后勤人員買了 72 本筆記本，可是由于他吸煙不小心，火星落在帳本上，把這筆帳的總數(shù)燒去兩個數(shù)字 72 本筆記本，共 元 (為被燒掉的數(shù)字 )，請把 處數(shù) 字補上，并求筆記本的單價 . 例題精講 題庫 學(xué)生 版 【例 7】 由 1， 3， 4， 5， 7， 8 這六個數(shù)字所組成的六位數(shù)中，能被 11 整除的最大的數(shù)是多少？ 模塊二、 數(shù)的整除性質(zhì) 應(yīng)用 【例 8】 各位數(shù)碼是 0、 1 或 2，且能被 225 整除的最小自然數(shù)是多少？ 【例 9】 張老師帶領(lǐng)同學(xué)們?nèi)シN樹，學(xué)生的人數(shù)恰好等分成三組 12 棵，老師與學(xué)生每人種的樹一樣多，并且不超過 10 棵 共有多少學(xué)生？每人種了幾棵樹？ 【 鞏鞏 固固 】 某班同學(xué)在班主任老師帶領(lǐng)下去種樹，學(xué)生恰好平均分成三組，如果老師與學(xué)生每人種樹一樣多，共種了 1073 棵，那么平均每人種了 棵樹？ 【例 10】 在 865 后面補上三個數(shù)字，組成一個六位數(shù)，使它能分別被 3、 4、 5 整除，且使這個數(shù)值盡可能的小。 【 鞏鞏 固固 】 在 523 后面寫出三個數(shù)字，使所得的六位數(shù)被 7、 8、 9 整除那么這三個數(shù)字的和是多少 ? 【 鞏鞏 固固 】 要使 15 6被 36 整除，而且所得的商最小，那么 , 【例 11】 從 0、 1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9 這十個數(shù)字中選出五個不同的數(shù)字組成一個五位數(shù)，使它能被 3、 5、 7、 13 整除，這個數(shù)最大是多少 ？ 【 鞏鞏 固固 】 請求出最大的七位數(shù)，使得它能被 3、 5、 7、 11、 13 整除，且各位數(shù)字互不相同，這個七位數(shù)是多少？ 【例 12】 修改 31743 的某一個數(shù)字，可以得到 823 的倍數(shù)。問修改后的這個數(shù)是幾？ 【例 13】 某個自然數(shù)既能寫成 9 個連續(xù)自然數(shù)的和，還同時可以寫成 10 個連續(xù)自然數(shù)的和，也能寫成11 個連續(xù)自然數(shù)的和，那么這樣的自然數(shù)最小可以是幾？ 題庫 學(xué)生 版 【 鞏鞏 固固 】 a 是一個三位數(shù) ， 9a 能被 7 整除， 7a 能被 9 整除，問 a 是多少？ 【 鞏鞏 固固 】 有些數(shù)既能表示成 3 個連續(xù)自然數(shù)的和，又能表示成 4 個連續(xù)自然數(shù)的和；還能表示成 5 個連續(xù)自然數(shù)的和請你找出 700 至 1000 之間，所有滿足上述要求的數(shù)，并簡述理由 . 【例 14】 用數(shù)字 6， 7， 8 各兩個，組成一個六位數(shù)，使它能被 168 整除。這個六位數(shù)是多少？ 【 解解 析析 】 因為 168=837，所以組成的六位數(shù)可以被 8、 3、 7整除 能夠被 8整除的數(shù)的特征是末三位組成的數(shù)一定是 8的倍數(shù)，末兩位組成的數(shù)一定是 4的倍數(shù)，末位為偶數(shù)在題中條件下，驗證只有 688、 768是 8的倍數(shù)，所以末三位只能是 688或 768，而又要求是 7 的倍數(shù)，由例 8 知 式的數(shù)一定是 7、 11、 13 的倍數(shù)，所以 768768 一定是 7的倍數(shù)， 688的 不管怎么填都得不到 7的倍數(shù) 至于能否被 3整除可以不驗證，因為整除 3的數(shù)的規(guī)律是數(shù)字和為 3的倍數(shù)，在題中給定的條件下，不管怎么填數(shù)字和都是定值。 所以 768768能被 168整除，且驗證沒有其他滿足條件的六位數(shù) 【例 15】 將數(shù)字 4， 5， 6， 7， 8， 9 各使用一次，組成一個被 667 整除的 6 位數(shù)，那么，這個 6 位數(shù)除以667 的結(jié)果是多少？ 【例 16】 一個十位數(shù)，如果各位上的數(shù)字都不相同，那么就稱為 “ 十全數(shù) ” ，例如， 3785942160 就是一個十全數(shù)現(xiàn)已知一個十全數(shù)能被 1， 2， 3， ， 18 整除，并且它的前四位數(shù)是 4876，那么這個十全數(shù)是多少？ 【例 17】 把若干個自然數(shù) 1、 2、 3、 連乘到一起，如果已知這個乘積的最末十三位恰好都是零，那么最后出現(xiàn)的自然數(shù)最小應(yīng)該是多少？最大是多少？ 【 鞏鞏 固固 】 從 50 到 100 的這 51 個自然數(shù)的乘積的末尾有多少個連續(xù)的 0？ 【 鞏鞏 固固 】 9 7 5 9 3 5 9 7 2 W，要使這個連乘積的最后 4 個數(shù)字都是 0，那么在方框內(nèi)最小應(yīng)填什么數(shù)？ 【 鞏鞏 固固 】 11 個連續(xù)兩位數(shù)的乘積能被 343 整除，且乘積的末 4 位都是 0，那么這 11 個數(shù)的平均數(shù)是多少？ 【 鞏鞏 固固 】 把若干個自然數(shù) 1、 2、 3、 連乘到一起，如果已知這個乘積的最末 53 位恰好都是零，那么最后出現(xiàn)的自然數(shù)最小應(yīng)該是多少？最大是多少？ 【例 18】 從左向右編號為 1 至 1991 號的 1991 名同學(xué)排成一行從左向右 1 至 11 報數(shù)，報數(shù)為 11 的同 題庫 學(xué)生 版 學(xué)原地不動，其余同學(xué)出列；然后留下的同學(xué)再從左向右 1 至 11 報數(shù)，報數(shù)為 11 的同學(xué)留下，其余的同學(xué)出列；留下的同學(xué)第三次從左向右 1 至 1l 報數(shù)，報到 11 的同學(xué)留下，其余同學(xué)出列那么最后留下的同學(xué)中，從左邊數(shù)第一個人的最初編號是 _ 【例 19】 在 1、 2、 3、 42007 這 2007 個數(shù)中有多少個自然數(shù) a 能使 2008+a 能被 2007除。 【例 20】 以多位數(shù) 142857 為例，說明被 11 整除的另一規(guī)律就是看奇數(shù)位數(shù)字之 和與偶數(shù)位數(shù)字之和的差能否被 11 整除 . 【 鞏鞏 固固 】 以多位數(shù) 142857314275 為例，說明被 7、 11、 13 整除的規(guī)律 . 【例 21】 已知兩個三位數(shù) 和 能被 37 整除，試說明：六位數(shù) 能被 37 整除 【 鞏鞏 固固 】 如果 被 6 整 除，那么 2 ( )a b c d e 也能被 6 整除 【 鞏鞏 固固 】 若 4 2 32b c d ，試問 否被 8 整除 ?請說明理由 【例 22】 兩個四位數(shù) 275A 和 275B 相乘，要使它們的乘積能被 72 整除，求 A 和 B . 【 鞏鞏 固固 】 若四位數(shù) 985 整除，則 a 代表的數(shù)字是多少 ？ 【例 23】 為了打開銀箱，需要先輸入密碼，密碼由 7 個數(shù)字組成，它們不是 1、 2 就是 3在密碼中 1 的數(shù)目比 2 多， 2 的數(shù)目比 3 多，而且密碼能被 3 和 16 所整除試問密碼是多少？ 【 鞏鞏 固固 】 為了打開銀箱，需要先輸入密碼，密碼由 7 個數(shù)字組成，它們不是 2 就是 3在密碼中 2 的數(shù)目比 3 多，而且密碼能被 3 和 4 所整除試求出這個密碼 【例 24】 一個 19 位數(shù)997 7 7 7 4 4 4 4 4O 1 2 4314 2 43 個個能被 13 整除，求 內(nèi)的數(shù)字 題庫 學(xué)生 版 【 鞏鞏 固固 】 應(yīng)當(dāng)在如下的問號 “ ？ ” 的位置上填上哪一個數(shù)碼，才能使得所得的整數(shù)50 5066 6 ? 55 5 3 1 2 3個 6 個 5可被 7 整除？ 【例 25】 多位數(shù)200920092009 2009 736n 44 2 4 4 43個，能被 11 整除， n 最小值為多少？ 【 鞏鞏 固固 】 200920092009 2009 09n 44 2 4 4 43個能被 11 整除，那么， n 的最小值為多少？ 【例 26】 三 位數(shù)的百位、十位和個位的數(shù)字分別是 5， a和 b，將它連續(xù)重復(fù)寫 2008次成為：2 0 0 9 55 5 5ab 4 2 4 4 1 整除，那么這個三位數(shù) 5多少？ 【例 27】 試說明一個 4 位數(shù)，原序數(shù)與反序數(shù)的和一定是 11 的倍數(shù) (如： 1236 為原序數(shù)，那么它對應(yīng)的反序數(shù)為 6321，它們的和 7557 是 11 的倍數(shù) ) 【 鞏鞏 固固 】 試說明一個兩位數(shù)，如果將個位數(shù)字和十位數(shù)字對調(diào)后得到一個新的兩位數(shù)，則新數(shù)與原數(shù)的差一定能被 9 整除 . 【 鞏鞏 固固 】 試說明一個 5 位 數(shù)，原序數(shù)與反序數(shù)的差一定是 99 的倍數(shù) (如： 12367 為原序數(shù)，那么它對應(yīng)的反序數(shù)為 76321，它們的差 63954 99 646 是 99 的倍數(shù) ) 【 鞏鞏 固固 】 1 至 9 這 9 個數(shù)字，按圖所示的次序排成一個圓圈請你在某兩個數(shù)字之間剪開，分別按順時針和逆時針次序形成兩個九位數(shù) (例如，在 1 和 7 之間剪開，得到兩個數(shù)是 193426857 和758624391)如果要求剪開后所得到的兩個九位數(shù)的差能被 396 整除，那么剪開處左右兩個數(shù)字的乘積是多少 ? 987654321【例 28】 一 個 六 位 數(shù) 如 果 滿 足 4 a b c d e f fa b c d e，則稱 “ 迎 春 數(shù) ” ( 如4 1 0 2 5 6 4 4 1 0 2 5 6，則 102564 就是 “ 迎春數(shù) ” )。 請你求出所有 “ 迎春數(shù) ” 的總和 。 題庫 學(xué)生 版 【例 29】 一個 4 位數(shù)，把它的千位數(shù)字移到右端構(gòu)成一個新的 4 位數(shù) 兩個 4 位數(shù)的和是以下 5 個數(shù)的一個： 9865； 9866； 9867； 9868； 位數(shù)的和到底是多少 ? 【 鞏鞏 固固 】 一個 4 位數(shù)，把它的千位數(shù)字移到右端構(gòu)成一個新的 4 位數(shù) 位數(shù)的千位數(shù)字移到右端構(gòu)成一個更新的四位數(shù)，已知最新的 4 位數(shù)與最原先的 4 位數(shù)的和是以下 5 個數(shù)的一個： 9865； 9867； 9462； 9696； 位數(shù)的和到底是多少 ? 模塊三、整除與其他知識綜合性題目 【例 30】 在小于 5000 的自然數(shù)中，能被 11 整除，并且數(shù)字和為 13 的數(shù)，共有多少個 . 【 鞏鞏 固固 】 用 1， 9， 8， 8 這四個數(shù)字能排成幾個被 11 除余 8 的四位數(shù) ? 【例 31】 在 1 至 2008 這 2008 個自然數(shù)中，恰好是 3、 5、 7 中兩個數(shù)的倍數(shù)的數(shù)共有多少個？ 【例 32】 有 15 位同學(xué)，每位同學(xué)都有編號，他們是 1 號到 15 號， 1 號同學(xué)寫了一個自然數(shù)，其余各位同學(xué)都說這個數(shù)能被自己的編號數(shù)整除 1 號作了檢驗：只有編號連續(xù)的兩位同學(xué)說的不對，其余同學(xué)都對，問： 說的不對的兩位同學(xué)，他們的編號是哪兩個連續(xù)自然數(shù)？ 如果告訴你1 號寫的數(shù)是五位數(shù)，請找出這個數(shù) 【 鞏鞏 固固 】 某住宅區(qū)