2010 年 暑假 第 2講 教師版 3 1、比例的基本性質(zhì) 2、熟練掌握比例式的恒等變形及連比問題 3、能夠進行 各種條件下比例的轉(zhuǎn)化，有目的的轉(zhuǎn)化； 4、單位“ 1” 變化的比例問題 5、方程解比例應(yīng)用題 比例與百分數(shù)作為一種數(shù)學工具在人們?nèi)粘Ｉ钪刑幚矶嘟M數(shù)量關(guān)系非常有用，這一部分內(nèi)容也是小升初考試的重要內(nèi)容 一、比和比例的性質(zhì) 性質(zhì) 1：若 a: b=c： d，則 (a + c)： (b + d)= a： b=c： d； 性質(zhì) 2：若 a: b=c： d，則 (a - c)： (b - d)= a： b=c： d； 性質(zhì) 3：若 a: b=c： d，則 (a +x c)： (b +x d)=a： b=c： d； (x 為常數(shù) ) 性質(zhì) 4：若 a: b=c： d，則 ad = bc； (即外項積等于內(nèi)項積 ) 正比例：如果 ab=k(k 為常數(shù) )，則稱 a、 b 成正比； 反比例：如果 ab=k(k 為常數(shù) )，則稱 a、 b 成反比 二、主要比例轉(zhuǎn)化實例 mx b； x 其中 0m )； y a b； x y a ； x y a bx y a b； L x : : : :x y z a c b c b d ； x 的 y 的 x 是 y 的 y 是 x 的 三、按比例分配與和差關(guān)系 按比例分配 例如：將 x 個物體按照 :兩個人，那么實際上甲、乙兩個人各自分配到的物體數(shù)量與 教學目標 第二講：比和比例 2010 年 暑假 第 2講 教師版 3 的比分別為 :a a b 和 :b a b ，所以甲分配到 ，乙分配到 . 已知兩組物體的數(shù)量比和數(shù)量差，求各個類別數(shù)量的問題 例如：兩個類別 A 、 B ，元素的數(shù)量比為 :里 )，數(shù)量差為 x ，那么 A 的元素數(shù)量為 B 的元素數(shù)量為 所以解題的關(guān)鍵是求出 與 a 或 b 的比值 四、比例題目常用解題方式和思路 解答分數(shù)應(yīng)用題關(guān)鍵是正確理解、運用單位“ l”。題中如果有幾個不同的單位“ 1”，必須根據(jù)具體情況，將不同的單位“ 1”，轉(zhuǎn)化成統(tǒng)一的單位“ 1”，使數(shù)量關(guān)系簡單化，達到解決問題的效果。在解答分數(shù)應(yīng)用題時，要注意以下幾點： 1. 題中有幾種數(shù)量相比較時，要選擇與各個已知條件關(guān)系密切、便于直接解答的數(shù)量為單位“ 1”。 2. 若 題中數(shù)量發(fā)生變化的，一般要選擇不變量為單位“ 1” 。 3. 應(yīng)用正、反比例性質(zhì)解答應(yīng)用題時要注意題中某一數(shù)量是否一定，然后再確定是成正比例，還是成反比例。找出這些具體數(shù)量相對應(yīng)的分率與其他具體數(shù)量之間的正、反比例關(guān)系，就能找到更好、更巧的解法。 4. 題中有明顯的等量關(guān)系，也可以用方程的方法去解。 5. 賦值解比例問題 模塊一、比例轉(zhuǎn)化 【例 1】 已知甲、乙、丙三個數(shù)，甲等于乙、丙兩數(shù)和的 13，乙等于甲、丙兩數(shù)和的 12，丙等于甲、乙兩數(shù)和的 57，求 :甲 乙 丙 . 【解析】 由 甲等于乙、丙兩數(shù)和的 13，得到甲等于三個數(shù)和的 113+1 4，同樣的 乙等于甲 、丙兩數(shù)和的 112+1 3，同樣的丙等于甲、乙兩個數(shù)和的 557 5 12，所以 1 1 5: : : : 3 : 4 : 54 3 1 2甲 乙 丙 【例 2】 已知甲、乙、丙三個數(shù)，甲的一半等于乙的 2 倍也等于丙的 23，那么甲的 23、乙的 2 倍、丙的一半這三個數(shù)的比為多少？ 【解析】 甲的一半、乙的 2 倍、丙的 23這三個數(shù)的比為 1:1:1 ，所以甲、乙、丙這三個數(shù)的比為 121 : 1 2 : 123 即 132: :22，化簡為 4:1:3 ，那么甲的 23 、乙的 2 倍、丙的一半這三個數(shù)的比為 214 : 1 2 : 332 即 83:2:32，化簡為 16:12:9 . 【例 3】 如下圖所示，圓 B 與圓 C 的面積之和等于圓 A 面積的 45，且圓 A 中的陰影部分面積占圓 A 面積的16 ，圓 B 的陰影部分面積占圓 B 面積的 15 ，圓 C 的陰影部分面積占圓 C 面積的 13 求圓 A 、圓 B 、例題精講 2010 年 暑假 第 2講 教師版 3 圓 C 的面積之比 析】 設(shè) A 與 B 的共同部分的面積為 x ， A 與 C 的共同部分的面積為 y ，則根據(jù)題意有 5 64A B C x y ， 5B ， 3，于是得到 5 64 5 3 ，這條式子可化簡為15，所以 5 204A B C C : 2 0 : 1 5 : 1A B C . 【例 4】 某俱樂部男、女會員的人數(shù)之比是 3:2 ，分為甲、乙、丙三組已知甲、乙、丙三組的人數(shù)比是 10:8:7 ，甲組中男、女會員的人數(shù)之比是 3:1 ，乙組中男、女會員的人數(shù)之比是 5:3 求丙組中男、女會員人數(shù)之比 【解析】 以總?cè)藬?shù)為 1，則甲組男會員 人數(shù) 為 1 0 3 31 0 8 7 3 1 1 0 ，女會員為 3 1 110 3 10，乙組男會員為8 5 11 0 8 7 5 3 5 ，女會員為 1 3 35 5 25 ；丙組男會員為 3 3 1 13 + 2 1 0 5 1 0 ，女會員為2 1 3 93 + 2 1 0 2 5 5 0 ；所以，丙組中男、女會員人數(shù)之比為 19: 5:910 50 【鞏固】 一項公路的修建工程被平均分成兩份承包給甲、乙個工程隊建設(shè)，兩個工程隊建設(shè)了相同多的一段時間后，分別剩下 60% 、 40% 的任務(wù)沒有完成，已知兩個工程隊的工作效率 (建設(shè)速度 )之比 3:1 ，求這兩個工程隊原先承包的修建公路長度之比 . 【解析】 (法一 )甲工程隊以 3 倍乙工程隊建設(shè)速度，僅完成了 40% 的承包任務(wù)，而乙工程隊完成了 60% ，所以甲工程隊承包任務(wù)的 40% 等于乙工程隊承包任務(wù)的 60% 3 180% ，所以甲工程隊的承包的任務(wù)是乙工程隊承包任務(wù)的 1 8 0 % 4 0 % 4 5 0 %，所以兩個工程隊承包的修建公路長度之比為450% :1 9 : 2 (法二 )兩個工程隊完成的工程任務(wù) (修建公路長度 )之比等于工作效率之比，等于 3:1 ，而他們分別完成 了 各 自 任 務(wù) 的 40% 和 60% ， 所 以 兩 個 工 程 隊 承 包 的 修 建 公 路 長 度 之 比 為 3 4 0 % : 1 6 0 % 9 : 2 【例 5】 某團體有 100 名會員，男女會員人數(shù)之比是 14:11 ，會員分成三組，甲組人數(shù)與乙、丙兩組人數(shù)之和一樣多，各組男女會員人數(shù)之比依次為 12:13 、 5:3 、 2:1 ，那么丙組有多少名男會員？ 【解析】 會員總?cè)藬?shù) 100 人，男女比例為 14:11 ，則可知男、女會員人數(shù)分別為 56 人、 44 人；又已知甲組人數(shù)與乙、丙兩組人數(shù)之和一樣多，則可知甲組人數(shù)為 50 人，乙、丙人數(shù)之和為 50 人，可設(shè)丙組人數(shù)為 x 人，則乙組人數(shù)為 50x 人，又已知甲組男、女會員比為 12:13 ，則甲組男、女會員人數(shù)分別為 24 人、 26 人，又已知乙、丙兩組男、女會員比例，則可得： 522 4 ( 5 0 ) 5 683 ，解得 18x 即丙組會員人數(shù)為 18人，又已知男、女比例，可得丙組男會員人數(shù)為 218 123人 【例 6】 (2007 年華杯賽總決賽 )A 、 B 、 C 三項工程的工作量之比為 1:2:3 ，由甲、乙、丙三隊分別承擔三個工程隊同時開工，若干天后，甲完成的工作量是乙未完成的工作量的二分之一，乙完成的工作量是丙未完成的工作量的三分之一，丙完成的工作量等于甲未完成的工作量，則甲、乙、丙隊的工作效率的比是多少？ 【解析】 根據(jù)題意，如果把 A 工程的工作量看作 1 ，則 B 工程的工作量就是 2 ， C 工程的工作量就是 3 設(shè)甲、乙、丙三個工程隊的工作效率分別為 x 、 y 、 z k 天，則： 2010 年 暑假 第 2講 教師版 3 2 2 13 3 213k x k yk y k zk z k x 入，得 2 43 將代入，得 2223 ， 47x k， 將 47x k代入，得 67y k代入，得 37z k 甲、乙、丙三隊的工作效率的連比是 4 6 3: : 4 : 6 : 3777 【鞏固】 某次數(shù)學競賽設(shè)一、二、三等獎已知： 甲、乙兩校獲一等獎的人數(shù)相 等； 甲校獲一等獎的人數(shù)占該校獲獎總?cè)藬?shù)的百分數(shù)與乙校相應(yīng)的百分數(shù)的比為 5:6 ； 甲、乙兩校獲二等獎的人數(shù)總和占兩校獲獎人數(shù)總和的 20% ； 甲校獲三等獎的人數(shù)占該校獲獎人數(shù)的 50% ； 甲校獲二等獎的人數(shù)是乙校獲二等獎人數(shù)的 那么，乙校獲一等獎的人數(shù)占該校獲獎總?cè)藬?shù)的百分數(shù)等于多少？ 【解析】 由、可知甲、乙兩校獲獎總?cè)藬?shù)的比為 6:5 ，不妨設(shè)甲校有 60 人獲獎，則乙校有 50 人獲獎由知兩校獲二等獎的共有 ( 6 0 5 0 ) 2 0 % 2 2 人；由知甲校獲二等獎的有 2 2 ( 4 . 5 1 ) 4 . 5 1 8 人；由知甲校獲一等獎的有 6 0 6 0 5 0 % 1 8 1 2 人，那么乙校獲一等獎的也有 12 人，從而所求百分數(shù)為 1 2 5 0 1 0 0 % 2 4 % 【例 7】 某校畢業(yè)生共有 9 個班，每班人數(shù)相等 已知一班的男生人數(shù)比二、三班兩個班的女生總數(shù)多 1； 四、五、六班三個班的女生總數(shù)比七、八、九班三個班的男生總數(shù)多 1那么該校畢業(yè)生中男、女生人數(shù)比是多少？ 【解析】 如下表所示，由知，一、二、三班的男生總數(shù)比二、三班總?cè)藬?shù)多 1；由知，四至九班的男生總數(shù)比四、五、六班總?cè)藬?shù)少 1 一班男生 比 二、三班女生 多 1 人 加上 二、三班男生 二、三班男生 一、二、三班男生 比 二、三班總?cè)藬?shù) 多 1 人 七、八、九班男生 比 四、五、六班女生 少 1 人 加上 四、五、六班男生 四、五、六班男生 四、五、六、七、八、九班男生 比 四、五、六班總?cè)藬?shù) 少 1 人 因此，一至九班的男生總數(shù)是二、三、四、五、六共五個班的人數(shù)之和，由于每班人數(shù)均相等，則女生總數(shù)等于四個班的人數(shù)之和所以，男、女生人數(shù)之比是 5:4 模塊二、按比例分配與和差關(guān)系 （一）量倍對應(yīng) 【例 8】 一些蘋果 平均分給甲、乙兩班的學生，甲班比乙班多分到 16 個，而甲、乙兩班的人數(shù)比為 13:11 ，求一共有多少個蘋果？ 【解析】 一共有 1 6 1 3 1 1 1 3 1 1 1 9 2 個蘋果 . 【鞏固】 小新、小志、小剛?cè)藫碛械牟貢鴶?shù)量之比為 3:4:6 ，三人一共藏書 52 本，求他們?nèi)烁髯缘牟貢鴶?shù)量 . 【解析】 根據(jù)題意可知，他們?nèi)烁髯缘牟貢鴶?shù)量分別占三人 藏書總量的 33 4 6、 43 4 6、 63 4 6，所以小新?lián)碛械牟貢鴶?shù)量為 35 2 1 23 4 6本，小志擁有的藏書數(shù)量為 45 2 1 63 4 6本，小剛擁 2010 年 暑假 第 2講 教師版 3 有的藏書數(shù)量為 65 2 2 43 4 6本 . 【鞏固】 在抗洪救災(zāi)區(qū)活動中，甲、乙、丙三人一共捐了 80 元已知甲比丙多捐 18 元，甲、乙所捐資的和與乙、 丙所捐資的和之比是 10:7 ，則甲捐 元，乙捐 元，丙捐 元 【解析】 由于甲比丙多捐 18 元，所以甲、乙所捐資的和比乙、丙所捐資的和多 18 元，那么甲、乙所捐資的和為： 1 8 (1 0 7 ) 1 0 6 0 (元 )，乙、丙所捐資的和為 60 18 42 元 所以，甲捐了 80 42 38(元 )，乙捐了 60 38 22 (元 )，丙捐了 38 18 20 (元 ) 【鞏固】 有 120 個皮球，分給兩個班使用，一班分到的 13與二班分到的 12相等，求兩個班各分到多少皮球？ 【解析】 根據(jù)題意可知一班與二班分到的球數(shù)比 11: 3: 223，所以一班分到皮球 3120 7232個，二班分到皮球 120 72 48 個 【例 9】 一班和二班的人數(shù)之比是 8:7 ，如果將一班的 8 名同學調(diào)到二班去，則一班和二班的人數(shù)比變?yōu)?:5 求原來兩班的人數(shù) 【解析】 原來一班的人數(shù)為兩班總?cè)藬?shù)的 888 7 15，調(diào)班后一班的人數(shù)是兩班人數(shù)的 444 5 9，調(diào)班前后一班人數(shù)的比值為 84: 6 : 515 9 ，所以一班原來的人數(shù)為 8 6 5 6 4 8 人，二班原來的人數(shù)為48 8 7 42 人 . 【例 10】 幼兒園大班和中班共有 32 名男生， 18 名女生 已知大班男生數(shù)與女生數(shù)的比為 5:3 ，中班男生數(shù)與女生數(shù)的比為 2:1 ，那么大班有女生多少名？ 【解析】 由于男、女生人數(shù)有比例關(guān)系，而且知道總數(shù)，所以可以用雞兔同籠的方法 假設(shè) 18 名女生全部是大班，則大班男生數(shù)：女生數(shù) 5 : 3 30 :18 ，即男生應(yīng)有 30 人，實際上男生有 32 人，相差 2 個人；又中班男生數(shù)：女生數(shù) 2:1 6:3，以 3 個中班女生換 3 個大班女生，每換一組可增加 1 個男生，所以需要換 2 組；所以，大班女生有 18 3 2 12 (名 ) 【鞏固】 參加植樹的同學共有 720 人，已知六年級與五年級人數(shù)的比是 3:2 ，六年級比四年級多 80 人，三個年級參加植樹的各有多少人 ? 【解析】 假設(shè)四年級和六年級人數(shù)同樣多，則參加植樹的同學共有 720 80 800 人，四、五、六三個年級的人數(shù)比為 3:2:3 ，知道三個量的和及它們的比，就可以按比例分配，分別求出三個年級參加植樹的人數(shù) 六年級： 38 0 0 3 0 03 2 3人；五年級： 28 0 0 2 0 03 2 3人；四年級： 300 80 220 人 【鞏固】 圓珠筆和鉛筆的價格比是 4： 3， 20 支圓珠筆和 21 支鉛筆共用 71 5 元問圓珠筆的單價是每支多少元 ? 【解析】 設(shè)圓珠筆的價格為 4，那么鉛筆的價格為 3，則 20支圓珠筆和 21 支鉛筆的價格為 20 4+21 3=143，則單位“ 1”的價格為 143=以圓珠筆的單價是 4=2(元 ) 【例 11】 甲、乙兩只螞蟻同時從 A 點出發(fā)，沿長方形的邊爬去，結(jié)果在距 B 點 2 厘米的 C 點相遇，已知乙螞蟻的速度是甲的 ，求這個長方形的周長 【解析】 兩只螞蟻在距 B 點 2 厘米的 C 點相遇，說明乙比甲一共多走了2 2 4 (厘米 )又知乙螞蟻的速度是甲螞蟻的 ，相同時間內(nèi)乙螞蟻爬的 路程 與甲螞蟻爬的路程比為： 1 6： 5， 所以甲爬的 路程 是 4 6 5 5 2 0 (厘米 )，乙爬的 路程 是20 4 24 (厘米 )，長方形的周長為 20 24 44 (厘米 ) 甲乙010 年 暑假 第 2講 教師版 3 【例 12】 甲 乙兩車分別從 A， B 兩地出發(fā)，相向而行出發(fā)時，甲、乙的速度比是 5 4，相遇后，甲的速度減少 20 ，乙的速度增加 20，這樣，當甲到達 B 地時，乙離 A 地還有 10 千米問： A， B 兩地相距多少千米？ 【解析】 甲、乙原來的速度比是 5 4 相遇后的速度比是： 5（ 1 20） 4（ 1 20） 4 4 8 5 6 相遇時，甲、乙分別走了全程的 5/9和 4/9 設(shè)全程 x 千米，剩下的部分甲行的長度和乙行的長度之比為 5： 6 其中相遇后甲行駛了全長的 4/9 所以乙行駛了全長的 48569 15 ，所以乙一共行了全長 4 8 449 15 45，還剩 44 1145 45沒有走 所以 A、 B 全長為 450千米 . 【例 13】 師徒二人加工一批零件，師傅加工一個零件用 9 分鐘，徒弟加工一個零件用 15 分鐘 完成任務(wù)時，師傅比徒弟多加工 100 個零件，求師傅和徒弟一共加工了多少個零件？ 【解析】 師傅與徒弟的工作效率之比是 11: 5 : 39 15 ，工作時間相同，工作量與工作效率成正比，所以師傅與徒弟分別完成總量的 553和 353，師傅和徒弟一共加 工了 531 0 0 ( ) 4 0 05 3 5 3 個零件 【鞏固】 師徒二人共加工零件 400 個，師傅加工一個零件用 9 分鐘，徒弟加工一個零件用 15 分鐘完成任務(wù)時，師傅比徒弟多加工多少個零件？ 【解析】 師傅與徒弟的工作效率之比是 11: 5 : 39 15 ，而工作時間相同，則工作量與工作效率成正比，所以師傅與徒弟分別完成總量的 553和 353，師傅比徒弟多加工零件 534 0 0 1 0 05 3 5 3 個 【例 14】 A 、 B 、 C 三個水桶的總?cè)莘e是 1440 公升，如果 A 、 B 兩桶裝滿水， C 桶是空的；若將 A 桶水的全部和 B 桶水的 15，或?qū)?B 桶水的全部和 A 桶水的 13倒入 C 桶， C 桶都恰好裝滿求 A 、 B 、 C 三個水桶容積各是多少公升？ 【解析】 根據(jù)題意可知， A 桶水的全部加上 B 桶水的 15等于 B 桶水的全部加上 A 桶水的 13，所以 A 桶水的 23等于 B 桶水的 45，那么 A 桶水的全部等于 B 桶水的 4 2 65 3 5， C 桶水為 B 桶水的 6 1 75 5 5所以 A 、B 、 C 三個水桶的容積之比是 67: 1 : 6 : 5 : 755 又 A 、 B 、 C 三個水桶的總?cè)莘e是 1440 公升，所以A 桶的容積是 61 4 4 0 4 8 0657公升， B 桶的容積是 5480 4006公升， C 桶的容積是7480 5606 公升 【鞏固】 學而思學校四五六年級共有 615 名學生，已知六年級學生的 12，等于五年級學生的 25，等于四年級學生的 37。這三個年級各有多少名學生學生？ 【解析】 將六年級學生的 12，等于五年級學生的 25，等于四年級學生的 37，看作一個單位，那么 六年級學生人數(shù)等于 2 個單位，五年級學生等于 單位，四年級學生等于 73學生，所以六年級、五年級、四年級學生人數(shù)的比為 572 1 2 1 5 1 423： ： ： ：，所以六年級學生人數(shù)為 126151 2 1 5 1 4 =180 人，五年級 2010 年 暑假 第 2講 教師版 3 學生人數(shù)為 156 1 5 2 2 51 2 1 5 1 4人，四年級學生人數(shù)為 146 1 5 2 1 01 2 1 5 1 4人 . 【例 15】 一塊長方形鐵板，寬是長的 45從寬邊截去 21 厘米，長邊截去 35% 以后，得到一塊正方形鐵板問原來長方形鐵板的長是多少厘米 ? 【解析】 如果只將長邊截去 35% ，寬、長之比為 4 : 5 1 3 5 % 1 6 : 1 3 ，所以寬邊的長度為2 1 ( 1 6 1 3 ) 1 6 1 1 2 厘米，所以原來鐵板的長為 4112 1405 厘米 【鞏固】 一個正方形的一邊減少 20% ，另一邊增加 2 米，得到一個長方形，這個長方形的面積與原正方形面積相等原正方形的邊長是多少米 ? 【解析】 要保證面積不變，一邊減少 20% ，即是原來的 45，另一邊要變成原來的 54，即增加 51144，所以原正方形的邊長為 1284(米 ). 【例 16】 一把小刀售價 3 元如果小明買了這把小刀，那么小明與小強剩余的錢數(shù)之比是 2:5 ；如果小強買了這把小刀，那么兩人剩余的錢數(shù)之比變?yōu)?8:13 小明原來有多少錢？ 【解析】 由已知，小強的錢相當于 小明、小強買刀后所剩錢數(shù)和的 552 5 7，小明的錢相當于小明、小強買刀后錢數(shù)和的 888+13 21，所以小明、小強的錢數(shù)的比值為 85: 8 :1521 7 ，而小明買刀后小明、小強的錢數(shù)之比為 2:5 6:15 ，所以小明買刀前后的錢數(shù)之比為 8:6 4:3 ，所以小刀的售價等于小明原來錢數(shù)的 4 3 144 ，所以小明的錢數(shù)為 13 124元 。也可這樣看，小明買刀與未買刀的錢數(shù)比為28: 3 : 47 21 ，小明的錢數(shù)為 4 3 4 3 1 2 （元） 【鞏固】 (2009 年十三分小升初入學測試題 )甲、乙兩人原有的錢數(shù)之比為 6:5 ，后來甲又得到 180 元，乙又得到 30 元，這時甲、乙錢數(shù)之比為 18:11 ，求原來兩人的錢數(shù)之和為多 少？ 【解析】 兩人原有錢數(shù)之比為 6:5 ，如果甲得到 180 元，乙得到 150 元，那么兩人的錢數(shù)之比仍為 6:5 ，現(xiàn)在甲得到 180 元，乙只得到 30 元，相當于少得到了 120 元，現(xiàn)在兩人錢數(shù)之比為 18:11 ，可以理解為：兩人的錢數(shù)分別增加 180 元和 150 元之后，錢數(shù)之比為 18:15 ，然后乙的錢數(shù)減少 120 元，兩人的錢數(shù)之比變?yōu)?18:11 ，所以 120 元相當于 4 份， 1 份為 30 元，后來兩人的錢數(shù)之和為3 0 (1 8 1 5 ) 9 9 0 元，所以原來兩人的總錢數(shù)之和為 9 9 0 1 8 0 1 5 0 6 6 0 元 【例 17】 (2008 年西城實驗考題 )一項機械加工作業(yè)，用 4 臺 A 型機床， 5 天可以完成；用 4 臺 A 型機床和 2臺 B 型機床 3 天可以完成； 用 3 臺 B 型機床和 9 臺 C 型機床， 2 天可以完成，若 3 種機床各取一臺工作 5 天后，剩下 A 、 C 型機床繼續(xù)工作，還需要 _ 天可以完成作業(yè) 【解析】 由于用 4 臺 A 型機床 5 天可以完成；用 4 臺 A 型機床和 2 臺 B 型機床 3 天可以完成，所以 2 臺 B 型機床 3 天完成的量等于 4 臺 A 型機床 2 天完成的量，則 A 、 B 兩種 機床每天完成的量的比為 2 3 : 4 2 3 : 4 ，即 A 型機床每天完成的量為 3， B 型機床每天完成的量為 4，該項作業(yè)總量為3 4 5 60 ，那么 C 型機床每天完成的量為 6 0 2 4 3 9 2 ， 3 種機床各取一臺工作 5 天后，剩下的工作量為 6 0 3 4 2 5 1 5 ， A 、 C 型機床還需繼續(xù)工作 15 3 2 3 天 【例 18】 動物園門票大人 20 元，小孩 10 元六一兒童節(jié)那天，兒童免票，結(jié)果與前一天相比，大人增加了60% ，兒童增加了 90% ，共增加了 2100 人，但門票收入與前一天相同六一兒童節(jié)這天共有 多少人入園？ 【解析】 前一天大人與小孩的人數(shù)比為 1 : ( 6 0 % 2 ) 5 : 6 ，六一那天增加的大人與增加的小孩人數(shù)比為 2010 年 暑假 第 2講 教師版 3 5 6 0 % : 6 9 0 % 5 : 9 ， 大 人 增 加 的 人 數(shù) 為 52 1 0 0 7 5 014 人 ， 小 孩 增 加 的 人 數(shù) 為2 1 0 0 7 5 0 1 3 5 0 人 ， 大 人 的 總 數(shù) 為 7 5 0 6 0 % 7 5 0 2 0 0 0 人 ， 小 孩 的 總 人 數(shù) 為1 3 5 0 9 0 % 1 3 5 0 2 8 5 0 人，總?cè)藬?shù)為 2 0 0 0 2 8 5 0 4 8 5 0人 【例 19】 (2008 年武漢市外國語學校小升初數(shù)學卷 )某水果批發(fā)市場存放的蘋果與桃子的噸數(shù)的比是 1:2 ，第一天售出蘋果的 20% ，售出桃子的噸數(shù)與所剩桃子的噸數(shù)的比是 1:3 ；第二天售出蘋果 18 噸，桃子 12噸，這樣一來，所剩蘋果的噸數(shù)是所剩桃子噸數(shù)的 415，問原有蘋果和桃子各有多少噸？ 【解析】 法一： 設(shè)原來蘋果有 x 噸，則原來桃子有 2x 噸，得： (1 2 0 % ) 1 8 43 152 1 213 ，解得 37x 所以原有蘋果 37 噸，原有桃子 37 2 74 (噸 ) 法二：原來蘋果和桃子的噸數(shù)的比是 1:2 ，把原來的蘋果的噸數(shù)看作 1，則原來桃子的噸數(shù)為 2，第一天后剩下的蘋果是 41 (1 2 0 % )5 ，剩下的桃子是 3321 3 2，所以此時剩下的蘋果和桃子的重量比是 43: 8 :1552現(xiàn)在再售出蘋果 18 噸，桃子 12 噸，所剩的蘋果與桃子的重量比是 4:15 這就相當于第一天后剩下的蘋果和桃子的重量比是 8:15 ，先售出桃子 12 噸，蘋果 8 321215 5噸，此時剩下的蘋果和桃子的重量比還是 8:15 ，再售出 32 581855噸蘋果，剩下的蘋果和桃子的重量比變?yōu)?4:15 ，所以這 585相當于 8 4 4 份，最后剩下的桃子有 58 15 875 4 2噸，那么第一天后剩下的桃子有 87 1111222噸，原有桃子 111 3 742 1 3噸，原有蘋果 74 2 37 噸 （二）利用 不變量統(tǒng)一份數(shù) 【例 20】 有一個長方體，長和寬的比是 2:1 ，寬與高的比是 3:2 表面積為 272求這個長方體的體積 . 【解析】 由條件長方體的長、寬、高的比 6:3:2 ，則長方體的所有視面，上面、前面、左面的面積比為 6 3 : 6 2 : 3 2 1 8 : 1 2 : 6 3 : 2 : 1 ，這三個面的面積和等于長方體表面積的二分之一，所以，長方體的上面的面積為2137 2 1 8 c 2 1 ，前面的面積為2127 2 1 2 c 2 1 ，左面的面積為2117 2 0 6 c 2 1 ，而 21 8 1 2 6 1 2 9 6 3 6 ，所以 36 即是長、 寬、高的乘積，所以這個長方體的體積為 336 【鞏固】 有一個長方體，長與寬的比是 2:1 ，寬與高的比是 3:2 已知這個長方體的全部棱長之和是 220 厘米，求這個長方體的體積 【解析】 由條件寬與高的比為 23: 2 1:3，所以這個長方體的長、寬、高的比為 22:1:3即 6:3:2 ，由于長方體的所有棱中，長、寬、高各有 4 條，所以長方體的長為 162 2 0 3 04 6 3 2 厘米，寬為132 2 0 1 54 6 3 2 厘米，高為 122 2 0 1 04 6 3 2 厘米，所以這個長方形的體積為3 0 1 5 1 0 4 5 0 0 立方厘米 . 【例 21】 （ 2009 年第七屆“希望杯”二試六年級）某高速公路收費站對于 過往車輛收費標準是：大型車 30元，中型車 15元，小型車 10 元一天，通過該收費站的大型車和中型車數(shù)量之比是 5:6 ，中型車與小型車之比是 4:11 ，小型車的通行費總數(shù)比大型車多 270 元（ 1）這天通過收費站的大型車、 2010 年 暑假 第 2講 教師版 3 中型車、 小型車各有多少輛？（ 2） 這 天的收費總數(shù)是多少元？ 【解析】 大型車、小型車通過的數(shù)量都是與中型車相比，如果能將 5:6 中的 6 與 4:11 中的 4 統(tǒng)一成 4,6 12 ，就可以得到大型車、中型車、小型車的連比由 5: 6 10:12 和 4 :11 12 : 33 ，得到1 0 : 1 2 : 3 3大 型 車 : 中 型 車 : 小 型 車以 10輛大型車、 12輛中型車、 33 輛小型車為一組因為每組中收取小型車的通行費比大型車多 1 0 3 3 3 0 1 0 3 0 (元 )，所以這天通過的車輛共有270 30 9(組 )所以這天通過大型車有 10 9 90 (輛 )，中型車有 12 9 108 (輛 )，小型車有33 9 297 (輛 ) （ 2） 這 天收取的總費用為： 3 0 9 0 1 5 1 0 8 2 9 7 1 0 7 2 9 0 元 【例 22】 6 枚壹分硬幣摞在一起與 5 枚貳分硬幣摞在一起一樣高， 4 枚壹分硬幣摞在一起與 3 枚伍分硬幣摞在一起一樣高用壹分、貳分、伍分硬幣各摞成一個圓柱體，并且三個圓柱體一樣高，共用了 124枚硬幣，問：這些硬幣的幣值為多少元？ 【解析】 由題目條件壹分硬幣和貳分硬幣的數(shù)量比為 6:5 ，壹分硬幣和伍分硬幣的數(shù)量比為 4 : 3 6 : ，所以壹分硬幣、貳分硬幣以及伍分硬幣的數(shù)量比為 6:5:即 12:10:9 ，因此壹分硬幣的數(shù)量為121 2 4 4 81 2 1 0 9 枚，貳分硬幣的數(shù)量為 101 2 4 4 01 2 1 0 9 枚，伍分硬幣的數(shù)量為91 2 4 3 61 2 1 0 9 枚，這些硬幣一共有 4 8 1 4 0 2 3 6 5 3 0 8 分，即幣值為 【例 23】 (2007 年二中考題 )某工地用 3 種型 號的卡車運送土方已知甲、乙、丙三種卡車載重量之比為10:7:6 ，速度比為 6:8:9 ，運送土方的路程之比為 15:14:14 ，三種車的輛數(shù)之比為 10:5:7 工程開始時，乙、丙兩種車全部投入運輸，但甲種車只有一半投入，直到 10 天后，另一半甲種車才投入工作，一共干了 25 天完成任務(wù) 那么，甲種車完成的工作量與總工作量之比是多少？ 【解析】 由于甲、乙、丙三種卡車運送土方的路程之比為 15 14 14 ，速度之比為 6 8 9 ，所以它們運送 1 次所需的時間之比為 1 5 1 4 1 4 5 7 1 46 8 9 2 4 9 ，相同時間內(nèi)它們運送的次數(shù)比為： 2 4 95 7 14 在前 10天，甲車只有一半投入使用，因此甲、乙、丙的數(shù)量之比為 5 5 7 由于三種卡車載重量之比為 10 7 6 ，所以三種卡車的總載重量之比為 50 35 42 那么三種卡車在前 10 天內(nèi)的工作量之比為：2 4 95 0 3 5 4 2 2 0 2 0 2 75 7 1 4 在后 15天，由于甲車全部投入 使用，所以在后 15天里的工 作 量 之 比 為 40 20 27 所 以 在 這 25 天 內(nèi) ， 甲 的 工 作 量 與 總 工 作 量 之 比 為 ：2 0 1 0 4 0 1 5 3 22 0 2 0 2 7 1 0 4 0 2 0 2 7 1 5 7 9 ( ) ( ) 【例 24】 (2008 年第 13 屆華杯賽初賽 )將一堆糖果全部分給甲、乙、丙三個小朋友原計劃甲、乙、丙三人所得糖果數(shù)的比為 5:4:3 實際上，甲、乙、丙三人所得糖果數(shù)的比為 7:6:5 ，其中有一位小朋友比原計劃多得了 15 塊糖果那么這位小朋友是 (填“甲”、“乙”或“丙” )，他實際所得的糖果數(shù)為 塊 【解析】 方法一：原計劃甲、乙、丙三人所得糖果數(shù)分別占總數(shù)的 512， 412， 312；實際甲、乙、丙三人所得糖果數(shù)分別占總數(shù)的 718， 618， 518，只有丙占總數(shù)的比例是增加的，所以這位小朋友是丙 31 5 5 4 01 8 1 2 (塊 )，丙實際所得的糖果數(shù)為 5540 15018(塊 ) 方法二：化通比為： 甲 乙 丙 總數(shù)為 原計分配為 5 ： 4 : 3 12 份 實際分配為 7 ： 6 ： 5 18 份 化通比為 15 ： 12 ： 9 36 份 14 ： 12 ： 10 36 份 對比分析甲 15 14，乙 12 12，丙 9 10，發(fā)現(xiàn)多得糖果的是丙 2010 年 暑假 第 2講 教師版 0 3 所以 15（ 10 9） 10 150（塊） 【鞏固】 今年兒子的年齡是父親年齡的 14， 15 年后，兒子的年齡是父親年齡的 511今年兒子多少歲？ 【解析】 方法一：今年兒子的年齡相當于父子年齡差的 114 1 3， 15 年后兒子的年齡相當于父子年齡差的5511 5 6 ，所以 15年相當于父子年齡差的 5 1 16 3 2 ，年齡差為 115 302 歲 0 3 10 歲 . 方法二： 今年兒子的年齡是父親年齡的 14，所以兒子：父親 1： 4； 15年后，兒子的年齡是父親年齡的 511，所以兒子：父親 5： 11 因為在年齡問題中年齡差不變所以列表分析為： 兒子 父親 年齡差 1 ： 4 3 5 ： 11 6 根據(jù)不變量化通比為 2 ： 8 6 5 ： 11 6 對比分析為： 15（ 5 2） 2 10（歲） 【例 25】 一個周長是 56 厘米的大長方形，按圖與圖所示意那樣，劃分為四個小長方形在圖中小長方形面積的比是 : 1: 2， : 1: 2而在圖中相應(yīng)的比例是 : 1:3， : 1:3D 的寬減去 D 的寬所得到的差與 D 的長減去 D 的長所得到差之比為 1:3 求大長方形的面積 （ 1）CBA【詳解】 因為 : 1: 2， : 1: 2，所以 : 1: 4； 因為 : 1:3， : 1:3，所以 : 1: 9， 設(shè)長方形的寬為 a ,長為 b ,得： 3214394310 5 得 : 2:5又 5 6 2 2 8 ， 所以 8a ， 20b 所以長方形面積 20 8 160 【例 26】 (2008 年 101 中學試題 )北京中學生運動會男女運動員比例為 19:12 ，組委會決定增加女子藝術(shù)體操項目，這樣男女運動員比例變?yōu)?20:13 ；后來又決定增加男子象棋項目，男女比例變?yōu)?30:19 ,已知男子象棋項目運動員比女子藝術(shù)體操運動員多 15 人，則總運動員人數(shù)為多少？ 【解析】 將運動會最初的運動員人數(shù)設(shè)為“ 1 ”，那么男運動員人數(shù)為 19 1919 12 31，女運動員人數(shù)為 1231，而增加女子藝術(shù)體操項目，男運動員人數(shù)不變，仍然是 1931，所以這時女運動員人數(shù)為 1 9 2 4 72 0 1 33 1 6 2 0 ，增加男子象棋項目，女運動員人數(shù)保持不變，仍然是 247620，所以男運動員人數(shù)增加為 2010 年 暑假 第 2講 教師版 1 3 2 4 7 3 91 9 3 06 2 0 6 2 女子藝術(shù)體操項目人數(shù)為 247 12 7620 31 620 ，男子象棋項目的人數(shù)為 39 19 162 31 62 ，男子象棋項目運動員比女子藝術(shù)體操運動員多 1 7 36 2 6 2 0 6 2 0，原來總運動員人數(shù)為 31 5 3 1 0 0620人，男子象棋項目運動員有 13100 5062人，女子藝術(shù)體操運動員有 73 1 0 0 3 5620人，所以現(xiàn)在的總運動員人數(shù)為 3 1 0 0 5 0 3 5 3 1 8 5 人 【鞏固】 袋子里紅球與白球的數(shù)量之比是 19:13 放入若干只紅球后，紅球與白球數(shù)量之比變?yōu)?5:3 ；再放入若干只白球后，紅球與白球數(shù)量之比變?yōu)?13:11 已知放入的紅球比白球少 80 只那么原來袋子里共有 只球 【解析】 根據(jù)第一次操作白球的數(shù)量不變，把 19:13 改寫成 57:39 ， 5:3 改寫成 65:39 第二次操作相對于第一次操作紅球數(shù)量不變，把 13:11 改寫成 65:55 ，這時我們可以看出，經(jīng)過兩次操作后，紅球共增加了 65 57 8份，白球增加了 55 39 16 份原來紅球有 8 0 1 6 8 5 7 5 7 0 個，白球有 8 0 1 6 8 3 9 3 9 0 個兩種球共 570 390 960個 【例 27】 (2008 年西城實驗考題 )有若干個突擊隊參加某工地會戰(zhàn)，已知每個突擊隊人數(shù)相同，而且每個隊的女隊員的人數(shù)是該隊的男隊員的 718，以后上級從第一突擊隊調(diào)走了該隊的一半隊員，而且全是男隊員，于是工地上的全體女隊員的人數(shù)是剩下的全體男隊員的 817，問 開始共有多少支突擊隊參加會戰(zhàn)？ 【解析】 由于 每個隊的女隊員的人數(shù)是該隊的男隊員的 718，所以 原來 全體女隊員的人數(shù)是全體男隊員的 718，即原來女隊員的人數(shù)占所有隊員人數(shù)的 725，調(diào)走第一突擊隊的一半隊員后，女隊員的人數(shù)占剩下的隊員總數(shù)的 825，由于調(diào)走的全是男隊員，女隊員的人數(shù)沒有變化，所以調(diào)走后的隊員總數(shù)與調(diào)走前的隊員總數(shù)之比 為 25 25: 7 : 887，即調(diào)走的隊員人數(shù)占原來隊員總?cè)藬?shù)的 18，而調(diào)走的隊員為第一突擊隊的一半，且 每個突擊隊人數(shù)相同， 11428，故開始共有 4 支突擊隊參加會戰(zhàn) （ 三 ） 利用等量關(guān)系列方程解比例 【例 28】 某學校入學考試，參加的男生與女生人數(shù)之比是 4:3 結(jié)果錄取 91 人，其中男生與女生人數(shù)之比是 8:5 未被錄取的學生中，男生與女生人數(shù)之比是 3:4 問報考的共有多少人？ 【解析】 (法 1)錄取的學生中男生有 891 5658人，女生有 91 56 35 (人 )，先將未錄取的人數(shù)之比 3:4 變成 44:43，又有 356 424(人 )，所以每份人數(shù)是 44 2 3 5 4 3 33 (人 )，那么未錄取的男生有 4 3 12 ( 人 ) ， 未 錄 取 的 女 生 有 44 3 163 ( 人 ) 所 以 報 考 總 人 數(shù) 是 5 6 1 2 3 5 1 6 1 1 9 (人 ) (法 2)設(shè)未被錄取的男生人數(shù)為 3x 人，那么未被錄取的女生人數(shù)為 4x 人，由于錄取的學生中男生有891 5658 人，女生有 91 56 35 (人