- 1 - 吉林市普通中學(xué) 20152016 學(xué)年度高中畢業(yè)班第 四 次調(diào)研測試 數(shù)學(xué)（ 理 科） 本試卷分第 卷（選擇題）和第 卷（非選擇題）兩部分，共 24 小題，共 150 分，考試時(shí)間 120 分鐘。 注意事項(xiàng)： 1答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在 考生信息 條形碼 粘貼區(qū)。 2選擇題必須用 2B 鉛筆填涂；非選擇題必須使用 米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚 。 3請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題 目 的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效 。 4作圖可先使用鉛筆畫出，確 定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑 。 5保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。 第 卷 一、選擇題：本大題共 12 題，每小題 5 分， 共 60 分， 在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。 1. 已知集合 2 | 5 6 0 , | 2 A x x x B x x ，則 ()R A A BB D在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù) 121 iz i 所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在 A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3. 拋物線 22 的焦點(diǎn)坐標(biāo)為 A. 1( ,0)2B. 1( ,0)2C. 1(0, )8D. 1(0, )84. 若變量 , 020 則 2z x y 的最大值為 A 4 B 3 C 2 D 1 5. 已知 lg ，函數(shù) () xf x a 與函數(shù) ( ) lo x x的圖像可能是 2 - A. B. C. D. 6. “牟合方蓋 ”是我國古代數(shù)學(xué)家劉徽在研究球的體積的過程中構(gòu)造的一個(gè)和諧優(yōu)美的幾 何 體 它由完全相同的四個(gè)曲面構(gòu)成，相對(duì)的兩個(gè)曲面在同一個(gè)圓柱的側(cè)面上 ，好似 兩個(gè)扣合（牟合）在一起方形傘（方蓋） 其直觀圖如下左圖，圖中四邊形是為體現(xiàn)其 直觀性所作的 輔助線 , 其實(shí)際直觀圖中 四邊形 不存在， 當(dāng)其正視圖和側(cè)視圖完全相同時(shí)，它的正視圖和俯視圖分別可能是 A , B , C , D ,7. 已知實(shí)數(shù) 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8x ，執(zhí)行如圖所示的 程序框圖，則輸出的 x 不小于 121的概率為 A 34B 58C 78D 128. 下列命題 正確 的個(gè)數(shù)是： 對(duì)于兩個(gè)分類變量 的隨機(jī)變量 斷 “有 關(guān)系 ”的把握程度越大 ； 在相關(guān)關(guān)系中，若用 211c e擬合時(shí)的相關(guān)指數(shù)為 21R，用2y bx a擬合時(shí)的 相關(guān)指數(shù)為 22R，且 21R 22R,則1 利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生 0 1 之間的均勻隨機(jī)數(shù) a ，則事件 “3 1 0a ”發(fā)生的概率為 23; “ 0, 0”是 “ 2”的充分不必要條件 . A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 a b c 1n 3?x = 3 x + 1n = n + 1輸出 3 - 9. 已知 11,A x 上任意一點(diǎn)，將射線 點(diǎn) O 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)3，與單位圓 O 交 于 點(diǎn) 22,B x y ，若 1220x m y y m 的最大值為 2 ，則 m 的值為 A 1 B 2 C 22 D 3 10. 過雙曲線 22 2: 1 ( 1 )yC x 的左頂點(diǎn) P 作斜率為 1 的直線 l ，若直線 l 與雙曲線的兩條漸近線分別相交于點(diǎn) , 2O P O R O Q中 O 為坐標(biāo)原點(diǎn)） ，則雙 曲線的離心率為 A. 5 B. 10 C. 52D. 10311. 中，角 ,A B C 所對(duì)的 邊分別為 ,已知 ,24且 s i n ( ) c s i n ( )44b C B a ，則 的面積為 A 18B 28C 12D 2212. 設(shè)函數(shù) ()在實(shí)數(shù)集 R 上存在導(dǎo)數(shù) ()，對(duì)任 意的 有 2( ) ( )f x f x x ，且 0,x 時(shí)， ()f x x ， 若 ( 2 ) ( ) 2 2f a f a a ，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是 A. 1, ) B. ( ,1 C. ( ,2 D. 2, ) 第 卷 本卷包括必考題和選考題兩部分 3 題第 21 題為必考題，每個(gè)題考生都必須作答 2 題第24 題為選考題，考生根據(jù)要求作 答 . 二 填空題：本大題共 4 個(gè)小題 ， 每小題 5 分。 13. 2016 年 1 月 1 日我國全面二孩政策實(shí)施后，某中學(xué)的一個(gè)學(xué)生社團(tuán)組織了一項(xiàng)關(guān)于生育二孩意愿的調(diào)查活動(dòng)。已知該中學(xué)所在的城鎮(zhèn)符合二孩政策的已婚女性中， 30 歲以下的約 2400 人， 30 歲至 40 歲的約 3600 人， 40 歲以上的約 6000 人。為了了解不同年齡層的女性對(duì)生育二孩的意愿是否存在顯著差異，該社團(tuán)用分層抽樣的方法從中抽取了一個(gè)容量為 N 的樣本進(jìn)行調(diào)查，已知從 30 至 40 歲的女性中抽取的人數(shù)為 60 人，則 N - 4 - 14. 二項(xiàng)式 2 651()5 x x展開式中的常數(shù)項(xiàng) 為 15. 已知 0C | | 1 , | | 2 , 0A B B C A D D C u u ur u u ur u u ur u u u |最大值為 16. 已知在半徑為 2 的球面上有 ,A B C D 四點(diǎn)，若 2A B C D，則四面體 體積的最大值為 三 解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。 17.（本小題滿分 12 分） 已知 公差不為零的等差 數(shù)列 7a ，且2 4 9,a a （ ） 求數(shù)列 （ ）數(shù)列 ()2n ，設(shè)其前 n 項(xiàng)和為證： 142718. （本小題滿分 12 分） 某 學(xué)校為倡導(dǎo)全體學(xué)生為特困學(xué)生捐款，舉行 “一元錢，一片心，誠信用水 ”活動(dòng) ,學(xué)生在購水處每領(lǐng)取一瓶礦泉水，便自覺向捐款箱中至少投入一元錢 續(xù) 5 天的售出和收益情況，如下表： 售出水量 x （單位：箱） 7 6 6 5 6 收益 y （單位：元） 165 142 148 125 150 ( ) 若某天售出 8 箱水，求預(yù)計(jì)收益是多少元？ ( ) 期中考試以后，學(xué)校決定將誠信用水的收益，以獎(jiǎng)學(xué)金的形式獎(jiǎng)勵(lì)給品學(xué)兼優(yōu)的特困 生，規(guī)定：特困生考入年級(jí)前 200 名，獲一等獎(jiǎng)學(xué)金 500 元；考入年級(jí) 201500 名， 獲二等獎(jiǎng)學(xué)金 300 元；考入年級(jí) 501 名以后的特困生將不獲得 獎(jiǎng)學(xué)金。甲、乙兩名 學(xué)生獲一等獎(jiǎng)學(xué)金的概率均為 25，獲二等獎(jiǎng)學(xué)金的概率均為 13，不獲得獎(jiǎng)學(xué)金的概 率均為 415. 在學(xué)生甲獲得獎(jiǎng)學(xué)金條件下，求他獲得一等獎(jiǎng)學(xué)金的概率； - 5 - 已知甲、乙兩名學(xué)生獲得哪個(gè)等第的獎(jiǎng)學(xué)金是相互獨(dú)立的，求甲、乙兩名學(xué)生所 獲得獎(jiǎng)學(xué)金總金額 X 的分布列及數(shù)學(xué)期望 附： $ 1221y n x n x， $ $a y ， 552116 , 1 4 6 , 4 4 2 0 , 1 8 2i i y x y x 19.（本小題滿分 12 分） 梯形 在平面垂直于平面 , /D , 12E F D E B D, 2 2 2B D B C C D A B A D , C ( ) 求證： 平面 ( ) 求 平面 平面 成的銳二面角的余弦值 20.（本小題滿 分 12 分） 在平面直角坐標(biāo)系中，已知1 2 1 2( 2 , 0 ) , ( 2 , 0 ) , ( , 2 ) , ( , 2 ) , ( , )A A B x B x P x y, 若實(shí)數(shù) 使得 21 2 1 2O B O B A P A P 為坐標(biāo)原點(diǎn) ). ( ) 求點(diǎn) P 的軌跡 C 的方程，并討論點(diǎn) P 的軌跡類型； ( ) 當(dāng) 22時(shí)，是否存在過點(diǎn) (0,2)B 的直線 l 與 ( )中點(diǎn) P 的軌跡 C 相交于不同的 兩點(diǎn) ,E 在 ,，且 1 12 B O ?若存在，求出該直線的斜率 k 的 取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由 . A 6 - 21.（本小題滿分 12 分） 設(shè)函數(shù) 2( ) l nf x x b x a x ( ) 若 2b ，函數(shù) ()12求實(shí)數(shù) a 的取值范圍； ( ) 在 ( )的條件下，證明 : 23 2 l n 2() 4 ； ( ) 若對(duì)任意 1,2b ，都存在 1,（ e 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），使得 ( ) 0成立， 求實(shí)數(shù) a 的取值范圍 請(qǐng)考生在 22、 23、 24 三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分。 22. (本小題滿分 10 分 )選修 41:幾何證明選講 已知在 ， 的平分線，以 C 為圓心， 半徑的半圓交 延長線于點(diǎn) E ，交 點(diǎn) F ，交 點(diǎn) M ，且 , : 4 : 3B C A E F E F D . （ ）求證： F ； D 7 - （ ）求 的余弦值； 23. (本小題滿分 10 分 )選修 44 坐標(biāo)系與參數(shù)方程 在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn) O 為極點(diǎn)， x 軸 的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線 C 的極坐標(biāo)方程為 2 4 c o s 1 0 ， 直線 l 的參數(shù)方程為 : 332132 （ t 為參數(shù)），點(diǎn) A 的極坐標(biāo)為 (2 3, )6， 設(shè) 直線 l 與曲線 C 相 交于 , ( ) 寫出曲線 C 的直角坐標(biāo)方程和直線 l 的 普通 方程 ； ( ) 求 A P A Q O P O Q 的值 24. (本小 題滿分 10 分 )選修 45:不等式選講 已知函數(shù) ( ) 1f x x （ ）解不等式 : ( ) ( 4 ) 8f x f x ； （ ）若 1, 1，且 0a ，求證： ( ) ( )bf a b a 命題、校對(duì)：李大博 楊萬江 王玉梅 牛國旺 李明玥 孫長青 - 8 - 吉林市普通中學(xué) 20152016 學(xué)年度高中畢業(yè)班第 四 次調(diào)研測試 數(shù)學(xué) (理科 )參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn) 評(píng)分說明： 1本解答給出了一種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據(jù)試題的主要考查內(nèi)容比照評(píng)分參考制訂相應(yīng)的評(píng)分細(xì)則 2對(duì)計(jì)算題，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)，如果后繼部分的解答未改變該題的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的給分，但不得超過該部分正確解答應(yīng)得分?jǐn)?shù)的一半；如果后繼部分的解答有較嚴(yán)重的錯(cuò)誤，就不再給分 3解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù) 4只給整數(shù)分 數(shù)，選擇題和填空題不給中間分 一、選擇題：每小題 5 分 題號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C C D B B A B C B B C B 二填空題 ：每小題 5 分 13. 200 14. 3 15. 5 16. 334三解答題 （ ） 設(shè)等差 數(shù)列 ( 由已知得 即 )()( ，又 a， d ，故 d 4 分 從而 a ， 數(shù)列 分 （ ） 由 （ ） 知 (，故)( 8 分 )( n， 0 分 又 (，因此 SS n，故 2 分 18. 解： ( )515 22215 4 4 2 0 5 6 1 4 6201 8 2 5 65y x $ 2 分$ 1 4 6 2 0 6 2 6a y b x $ 3 分 $ 2 0 2 6 當(dāng) 8x 時(shí)， $ 2 0 8 2 6 1 8 6y （元） - 9 - x y z O 即某天售出 8 箱水的預(yù)計(jì)收益是 186 元 5 分 ( ) 設(shè)事件 A 為 “學(xué)生甲獲得獎(jiǎng)學(xué)金 ”，事件 B 為 “學(xué)生甲獲得一等獎(jiǎng)學(xué)金 ”，則 2( ) 65()11( ) 1 115P A 即學(xué)生甲獲得獎(jiǎng)學(xué)金的條件下，獲得一等獎(jiǎng)學(xué)金的概率 為 6117 分 X 的取值可能為 0,300,500,600,800,1000 4 4 1 6( 0 )1 5 1 5 2 2 5 12 1 4 8( 3 0 0 ) 3 1 5 4 5P X C 12 2 4 1 6( 5 0 0 ) 5 1 5 7 5P X C 211( 6 0 0 ) ( )39 12 1 2 4( 8 0 0 ) 3 5 1 5P X C 224( 1 0 0 0 ) ( )5 2 5 即 X 的分布列為 X 0 300 500 600 800 1000 P 16225 845 1675 19 415 425 10 分 X 的數(shù)學(xué)期望 6 8 1 6 1 4 4( ) 0 3 0 0 5 0 0 6 0 0 8 0 0 1 0 0 0 6 0 02 2 5 4 5 7 5 9 1 5 2 5 （元） 12 分 19. 解： ( )連接 O B D B C C DQ 且 ,A B A D A C B D 由于平面 平面 交線為 且 平面 平面 平面 C 又 C且 C CI , 平面 6 分 ( ) 1/ / , ,2E F B D E F B D 是 點(diǎn)， 是平行四邊形 / / ,O F D E O F 平面 8 分 分別以 ,B x 軸， y 軸， z 軸建立空間直角坐標(biāo)系 (1 , 0 , 0 ) , C ( 3 , 0 , 0 ) , E ( 0 , 1 , 1 ) , F ( 0 , 0 , 1 )A 設(shè)平面 法向量 ( , , )m x y z由 00m F ur (1, 0,1)m 9 分 設(shè)平面 法向量 ( , , )n x y zr ，由 00n F r (1, 0 , 3 )n r 10 分 - 10 - 26c o s ,4 ur r r 即平面 平面 成的銳二面角的余弦值為 62412 分 ： ( ) 2 2 21 2 1 24 , 4O B O B x A P A P x y u u u r u u u ur u u ur u u u 2 2 2 2( 4 ) 4x x y ， 即 2 2 2 2(1 ) 4 (1 ) 為點(diǎn) P 的軌跡 C 的方程 2 分 _ 1 時(shí)，方程為 0y ，軌跡 C 為一條直線 3 分 _ 0 時(shí)，方程為 224，軌跡 C 為圓 4 分 _ 10 或 01時(shí)，方程為 222 14 4 (1 )，軌跡 C 為橢圓 5分 _ 1 或 1 時(shí)，方程為 222 14 4 ( 1 )，軌跡 C 為雙曲線 6分 ( )當(dāng) 22時(shí)，點(diǎn) P 的軌跡 C 的方程為 221427 分 設(shè)1 1 2 2( , ) , ( , )E x y F x ，即 121 12，由題意可得12,2 8分 由題意得直線 斜率存在，設(shè)其方程為 2y 由 222142y 得： 22(1 2 ) 8 4 0k x k x 226 4 1 6 (1 2 ) 0 ， 2 12k，12 2812k ，12 2412xx k 9 分 設(shè)12x ，則 2 28( 1 ) 12k ， 22 2412mx k 222 2 24 6 4( 1 )( 1 2 ) ( 1 2 )k k 222( 1 ) 1 612 - 11 - 2( 1 ) 1 2m ， 1 12 mQ， 19422m m 即 2 221 6 9 1 94,1 2 2 2 1 4k 2 3 1 4 3 1 4 2( , ) ( , )2 1 4 1 4 2k 12 分 21.( )由已知， 2b 時(shí)， 2( x ) x 2 l nf x a x ， (x)f 的定義域?yàn)?0, 求導(dǎo)數(shù)得： 222( x ) 2 x 2 a x x (x)兩個(gè)極值點(diǎn)12,(x) 0f 有兩個(gè)不同的正 根12, 故 22 2 0x x a 的判別式 4 8 0a ，即 12a且121，12 02，所以 a 的取值范圍為 10,2 3 分 （ ）由 ( )得，21 12 x且2(x ) 0f ，得 22222a x x222 2 2 2 2 2( x ) x 2 ( 2 x 2 x ) l n 令 22 1F ( t ) t 2 ( 2 t 2 t ) l n t , ( t 1 )2t 則 F ( t ) 2 (1 2 t ) ln t 當(dāng) 1 ,12t 時(shí)， F(t) 0 ， (t)F 在 1,12上是增函數(shù) 1 3 2 l n 2( t ) ( )24 ， 22 3 2 l n 2( x ) ( x ) 4 7 分 ( )令 2g ( b ) l n , 1, 2x b x a x b 由于 1,，所以 (b)g 為關(guān)于 b 的遞減的一次函數(shù) 根據(jù)題意，對(duì)任意 1,2b ，都存在 1,（ e 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），使得 ( ) 0成立 則 1,上 2m a b ) g (1 ) l n 0x x a x 有解 令 2( x ) l nh x x a x ，則只需存在 0 1,得0(x ) 0h 即可 由于 22( x ) x x ，令 2( x ) 2 x , 1,x a x e ， ( x ) 4 x 1 0 - 12 - (x) 在 1,e 上單調(diào)遞增， ( x ) (1 ) 1 a _ 10a，即 1a 時(shí)， ( x ) 0 , h ( x ) 0 (x)h 在 1,e 上是增函數(shù)， (x ) h (1) 0h ，不符合題意 當(dāng) 10a，即 1a 時(shí)， (1) 1 a 0 , 2( e ) 2 e e a （ ）若 (e) 0 ，即 221a e e 時(shí)，在 1,上 (x) 0 恒成立 即 (x) 0h 恒成立， (x)h 在 1,e 上單調(diào)遞減， 存在 0 1,得0( x ) h (1 ) 0h ，符合題意 （ ）若 (e) 0 ，即 221e e a 時(shí)，在 1,e 上存在實(shí)數(shù) m ，使得 (m) 0 在 1,m 上， (x) 0 恒成立，即 (x) 0h 恒成立 (x)h 在 1,e 上單調(diào)遞減