甘肅政法學院甘肅政法學院 本科學年論文 設(shè)計 本科學年論文 設(shè)計 題 目 淺議線性方程組的幾種求解方法 學 號 姓 名 指導教師 成 績 完成時間 2012 年 11 月 目錄目錄 第一章 引言 1 第二章 線性方程組的幾種解法 1 2 1 斯消元法 1 2 1 1 消元過程 1 2 1 2 回代過程 2 2 1 3 解的判斷 2 2 2 克萊姆法則 3 2 3 LU 分解法 4 2 4 追趕法 6 第三章 結(jié)束語 8 致 謝 8 參考文獻 9 淺議線性方程組的幾種求解方法淺議線性方程組的幾種求解方法 摘摘 要要 線性方程組是線性代數(shù)的核心內(nèi)容之一 其解法研究是代數(shù)學中經(jīng)典且重要 的研究課題 下面將綜述幾種不同類型的線性方程組的解法 如消元法 克萊姆法則 直接 三角形法 追趕法 并以具體例子介紹不同解法的應(yīng)用技巧 在這些解法中 高斯消元法 方 法 具有表達式清晰 使用范圍廣的特點 另外 這些方法有利于快速有效地解決線性方程 組的求解問題 為解線性方程組提供一個簡易平臺 促進了理論與實際的結(jié)合 關(guān)鍵詞關(guān)鍵詞 線性方程組 解法 應(yīng)用 Several methods of solving linear equation group Abstract The system of linear equations is one of linear algebra core contents its solution research is in the algebra the classics also the important research topic This article summarized several kind of different type system of linear equations solution like the elimination the Cramer principle the generalized inverse matrix law the direct triangle law the square root method pursue the law and by concrete example introduction different solution application skill In these solutions the generalized inverse matrix method has the expression to be clear use scope broad characteristic Moreover these methods favor effectively solve the system of linear equations solution problem fast provides a simple platform for the solution system of linear equations promoted the theory and the actual union Key word Linear equations Solution Example 1 1 淺議線性方程組的幾種求解方法淺議線性方程組的幾種求解方法 第一章第一章 引言引言 線性方程組理論是高等數(shù)學中十分重要的內(nèi)容 而線性方程組的解法是利 用線性方程組理論解決問題的關(guān)鍵 下面將介紹線性方程組的消元法 追趕法 直接三角形法等求解方法 為求解線性方程組提供一個平臺 首先 我們討論一般線性方程組 這里所指的一般線性方程組形式為 snsnss nn nn bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa 2211 22222121 11212111 1 式中代表未知量 稱為方程組的 1 2 i x in 1 2 1 2 ij a is jn 系數(shù) 稱為常數(shù)項 則線性方程組 1 稱為齊次線性方程組 如 1 2 j bjn 果常數(shù)項全為零 即 12 0 s bbb 令 11121 21222 12 n n sssn aaa aaa A aaa 1 2 n x x X x 1 2 s b b B b 則可用矩陣乘法表示為 AXB m nnm ACXCBC 第二章第二章 線性方程組的幾種解法線性方程組的幾種解法 2 12 1 高斯消元法高斯消元法 高斯 Gauss 消元法的基本思想是 通過一系列的加減消元運算 也就是代 數(shù)中的加減消去法 將方程組化為上三角矩陣 然后 再逐一回代求解出 x 向 量 現(xiàn)舉例說明如下 3 2224 2 4222 1 623 321 321 321 xxx xxx xxx 2 1 12 1 1 消元過程消元過程 第一步 將 1 3 使的系數(shù)化為 1 得 1 1 x2 3 1 3 2 321 xxx 再將 2 3 式中 x1的系數(shù)都化為零 即由 2 2 1 得 2 2 由 3 4 2 得 第二步 將 3 除以 使 x2系數(shù)化為 1 得 3 2 再將 4 式中 x2系數(shù)化為零 即由 4 5 得 3 14 6 6 3 18 3 x 第三步 將 6 除以 使 x3系數(shù)化為 1 得 3 18 經(jīng)消元后 得到如下三角代數(shù)方程組 3 1 2 02 1 2 3 1 3 2 3 32 321 x xx xxx 2 1 22 1 2 回代過程回代過程 由 7 得 x3 1 將 x3代入 5 得 x2 2 將 x2 x3代入 2 得 x2 1 所以 本題解為 x 1 2 1 T 2 1 32 1 3 解的判斷解的判斷 設(shè)方程組的增廣矩陣記為A 則A經(jīng)過初等行變換可化為如下的階梯形矩 陣 必要是可重新排列未知量的順序 7 1 3 x 5 02 32 xx 4 6 3 10 3 14 32 xx 3 0 3 4 3 2 32 xx 2 2 3 1 3 2 321 xxx 3 3 00 00 00 0 0 0 0 0 0 0 00 00 0 0 0 1 22 1 12222 111111211 r rrn n rn r rr r nrr d d d c c c c c cc dccccc A 其中cii 0 i 1 2 r 于是可知 1 當dr 1 0 且r n時 原方程組有唯一解 2 當dr 1 0 且rk 時 lkr 0 且 lkk 1 因為 所以 n r rjkrkjkj nkkjulau 1 1 n r rjkrkjkj ulua 1 n r rjkrkj ula 1 6 6 同理可推出計算 L 的第 k 列的公式 因此得到如下算法 杜利特 Doolittle 算法 1 將矩陣分解為 A LU 對 k 1 2 n 1 1 1 1 1 1 kk n r kkrjkrikik n r rjkrkjkj l nkkiuulal nkkjulau 公式 2 解 Ly b 3 解 Ux y 例 求解線性方程組 123 12 123 21 42 227 xxx xx xxx 解 由直接三角分解法第二 三步可得 211100211 410210012 221131004 ALU 于是線性方程組變?yōu)?bLUx 求解線性方程組 得 T Ly 7 2 1 T y 4 4 1 求解線性方程組 得 T Ux 4 4 1 T x 1 2 1 2 42 4 追趕法追趕法 在許多實際問題中 都會要求解系數(shù)矩陣為對角占優(yōu)的三對角方程組 1 1 2 1 2 k r rkrkk nkylby公式 n kr kkrkrkk nnkuxuyx 1 1 1 3 公式 n r kkrjkrikik nkkiuulal 1 1 7 7 1111 22222 11111 iiiii nnnnn nn nn xkbc xkabc abcxk abcxk abxk 簡記作 Axk 其中滿足下列對角占優(yōu)條件 A 1 11 0bc 2 2 3 iii bac i a i c0 i 1n 3 0 nn bc 由系數(shù)矩陣的特點 可以將分解為兩個三角矩陣的乘積 即 AAALU 其中為下三角矩陣 為單位上三角矩陣 LU 求解線性方程組等價于解兩個三角方程組與 先后求Axk Lyk Uxy 與 從而得到以下解三角方程組的追趕法公式 yx 第一步 計算的遞推公式 3 111 c b 1 iiiii cba 2i 1 n 第二步 解 Lyk 111 yk b 11 iiiiiii yka yba 2 3 in 第三步 解 Uxy nn xy 1iiii xyx 1 2 2 1 inn 例 求解三對角線性方程組 1 2 3 4 21001 13102 01112 00210 x x x x 解 設(shè)有三角分解 1111 222222 333333 4444 1 1 1 1 bcpq abcapq abcapq abap 由矩陣乘法易得 11 1 1 2 3 2 3 4 iii iiii pb qcpi pba qi 8 8 將已知系數(shù)矩陣的元素代人上式有 3 7 3 5 5 3 5 2 2 5 2 1 2 4 33 22 11 p qp qp qp 解線性方程組 11 22 33 44 1 12 12 20 py py py py 得 2 3 7 5 3 2 1 4321 yyyy 再解線性方程組 111 222 333 44 1 1 1 1 xyq xyq xyq xy 得原線性方程組的為 1234 0 1 1 2 TT x x x x 第三章第三章 結(jié)束語結(jié)束語 本文針對不同的線性方程組給出了一些計算方法 及線性方程組的應(yīng)用實 例 高斯消元法是通過一系列的加減消元運算 也就是代數(shù)中的加減消去法 將方程組化為上三角矩陣 然后 再逐一回代求解出 x 向量 LU 分解法的優(yōu)點 是當方程組左端系數(shù)矩陣不變 僅僅是方程組右端列向量改變 即外加激勵信 號變化時 能夠方便地求解方程組 追趕法是以分解為基礎(chǔ)的求解方法 LU 因此它的不足之處是當某個時 就不能進行 但是當方程組的系數(shù)矩陣0 k u 中有很多零元素時 利用三對角方程組系數(shù)矩陣的稀疏性 使零元素不參加A 運算 可以類似于追趕法來簡化計算過程 從而極大地節(jié)省了計算量和存儲量 這也是追趕法的最大特點 根據(jù)線性方程組自身所具有的特點 可以選擇相應(yīng)合 適的方法 而對于那些特殊類型的線性方程組的解法 有待進一步的討論與研 究 9 9 致致 謝謝 時光匆匆 如白駒過隙 在論文完成之際 不免感嘆時光易逝 韶華難追 相對 面對順利完成的論文 我滿懷欣喜 首先要感謝的是我的論文指導老師 本論文能夠順利完成 離不開趙老師的悉心指導和嚴格要求 趙老師在論文的 選題 研究理論 直至撰寫 修改和定稿等各個環(huán)節(jié)均嚴格把關(guān) 并投入了大 量的時間和精力 趙老師治學嚴謹 學識淵博 為我營造了一種良好的研究氛 圍 趙老師嚴以律己 寬以待人的崇高風范 樸實無華 平易近人的人格魅力 令人如沐春風 倍感溫馨 再次感謝計算機科學學院為我們提供了升本的機會 感謝政法學院提供了如此優(yōu)秀的師資力量 及各位老師的教誨 使我受益匪淺 我的成長和他們每一個人都是分不開的 參參 考考 文文 獻獻 1 白梅花 線性方程組若干應(yīng)用實例舉例 J 科技資訊 2011 27 200 201 2 盧剛 線性代數(shù) M 北京 高等教育出版社 2002 64 72 3 李慶揚 易大義 數(shù)值分析