福建省南平市松溪縣 2015年八年級(jí)（下）期中數(shù)學(xué)試卷 （解析版） 參考答案與試題解析 一、選擇題（每小題只有 1 個(gè)正確答案，每小題 3分，共 30分） 1下列的式子一定是二次根式的是（ ） A B C D 【分析】根據(jù)二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)對(duì)每個(gè)選項(xiàng)做判斷即可 【解答】解： A、當(dāng) x=0 時(shí)， x 2 0， 無意義，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤； B、當(dāng) x= 1 時(shí)， 無意義；故本選項(xiàng)錯(cuò)誤； C、 2， 符合二次根式的定義；故本選項(xiàng)正確； D、當(dāng) x=1 時(shí)， 2= 1 0， 無意義；故本選項(xiàng)錯(cuò)誤； 故選： C 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的定義一般形如 （ a0）的代數(shù)式叫做二次根式當(dāng) a0時(shí)， 表示 a 的算術(shù)平方根；當(dāng) a 小于 0 時(shí)，非二次根式（在一元二次方程中，若根號(hào)下為負(fù)數(shù)，則無實(shí)數(shù)根） 2下列二次根式中屬于最簡(jiǎn)二次根式的是（ ） A B C D 【分析】 B、 D 選項(xiàng)的被開方數(shù)中含有未開盡方的因數(shù)或因式； C 選項(xiàng)的被開方數(shù)中含有分母；因此這三個(gè)選項(xiàng)都不是最簡(jiǎn)二次根式 【解答】解：因?yàn)椋?B、 =4 ； C、 = ； D、 =2 ； 所以這三項(xiàng)都不是最簡(jiǎn)二次根式故選 A 【點(diǎn)評(píng)】在判斷最簡(jiǎn)二次根式的過程中要注意： （ 1）在二次根式的被開方數(shù)中，只要含有分?jǐn)?shù)或小數(shù)，就不是最簡(jiǎn)二次根式； （ 2）在二次根式的被開方數(shù)中的每一個(gè)因式（或因數(shù)），如果冪的指數(shù)等于或大于 2，也不是最簡(jiǎn)二次根式 3下列變形中，正確的是（ ） A（ 2 ） 2=23=6 B = C = D = 【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)，可得答案 【解答】解； A、（ 2 ） 2=12，故 A 錯(cuò)誤； B、 = ，故 B 錯(cuò)誤； C、 =5，故 C 錯(cuò)誤； D、 = ，故 D 正確； 故選： D 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式性質(zhì)與化簡(jiǎn)，利用了二次根式的性質(zhì) 4如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為 1， A、 B、 C 是小正方形的頂點(diǎn)，則 度數(shù)為（ ） A 90 B 60 C 45 D 30 【分析】根 據(jù)勾股定理即可得到 長(zhǎng)度，進(jìn)行判斷即可 【解答】解：根據(jù)勾股定理可以得到： C= ， （ ） 2+（ ） 2=（ ） 2 等腰直角三角形 5 故選 C 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理，判斷 等腰直角三角形是解決本題的關(guān)鍵 5正方形的面積是 4，則它的對(duì)角線長(zhǎng)是（ ） A 2 B C D 4 【分析】設(shè)正方形的對(duì)角線為 x，然后根據(jù)勾股定理列式計(jì)算即可得解 【解答】解：設(shè)正方形的對(duì)角線為 x， 正方形的面積是 4， 邊長(zhǎng)的平方為 4， 由勾股定理得， x= =2 故選 C 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理，正方形的性質(zhì)，熟記定理和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵 6直角三角形中，兩直角邊分別是 12 和 5，則斜邊上的中線長(zhǎng)是（ ） A 34 B 26 C 分析】利用勾股定理列式求出斜邊，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半解答 【解答】解：由勾股定理得，斜邊 = =13， 所以，斜邊上的中線長(zhǎng) = 13= 故選 D 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，勾股定理，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵 7如圖，周長(zhǎng)為 16 的菱形 ，點(diǎn) E， F 分別在 上， ， ， P 為一動(dòng)點(diǎn)，則線段 P 的長(zhǎng)最短為（ ） A 3 B 4 C 5 D 6 【分析】在 截取 D= 3=1，連接 交點(diǎn)就是 P P+最小值，據(jù)此即可求解 【解答】解：在 截取 D= 3=1，連接 交點(diǎn)就是P G，且 四邊形 平行四邊形， D=4 故選 B 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軸對(duì)稱，理解菱形的性質(zhì)，對(duì)角線所在的直線是菱形的對(duì)稱軸是關(guān)鍵 8如圖，過矩形 四個(gè)頂點(diǎn)作對(duì)角線 平行線，分別相交于 E、 F、 G、 四邊形 （ ） A平行四邊形 B矩形 C菱形 D正方形 【分析】由題意易得四邊形 平行四邊形，又因?yàn)榫匦蔚膶?duì)角線相等，可得 G，所以平行四邊形 菱形 【解答】解：由題意知， F=G= 四邊形 平行四邊形， 矩形的對(duì)角線相等， D， G， 平行四邊形 菱形 故選 C 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的性質(zhì)及菱形的判定注意掌握菱形的判定方法有三種： 定義：一組鄰邊 相等的平行四邊形是菱形； 四邊相等； 對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形 9矩形具有而一般的平行四邊形不一定具有的特征（ ） A對(duì)角相等 B對(duì)角線相等 C對(duì)角線互相平分 D對(duì)邊相等 【分析】舉出矩形和平行四邊形的所有性質(zhì)，找出矩形具有而平行四邊形不具有的性質(zhì)即可 【解答】解：矩形的性質(zhì)有： 矩形的對(duì)邊相等且平行， 矩形的對(duì)角相等，且都是直角，矩形的對(duì)角線互相平分、相等； 平行四邊形的性質(zhì)有： 平行四邊形的對(duì)邊分別相等且平行， 平行四邊形的對(duì)角分別相等， 平行四邊形的對(duì)角線互相平分； 矩 形具有而平行四邊形不一定具有的性質(zhì)是對(duì)角線相等， 故選 B 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了對(duì)矩形的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)的理解和掌握，主要檢查學(xué)生是否能掌握矩形和平行四邊形的性質(zhì)，此題比較典型，但是一道容易出錯(cuò)的題目 10如圖，菱形 ， C，點(diǎn) E、 F 分別為邊 的點(diǎn)，且 F，連接于點(diǎn) H，連接 點(diǎn) O則下列結(jié)論 20，H=，正確的是（ ） A B C D 【分析】由菱形 ， C，易證得 等邊三角形，則可得 B= 0，由 可證得 可得 用三角形外角的性質(zhì)，即可求得 20；在 截取 H，連接 得點(diǎn) A， H， C， D 四點(diǎn)共圓，則可證得 等邊三角形，然后由 可證得 可證得 H= 【解答】解： 四邊形 菱形， C， C， C= 即 等邊三角形 ， 同理： 等邊三角形 B= 0， 在 ， ， 故 正確； B+ B+ B+ B+ 0+60=120； 故 正確； 在 截取 H，連接 20+60=180， 點(diǎn) A， H， C， D 四點(diǎn)共圓， 0， 等邊三角形， H， 0， 20， 在 ， ， K， K+H+ 故 正確； 故選 D 【點(diǎn)評(píng)】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)此題難度較大，注意掌 握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用 二、填空題（第小題 3分，共 24分） 11若 有意義，則 x 的取值范圍是 x 【分析】根據(jù)二次根式的定義可知被開方數(shù)必須為非負(fù)數(shù)，列不等式求解 【解答】解：要是 有意義， 則 2x 10， 解得 x 故答案為： x 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二次根式有意義的條件，二次根式中的被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)，否則二次根式無意義 12已知 a、 b 為兩個(gè)連續(xù)的整數(shù)，且 ，則 a+b= 11 【分析】根據(jù)無理數(shù)的性質(zhì)，得出接近無理數(shù)的整數(shù)，即可得出 a， b 的值，即可得出答案 【解答】解： ， a、 b 為兩個(gè)連續(xù)的整數(shù)， ， a=5， b=6， a+b=11 故答案為： 11 【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了無理數(shù)的大小，得出比較無理數(shù)的方法是解決問題的關(guān)鍵 13如圖，一個(gè)含有 30角的直角三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)放在一個(gè)矩形的對(duì)邊上，若 1=25，則 2= 115 【分析】將各頂點(diǎn)標(biāo)上字母，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得 2= 1+ 而可得出答案 【解答 】解： 四邊形 矩形， 2= 1+ 15 故答案為： 115 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是掌握平行線的性質(zhì)：兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等 14如圖，菱形 邊長(zhǎng)是 2E 是 中點(diǎn)，且 菱形 面積為 2 【分析】因?yàn)?E 是 中點(diǎn)，所以 據(jù)勾股定理可求出 長(zhǎng)，菱形的面積 =底邊 高，從而可求出解 【解答】解： E 是 中點(diǎn)， = 菱形的面積為： 2 =2 故答案為： 2 【點(diǎn)評(píng)】本題考查菱形的性質(zhì)，四邊都相等，菱形面積的計(jì)算公式以及勾股定理的運(yùn)用等 15計(jì)算： = 【分析】除以一個(gè)數(shù)相當(dāng)于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)，按照順序運(yùn)算 【解答】解： = = 【點(diǎn)評(píng)】主要考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算無理數(shù)的運(yùn)算法則與有理數(shù)的運(yùn)算法則是一樣的 16如圖所示的圖形中，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長(zhǎng)為 5，則正方形 A， B， C， D 的面積的和為 25 【分析】根據(jù)題意仔細(xì)觀察可得到正方形 A， B， C， D 的面積的和等于最大的正方形的面積，已知最大的正方形的邊長(zhǎng)則不難求得其面積 【解答】解：由圖可看 出， A， B 的面積和等于其相鄰的直角三角形的斜邊的平方， 即等于最大正方形上方的三角形的一個(gè)直角邊的平方； C， D 的面積和等于與其相鄰的三角形的斜邊的平方， 即等于最大正方形的另一直角邊的平方， 則 A， B， C， D 四個(gè)正方形的面積和等于最大的正方形上方的直角三角形的斜邊的平方即等于最大的正方形的面積， 因?yàn)樽畲蟮恼叫蔚倪呴L(zhǎng)為 5，則其面積是 25，即正方形 A， B， C， D 的面積的和為 25 故答案為 25 【點(diǎn)評(píng)】此題結(jié)合正方形的面積公式以及勾股定理發(fā)現(xiàn)各正方形的面積之間的關(guān)系 17寫出命題 “如果兩個(gè)實(shí)數(shù)相 等，那么它們的絕對(duì)值相等 ”的逆命題： 如果兩個(gè)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值相等，那么這兩個(gè)實(shí)數(shù)相等 【分析】把一個(gè)命題的條件和結(jié)論互換就得到它的逆命題 【解答】解：命題 “如果兩個(gè)實(shí)數(shù)相等，那么它們的絕對(duì)值相等 ”的題設(shè)是 “如果兩個(gè)實(shí)數(shù)相等 ”，結(jié)論是 “那么它們的絕對(duì)值相等 ”，故其逆命題是 “如果兩個(gè)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值相等，那么這兩個(gè)實(shí)數(shù)相等 ” 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了互逆命題的知識(shí)，兩個(gè)命題中，如果第一個(gè)命題的條件是第二個(gè)命題的結(jié)論，而第一個(gè)命題的結(jié)論又是第二個(gè)命題的條件，那么這兩個(gè)命題叫做互逆命題其中一個(gè)命題稱為另一個(gè)命題的逆命 題 18如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形 頂點(diǎn) A C 的坐標(biāo)分別為（ 10， 0），（ 0，3），點(diǎn) D 是 中點(diǎn)，點(diǎn) P 在 運(yùn)動(dòng)，當(dāng) 腰長(zhǎng)為 5 的等腰三角形時(shí)，點(diǎn) （ 1， 3）或（ 4， 3）或（ 9， 3） 【分析】根據(jù)當(dāng) D 時(shí)，以及當(dāng) D 時(shí)，分別進(jìn)行討論得出 P 點(diǎn)的坐標(biāo) 【解答】解：過 P 作 M （ 1）當(dāng) D 時(shí)，如圖 1 所示： ， ， 由勾股定理得： ， P（ 4， 3）； （ 2）當(dāng) D 時(shí)如圖 2 所示： O=5， ， 由勾股定理得： ， 4=1 或 9， P（ 1， 4）或（ 9， 3）； 綜上，滿足題意的點(diǎn) P 的坐標(biāo)為（ 1， 3）、（ 4， 3）、（ 9， 3）， 故答案為： 1， 3）或（ 4， 3）或（ 9， 3） 【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了矩形的性質(zhì)以及坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù) 腰長(zhǎng)為 5 的等腰三角形進(jìn)行分類討論是解決問題的關(guān)鍵 三、解答題（共 66 分） 19計(jì)算題 （ 1） （ 2） 【分析】（ 1）先把各個(gè)二次根式進(jìn)行化簡(jiǎn)，再合并同類二次根式即可； （ 2）根據(jù)二次根式的乘除混合運(yùn)算法則計(jì)算 【解答】解：（ 1） =3 2 + 3 = ； （ 2） =4 = 【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是二次根式的混合運(yùn)算，掌握二次根式乘法、除法及加減法 運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵 20先化簡(jiǎn)，再求值： （ x+2），其中 x= 【分析】先把分式因式分解，約分化簡(jiǎn)為最簡(jiǎn)形式，再把數(shù)代入求值 【解答】解：原式 = （ x+2）（ 3 分） = ；（ 6 分） x= 時(shí)， （ 2016 春松溪縣期中）在下列數(shù)軸上作出長(zhǎng)為 的線段，請(qǐng)保留作圖痕跡，不寫作法 【分析】 根據(jù)勾股定理，作出以 1 和 3 為直角邊的直角三角形，則其斜邊的長(zhǎng)即是 ；再以原點(diǎn)為圓心，以 為半徑畫弧與數(shù)軸的正半軸的交點(diǎn)即為所求； 作圖所用的知識(shí)即是勾股定理 【解答】解： 所畫圖形如下所示，其中點(diǎn) A 即為所求； 【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理及實(shí)數(shù)與數(shù)軸的知識(shí)，要求能夠正確運(yùn)用數(shù)軸上的點(diǎn)來表示一個(gè)無理數(shù)，解題關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，并靈活運(yùn)用勾股定理 22如圖：在 ， 平分線 E，若 7，求 C、 【分析】首先根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得 根據(jù)平行四邊形對(duì)邊平行，對(duì)角相等可得 C、 B 的度數(shù) 【解答】解： 平分線 E， 4， 四邊形 平行四邊形， C= 4， B=180， B=126 【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握平行四邊形對(duì)邊平行，對(duì)角相等 23如圖，已知四邊形 ， B=90， ， ， 2， 3，求四邊形面積 【分析】連接 直角三角形 ，由 長(zhǎng)，利用勾股定理求出 長(zhǎng)，再由 長(zhǎng)，利用勾股定理的逆定理得到三角形 直角三角形，根據(jù)四邊形面積 =直角三角形 面積 +直角三角形 面積，即可求出四邊形的面積 【解答】解：連接 圖所示： B=90， 直角三角形， 又 ， ， 根據(jù)勾股定理得： =5， 又 2， 3， 32=169， 22+52=144+25=169， 直角三角形， 0， 則 S 四邊形 34+ 512=36 故四邊形 面積是 36 【點(diǎn)評(píng)】此題考查了勾股定理，以及勾股定 理的逆定理，熟練掌握勾股定理及勾股定理的逆定理是解本題的關(guān)鍵 24如圖，一個(gè)梯子 ，頂端 A 靠在墻 ，這時(shí)梯子下端 B 與墻角 C 距離為 ，梯子滑動(dòng)后停在 位置上，測(cè)得 為 ，求梯子頂端 A 下落了多少米？ 【分析】在直角三角形 ，根據(jù)勾股定理得： 米，由于梯子的長(zhǎng)度不變，在直角三角形 ，根據(jù)勾股定理得 ，所以 ，即梯子的頂端下滑了 【解答】解：在 =2 米， 在 ， E=， ，故 =， 故 C 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了勾股定理的實(shí)際應(yīng)用，此題中主要注意梯子的長(zhǎng)度不變，分別運(yùn)用勾股定理求得 長(zhǎng)，即可計(jì)算下滑的長(zhǎng)度 25已知，如圖，在 ，延長(zhǎng) 點(diǎn) E，延長(zhǎng) 點(diǎn) F，使得 F，連接 別交 點(diǎn) M， N，連接 （ 1）求證： （ 2）求證：四邊形 平行四邊形 【分析】（ 1）先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得出 根據(jù)平行線的性質(zhì)及補(bǔ)角的性質(zhì)得出 E= F， 而利用 作出證明； （ 2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及（ 1）的結(jié)論可 得 N，則由有一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形即可證明 【解答】證明：（ 1）四邊形 平行四邊形， 又 E= F 在 ， ， （ 2） 四邊形 平行四邊形， D， 又由（ 1）得