習(xí)題1111-1直角三角形的點上，有電荷，點上有電荷，試求點的電場強度(設(shè)，)。解：在C點產(chǎn)生的場強：，在C點產(chǎn)生的場強：，點的電場強度：；點的合場強：，方向如圖：。11-2用細(xì)的塑料棒彎成半徑為的圓環(huán)，兩端間空隙為，電量為的正電荷均勻分布在棒上，求圓心處電場強度的大小和方向。解：棒長為，電荷線密度：可利用補償法，若有一均勻帶電閉合線圈，則圓心處的合場強為0，有一段空隙，則圓心處場強等于閉合線圈產(chǎn)生電場再減去長的帶電棒在該點產(chǎn)生的場強，即所求問題轉(zhuǎn)化為求缺口處帶負(fù)電荷的塑料棒在點產(chǎn)生的場強。解法1：利用微元積分：，；解法2：直接利用點電荷場強公式：由于，該小段可看成點電荷：，則圓心處場強：。方向由圓心指向縫隙處。11-3將一“無限長”帶電細(xì)線彎成圖示形狀，設(shè)電荷均勻分布，電荷線密度為，四分之一圓弧的半徑為，試求圓心點的場強。解：以為坐標(biāo)原點建立坐標(biāo)，如圖所示。對于半無限長導(dǎo)線在點的場強：有：對于半無限長導(dǎo)線在點的場強：有：對于圓弧在點的場強：有：總場強：，得：?；?qū)懗蓤鰪姡?，方向?1-4一個半徑為的均勻帶電半圓形環(huán)，均勻地帶有電荷，電荷的線密度為，求環(huán)心處點的場強E。解：電荷元dq產(chǎn)生的場為：；根據(jù)對稱性有：，則：，方向沿軸正向。即：。11-5帶電細(xì)線彎成半徑為的半圓形，電荷線密度為，式中為一常數(shù)，為半徑與軸所成的夾角，如圖所示試求環(huán)心處的電場強度。解：如圖，考慮到對稱性，有：；，方向沿軸負(fù)向。11-6一半徑為的半球面，均勻地帶有電荷，電荷面密度為，求球心處的電場強度。解：如圖，把球面分割成許多球面環(huán)帶，環(huán)帶寬為，所帶電荷：。利用例11-3結(jié)論，有：，化簡計算得：，。11-7圖示一厚度為的“無限大”均勻帶電平板，電荷體密度為。求板內(nèi)、外的場強分布，并畫出場強隨坐標(biāo)變化的圖線，即圖線(設(shè)原點在帶電平板的中央平面上，軸垂直于平板)。解：在平板內(nèi)作一個被平板的中間面垂直平分的閉合圓柱面為高斯面，當(dāng)時，由和，有：；當(dāng)時，由和，有：。圖像見右。11-8在點電荷的電場中，取一半徑為的圓形平面(如圖所示)，平面到的距離為，試計算通過該平面的的通量.解：通過圓平面的電通量與通過與為圓心、為半徑、圓的平面為周界的球冠面的電通量相同?！鞠韧茖?dǎo)球冠的面積：如圖，令球面的半徑為，有，球冠面一條微元同心圓帶面積為：球冠面的面積：】球面面積為：，通過閉合球面的電通量為：，由：，。11-9在半徑為R的“無限長”直圓柱體內(nèi)均勻帶電，電荷體密度為，求圓柱體內(nèi)、外的場強分布，并作Er關(guān)系曲線。解：由高斯定律，考慮以圓柱體軸為中軸，半徑為，長為的高斯面。（1）當(dāng)時，有；（2）當(dāng)時，則：；即：；圖見右。11-10半徑為和（）的兩無限長同軸圓柱面，單位長度分別帶有電量和，試求：（1）；（2）；（3）處各點的場強。解：利用高斯定律：。（1）時，高斯面內(nèi)不包括電荷，所以：；（2）時，利用高斯定律及對稱性，有：，則：；（3）時，利用高斯定律及對稱性，有：，則：；即：。11-11一球體內(nèi)均勻分布著電荷體密度為的正電荷，若保持電荷分布不變,在該球體中挖去半徑為的一個小球體，球心為，兩球心間距離，如圖所示。求：（1）在球形空腔內(nèi)，球心處的電場強度；（2）在球體內(nèi)P點處的電場強度，設(shè)、三點在同一直徑上，且。解：利用補償法，可將其看成是帶有電荷體密度為的大球和帶有電荷體密度為的小球的合成。（1）以為圓心，過點作一個半徑為的高斯面，根據(jù)高斯定理有：，方向從指向；（2）過點以為圓心，作一個半徑為的高斯面。根據(jù)高斯定理有：，方向從指向，過點以為圓心，作一個半徑為的高斯面。根據(jù)高斯定理有：，方向從指向。11-12設(shè)真空中靜電場的分布為，式中為常量，求空間電荷的分布。解：如圖，考慮空間一封閉矩形外表面為高斯面，有：由高斯定理：，設(shè)空間電荷的密度為，有：，可見為常數(shù)。11-13如圖所示，一錐頂角為的圓臺，上下底面半徑分別為和，在它的側(cè)面上均勻帶電，電荷面密度為，求頂點的電勢(以無窮遠(yuǎn)處為電勢零點)解：以頂點為原點，沿軸線方向豎直向下為軸，在側(cè)面上取環(huán)面元，如圖示，易知，環(huán)面圓半徑為：，環(huán)面圓寬：，利用帶電量為的圓環(huán)在垂直環(huán)軸線上處電勢的表達(dá)式：，有：，考慮到圓臺上底的坐標(biāo)為：，。11-14電荷量Q均勻分布在半徑為R的球體內(nèi)，試求：離球心處（）P點的電勢。解：利用高斯定律：可求電場的分布。（1）時，；有：；（2）時，；有：8；離球心處（）的電勢：，即：。11-15圖示為一個均勻帶電的球殼，其電荷體密度為，球殼內(nèi)表面半徑為，外表面半徑為設(shè)無窮遠(yuǎn)處為電勢零點，求空腔內(nèi)任一點的電勢。解：當(dāng)時，因高斯面內(nèi)不包圍電荷，有：，當(dāng)時，有：，當(dāng)時，有：，以無窮遠(yuǎn)處為電勢零點，有：。11-16電荷以相同的面密度s 分布在半徑為和的兩個同心球面上，設(shè)無限遠(yuǎn)處電勢為零，球心處的電勢為。（1）求電荷面密度；（2）若要使球心處的電勢也為零，外球面上電荷面密度為多少？（） 解：（1）當(dāng)時，因高斯面內(nèi)不包圍電荷，有：，當(dāng)時，利用高斯定理可求得：，當(dāng)時，可求得：，那么：（2）設(shè)外球面上放電后電荷密度，則有：，則應(yīng)放掉電荷為：。11-17如圖所示，半徑為的均勻帶電球面，帶有電荷，沿某一半徑方向上有一均勻帶電細(xì)線，電荷線密度為，長度為，細(xì)線左端離球心距離為。設(shè)球和線上的電荷分布不受相互作用影響，試求細(xì)線所受球面電荷的電場力和細(xì)線在該電場中的電勢能（設(shè)無窮遠(yuǎn)處的電勢為零）。解：（1）以點為坐標(biāo)原點，有一均勻帶電細(xì)線的方向為軸，均勻帶電球面在球面外的場強分布為：（）。取細(xì)線上的微元：，有：，（為方向上的單位矢量）（2）均勻帶電球面在球面外的電勢分布為：（，為電勢零點）。對細(xì)線上的微元，所具有的電勢能為：，。11-18. 一電偶極子的電矩為，放在場強為的勻強電場中，與之間夾角為，如圖所示若將此偶極子繞通過其中心且垂直于、平面的軸轉(zhuǎn)，外力需作功多少？解：由功的表示式：考慮到：，有：。11-19如圖所示，一個半徑為的均勻帶電圓板，其電荷面密度為(0)今有一質(zhì)量為，電荷為的粒子(0)沿圓板軸線(軸)方向向圓板運動，已知在距圓心（也是軸原點）為的位置上時，粒子的速度為，求粒子擊中圓板時的速度(設(shè)圓板帶電的均勻性始終不變)。解：均勻帶電圓板在其垂直于面的軸線上處產(chǎn)生的電勢為：，那么，由能量守恒定律，有：思考題1111-1兩個點電荷分別帶電和，相距，試問將第三個點電荷放在何處它所受合力為零?答：由，解得：，即離點電荷的距離為。11-2下列幾個說法中哪一個是正確的？（A）電場中某點場強的方向，就是將點電荷放在該點所受電場力的方向；（B）在以點電荷為中心的球面上，由該點電荷所產(chǎn)生的場強處處相同；（C）場強方向可由定出，其中為試驗電荷的電量，可正、可負(fù)，為試驗電荷所受的電場力；（D）以上說法都不正確。答：（C）11-3真空中一半徑為的的均勻帶電球面,總電量為(0)，今在球面面上挖去非常小的一塊面積(連同電荷)，且假設(shè)不影響原來的電荷分布，則挖去后球心處的電場強度大小和方向.答：題意可知：，利用補償法，將挖去部分看成點電荷，有：，方向指向小面積元。11-4三個點電荷、和在一直線上，相距均為，以與的中心作一半徑為的球面，為球面與直線的一個交點，如圖。求：(1)通過該球面的電通量；(2)點的場強。解：(1)；(2)。11-5有一邊長為的正方形平面，在其中垂線上距中心點處，有一電荷為的正點電荷，如圖所示，則通過該平面的電場強度通量為多少？解：設(shè)想一下再加5個相同的正方形平面將圍在正方體的中心，通過此正方體閉合外表面的通量為：，那么，通過該平面的電場強度通量為：。11-6對靜電場高斯定理的理解，下列四種說法中哪一個是正確的？(A)如果通過高斯面的電通量不為零，則高斯面內(nèi)必有凈電荷；(B)如果通過高斯面的電通量為零，則高斯面內(nèi)必?zé)o電荷；(C)如果高斯面內(nèi)無電荷，則高斯面上電場強度必處處為零；(D)如果高斯面上電場強度處處不為零，則高斯面內(nèi)必有電荷。答：(A)11-7由真空中靜電場的高斯定理可知(A)閉合面內(nèi)的電荷代數(shù)和為零時，閉合面上各點場強一定為零；(B)閉合面內(nèi)的電荷代數(shù)和不為零時，閉合面上各點場強一定都不為零；(C)閉合面內(nèi)的電荷代數(shù)和為零時，閉合面上各點場強不一定都為零；(D)閉合面內(nèi)無電荷時，閉合面上各點場強一定為零。答：(C)11-8圖示為一具有球?qū)ΨQ性分布的靜電場的關(guān)系曲線請指出該靜電場是由下列哪種帶電體產(chǎn)生的。(A)半徑為的均勻帶電球面；(B)半徑為的均勻帶電球體；(C)半徑為、電荷體密度(為常數(shù)）的非均勻帶電球體；(D)半徑為、電荷體密度(為常數(shù))的非均勻帶電球體。答：(D)11-9如圖，在點電荷q的電場中，選取以q為中心、R為半徑的球面上一點P處作電勢零點，則與點電荷q距離為r的P點的電勢為(A) (B) (C) (D)答：(B)11-10密立根油滴實驗，是利用作用在油滴上的電場力和重力平衡而測量電荷的，其電場