第 1 頁（共 21 頁） 2016 年上海市靜安區(qū)高考數(shù)學(xué)二模試卷（理科） 一、填空題（本大題滿分 56分）本大題共有 14題，考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，每個(gè)空格填對得 4分，否則一律得零分 1計(jì)算： = 2設(shè)復(fù)數(shù) z 滿足（ 3 4i） z=5（ i 是虛數(shù)單位），則 z= 3若原點(diǎn)（ 0， 0）和點(diǎn)（ 1， 1）在直線 x+y a=0 的兩側(cè)，則 a 的取值范圍是 4函數(shù) y=x0， 的遞增區(qū)間為 5如圖 是一個(gè)算法流程圖，則輸出的 k 的值是 6拋物線 y2=x 上一點(diǎn) M 到焦點(diǎn)的距離為 1，則點(diǎn) M 的橫坐標(biāo)是 7一盒中裝有 12 個(gè)同樣大小的球，其中 5 個(gè)紅球， 4 個(gè)黑球， 2 個(gè)白球， 1 個(gè)綠球從中隨機(jī)取出 1 個(gè)球，則取出的 1 個(gè)球是紅球或黑球或白球的概率為 8關(guān)于 的函數(shù) f（ ） =21 的最大值記為 M（ x），則 M（ x）的解析式為 9如圖，正四棱錐 P 底面一邊 為 ，側(cè)面積為 ，則它的體積為 10已知雙曲線 =1（ m 0）的漸近線與圓 y+2） 2=1 沒有公共點(diǎn)，則該雙曲線的焦距的取值范圍為 11已知 接圓 O 的半徑為 2，且 ， | |=| |，則 = 第 2 頁（共 21 頁） 12（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題） 如圖，以過原點(diǎn)的直線的傾斜角 為參數(shù)，則圓 x2+x=0 的參數(shù)方程為 13已知數(shù)列 足 1， （ kN*），則數(shù)列 前 14設(shè)關(guān)于 x 的實(shí)系數(shù)不等式（ ）（ b） 0 對任意 x0， +）恒成立，則 二、選擇題（本大題滿分 20分）本大題共有 4題，每題有且只有一個(gè)正確答案，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)編號上，填上正確的答案，選對得 5分，否則一律得零分 . 15下列不等式一定成立的是（ ） A ） x 0） B 2（ xkZ） C 2|x|（ xR） D （ xR） 16在極坐標(biāo)系中圓 =2 ） A =0（ R）和 B = （ R）和 C = （ R）和 D =0（ R）和 17若函數(shù) F（ x） =f（ x） + g（ x） =f（ x） +2，若 f（ 1） =1，則 g（ 1）的值為（ ） A 1B 3C 2D 2 18袋中裝有 5 個(gè)同樣大小的球，編號為 1， 2， 3， 4， 5現(xiàn)從該袋內(nèi)隨機(jī)取出 3 個(gè)球，記被取出的球的最大號碼數(shù)為 ，則 ） A 4B 5 三、解答題（本大題滿分 74分）本大題共 5題，解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟 . 19已知 別是橢圓 C： =1（其中 a b 0）的左、右焦點(diǎn)，橢圓 C 過點(diǎn)（ ， 1）且與拋物線 8x 有一個(gè)公共的焦點(diǎn) （ 1）求橢圓 C 的方程； （ 2）過橢圓 C 的右焦點(diǎn)且斜率為 1 的直線 l 與橢圓交于 A、 B 兩點(diǎn)，求線段 長度 第 3 頁（共 21 頁） 20設(shè)點(diǎn) E， F 分別是棱長為 2 的正方體 B， 圖，以 C 為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線 x 軸、 y 軸、 z 軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系 （ 1）求向量 與 的數(shù)量積； （ 2）若點(diǎn) M， 11是否存在直線 平面 存在，求點(diǎn) M， N 的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由 21如圖， A、 B 是海岸線 的兩個(gè)碼頭，海中小島有碼頭 Q 到海岸線 得 3， 點(diǎn) O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線 x 軸的正半軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系一艘游輪以 18 時(shí)的平均速度在水上旅游線 行（將航線 作直線，碼頭 Q 在第一象限，航線 過 Q） （ 1）問游輪自碼頭 A 沿 方向開往碼頭 B 共需多少分鐘？ （ 2）海中有一處景點(diǎn) P（設(shè)點(diǎn) P 在 面內(nèi)， 游輪無法靠近求游輪在水上旅游線 行時(shí)離景點(diǎn) P 最近的點(diǎn) C 的坐標(biāo) 22已知函數(shù) y=f（ x），若在區(qū)間 I 內(nèi)有且只有一個(gè)實(shí)數(shù) c（ cI），使得 f（ c） =0 成立 ，則稱函數(shù) y=f（ x）在區(qū)間 I 內(nèi)具有唯一零點(diǎn) （ 1）判斷函數(shù) f（ x） = 在區(qū)間（ 0， +）內(nèi)是否具有唯一零點(diǎn)，并說明理由； （ 2）已知向量 =（ ， ）， =（ x（ 0， ），證明 f（ x） = +1在區(qū)間（ 0， ）內(nèi)具有唯一零點(diǎn)； 第 4 頁（共 21 頁） （ 3）若函數(shù) f（ x） =m 在區(qū)間（ 2， 2）內(nèi)具有唯一零點(diǎn)，求實(shí)數(shù) m 的取值范圍 23已知數(shù)列 足 1+3n（ n2， nN*），首項(xiàng) （ 1）求數(shù)列 通項(xiàng)公式； （ 2）求數(shù)列 前 n 項(xiàng)和 （ 3）數(shù)列 足 bn=記數(shù)列 的前 n 項(xiàng)和為 A 是 內(nèi)角，若 對于任意 nN*恒成立，求角 A 的取值范圍 第 5 頁（共 21 頁） 2016 年上海市靜安區(qū)高考數(shù)學(xué)二模試卷（理科） 參考答案與試題解析 一、填空題（本大題滿分 56分）本大題共有 14題，考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，每個(gè)空格填對得 4分，否則一律得零分 1計(jì)算： = 12 【考點(diǎn)】 極限及其運(yùn)算 【分析】 化簡 = ，從而求得 【解答】 解： = = ； 故答案為： 2設(shè)復(fù)數(shù) z 滿足（ 3 4i） z=5（ i 是 虛數(shù)單位），則 z= 5+5 【考點(diǎn)】 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算 【分析】 利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、共軛復(fù)數(shù)的定義即可得出 【解答】 解： （ 3 4i） z=5， （ 3+4i）（ 3 4i） z=5（ 3+4i）， 25z=5（ 3+4i）， z= 故答案為： 3若原點(diǎn)（ 0， 0）和點(diǎn)（ 1， 1）在直線 x+y a=0 的兩側(cè)，則 a 的取值范圍是 （ 0， 2） 【考 點(diǎn)】 二元一次不等式（組）與平面區(qū)域 【分析】 因?yàn)樵c(diǎn) O 和點(diǎn) P（ 1， 1）在直線 x+y a=0 的兩側(cè)，所以（ a） （ 1+1 a） 0，由此能求出 a 的取值范圍 【解答】 解：因?yàn)樵c(diǎn) O 和點(diǎn) P（ 1， 1）在直線 x+y a=0 的兩側(cè)， 所以（ a） （ 1+1 a） 0， 第 6 頁（共 21 頁） 解得 0 a 2， 故答案為：（ 0， 2） 4函數(shù) y=x0， 的遞增區(qū)間為 2， 【考點(diǎn)】 復(fù)合三角函數(shù)的單調(diào)性 【分析】 先由整體法解 22x2可得函數(shù)的所有單調(diào)遞增區(qū)間，取在 x0， 的即可 【解答】 解：由 22x2可解得 x， kZ， 故函數(shù) y=遞增區(qū)間為 ， ， kZ， 又 x0， ， 函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為： ， 故答案為： ， 5如圖是一個(gè)算法流程圖，則輸出的 k 的 值是 5 【考點(diǎn)】 程序框圖 【分析】 由已知中的程序框圖可得進(jìn)入循環(huán)的條件為不滿足條件 4k 0，模擬程序的運(yùn)行結(jié)果，即可得到輸出的 k 值 【解答】 解：模擬執(zhí)行程序，可得 k=1 不滿足條件 4k 0，執(zhí)行循環(huán)體， k=2 不滿足條件 4k 0，執(zhí)行循環(huán)體， k=3 不滿足條件 4k 0，執(zhí)行循環(huán)體， k=4 不滿足條件 4k 0，執(zhí)行循環(huán)體， k=5 滿足條件 4k 0，退出循環(huán)，輸出 k 的值為 5 故答案為： 5 6拋物線 y2=x 上一點(diǎn) M 到焦點(diǎn)的距離為 1，則點(diǎn) M 的橫坐標(biāo)是 4 【考點(diǎn)】 拋物線的簡單性質(zhì) 第 7 頁（共 21 頁） 【分析】 由拋物線方程，求出焦點(diǎn) F（ ， 0）設(shè) M（ 由 |1 結(jié)合兩點(diǎn)的距離公式，列式并解之即可得到點(diǎn) M 的橫坐標(biāo) 【解答】 解： 拋物線方程為 y2=x， 拋物線的焦點(diǎn) F（ ， 0） 設(shè)點(diǎn) M（ 得 | =1 將 +，解之得 （舍負(fù)） 故答案為： 7一盒中裝有 12 個(gè)同樣大小的球，其中 5 個(gè)紅球， 4 個(gè)黑球， 2 個(gè)白球， 1 個(gè)綠球從中隨機(jī)取出 1 個(gè)球，則取出的 1 個(gè)球是紅球或黑球或白球的概率為 112 【考點(diǎn)】 列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率 【分析】 由題意知本題是一個(gè)古典概型，試驗(yàn)包含的基本事 件是從 12 個(gè)球中任取一球，滿足條件的事件是取出的一球是紅球或黑球或白球，根據(jù)古典概型公式得到結(jié)果 【解答】 解：由題意知本題是一個(gè)古典概型， 試驗(yàn)包含的基本事件是從 12 個(gè)球中任取一球共有 12 種結(jié)果； 滿足條件的事件是取出的一球是紅球或黑球或白球共有 11 種結(jié)果， 故概率為 故答案為： 8關(guān)于 的函數(shù) f（ ） =21 的最大值記為 M（ x），則 M（ x）的解析式為 l2x&x0 2x&x 0 【考點(diǎn)】 函數(shù)解析式的求解及常用方法 【分析】 將函數(shù)配方，得到對稱軸為 x，再由 1， 1，判斷對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系，離對稱軸最遠(yuǎn)的點(diǎn)對應(yīng)的函數(shù)值為最大值 【解答】 解： f（ ） =21=（ x） 2 1 1， 1， 當(dāng) x0 時(shí)， f（ ）的最大值為 1 時(shí) f（ ） 1 x） 2 1 x， 當(dāng) x 0 時(shí)， f（ ）的最大值為 時(shí) f（ ） 1 x） 2 1 2x， M（ x） = 故答案為： 9如圖，正四棱錐 P 底面一邊 為 ，側(cè)面積為 ，則它的體積為 4 第 8 頁（共 21 頁） 【考點(diǎn)】 棱柱、棱錐、棱臺的體積 【分析】 作出棱錐的高 O 為底面中心，作 E，根據(jù)側(cè)面積計(jì)算 用勾股定理計(jì)算 入體積公式計(jì)算體積 【解答】 解：過 P 作底面 垂線 O 為底面正方形 中心， 過 O 作 E，連結(jié) = 平面 面 又 面 面 E=O， 平面 面 正四棱錐的側(cè)面積 S 側(cè) =4S =8 ， 解得 =1 正四棱錐的體積 V= S 正方形 O= （ 2 ） 21=4 故答案為： 4 10已知雙曲線 =1（ m 0）的漸近線與圓 y+2） 2=1 沒有公共點(diǎn)，則該雙曲線的焦距的取值范圍為 （ 2， 4） 【考點(diǎn)】 雙曲線的簡單性質(zhì) 【分析】 求得雙曲線的漸近線方程，圓的圓心和半徑，由直線和圓沒有公共點(diǎn)，可得 d r，解不等式可得 m 的范圍，進(jìn)而得到所求范圍 【解答】 解：雙曲線 =1（ m 0）的漸近線為 y= 第 9 頁（共 21 頁） 圓 y+2） 2=1 的圓心為（ 0， 2），半徑為 1， 由直線和圓沒有公共點(diǎn)，可得 d r，即為 1， 解得 0 m ， 雙曲線 =1（ m 0）的焦距為： 2c=2 （ 2， 4） 故答案為：（ 2， 4） 11已知 接圓 O 的半徑為 2，且 ， | |=| |，則 = 12 【考點(diǎn)】 平面向量數(shù)量積的運(yùn)算 【分析】 運(yùn)用平面向量的三角形法則，以及外心的特點(diǎn)，可得 O 為 中點(diǎn)，三角形 再由勾股定理和向量的數(shù)量積定義，即可求出結(jié)果 【解答】 解：如圖所示， 外接圓的半徑為 2，且 ， （ ） +（ ） =2 ， + =2 +2 = ， O 為 中點(diǎn)， 即 又 | |=| |， 等邊三角形，且邊長為 2， 由勾股定理得， =2 ， 則 =| | | 4 =12 故答案為： 12 12（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題） 如圖，以過原點(diǎn)的直線的傾斜角 為參數(shù)，則圓 x2+x=0 的參 數(shù)方程為 lx=cos2y= R，且2 第 10 頁（共 21 頁） 【考點(diǎn)】 圓的參數(shù)方程 【分析】 將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，找出圓心與半徑，利用三角函數(shù)定義表示出 而表示出 x 與 y，即為圓的參數(shù)方程 【解答】 解：將圓方程化為（ x ） 2+，可得半徑 r= ， r x=OPy=OP 則圓的參數(shù)方程為 ， R，且 故答案為： ， R，且 13已知數(shù)列 足 1， （ kN*），則數(shù)列 前 127 【考點(diǎn)】 數(shù)列的函數(shù)特性 【分析】 數(shù)列 足 1， （ kN*），可得 n=2k（ kN*）時(shí)， 1+1； n=2k+1 時(shí) = 因此 = = ， 1+2于是數(shù)列 奇數(shù)項(xiàng)成等比數(shù)列，公比為 ；偶數(shù)項(xiàng)成等差數(shù)列，公差為 1分類討論求和，再利用數(shù)列的單調(diào)性即可得出 【解答】 解： 數(shù)列 足 1， （ kN*）， n=2k（ kN*）時(shí)， 1+1， ； n=2k+1 時(shí) = = = ， 1+2 數(shù)列 奇數(shù)項(xiàng)成等比數(shù)列，公比為 ；偶數(shù)項(xiàng)成等差數(shù)列，公差為 1 2k=（ a1+1） +（ a2+ 第 11 頁（共 21 頁） = +3k+ = + 127（ k=5 時(shí)取等號） 2k 1=2+1= + + 111， k=5時(shí)取等號 綜上可得：數(shù)列 前 n 項(xiàng)和 最大值為 127 故答案為： 127 14設(shè)關(guān)于 x 的實(shí)系數(shù)不等式（ ）（ b） 0 對任意 x0， +）恒成立，則 9 【考點(diǎn)】 一元二次不等式的解法 【分析】 利用換元法設(shè) f（ x） =， g（ x） =b，根據(jù)一元一次函數(shù)和一元二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)進(jìn)行判斷求解即可 【解答】 解： （ ）（ b） 0 對任意 x0， +）恒成立， 當(dāng) x=0 時(shí)，不等式等價(jià)為 3b0，即 b0， 當(dāng) x+時(shí)， b 0，此時(shí) 0，則 a 0， 設(shè) f（ x） =， g（ x） =b， 若 b=0，則 g（ x） =0， 函數(shù) f（ x） = 的零點(diǎn)為 x= ，則函數(shù) f（ x）在（ 0， ）上 f（ x） 0，此時(shí)不滿足條件； 若 a=0，則 f（ x） =3 0，而此時(shí) x+時(shí)， g（ x） 0 不滿足條件，故 b 0； 函數(shù) f（ x）在（ 0， ）上 f（ x） 0，則（ ， +）上 f（ x） 0， 而 g（ x）在（ 0， +）上的零點(diǎn)為 x= ，且 g（ x）在（ 0， ）上 g（ x） 0， 則（ ， +）上 g（ x） 0， 要使（ ）（ b） 0 對任意 x0， +）恒成立， 則函數(shù) f（ x）與 g（ x）的零點(diǎn)相同，即 = ， 故答案為： 9 第 12 頁（共 21 頁） 二、選擇題（本大題滿分 20分）本大題共有 4題，每題有且只有一個(gè)正確答案，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)編號上，填上正確的答案，選對得 5分，否則一律得零分 . 15下列不等式一定成立的是（ ） A ） x 0） B 2（ xkZ） C 2|x|（ xR） D （ xR） 【考點(diǎn)】 不等式比較大小 【分析】 由題意，可對四個(gè)選項(xiàng)逐一驗(yàn)證，其中 C 選項(xiàng)用配方法驗(yàn)證， A， B， D 三個(gè)選項(xiàng)代入特殊值排除即可 【解答】 解： A 選項(xiàng)不成立，當(dāng) x= 時(shí)，不等式兩邊相等； B 選項(xiàng)不成立，這是因?yàn)檎抑悼梢允秦?fù)的，故不一定能得出 2； C 選項(xiàng)是正確的，這是因?yàn)?2|x|（ xR） （ |x| 1） 20； D 選項(xiàng)不正確，令 x=0，則不等式左右兩邊都為 1，不等式不成立 綜上， C 選項(xiàng)是正確的 故選： C 16在極坐標(biāo)系中圓 =2 ） A =0（ R）和 B = （ R）和 C = （ R）和 D =0（ R）和 【考點(diǎn)】 簡單曲線的極坐標(biāo)方程；圓的切線方程 【分析】 利用圓的極坐標(biāo)方程和直線的極坐標(biāo)方程即可得出 【解答】 解：如圖所示，在極坐標(biāo)系中圓 =21， 0）為圓心， 1 為半徑的圓 故圓的兩條切線方程分別為 （ R）， 故選 B 第 13 頁（共 21 頁） 17若函數(shù) F（ x） =f（ x） + g（ x） =f（ x） +2，若 f（ 1） =1，則 g（ 1）的值為（ ） A 1B 3C 2D 2 【考點(diǎn)】 函數(shù)奇偶性的性質(zhì) 【分析】 由于函數(shù) F（ x） =f（ x） +奇函數(shù)，可得 F（ x） +F（ x） =f（ x） +x2+f（ x）+代入即可得出 【解答】 解： 函數(shù) F（ x） =f（ x） + F（ x） +F（ x） =f（ x） +x2+f（ x） + f（ 1） +2+f（ 1） =0 f（ 1） +2= f（ 1） = 1 g（ 1） =f（ 1） +2=1 故選： A 18袋中裝有 5 個(gè)同樣大小的球，編 號為 1， 2， 3， 4， 5現(xiàn)從該袋內(nèi)隨機(jī)取出 3 個(gè)球，記被取出的球的最大號碼數(shù)為 ，則 ） A 4B 5 【考點(diǎn)】 離散型隨機(jī)變量的期望與方差 【分析】 由題意 的可能取值為 3， 4， 5，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出 【解答】 解： 袋中裝有 5 個(gè)同樣大小的球，編號為 1， 2， 3， 4， 5現(xiàn)從該袋內(nèi)隨機(jī)取出3 個(gè)球，記被取出的球的最大號碼數(shù)為 ， 的可能取值為 3， 4， 5， P（ =3） = = ， P（ =4） = = ， P（ =5） = = ， = 故選： B 三、解答題（本大題滿分 74分）本大題共 5題，解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟 . 第 14 頁（共 21 頁） 19已知 別 是橢圓 C： =1（其中 a b 0）的左、右焦點(diǎn)，橢圓 C 過點(diǎn)（ ， 1）且與拋物線 8x 有一個(gè)公共的焦點(diǎn) （ 1）求橢圓 C 的方程； （ 2）過橢圓 C 的右焦點(diǎn)且斜率為 1 的直線 l 與橢圓交于 A、 B 兩點(diǎn)，求線段 長度 【考點(diǎn)】 橢圓的簡單性質(zhì) 【分析】 （ 1）由拋物線方程求得焦點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)一步得到橢圓左焦點(diǎn)坐標(biāo)，把（ ， 1）代入橢圓方程，結(jié)合隱含條 件求得 a， b 的答案； （ 2）寫出直線 l 的方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系得到 A， B 的橫坐標(biāo)的和與積，代入弦長公式求得線段 長度 【解答】 解：（ 1）拋物線 8x 的焦點(diǎn)為（ 2， 0）， 橢圓 的左焦點(diǎn)為（ 2， 0）， c=2， b2=4 又 ，得 82=0，解得 （ 舍去） 故橢圓 C 的方程為 （ 2）直線 l 的方程為 y=x 2 聯(lián)立方程組 ， 消去 y 并整理得 26x+3=0 設(shè) A（ B（ 故 x1+， 則 = 第 15 頁（共 21 頁） 20設(shè)點(diǎn) E， F 分別是棱長為 2 的正方體 B， 圖，以 C 為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線 x 軸、 y 軸、 z 軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系 （ 1）求向量 與 的數(shù)量積； （ 2）若點(diǎn) M， 11是否存在直線 平面 存在，求點(diǎn) M， N 的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由 【考點(diǎn)】 空間向量的數(shù)量積運(yùn)算；用向量證明垂直 【分析】 （ 1）在給定空間直角坐標(biāo)系中，求出 ， ，由此能求出向量 與 的數(shù)量積 （ 2）若 平面 與平面 法向量（ 0， 0， 1）平行，由此利用向量法能求出點(diǎn) M， N 的坐標(biāo) 【解答】 解：（ 1）在給定空間直角坐標(biāo)系中， 相關(guān)點(diǎn)及向量坐標(biāo)為 0， 0， 2）， F（ 2， 2， 1）， =（ 2， 2， 1）， 所以 （ 2）存在唯一直線 平面 若 平面 與平面 法向量（ 0， 0， 1）平行， 所以設(shè) 又因?yàn)辄c(diǎn) M， N 分別是線段 線段 的點(diǎn)， 所以 ，即 ， （ a 2， a， m 2） =（ ， 2， 2），（ a， a， n 2） =（ 2t， 2t， t）， 第 16 頁（共 21 頁） 所以 且 ，解得 所以點(diǎn) M， N 的坐標(biāo)分別是 ， 21如圖， A、 B 是海岸線 的兩個(gè)碼頭，海中小島有碼頭 Q 到海岸線 得 3， 點(diǎn) O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線 x 軸的正半軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系一艘游輪以 18 時(shí)的平均速度在水上旅游線 行（將航線 作直線，碼頭 Q 在第一象限，航線 過 Q） （ 1）問游輪自碼頭 A 沿 方向開往碼頭 B 共需多少分鐘？ （ 2）海中有一處景點(diǎn) P（設(shè)點(diǎn) P 在 面內(nèi)， 游輪無法靠近求游輪在水上旅游線 行時(shí)離景點(diǎn) P 最近的點(diǎn) C 的坐標(biāo) 【考點(diǎn)】 直線與圓的位置關(guān)系 【分析】 （ 1）由已知得： A（ 6， 0），直線 方程為 y= 3x，求出 Q（ 4， 2），得直線方程，從而求出水上旅游線 長，由此能求出游輪在水上旅游線自碼頭 A 沿 方向開往碼頭 B 共航行時(shí)間 （ 2）點(diǎn) P 到直線 垂直距離最近，則垂足為 C，分別求出直線 方程和直線 方程，聯(lián)立直線 直線 方程組，能求出點(diǎn) C 的坐標(biāo) 第 17 頁（共 21 頁） 【解答】 解：（ 1）由已知得： A（ 6， 0），直線 方程為 y= 3x， 1 分 設(shè) Q（ 2），（ 0），由 及 0，得 ， Q（ 4， 2）， 3 分 直線 方程為 y=（ x 6），即 x+y 6=0， 5 分 由 ，得 ，即 B（ 3， 9）， 6 分 =9 ，即水上旅游線 長為 9 游輪在水上旅游線自碼頭 A 沿 方向開往碼頭 B 共航行 30 分鐘時(shí)間 8 分 （ 2）點(diǎn) P 到直線 垂直距離最近，則垂 足為 C 10 分 由（ 1）知直線 方程為 x+y 6=0， P（ 4， 8），則直線 方程為 x y+4=0， 12 分 聯(lián)立直線 直線 方程組 ， 得點(diǎn) C 的坐標(biāo)為 C（ 1， 5） 14 分 22已知函數(shù) y=f（ x），若在區(qū)間 I 內(nèi)有且只有一個(gè)實(shí)數(shù) c（ cI），使得 f（ c） =0 成立，則稱函數(shù) y=f（ x）在區(qū)間 I 內(nèi)具有唯一零點(diǎn) （ 1）判斷函數(shù) f（ x） = 在區(qū)間（ 0， +）內(nèi)是否具有唯一零點(diǎn)，并說明理由； （ 2）已知向量 =（ ， ）， =（ x（ 0， ），證明 f（ x） = +1在區(qū)間（ 0， ）內(nèi)具有唯一零點(diǎn)； （ 3）若函數(shù) f（ x） =m 在區(qū)間（ 2， 2）內(nèi)具有唯一零點(diǎn)，求實(shí)數(shù) m 的取值范圍 【考點(diǎn)】 分段函數(shù)的應(yīng)用；函數(shù)零點(diǎn)的判定定理 【分析】 （ 1）利用分段函數(shù)，分類討論函數(shù)的單調(diào)性，從而得出結(jié)論 （ 2）兩個(gè)向量的數(shù)量積共公式以及三角恒等變換，化簡 f（ x）的解析式，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)得出結(jié)論 （ 3）利用二次函數(shù)的性質(zhì)，分類討論，求得 m 的范圍 第 18 頁（共 21 頁） 【解答】 解：（ 1）函數(shù) 在區(qū)間（ 0， +）內(nèi)具有唯一零點(diǎn) 理由：當(dāng) x=1 時(shí)，有 f（ 1） =0，且當(dāng) 0 x 1 時(shí)，有 f（ x） =1 0；當(dāng) x 1 時(shí)， f（ x）=