第 1 頁(yè)（共 22 頁(yè)） 2016 年江西省九江市高考數(shù)學(xué)一模試卷（理科） 一、選擇題（本大題共 12小題，每小題 5分，共 60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的） 1若復(fù)數(shù) z 滿足 z（ i 1） =（ i+1） 2（ i 為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù) z 的虛部為（ ） A 1B 1C i 2設(shè)全集 U=R， A=x| 0， x| 1x1，則 m 的值為（ ） A 1B 0C 1D 2 3已知命題： px（ 0， ）， 1 恒成立，命題 q： x（ 0， ），使 2x 3x，則下列結(jié)論中正確的是（ ） A命題 “pq”是真命題 B命題 “p（ q） ”是真命題 C命題 “（ p） q”為真命題 D命題 “（ p） （ q） ”是真命題 4等比數(shù)列 ， 示其前 n 項(xiàng)和， ， ，則公比 q 為（ ） A 2B 3C 2D 3 5執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸入的 t 2， 2，則輸出的 S 屬于（ ） A 6， 2B 5， 1C 4， 5D 3， 6 6將函數(shù) y=2x+）的圖象向左平移 個(gè)單位后，其圖象離原點(diǎn)最近的兩個(gè)零點(diǎn)到原點(diǎn)的距離相等，則 |的最小值為（ ） A B C D 7在邊長(zhǎng)為 2 的正方形 B、 C 分別是邊 中點(diǎn)，沿 A 翻折成一個(gè)三棱錐 P ，則三棱錐 P 外接球的表面積為（ ） A 4B 6C 12D 24 第 2 頁(yè)（共 22 頁(yè)） 8如果實(shí)數(shù) x， y 滿足不等式組 ，目標(biāo)函數(shù) z=y 的最大值為 6，最小值為 0，則實(shí)數(shù) k 的值為（ ） A 1B 2C 3D 4 9多項(xiàng)式（ x+2） 5 展 開式中 系數(shù)為（ ） A 200B 160C 120D 40 10從底面為直角三角形的直三棱柱的 9 條棱中任取兩條，則這兩條棱互相垂直的概率為（ ） A B C D 11如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為 1，粗線畫出的是某多面體的三視圖，則該幾何體的各個(gè)面中最大面的 面積為（ ） A 1B C D 2 12已知函數(shù) f（ x）和 g（ x）是兩個(gè)定義在區(qū)間 M 上的函數(shù)，若對(duì)任意的 xM，存在常數(shù)，使得 f（ x） f（ g（ x） g（ 且 f（ =g（ 則稱 f（ x）與 g（ x）在區(qū)間 M 上是 “相似函數(shù) ”若 f（ x） =（ a 1） x 2b（ a， bR）與 g（ x） =x+ 在區(qū)間 ， 2上是 “相似函數(shù) ”，則 a， b 的值分別是（ ） A a=1， b=1B a= 1， b= 1C a=1， b= 1D a= 1， b=1 二、填空題（本大題共 4小題，每小題 5分，共 20分） 13設(shè)向量 ， 是夾角為 的單位向量，若 = +2 ， = ，則 | +|= 14已知函數(shù) f（ x） = 是定義在（ 1， 1）上的奇函數(shù)，則 f（ ） = 15已知各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列 前 n 項(xiàng)和 足 數(shù)列 足，則數(shù)列 前 n 項(xiàng)和 第 3 頁(yè)（共 22 頁(yè)） 16已知圓 C 的方程為（ x 1） 2+， P 是橢圓 + =1 上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) P 作圖 C 的兩條切線，切點(diǎn)為 A， B，則 的最小值是 三、解答題（本大題共 5小題，共 70分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟） 17在 ，角 A， B， C 所對(duì)的邊分別為 a， b， c，已知（ 2c a） b=6 （ 1）求角 B 的大??； （ 2）設(shè) 兩條中線 交于點(diǎn) D，求四邊形 積的最大值 18模擬考試后，某校對(duì)甲、乙兩個(gè)班的數(shù)學(xué)考試成績(jī)進(jìn)行分析，規(guī)定：不少于 120 分為優(yōu)秀，否則為非優(yōu)秀，統(tǒng)計(jì)成績(jī)后，得到如下的 22 列聯(lián)表，已知在甲、乙兩個(gè)班全部 100人中隨機(jī)抽取 1 人為優(yōu)秀的概率為 優(yōu)秀 非優(yōu)秀 合計(jì) 甲班 20 乙班 40 合計(jì) 100 （ 1）請(qǐng)完成上面的 22 列聯(lián)表； （ 2）根據(jù)列聯(lián)表的數(shù)據(jù)，若按 可靠性要求，能否認(rèn)為 “成績(jī)與班級(jí)有關(guān)系 ”？ （ 3）在 “優(yōu)秀 ”的學(xué)生人中，用分層抽樣的方法抽取 6 人，再平均分成兩組進(jìn)行深入交流，求第一組中甲班學(xué)生人數(shù) 的分布列和數(shù)學(xué)期望 參考公式與臨界值表： P（ K2k） k 9如圖，在四棱錐 P ， 底面 直角梯形， B=2 E 是 中點(diǎn) （ ）求證：平面 平面 （ ）若二面角 P E 的余弦值為 ，求直線 平面 成角的正弦值 20已知橢圓 C： + =1（ a b 0）的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的兩倍 ，焦距為 2 第 4 頁(yè)（共 22 頁(yè)） （ ）求橢圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程； （ ）設(shè)不過(guò)原點(diǎn) O 的直線 l 與橢圓 C 交于兩點(diǎn) M、 N，且直線 斜率依次成等比數(shù)列，求 積的取值范圍 21已知函數(shù) f（ x） = （ 1）求函數(shù) f（ x）的單調(diào)區(qū)間； （ 2）若任意 x（ 0， 1）， f（ x） （ a， b）恒成立，求 b a 的最小值 選做題：請(qǐng)考生在第 22中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分 選修4 何證明選講 22如圖，已知 圓 O 的直徑， C、 D 是圓 O 上的兩個(gè)點(diǎn)， E， ，交 F， G （ ）求證： C 是劣弧 的中點(diǎn)； （ ）求證： G 選修 4標(biāo)系與參數(shù)方程 23在平面直角坐標(biāo)系 ，已知直線 l： （ t 為參數(shù)）經(jīng)過(guò)橢圓 C：（ 為參數(shù)）的右焦點(diǎn) F （ 1）求 m， n 的值； （ 2）設(shè)直線 l 與橢圓相交于 A， B 兩點(diǎn)，求 |取值范圍 選修 4等式選講 24設(shè)函數(shù) f（ x） =|2x 1|+|1|（ a 0） （ 1）當(dāng) a=2 時(shí)，解不等式 4f（ x） f（ 0） （ 2）若對(duì)任意 xR，不等式 4f（ x） f（ 0）恒成立，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍 第 5 頁(yè)（共 22 頁(yè)） 2016 年江西省九江市高考數(shù)學(xué)一模試卷（理科） 參考答案與試題解析 一、選擇題（本大題共 12小題，每小題 5分，共 60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是 符合題目要求的） 1若復(fù)數(shù) z 滿足 z（ i 1） =（ i+1） 2（ i 為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù) z 的虛部為（ ） A 1B 1C i 【考點(diǎn)】 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運(yùn)算 【分析】 根據(jù)復(fù)數(shù)的基本概念，兩個(gè)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除法法即可求出 【解答】 解： z（ i 1） =（ i+1） 2（ i 為虛數(shù)單位）， z= = =1 i， 故選： B 2設(shè)全集 U=R， A=x| 0， x| 1x1，則 m 的值為（ ） A 1B 0C 1D 2 【考點(diǎn)】 補(bǔ)集及其運(yùn)算 【分析】 根據(jù) A 的補(bǔ)集及全集 U=R，確定出 A，進(jìn)而求出 m 的值 【解答】 解： 全集 U=R， x| 1x1， A=x|x 1 或 x 1， 由 A 中不等式變形得：（ x 1）（ x+m） 0， 解得： x m 或 x 1， 則 m=1， 故選： C 3已知命題： px（ 0， ）， 1 恒成立，命題 q： x（ 0， ），使 2x 3x，則下列結(jié)論中正確的是（ ） A命題 “pq”是真命題 B命題 “p（ q） ”是真命題 C命題 “（ p） q”為真命題 D命題 “（ p） （ q） ”是真命題 【考點(diǎn)】 復(fù)合命題的真假 【分析】 分別判斷出命題 p， q 的真假，從而得到答案 【解答】 解：命題： p： x（ 0， ）， x+ ） （ 1， ； p 真， 命題 q： x（ 0， ）， 1， 3x 2x，故 q 是假命題， 故 pq 假， A 錯(cuò)誤， p（ q）真， B 正確， （ p） q 假， C 錯(cuò)誤，（ p） （ q）假， D 錯(cuò)誤； 故選： B 第 6 頁(yè)（共 22 頁(yè)） 4等比數(shù)列 ， 示其前 n 項(xiàng)和， ， ，則公比 q 為（ ） A 2B 3C 2D 3 【考點(diǎn)】 等比數(shù)列的通項(xiàng)公式 【分析】 由 ， ，兩式相減可得： 可得出 【解答】 解：由 ， ，兩式相減可得： 得 q= =3， 故選： D 5執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸入的 t 2， 2，則輸出的 S 屬于（ ） A 6， 2B 5， 1C 4， 5D 3， 6 【考點(diǎn)】 程序框圖 【分析】 根據(jù)程序框圖，結(jié)合條件，利用函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論 【解答】 解：若 0t2，則不滿足條件輸出 S=t 3 3， 1， 若 2t 0，則滿足條件，此時(shí) t=2（ 1， 9，此時(shí)不滿足條件，輸出 S=t 3（ 2，6， 綜上： S=t 3 3， 6， 故選： D 6將函數(shù) y=2x+）的圖象向左平移 個(gè)單位后，其圖象離原點(diǎn)最近的兩個(gè)零點(diǎn)到原點(diǎn)的距離相等，則 |的最小值為（ ） A B C D 【考點(diǎn)】 函數(shù) y=x+）的圖象變換 【分析】 由函數(shù) y=x+）的圖象變換規(guī)律可得函數(shù)解析式為： y=2x+ +），其周期 T= ，由題意可得（ ， 0），（ ， 0）兩點(diǎn)在函數(shù)圖象上，可得： 第 7 頁(yè)（共 22 頁(yè)） +） =0， +） =0，從而解得 =， =，（ kZ），即可得解 |的最小值 【解答】 解：將函數(shù) y=2x+）的圖象向左平移 個(gè)單位后，可得函數(shù)解析式為： y=2x+ +），其周期 T= ， 其圖象離原點(diǎn)最近的兩個(gè)零點(diǎn)到原點(diǎn)的距離相等， （ ， 0），（ ， 0）兩點(diǎn)在函數(shù)圖象上，可得： 2（ ） + +=+） =0， 2 + +） =+） =0， 解得： =， =，（ kZ）， |的最小值為： 故選： B 7在邊長(zhǎng)為 2 的正方形 B、 C 分別是邊 中點(diǎn)，沿 A 翻折成一個(gè)三棱錐 P ，則三棱錐 P 外接球的表面積為（ ） A 4B 6C 12D 24 【考點(diǎn)】 球的體積和表面積 【分析】 根據(jù)題意，得折疊成的三棱錐 P 條側(cè)棱 兩互相垂直 ，可得三棱錐 P 外接球的直徑等于以 長(zhǎng)、寬、高的長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)，由此結(jié)合 、 P=1 算出外接球的半徑 R= ，結(jié)合球的表面積公式即可算出三棱錐P 外接球的表面積 【解答】 解：根據(jù)題意，得三棱錐 P ， ， P=1 兩互相垂直， 三棱錐 P 外接球的直徑 2R= = 可得三棱錐 P 外接球的半徑為 R= 根據(jù)球的表面積公式，得三棱錐 P 外接球的表面積為 S=4（ ） 2=6 故選： B 第 8 頁(yè)（共 22 頁(yè)） 8如果實(shí)數(shù) x， y 滿足不等式組 ，目標(biāo)函數(shù) z=y 的最大值為 6，最小值為 0，則實(shí)數(shù) k 的值為（ ） A 1B 2C 3D 4 【考點(diǎn)】 簡(jiǎn)單線性規(guī)劃 【分析】 首先作出其可行域，再由題意討論目標(biāo)函數(shù)在哪個(gè)點(diǎn)上取得最值，解出 k 【解答】 解：作出其平面區(qū)域如右圖： A（ 1， 2）， B（ 1， 1）， C（ 3， 0）， 目標(biāo)函數(shù) z=y 的最小值為 0， 目標(biāo)函數(shù) z=y 的最小值可能在 A 或 B 時(shí)取得； 若在 A 上取得，則 k 2=0，則 k=2，此時(shí)， z=2x y 在 C 點(diǎn)有最大值， z=23 0=6，成立； 若在 B 上取得，則 k+1=0，則 k= 1， 此時(shí)， z= x y，在 B 點(diǎn)取得的應(yīng)是最大值， 故不成立， 故選 B 第 9 頁(yè)（共 22 頁(yè)） 9多項(xiàng)式（ x+2） 5 展開式中 系數(shù)為（ ） A 200B 160C 120D 40 【考點(diǎn)】 二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì) 【分析】 （ x+2） 5=（ x+2） （ x+2） （ x+2） （ x+2） （ x+2），分類討論： 三個(gè)括號(hào)取 2，一個(gè)括號(hào)取 個(gè)括號(hào)取 x，得 兩個(gè)括號(hào)取 2，三個(gè)括號(hào)取 x，得 系數(shù)為即可得出 【解答】 解：（ x+2） 5=（ x+2） （ x+2） （ x+2） （ x+2） （ x+2）， 三個(gè)括號(hào)取 2，一個(gè)括號(hào)取 個(gè)括號(hào)取 x，得 160 兩個(gè)括號(hào)取 2，三個(gè)括號(hào)取 x，得 40 展開式中 系數(shù)為 200， 故選： A 10從底面為直角三角形的直三棱柱的 9 條棱中任取兩條，則這兩條棱互 相垂直的概率為（ ） A B C D 【考點(diǎn)】 列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率 第 10 頁(yè)（共 22 頁(yè)） 【分析】 先求出基本事件總數(shù)，再求出這兩條棱互相垂直包含的基本事件個(gè)數(shù)，由此能求出這兩條棱互相垂直的概率 【解答】 解： 從底面為直角三角形的直三棱柱的 9 條棱中任取兩條， 基本事件總數(shù) n= ， 這兩條棱互相垂直包含的基本事件個(gè)數(shù) m=36+2+2=22， 這兩條棱互相垂直的概率 p= = 故選： C 11如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為 1，粗線畫出的是某多面體的三視圖，則該幾何體的各個(gè)面中最大面的面積為（ ） A 1B C D 2 【考點(diǎn)】 簡(jiǎn)單空間圖形的三視圖 【分析】 由題意，幾何體為有一側(cè)棱垂直于底面的三棱錐，有 3 個(gè)面是全等的等腰直角三角形，面積為 =2，另一側(cè)面是等邊三角形，邊長(zhǎng)為 2 ，求出面積，即可得出結(jié)論 【解答】 解：由題意，幾何體為有一側(cè)棱垂直于底面的三棱錐，有 3 個(gè)面是全等的等腰直角三 角形，面積為 =2， 另一側(cè)面是等邊三角形，邊長(zhǎng)為 2 ，面積為 =2 ， 所以該幾何體的各個(gè)面中最大面的面積為 2 ， 故選： D 12已知函數(shù) f（ x）和 g（ x）是兩個(gè)定義在區(qū)間 M 上的函數(shù)，若對(duì)任意的 xM，存在常數(shù)，使得 f（ x） f（ g（ x） g（ 且 f（ =g（ 則稱 f（ x）與 g（ x）在區(qū)間 M 上是 “相似函數(shù) ”若 f（ x） =（ a 1） x 2b（ a， bR）與 g（ x） =x+ 在區(qū)間 ， 2上是 “相似函數(shù) ”，則 a， b 的值分別是（ ） A a=1， b=1B a= 1， b= 1C a=1， b= 1D a= 1， b=1 【考點(diǎn)】 函數(shù)的值域 【分析】 由基本不等式求得 g（ x）的最小值及取最小 值時(shí) 值，再利用導(dǎo)數(shù)求得使 f（ x）取得最值時(shí)的 a 值，然后再代入 f（ =2 求得 b 值 第 11 頁(yè)（共 22 頁(yè)） 【解答】 解： 當(dāng) x ， 2時(shí)， g（ x） =x+ 2，當(dāng)且僅當(dāng) x=1 時(shí)取等號(hào)， ， g（ =2； f（ x） =2（ a 1） = ， x ， 2， 當(dāng) a0 時(shí)， f（ x） 0，故函數(shù) f（ x）在 ， 2上單調(diào)遞減，不合題意； 當(dāng) a 0 時(shí)，由 f（ x） 0，得 0 ， f（ x） 0，得 x ， 故函數(shù) f（ x）在（ 0， ）上單調(diào)遞減，在（ ， +）上單調(diào)遞增，依題意得 ，即 a=1 ，解得： b=1 故選： A 二、填空題（本大題共 4小題，每小題 5分，共 20分） 13設(shè)向量 ， 是夾角為 的單位向量，若 = +2 ， = ，則 | + |= 【考點(diǎn)】 平面向量數(shù)量積的運(yùn)算 【分析】 根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算，求出 + ，再利用數(shù)量積求模長(zhǎng) 【解答】 解：向量 ， 是夾角為 的單位向量， 且 = +2 ， = ， + =2 + ； = +4 + =412+41112 =3， | + |= 故答案為： 14已知函數(shù) f（ x） = 是定義在（ 1， 1）上的奇函數(shù)，則 f（ ） = 2 【考點(diǎn)】 函數(shù)奇偶性的性質(zhì) 【分析】 根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)建立方程關(guān)系進(jìn)行求解即可 【解答】 解： f（ x） = 是定義在（ 1， 1）上的奇函數(shù)， f（ 0） =0， 第 12 頁(yè)（共 22 頁(yè)） 即 =0， 則 f（ x） = ， f（ x） = f（ x）， = ， 整理得 bx=成立，則 b=0， 則 f（ x） = ， 則 f（ ） = ， 故答案為： 2 15已知各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列 前 n 項(xiàng)和 足 數(shù)列 足，則數(shù)列 前 n 項(xiàng)和 n2n+1 【考點(diǎn)】 數(shù)列的求和 【分析】 由條件可得 ，再將 n 換為 n 1，兩式相減可得 1=1，再由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得 an=n，則 = = = （ ），再由數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消求和即可得到所求和 【解答】 解： ， 當(dāng) n 1 時(shí)， 1= ， 兩式相減可得， 2 1）（ an+1） +1， 即為 an+1=（ 1）（ an+1）， 由 0，可得 1=1， 當(dāng) n=1 時(shí)， 1= ， 解得 ，則 +n 1=n， = = = （ ）， 第 13 頁(yè)（共 22 頁(yè)） 則 前 n 項(xiàng)的和 （ 1 + + ） = （ 1 ） = 故答案為： 16已知圓 C 的方程為（ x 1） 2+， P 是橢圓 + =1 上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) P 作圖 C 的兩條切線，切點(diǎn)為 A， B，則 的最小值是 2 3 【考點(diǎn)】 橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì) 【分析】 設(shè) ，令 | |2=x，由向量數(shù)量積公式得到 =x+ 3，由此能求出的最小值 【解答】 解：如圖所示，設(shè) ， =| | | |2（ 21） =| |2（ 2 1）， 令 | |2=x，得 =x+ 3， x（ 1， 9， 2 3， 當(dāng)且僅當(dāng) x= 時(shí)，取等號(hào)， 故 的最小值是 2 3 三、解答題（本大題共 5小題，共 70分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟） 17在 ，角 A， B， C 所對(duì)的邊分別為 a， b， c，已知（ 2c a） b=6 （ 1）求角 B 的大小； （ 2）設(shè) 兩條中線 交于點(diǎn) D，求四邊形 積的最大值 【考點(diǎn)】 正弦定理；余弦定理 【分析】 （ 1）由題意和正弦定理以及三角函數(shù)公式可得 ，可得 B= ； （ 2）由余弦定理和基本不等式可得 6，由重心的性質(zhì)和不等式的性質(zhì)可得 【解答】 解：（ 1） 在 （ 2c a） 由正弦定理可得（ 2 2A+B）， 第 14 頁(yè)（共 22 頁(yè)） 2去 得 ， B= ； （ 2）由余弦定理可得 36=a2+2a2+ 6，當(dāng)且僅當(dāng) a=c=6 時(shí)取等號(hào)，如圖 D 為 心， 四邊形 積 S= S ， 四邊形 積的最大值為 3 ， 18模擬考試后，某校對(duì)甲、乙兩個(gè)班的數(shù)學(xué)考試成績(jī)進(jìn)行分 析，規(guī)定：不少于 120 分為優(yōu)秀，否則為非優(yōu)秀，統(tǒng)計(jì)成績(jī)后，得到如下的 22 列聯(lián)表，已知在甲、乙兩個(gè)班全部 100人中隨機(jī)抽取 1 人為優(yōu)秀的概率為 優(yōu)秀 非優(yōu)秀 合計(jì) 甲班 20 30 50 乙班 10 40 50 合計(jì) 30 70 100 （ 1）請(qǐng)完成上面的 22 列聯(lián)表； （ 2）根據(jù)列聯(lián)表的數(shù)據(jù)，若按 可靠性要求，能否認(rèn)為 “成績(jī)與班級(jí)有關(guān)系 ”？ （ 3）在 “優(yōu)秀 ”的學(xué)生人中，用分層抽樣的方法抽取 6 人，再平均分成 兩組進(jìn)行深入交流，求第一組中甲班學(xué)生人數(shù) 的分布列和數(shù)學(xué)期望 參考公式與臨界值表： P（ K2k） k 考點(diǎn)】 獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用 【分析】 （ 1）設(shè)乙班優(yōu)秀的人數(shù)為 x 人，根據(jù)甲、乙兩個(gè)班全部 100 人中隨機(jī)抽取 1 人為優(yōu)秀的概率為 列出方程，求出方程的解得到 x 的值，確定出 乙班與甲班的總?cè)藬?shù)，填寫表格即可； （ 2）把 a， b， c， d 的值代入 ，計(jì)算得到結(jié)果，即可作出判斷； 第 15 頁(yè)（共 22 頁(yè)） （ 3）求出分層抽樣中甲乙兩班的優(yōu)秀人數(shù)，確定出 的值，進(jìn)而確定出 的分布列，即可求出數(shù)學(xué)期望 【解答】 解：（ 1）設(shè)乙班優(yōu)秀的人數(shù)為 x 人， 根據(jù)題意得： = ， 解得： x=10， 乙班總?cè)藬?shù)為 10+40=50（人），甲班總?cè)藬?shù)為 100 50=50（人）， 填表如下： 優(yōu)秀 非優(yōu)秀 合計(jì) 甲班 20 30 50 乙班 10 40 50 合計(jì) 30 70 100 故答案為： 30； 50； 10； 50； 30； 70； （ 2） = 沒(méi)有達(dá)到可靠性要求，不能認(rèn)為 “成績(jī)與班級(jí)有關(guān)系 ”； （ 3）在抽取的 6 人中，甲班為 6=4（人），乙班 為 6=2（人）， =1， 2， 3， P（ =1） = = ， P（ =2） = = ， P（ =3） = = ， 即 的分布列為： 1 2 3 P 則數(shù)學(xué)期望 +2 +3 =2 19如圖，在四棱錐 P ， 底面 直角梯形， B=2 E 是 中點(diǎn) （ ）求證：平面 平面 （ ）若二面角 P E 的余弦值為 ，求直線 平面 成角的正弦值 第 16 頁(yè)（共 22 頁(yè)） 【考點(diǎn)】 用空間向量求平面間的夾角；平面與平面垂直的判定 【分析】 （ ）證明平面 平面 需證明 平面 證 （ ）根據(jù)題意，建立空間直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示點(diǎn)與向量，求出面 法向量 =（ 1， 1， 0），面 法向量 =（ a， a， 2），利用二面角 P A C E 的余弦值為 ，可求 a 的值，從而可求 =（ 2， 2， 2）， =（ 1， 1， 2），即可求得直線 平面成角的正弦值 【解答】 （ ）證明： 平面 面 ， D=1， C= ， 又 C=C， 平面 面 平面 平面 （ ）如圖，以 C 為原點(diǎn)，取 點(diǎn) F， 、 、 分別為 x 軸、 y 軸、 z 軸正向，建立空間直角坐標(biāo)系，則 C（ 0， 0， 0）， A（ 1， 1， 0）， B（ 1， 1， 0） 設(shè) P（ 0， 0， a）（ a 0），則 E（ ， ， ）， =（ 1， 1， 0）， =（ 0， 0， a）， =（ ， ， ）， 取 =（ 1， 1， 0），則 = =0， 為面 法向量 設(shè) =（ x， y， z）為面 法向量，則 = =0， 即 取 x=a， y= a， z= 2，則 =（ a， a， 2）， 依題意， |， |= = = ，則 a=2 于是 =（ 2， 2， 2）， =（ 1， 1， 2） 設(shè)直線 平面 成角為 ，則 ， |= = ， 即直線 平面 成角的正弦值為 第 17 頁(yè)（共 22 頁(yè)） 20已知橢圓 C： + =1（ a b 0）的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的兩倍，焦距為 2 （ ）求橢圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程； （ ）設(shè)不過(guò)原點(diǎn) O 的直線 l 與橢圓 C 交于兩點(diǎn) M、 N，且直線 斜率依次成等比數(shù)列，求 積的取值范圍 【考點(diǎn)】 直線與圓錐曲線的關(guān)系；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 【分析】 （ ）由已知得 ，由此能求出橢圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程 （ ）設(shè)直線 l 的方程為： y=kx+m，聯(lián)立 ，得：（ 1+4（ 1）=0，由此根的判別式、韋達(dá)定理、等比數(shù)列、弦長(zhǎng)公式，結(jié)合已知條件能求出 積的取值范圍 【解答】 解：（ ）由已知得 ， 解得 a=2， b=1， c= ， 橢圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程為 （ ）由題意可 設(shè)直線 l 的方程為： y=kx+m（ k0， m0）， 聯(lián)立 ，消去 y 并整理，得：（ 1+4（ 1） =0， 則 =6416（ 1+4 1） =16（ 4） 0， 此時(shí)設(shè) M（ N（ 則 ， ， 第 18 頁(yè)（共 22 頁(yè)） 于是 m）（ m） =x1+ 又直線 斜率依次成等比數(shù)列， = = ， 由 m0 得： ，解得 k= ， 又由 0 得： 0 2， 顯然 （否則： ，則 至少有一個(gè)為 0， 直線 至少有一個(gè)斜率不存在，矛盾） 設(shè)原點(diǎn) O 到直線 l 的距離為 d，則 S |MN|d= |= |m| = ， 故由 m 得取值范圍可得 積的取值范圍為（ 0， 1） 21已知函數(shù) f（ x） = （ 1）求函數(shù) f（ x）的單調(diào)區(qū)間； （ 2）若任意 x（ 0， 1）， f（ x） （ a， b）恒成立，求 b a 的最小值 【考點(diǎn)】 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值 【分析】 （ 1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可； （ 2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，求出 f（ x）的范圍，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為 1 0 在 x（ 0， 1）恒成立，令 h（ x） =1，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出其范圍即可 【解答】 解：（ 1） f（ x） = ，（ x0）， 令 g（ x） =（ 2x 1） ，（ x0），則 g（ x） =4 當(dāng) x（ 0， +）時(shí)， g（ x） 0， g（ x）在（ 0， +）遞增， g（ x） g（ 0） =0， f（ x） 0， f（ x）在（ 0， +）遞增， 當(dāng) x（ ， 0）時(shí)， g（ x） 0， g（ x）在（ ， 0）遞減， g（ x） g（ 0） =0， f（ x） 0， f（ x）在（ ， 0）遞增， 綜上，函數(shù) f（ x）在（ ， 0），（ 0， +）遞增； （ 2）由（ 1）得； f（ x）在（ 0， 1）遞增， f（ x） f（ 1） =1， 任意 x（ 0， 1）， f（ x） b 恒成立，則 b1， 第 19 頁(yè)（共 22 頁(yè)） 要使任意 x（ 0， 1）， f（ x） a 恒成立，只需 1 0 在 x（ 0， 1）恒成立， 令 h（ x） =1，則 h（ x） =2a， x（ 0， 1）， a2 時(shí)， h（ x） 0， h（ x）在（ 0， 1）遞增， h（ x） h（ 0） =0，符合 題意， a2， h（ x） 0， h（ x）在（ 0， 1）遞減， h（ x） h（ 0） =0，不符合題意， 2 a 2， h（ x） 0，解得： 0 x h（ x） 0，解得： x 1， h（ x）在（ 0， 遞減，故任意 x（ 0， ， h（ x） h（ 0） =0，不符合題意， 綜上， a2， b a3， 故 b a 的最小值是 3 選做題：請(qǐng)考生在第 22中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分 選修4何證明選講 22如圖，已知 圓 O 的直徑， C、 D 是圓 O 上的兩個(gè)點(diǎn)， E， ，交 F， G （ ）求證： C 是劣弧 的中點(diǎn)； （ ）求證： G 【考點(diǎn)】 與圓有關(guān)的比例線段 【分析】 （ I）要證明 C 是劣弧 中點(diǎn)，即證明弧 弧 等，即證明 據(jù)已知中 G， 圓 O 的直徑， E，我們易根據(jù)同角的余角相等，得到結(jié)論 （ 已知及（ I）的結(jié)論，我們易證明 為等腰三角形