第 1 頁（共 21 頁） 2016 年山東省威海市高考數(shù)學二模試卷（文科） 一、選擇題：本大題共 10小題，每小題 5分，共 50分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的 1已知 i 為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù) z= 的實部與虛部互為相反數(shù)，則實數(shù) a=（ ） A 1B 1C 3D 3 2已知集合 A=x|2x 3 0， B=x|y=2 x） ，定義 A B=x|xA，且 xB，則 A B=（ ） A（ 1， 2） B 2， 3） C（ 2， 3） D（ 1， 2 3已知 | |=| |=2，（ +2 ） （ ） = 2，則 與 的夾角 為（ ） A 30B 45C 60D 120 4已知變量 x， y 滿足關(guān)系 y=1，變量 y 與 z 負相關(guān)，則下列結(jié)論正確的是（ ） A x 與 y 正相關(guān)， x 與 z 負相關(guān) B x 與 y 負相關(guān)， x 與 z 正相關(guān) C z 與 y 正相關(guān)， x 與 z 正相關(guān) D x 與 y 負相關(guān)， x 與 z 負相關(guān) 5下列命題的逆命題為真命題的是（ ） A若 x 2，則（ x 2）（ x+1） 0B若 x2+，則 C若 x+y=2，則 xy ab，則 如圖所示的程序框圖中按程序運行后輸出的結(jié)果（ ） A 7B 8C 9D 10 7已知函數(shù) f（ x） =2x+）（ 0 ， 0）為奇函數(shù)，其圖象與直線 y=2 相鄰兩交點的距離為 ，則函數(shù) f（ x）（ ） A在 ， 上單調(diào)遞減 B在 ， 上單調(diào)遞增 第 2 頁（共 21 頁） C在 ， 上單調(diào)遞減 D在 ， 上單調(diào)遞增 8設(shè)雙曲線 =1（ a 0， b 0）的右焦點為 F，過點 F 作 x 軸的垂線，與雙曲線及其漸近線在第一象限分別交于點 A， P，若 | ，則雙曲線的離心率為（ ） A B C D 9已知等腰 B= D= ） A B C D 10設(shè)函數(shù) f（ x） =|若 0 a 1 b 且 f（ b） =f（ a） +1，則 a+2b 的取值范圍為（ ） A 4， +） B（ 4， +） C 5， +） D（ 5， +） 二、填空題：本大題共 5小題，每小題 5分，共 25分 11正四棱錐的主視圖和俯視圖如圖所示，其中主視圖為邊長為 1 的 正三角形，則該正四棱錐的表面積為 12函數(shù) f（ x） = 的值域為 13若變量 x， y 滿足約束條件 ，則 z=x+2y 的最大值為 14拋物線 C： p 0）的焦點為 F， O 為坐標原點， M 為 C 上一點若 |2p， 面積為 4 ，則拋物 線方程為 15已知函數(shù) f（ x） = ，若關(guān)于 x 的方程 f（ x） =x+m 有兩個不同的實根，則實數(shù)所的取值范圍為 三、解答題：本大題共 6小題，共 75分解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟 16已知 f（ x） =+ x） +1 第 3 頁（共 21 頁） （ ）求函數(shù) f（ x）的對稱軸； （ ）在 ，內(nèi)角 A， B， C 的對邊分別為 a， b， c，且 = ，若不等式 f（ B） m 恒成立，求實數(shù) m 的取值范圍 17 2015 年，威海智慧公交建設(shè)項目已經(jīng)基本完成為了解市民對該項目的滿意度，分別從不同公交站點隨機抽取若干市民對該項目進行評分（滿分 100 分），繪制如下頻率分布直方圖，并將分數(shù)從低到高分為四個等級： 滿意度評分 低于 60分 60 分到 79 分 80 分到 89 分 不低于 90 分 滿意度等級 不滿意 基本滿意 滿意 非常滿意 已知滿意度等級為基本滿意的有 680 人 （ I）求等級為非常滿意的人數(shù)： （ ）現(xiàn)從等級為不滿意市民中按評分分層抽取 6 人了解不滿意的原因，并從中選取 3 人擔任整改監(jiān)督員，求 3 人中恰有 1 人評分在 40， 50）的概率； （ ）相關(guān)部門對項目進行驗收，驗收的硬性指標是：市民對該項目的滿意指數(shù)不低于 則該項目需進行整改，根據(jù)你所學的統(tǒng)計知識，判斷該項目能否通過驗收，并說明理由（注：滿意指數(shù) = ） 18設(shè)公差不為零的等差數(shù)列 前 n 項和為 2， 等比數(shù)列 （ ）求數(shù)列 通項公式； （ ）設(shè) ，求數(shù)列 前 n 項和 19已知直四棱柱 ， C=1， E，F(xiàn) 分別為 （ I）求證： （ ）求證：面 面 第 4 頁（共 21 頁） 20 f（ x） =x， （ ）若函數(shù) f（ x）在 x=1 處取得極小值，求 m 的值： （ ）求函數(shù) f（ x）的單調(diào)區(qū)間： （ ）當 m 0， x ， +）時，曲線 y=f（ x）上總存在經(jīng)過原點的切線試求 m 的取值范圍 21已知橢圓 C： + =1（ a b 0）， 左右焦點， A， B 是長軸兩端點，點 P（ a， b）與 成等腰三角形，且 = （ I）求橢圓 C 的方程； （ ）設(shè)點 Q 是橢圓上異于 A， B 的動點，直線 別交直線 l： x=m（ m 2）于 M， N 兩點 （ i）當 = 時，求 Q 點坐標； （ 否存在實數(shù) m，使得以 直徑的圓經(jīng)過點 存在，求出實數(shù) m 的值，若不存在請說明理由 第 5 頁（共 21 頁） 2016年山東省威海市高考數(shù)學二模試卷（文科） 參考答案與試題解析 一、選擇題：本大題共 10小題，每小題 5分，共 50分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的 1已知 i 為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù) z= 的實部與虛部互為相反數(shù)，則實數(shù) a=（ ） A 1B 1C 3D 3 【考點】 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算 【分析】 利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，由已知列式求得 a 值 【解答】 解： z= = 的實部和虛部互為相反數(shù)， a 2=（ 2a 1），即 a= 3 故選： D 2已知集合 A=x|2x 3 0， B=x|y=2 x） ，定義 A B=x|xA，且 xB，則 A B=（ ） A（ 1， 2） B 2， 3） C（ 2， 3） D（ 1， 2 【考點】 交、并、補集的混合運算 【分析】 根據(jù)條件求出集合 A， B 的等價條件，結(jié)合定義進行求解即可 【解答】 解： A=x|2x 3 0=x| 1 x 3， B=x|y=2 x） =x|2 x 0=x|x 2， 則 A B=x|xA，且 xB=2， 3）， 故選： B 3已知 | |=| |=2，（ +2 ） （ ） = 2，則 與 的夾角為（ ） A 30B 45C 60D 120 【考點】 平面向量數(shù)量積的運算 【分析】 把已知的向量等式左邊展開，代入向量數(shù)量積公式即可求得 與 的夾角 【解答】 解：由（ +2 ） （ ） = 2， 得 ， ， 又 | |=| |=2， ， 即 ， 兩向量夾角的范圍為 0， 180， 第 6 頁（共 21 頁） 與 的夾角為 60 故選： C 4已知變量 x， y 滿足關(guān)系 y=1，變量 y 與 z 負相關(guān)，則下列結(jié)論正確的是（ ） A x 與 y 正相關(guān)， x 與 z 負相關(guān) B x 與 y 負相關(guān)， x 與 z 正相關(guān) C z 與 y 正相關(guān)， x 與 z 正相關(guān) D x 與 y 負相關(guān)， x 與 z 負相關(guān) 【考點】 線性回歸方程 【分析】 根據(jù)回歸方程中，變量系數(shù)之間的關(guān)系，進行求解即可 【解答】 解：變量 x， y 滿足關(guān)系 y=1， 則變量 y 與 z 正相關(guān)， 變量 y 與 z 負相關(guān)， 變量 x 與 z 負相關(guān)， 故選： A 5下列命題的逆命題為真命題的是（ ） A若 x 2，則（ x 2）（ x+1） 0B若 x2+，則 C若 x+y=2，則 xy ab，則 考點】 四種命題 【分析】 分別寫出相應(yīng)的逆命題，再判斷真假即可 【解答】 解：選項 A， “若 x 2，則（ x 2）（ x+1） 0”的逆命題為 “若（ x 2） （ x+1） 0，則 x 2” 因為（ x 2）（ x+1） 0 得到 x 2 或 x 1，所以是假命題， 選項 B， “若 x2+，則 ”的逆命題為 “若 ，則 x2+”是真命題， 選項 C， “若 x+y=2，則 xyl”的逆命題為 “若 xyl，則 x+y=2”， 因為 x=2， y= ，滿足 xyl，但不滿足 x+y=2，所以是假命題， 選項 D， “若 ab，則 逆命題為 “若 ab”， 因為若 c=0， a=1， b=2，滿 足 不滿足 ab，所以是假命題 故選： B 6如圖所示的程序框圖中按程序運行后輸出的結(jié)果（ ） 第 7 頁（共 21 頁） A 7B 8C 9D 10 【考點】 程序框圖 【分析】 根據(jù)題意，模擬程序框圖的運行過程，依次寫出每次循環(huán)得到的 n， i 的值，當 n=1時退出循環(huán)，輸出 i 的值為 7，從而得解 【解答】 解：模擬程序框圖的運行過程，如下； i=0， n=3 執(zhí)行循環(huán)體，滿足條件 n 是奇數(shù)， n=10， i=1 不滿足條件 n=1，執(zhí)行循環(huán)體，不滿足條件 n 是奇數(shù)， n=5， i=2 不滿足條件 n=1，執(zhí)行循環(huán)體，滿足條件 n 是奇數(shù)， n=16， i=3 不滿足條件 n=1，執(zhí)行循環(huán)體，不滿足條件 n 是奇數(shù)， n=8， i=4 不滿足條件 n=1，執(zhí)行循環(huán)體，不滿足條件 n 是奇數(shù)， n=4， i=5 不滿足條件 n=1，執(zhí)行循環(huán)體，不滿足條件 n 是奇數(shù)， n=2， i=6 不滿足條件 n=1，執(zhí)行循環(huán)體，不滿足條件 n 是奇數(shù)， n=1， i=7 滿足條件 n=1，退出循環(huán)，輸出 i 的值為 7 故選： A 7已知函數(shù) f（ x） =2x+）（ 0 ， 0）為奇函數(shù)，其圖象與直線 y=2 相鄰兩交點的距離 為 ，則函數(shù) f（ x）（ ） A在 ， 上單調(diào)遞減 B在 ， 上單調(diào)遞增 C在 ， 上單調(diào)遞減 D在 ， 上單調(diào)遞增 【考點】 余弦函數(shù)的圖象 【分析】 由條件利用正弦函數(shù)的奇偶性、周期性求得 和 的值，可得函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性，得出結(jié)論 第 8 頁（共 21 頁） 【解答】 解： 函數(shù) f（ x） =2x+） =2（ x+） = 2x+ ）（ 0 ， 0）為奇函數(shù)， = =， kZ， = ， f（ x） = 2 再根據(jù)它的圖象與直線 y=2 相鄰兩交點的距離為 ，則函數(shù) f（ x）的周期為 =， =2， f（ x） = 2 x ， 2x ， ，函數(shù) f（ x）沒有單調(diào)性，故排除 A、 B 在 ， 上， 2x ， ，函數(shù) f（ x）單調(diào)遞減，故排除 D， 故選： C 8設(shè)雙曲線 =1（ a 0， b 0）的右焦點為 F，過點 F 作 x 軸的垂線，與雙曲線及其漸近線在第一象限分別交于點 A， P，若 | ，則雙曲線的離心率為（ ） A B C D 【考點】 雙曲線 的簡單性質(zhì) 【分析】 根據(jù)直線 x=c 與雙曲線和漸近線相交，求出交點坐標，結(jié)合 | ，建立方程關(guān)系進行求解即可 【解答】 解：過 F 作 x 軸的垂線，在第一象限與雙曲線交于點 A， 令 x=c，代入雙曲線的方程可得 y=b = ， 則 A 點坐標為（ c， ）， 雙曲線過第一象限的漸近線為 y= x，當 x=c 時， y= ，即 P（ c， ）， 則 = = ， 即 33b2= 即 33b2= 得 3， 得 c=b（舍）或 c=2b， 則 a= = b， 則離心率 e= = = ， 第 9 頁（共 21 頁） 故選： A 9已知等腰 B= D= ） A B C D 【考點】 正弦定理 【分析】 設(shè) C=a、 D=b，在 由余弦定理求出 由余弦定理表示出 正弦定理求出 值 【解答】 解：如圖：設(shè) C=a， D=b， 由 ， ， 在 ，由余弦定理得， = = ， C， 銳角， 則 = ， 在 ，由余弦定理得 2D ，解得 a= b， 由正弦定理得， ， ，解得 ， 故選： C 10設(shè)函數(shù) f（ x） =|若 0 a 1 b 且 f（ b） =f（ a） +1，則 a+2b 的取值范圍為（ ） A 4， +） B（ 4， +） C 5， +） D（ 5， +） 【考點】 對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì) 【分析】 畫出函數(shù) f（ x）的圖象，則數(shù)形結(jié)合可知 ，再將所求 a+2b 化為關(guān)于 a 的一元函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)的值域即可 【解答】 解：畫出 f（ x） =|圖象如圖： 0 a 1 b 且 f（ b） =f（ a） +1， |1， 第 10 頁（共 21 頁） ， ， ， y=a+2b=a+ ，（ 0 a 1）， y=a+ 在（ 0， 1）上為減函數(shù)， y 1+ =5， a+2b 的取值范圍為（ 5， +）， 故選： D 二、填空題：本大題共 5小題，每小題 5分，共 25分 11正四棱錐的主視圖和俯視圖如圖所 示，其中主視圖為邊長為 1 的正三角形，則該正四棱錐的表面積為 3 【考點】 由三視圖求面積、體積 【分析】 由正視圖、俯視圖以及正四棱錐的結(jié)構(gòu)特征，求出正四棱錐的底面邊長、側(cè)面上的高，由面積公式求出該正四棱錐的表面積 【解答】 解：根據(jù)三視圖可知正四棱錐的底面是邊長為 1 正方形， 側(cè)面的高是正視圖中的邊長 1， 該正四棱錐的表面積 S=11+4 =3， 故答案為： 3 12函數(shù) f（ x） = 的值域為 （ 0， 2 第 11 頁（共 21 頁） 【考點】 函數(shù)的值域 【分析】 通過配方即可得出 2x ，而指數(shù)函數(shù) y=2而便可得出，這樣便可得出函數(shù) f（ x）的值域 【解答】 解： 2x （ x 1） 2+11，且 y=2 ，且 ； f（ x）的值域為（ 0， 2 故答案為：（ 0， 2 13若變量 x， y 滿足約束條件 ，則 z=x+2y 的最大值為 12 【考點】 簡單線性規(guī)劃 【分析】 作出不等式對應(yīng)的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識，通過平移即可求 z 的最大值 【解答】 解：作出約束條件 對應(yīng)的平面區(qū)域（陰影部分）， 由 z=x+3y，得 y= x+ z， 平移直線 y= x+ z，由圖象可知當直線 y= x+ z， 經(jīng)過點 A 時，直線 y= x+ z 的截距最大，此時 z 最大 由 ，解得 ， 即 A（ 2， 5） 此時 z 的最大值為 z=2+25=12， 故答案為： 12 第 12 頁（共 21 頁） 14拋物線 C： p 0）的焦點為 F， O 為坐標原點， M 為 C 上一點若 |2p， 面積為 4 ，則拋物線方程為 x 【考點】 拋物線的簡單性質(zhì) 【分析】 根據(jù) M 為拋物線上一點，且 |2p，可確定 M 的坐標，利用 面積， 求出 p，即可求得拋物線的方程 【解答】 解：由題意， F（ ， 0），準線方程為 x= ， |2p M 的橫坐標為 2p = p M 的縱坐標為 y= p 面積為 4 ， =4 ， p=4， 拋物線的方程為 x 故答案為： x 15已知函數(shù) f（ x） = ，若關(guān)于 x 的方程 f（ x） =x+m 有兩個不同的實根，則實數(shù)所的取值范圍為 0 m 9或 m 9 【考點】 根的存在性及根的個數(shù)判斷 【分析】 關(guān)于 x 的方程 f（ x） =x+m 有兩個不同的實根轉(zhuǎn)化為函數(shù) f（ x） = 與y=x+m 的圖象有兩個不同的交點，從而利用數(shù)形結(jié)合的方法求解 【解答】 解：由題意作函數(shù) f（ x） = 與 y=x+m 的圖象如下， 第 13 頁（共 21 頁） ， 當 x 1 時， f（ x） =f（ x） =3 令 f（ x） =1 解得， x= 或 x= ； 而 f（ ） = ， f（ ） = ； 故 m= + = ，或 m= = ， 結(jié)合圖象可知， 0 m 或 m 故答案為： 0 m 或 m 三、解答題：本大題共 6小題，共 75分解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟 16已知 f（ x） =+ x） +1 （ ）求函數(shù) f（ x）的對稱軸； （ ）在 ，內(nèi)角 A， B， C 的對邊分別為 a， b， c，且 = ，若不等式 f（ B） m 恒成立，求實數(shù) m 的取值范圍 【考點】 三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用；正弦定理 【分析】 （ ）借助輔助角公式，將 f（ x）化簡為一個三角函數(shù)式，由此得到對稱軸 （ ）由正弦定理得到 A，由此得到 B 的范圍，即可得到 f（ B）的范圍 【解答】 解：（ ） f（ x） =+ x） +1 = =22x ） +1， 令 2x = +得 x= + ， kZ， 函數(shù) f（ x）的對稱軸為 x= + ， kZ， 第 14 頁（共 21 頁） （ ） 在 ， = ，由正弦定理得 = ， 可變形得， A+B） =2 ， ， 0 A ， A= ， f（ B） =22B ） +1，只需 f（ x） m， 0 B ， 2B ， 2B ） 1，即 0 f（ B） 3， m 3 17 2015 年，威海智慧公交建設(shè)項目已經(jīng)基本完成為了解市民對該項目的滿意度，分別從不同公交站點隨機抽取若干市民對該項目進行評分（滿分 100 分），繪制如下頻率分布直方圖，并將分數(shù)從低到高分為四個等級： 滿意度評分 低于 60分 60 分到 79 分 80 分到 89 分 不低于 90 分 滿意度等級 不滿意 基本滿意 滿意 非常滿意 已知滿意度等級為基本滿意的有 680 人 （ I）求等級為非常滿意的人數(shù)： （ ）現(xiàn)從等級為不滿意市民中按評分分層抽取 6 人了解不滿意的原因，并從中選取 3 人擔任整改監(jiān)督員，求 3 人中恰有 1 人評分在 40， 50）的概率； （ ）相關(guān)部門對項目進行驗收，驗收的硬性指標是：市民對該項目的滿意指數(shù)不低于 則該項目需進行整改，根據(jù)你所學的統(tǒng)計知識，判斷該項目能否通過驗收，并說明理由（注：滿意指數(shù) = ） 【考點】 列舉法計算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率；頻率分布直方圖 【分析】 （ ）由頻率分布直方圖中小矩形有面積之和為 1，能求出 a 的值，設(shè)滿意度等級為非常滿意 的人數(shù)為 m，則 ，由此能求出非常滿意的市民的人數(shù) （ ）由頻率分布直方圖可知，按評分分層抽取 6 人，則評分在 40， 50）中抽取 2 人，由此利用等可能事件概率計算公式能過河卒子 同 3 人中恰有 1 人評分在 40， 50）的概率 （ ）先求出所選樣本滿意程度的平均分，從而估計市民滿意度程度的平均得分，進而求出市民滿意度指數(shù)，由此得到該項目能通過驗收 【解答】 解：（ ）由頻率分布直方圖，得： 第 15 頁（共 21 頁） a= 1 10（ = 設(shè)滿意度等級為非常滿意的人數(shù)為 m，則 ， 解得 m=500， 非常滿意的市民有 500 人 （ ）由頻率分布直方圖可知，按評分分層抽取 6 人，則評分在 40， 50）中抽取 2 人， 設(shè)為 分在 50， 60）中抽取 4 人，設(shè)為 則從 6 人中所選 3 人擔任整改監(jiān)督員的基本事件總數(shù) n= =20， 3 人中恰 有 1 人評分在 40， 50）中包含的基本事件個數(shù) m= =12， 3 人中恰有 1 人評分在 40， 50）的概率 p= = （ ）所選樣本滿意程度的平均分為： 4555555 估計市民滿意度程度的平均得分為 市民滿意度指數(shù)為 = 該項目能通過驗收 18設(shè)公差不為零的等差數(shù)列 前 n 項和為 2， 等比數(shù)列 （ ）求數(shù)列 通項公式； （ ）設(shè) ，求數(shù)列 前 n 項和 【考點】 數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式 【分析】 （ I）設(shè)等差數(shù)列 公差為 d0，由 得：，又 2， 3d=12，聯(lián)立解得 d即可得出 （ = ，利用 “裂項求和 ”方法即可得出 【解答】 解：（ I）設(shè)等差數(shù)列 公差為 d0， 等比數(shù)列， = ，化為： d=3 又 2， 3d=12，化為 a1+d=4，聯(lián)立解得 ， d=3 +3（ n 1） =3n 2 （ = = ， 第 16 頁（共 21 頁） 數(shù)列 前 n 項和 + += = 19已知直四棱柱 ， C=1， E，F(xiàn) 分別為 （ I）求證： （ ）求證：面 面 【考點】 平面與平面平行的判定；空間中直線與直線之間的位置關(guān)系 【分析】 （ I）連結(jié) 中點 G，連結(jié) 算 用勾股定理的逆定理得出 平面 出 而 平面 是 以 （ 結(jié) 可證四邊形 平行四邊形，于是 而面 面 【解答】 證明：（ I）連結(jié) 中點 G，連結(jié) ， ， 四邊形 正方形， G=1， ， ， 直四棱柱 平面 面 面 面 1B=B， 平面 面 又 （ 結(jié) E， F 為 中點， D D， F， 四邊形 平行四邊形， F， G 分別是 中點， 第 17 頁（共 21 頁） 又 面 面 F=E， 面 面 11， 面 面 20 f（ x） =x， （ ）若函數(shù) f（ x）在 x=1 處取得極小值，求 m 的值： （ ）求函數(shù) f（ x）的單調(diào)區(qū)間： （ ）當 m 0， x ， +）時，曲線 y=f（ x）上總存在經(jīng)過原點的切線試求 m 的取值范圍 【考點】 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值 【分析】 （ ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到 f（ 1） =0，求出 m 的值；（ ）求出函數(shù) f（ x） 導(dǎo)數(shù)，通過討論 m 的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可； （ ）問題轉(zhuǎn)化為求 g（ x） =x2+m 的最小值，從而求出 m 的范圍即可 【解答】 解：（ ） f（ x） = ，（ x 0）， 函數(shù) f（ x）在 x=1 處取得極小值， f（ 1） =0，解得： m=1 ， 經(jīng)檢驗 m=1+ 時，函數(shù) f（ x）在 x=1 處取得極小值， 故 m=1+ ； （ ）令 f（ x） =0，即 2x ，（ x 0）， 當 m=0 時， f（ x） 0， f（ x）在（ 0， +）遞增， m 0 時， =1+80， 故 ， ，