第 1 頁（共 21 頁） 2015年內(nèi)蒙古包頭市高三（上）期末數(shù)學(xué)試卷（理科） 一、選擇題（本大題共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的） 1已知集合 M= x| 3 x 5， N= x|x 5 或 x 5，則 M N=（ ） A x|x 5 或 x 3 B x| 5 x 5 C x| 3 x 5 D x|x 3 或 x 5 2設(shè) a， b， c R，則復(fù)數(shù)（ a+ c+實(shí)數(shù)的充要條件是（ ） A B C ac+ D ad+ 3已知隨機(jī)變量 服從正態(tài)分布 N（ 2， 2），且 P（ 4） = P（ 0 2） =（ ） A 如圖所示，程序框圖（算法流程圖）的輸出結(jié)果是（ ） A 3 B 4 C 5 D 8 5若變量 x， y 滿足約束條件 ，則 z=2x y 的最大值為（ ） A 1 B 0 C 3 D 4 6已知雙曲線 =1（ a 0， b 0）的離心率為 ，則雙曲線的漸近線方程為（ ） A y= 2x B y= x C y= x D y= x 7（ x+ ） 5（ x R）展開式中 系數(shù)為 10，則實(shí)數(shù) a 等于（ ） A 1 B C 1 D 2 8已知函數(shù) f（ x） =x+）的部分圖象如圖所示，點(diǎn) B， C 是該圖象與 x 軸的交點(diǎn)，過點(diǎn) C 的直線與該圖象交于 D， E 兩點(diǎn)，則 的值為（ ） 第 2 頁（共 21 頁） A 1 B C D 2 9設(shè)偶函數(shù) f（ x）滿足 f（ x） =2x 4（ x 0），則 x|f（ x 2） 0=（ ） A x|x 2 或 x 4 B x|x 0 或 x 4 C x|x 0 或 x 6 D x|x 2 或x 2 10如圖，一個(gè)幾何體三視圖的正視圖和側(cè)視圖為邊長為 2 銳角 60的菱形，俯視圖為正方形，則此幾何體的內(nèi)切球表面積為（ ） A 8 B 4 C 3 D 2 11設(shè) F 為拋物線 C： x 的焦點(diǎn)，過 F 且 傾斜角為 30的直線交 C 于 A， B 兩點(diǎn)，若拋物線的準(zhǔn)線與 x 軸的交點(diǎn)為 P，則 面積為（ ） A B C D 12已知函數(shù) f（ x） = ，若對(duì) x R 都有 |f（ x） | 實(shí)數(shù) a 的取值范圍是（ ） A（ ， 0 B 2， 0 C 2， 1 D（ ， 1 二、填空題（本大題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分把答案填在題中橫線上） 13設(shè) 和 為不重合的兩個(gè)平面，給出下列命題： 若 內(nèi)的兩條相交直線分別平行于 內(nèi)的兩條直線，則 ； 若 外的一條直線 I 與 內(nèi)的一條直線平行，則 I 設(shè) =I，若 內(nèi)有一條直線垂直于 I，則 直線 I 的充要條件是 I 與 內(nèi)的兩條直線垂直 其中所有的真命題的序號(hào)是 14正方形的四個(gè)頂點(diǎn) A（ 1， 1）， B（ 1， 1）， C（ 1， 1）， D（ 1， 1）分別在拋物線 y= y=，如圖所示，若將一個(gè)質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)投入正方形 ，則質(zhì)點(diǎn)落在圖中陰影區(qū)域的概率是 第 3 頁（共 21 頁） 15已知二次函數(shù) y=f（ x）的兩個(gè)零點(diǎn)為 0， 1，且其圖象的頂點(diǎn)恰好在函數(shù) y=圖象上函數(shù) f（ x）在 x 0， 2上的值域是 16已知 a， b， c 分別為 三個(gè)內(nèi)角 A， B， C 的對(duì)邊， a=2 且（ 2+b）（ （ c b） 積的最大值為 三、解答題（本大題共 5 小題，共 70 分解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟） 17設(shè) 數(shù)列 前 n 項(xiàng)和，已知 0， 21n N* （ 1）求 求數(shù)列 通項(xiàng)公式， （ 2）求數(shù)列 前 n 項(xiàng)和 18空氣質(zhì)量指數(shù) 位： g/示每立方米空氣中可入肺顆粒物的含量，這個(gè)值越高，就代表空氣污染越嚴(yán)重： 均濃度 0 35 35 75 75 115 115 150 150 250 250 空氣質(zhì)量級(jí)別 一級(jí) 二 級(jí) 三級(jí) 四級(jí) 五級(jí) 六級(jí) 空氣質(zhì)量類型 優(yōu) 良 輕度污染 中度污染 重度污染 嚴(yán)重污染 甲、乙兩城市 2013 年 2 月份中的 15 天對(duì)空氣質(zhì)量指數(shù) 行監(jiān)測，獲得 均濃度指數(shù)數(shù)據(jù)如莖葉圖所示： （ ）根據(jù)你所學(xué)的統(tǒng)計(jì)知識(shí)估計(jì)甲、乙兩城市 15 天內(nèi)哪個(gè)城市空氣質(zhì)量總體較好？（注：不需說明理由） （ ）在 15 天內(nèi)任取 1 天，估計(jì)甲、乙兩城市空氣質(zhì)量類別均為優(yōu)或良的概率； （ ）在乙城市 15 個(gè)監(jiān)測數(shù)據(jù)中任取 2 個(gè)，設(shè) X 為空氣質(zhì)量類別為優(yōu)或良的天數(shù)，求 X 的分布列及數(shù)學(xué)期望 19如圖，在四棱錐 P ， 平面 5，D=2， 第 4 頁（共 21 頁） （ 1）證明 （ 2）求二面角 A D 的正弦值 20已知?jiǎng)狱c(diǎn) M（ x， y）到直線 ： x=4 的距離是它到點(diǎn) N（ 1， 0）的距離的 2 倍 （ 1）求動(dòng)點(diǎn) M 的軌跡 C 的方程； （ 2）過點(diǎn) P（ 0， 3）的直線 m 與軌跡 C 交于 A， B 兩點(diǎn)，若 A 是 中點(diǎn)，求點(diǎn) A 的坐標(biāo) 21已知函數(shù) 為常數(shù)， e=自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），曲線 y=f（ x）在點(diǎn)（ 1， f（ 1）處的切線與 x 軸平行 （ ）求 k 的值； （ ）求 f（ x）的單調(diào)區(qū)間； （ ）設(shè) g（ x） =（ x2+x） f（ x），其中 f（ x）為 f（ x）的導(dǎo)函數(shù)證明：對(duì)任意 x 0， g（ x） 1+e 2 請(qǐng)考生在第 22， 23， 24 題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分 選修 4何證明選講 22如圖， P 是 O 外一點(diǎn)， 切線， A 為切點(diǎn)，割線 O 相交于點(diǎn) B， C， 為 中點(diǎn)， 延長線交 O 于點(diǎn) E，證明： （ ） C； （ ） E=2 選修 4坐標(biāo)系與參數(shù)方程 23在平面直角坐標(biāo)系 ，直線 l 的參數(shù)方程為 （ t 為參數(shù)），在以坐標(biāo)原點(diǎn)O 為極點(diǎn)， x 軸的正非負(fù)半軸為極軸，取相同單位長度的極坐標(biāo)系中，圓的極坐標(biāo)方程為=4 （ ）求直線 l 被圓截得的弦長； 第 5 頁（共 21 頁） （ ）從極點(diǎn)作圓 C 的弦，求各弦中點(diǎn)的極坐標(biāo)方程 選修 4等式選講 24設(shè)函數(shù) f（ x） =|x+ |+|x a|（ a 0） （ ）證明： f（ x） 2； （ ）若 f（ 3） 5，求 a 的取值范圍 第 6 頁（共 21 頁） 2015年內(nèi)蒙古包頭市高三（上）期末數(shù)學(xué)試卷（理科） 參考答案與試題解析 一、選擇題（本大題共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的） 1已知集合 M= x| 3 x 5， N= x|x 5 或 x 5，則 M N=（ ） A x|x 5 或 x 3 B x| 5 x 5 C x| 3 x 5 D x|x 3 或 x 5 【考點(diǎn)】 并集及其運(yùn)算 【分析】 利用數(shù)軸，在數(shù)軸上畫出集合，數(shù)形結(jié)合求得兩集合的并集 【解答】 解：在數(shù)軸上畫出集合 M=x| 3 x 5， N=x|x 5 或 x 5， 則 M N=x|x 5 或 x 3 故選 A 2設(shè) a， b， c R，則復(fù)數(shù)（ a+ c+實(shí)數(shù)的充要條件是（ ） A B C ac+ D ad+ 【考點(diǎn)】 復(fù)數(shù)相等的 充要條件；復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義 【分析】 本題考查的是復(fù)數(shù)的充要條件注意到復(fù)數(shù) a+a R， b R）為實(shí)數(shù) b=0 【解答】 解： a， b， c R，復(fù)數(shù)（ a+ c+=（ +（ ad+i 為實(shí)數(shù)， ad+，故選 D 3已知隨機(jī)變量 服從正態(tài)分布 N（ 2， 2），且 P（ 4） = P（ 0 2） =（ ） A 考點(diǎn)】 正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義 【分析】 根據(jù)隨機(jī)變量 X 服從正態(tài)分布 N（ 2， 2），看出 這組數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的正態(tài)曲線的對(duì)稱軸 x=2，根據(jù)正態(tài)曲線的特點(diǎn)，得到 P（ 0 2） = P（ 0 4），得到結(jié)果 【解答】 解： 隨機(jī)變量 X 服從正態(tài)分布 N（ 2， 2）， =2，得對(duì)稱軸是 x=2 P（ 4） = P（ 4） =P（ 0） = P（ 0 4） = P（ 0 2） = 故選 C 第 7 頁（共 21 頁） 4如圖所示，程序框圖（算法流程圖）的輸出結(jié)果是（ ） A 3 B 4 C 5 D 8 【考點(diǎn)】 循環(huán)結(jié)構(gòu) 【分析】 列出循環(huán)中 x， y 的對(duì)應(yīng)關(guān)系，不滿足判斷框結(jié)束循環(huán)，推出結(jié)果 【解答】 解：由題意循環(huán)中 x， y 的對(duì)應(yīng)關(guān)系如圖： x 1 2 4 8 y 1 2 3 4 當(dāng) x=8 時(shí)不滿足循環(huán)條件，退出循環(huán)，輸出 y=4 故選 B 5若變量 x， y 滿足約束條件 ，則 z=2x y 的最大值為（ ） A 1 B 0 C 3 D 4 【考點(diǎn)】 簡單線性規(guī)劃 【分析】 作出不等式組表示的平面區(qū)域；作出目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的平行直線，將直線平移，由圖知過（ 2， 1）時(shí)，截距最小，此時(shí) z 最大，從而求出 z=2x y 的最大值 【解答】 解：畫出不等式表示的平面區(qū)域?qū)⒛繕?biāo)函數(shù)變形為 y=3x z，作出目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的平行直線， 將直線平移，由圖知過（ 2， 1）時(shí)，直線的縱截距最小，此時(shí) z 最大， 第 8 頁（共 21 頁） 最大值為 4 1=3 故選 C 6已知雙曲線 =1（ a 0， b 0）的離心率為 ，則雙曲線的漸近線方程為（ ） A y= 2x B y= x C y= x D y= x 【考點(diǎn)】 雙曲線的簡單性質(zhì) 【分析】 運(yùn)用離心率公式，再由雙曲線的 a， b， c 的關(guān)系，可得 a， b 的關(guān)系，再由漸近線方程即可得到 【解答】 解：由雙曲線的離心率 為 ， 則 e= = ，即 c= a， b= = = a， 由雙曲線的漸近線方程為 y= x， 即有 y= x 故選 D 7（ x+ ） 5（ x R）展開式中 系數(shù)為 10，則實(shí)數(shù) a 等于（ ） A 1 B C 1 D 2 【考點(diǎn)】 二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì) 【分析】 利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求出展開式的通項(xiàng)，令 x 的指數(shù)為 3，列出方程求出 【解答】 解： =r（ ） r=2r， 又令 5 2r=3 得 r=1， 第 9 頁（共 21 頁） 由題設(shè)知 0a=2 故選 D 8已知函數(shù) f（ x） =x+）的部分圖象如圖所示，點(diǎn) B， C 是該圖象與 x 軸的交點(diǎn)，過點(diǎn) C 的直線與該圖象交于 D， E 兩點(diǎn)，則 的值為（ ） A 1 B C D 2 【考點(diǎn)】 y=x+）中參數(shù)的物理意義；平面向量數(shù)量積的運(yùn)算 【分析】 根據(jù)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求出函數(shù)的周期，利用向量的基本運(yùn)算和向量的數(shù)量積定義即可得到結(jié)論 【解答】 解： 函數(shù) f（ x） =2x+）的周期 T= =2， 則 =1，則 C 點(diǎn)是一個(gè)對(duì)稱中心， 則根據(jù)向量的平行四邊形法則可知： =2 ， = =2 =2| |2=2 12=2 故選： D 9設(shè)偶函數(shù) f（ x）滿足 f（ x） =2x 4（ x 0），則 x|f（ x 2） 0=（ ） A x|x 2 或 x 4 B x|x 0 或 x 4 C x|x 0 或 x 6 D x|x 2 或x 2 【考點(diǎn)】 偶函數(shù)；其他不等式的解法 【分析】 由偶函數(shù) f（ x）滿足 f（ x） =2x 4（ x 0），可得 f（ x） =f（ |x|） =2|x| 4，根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)將函數(shù)轉(zhuǎn)化為絕對(duì)值函數(shù)，再求解不等式，可得答案 【解答】 解：由偶函數(shù) f（ x）滿足 f（ x） =2x 4（ x 0），可得 f（ x） =f（ |x|） =2|x| 4， 則 f（ x 2） =f（ |x 2|） =2|x 2| 4，要使 f（ |x 2|） 0，只需 2|x 2| 4 0， |x 2| 2 解得 x 4，或 x 0 應(yīng)選： B 10如圖，一個(gè)幾何體三視圖的正視圖和側(cè)視圖為邊長為 2 銳角 60的菱形，俯視圖為正方形，則此幾何體的內(nèi)切球表面積為（ ） 第 10 頁（共 21 頁） A 8 B 4 C 3 D 2 【考點(diǎn)】 由三視圖求面積、體積 【分析】 由題意可知，該幾何體的內(nèi)切球的球心即為該幾何體的中心，進(jìn)而可求此幾何體的內(nèi)切球的半徑，即可得到此幾何體的內(nèi)切球表面積 【解答】 解：由于此幾何體三視圖的正視 圖和側(cè)視圖為邊長為 2 銳角 60的菱形，俯視圖為正方形， 則該幾何體的內(nèi)切球的球心即為該幾何體的中心，即是正方形的中心 由此幾何體三視圖可知，幾何體每個(gè)面的三邊長分別為 ， 設(shè)此幾何體的內(nèi)切球的半徑為 r，則由體積相等得到： = 解得 r= ，則此幾何體的內(nèi)切球表面積為 故答案為 C 11設(shè) F 為拋物線 C： x 的焦點(diǎn)，過 F 且傾斜角為 30的直線交 C 于 A， B 兩點(diǎn)，若拋物線的準(zhǔn)線與 x 軸的交點(diǎn)為 P，則 面積為（ ） A B C D 【考點(diǎn)】 拋物線的簡單性質(zhì) 【分析】 由焦點(diǎn)弦的性質(zhì)求出 求出 P 點(diǎn)到直線 距離，即可求出 面積 【解答】 解：由焦點(diǎn)弦的性質(zhì)可得 ， P 點(diǎn)到直線 距離就是原點(diǎn)到直線 距離的 2 倍，為 ， 那么 故選： C 12已知函數(shù) f（ x） = ，若對(duì) x R 都有 |f（ x） | 實(shí)數(shù) a 的取值范圍是（ ） 第 11 頁（共 21 頁） A（ ， 0 B 2， 0 C 2， 1 D（ ， 1 【考點(diǎn)】 分段函數(shù)的應(yīng)用 【分析】 作出函數(shù)的圖象，利用不等式恒成立進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可 【解答】 解：由 y=|f（ x） |的圖象知： 當(dāng) x 0 時(shí)， y=有 a 0 時(shí)，才有可能滿足 |f（ x） | 排除 C， D 當(dāng) x 0 時(shí)， y=|f（ x） |=| x|=2x 故由 |f（ x） | 2x 當(dāng) x=0 時(shí)，不等式為 0 0 成立 當(dāng) x 0 時(shí)，不等式等價(jià)于 x 2 a x 2 2， a 2 綜上可知： a 2， 0， 故選： B 二、填空題（本大題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分把答案填在題中橫線上） 13設(shè) 和 為不重合的兩個(gè)平面，給出下列命題： 若 內(nèi)的兩條相交直線分別平行于 內(nèi)的兩條直線，則 ； 若 外的一條直線 I 與 內(nèi)的一條直線平行，則 I 設(shè) =I，若 內(nèi)有一條直線垂直于 I，則 直線 I 的充要條件是 I 與 內(nèi)的兩條直線垂直 其中所有的真命題的序號(hào)是 【考點(diǎn)】 空間中直線與平面之間的位置關(guān)系 【分析】 結(jié)合判定定理，作出圖形舉出反例等進(jìn)行判 斷 【解答】 解：由面面平行的判定定理可知 正確； 由線面平行的判定定理可知 正確； 當(dāng) ， 斜交時(shí)， 內(nèi)存在無數(shù)條直線都與 I 垂直，顯然 ， 不垂直，故 錯(cuò)誤； 若 內(nèi)的兩條平行直線與 I 垂直，則不能保證 I 與 垂直，故 錯(cuò)誤 故答案為： 14正方形的四個(gè)頂點(diǎn) A（ 1， 1）， B（ 1， 1）， C（ 1， 1）， D（ 1， 1）分別在拋物線 y= y=，如圖所示，若將一個(gè)質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)投入正方形 ，則質(zhì)點(diǎn)落在圖中陰影區(qū)域的概率是 第 12 頁（共 21 頁） 【考點(diǎn)】 幾何概型 【分析】 利用幾何槪型的概率公式，求出對(duì)應(yīng)的圖形的面積，利用面積比即可得到結(jié)論 【解答】 解： A（ 1， 1）， B（ 1， 1）， C（ 1， 1）， D（ 1， 1）， 正方體的 面積 S=2 2=4， 根據(jù)積分的幾何意義以及拋物線的對(duì)稱性可知陰影部分的面積 S=2=2 =2（ 1 ）（ 1+ ） =2 = ， 則由幾何槪型的概率公式可得質(zhì)點(diǎn)落在圖中陰影區(qū)域的概率是 故答案為： 15已知二次函數(shù) y=f（ x）的兩個(gè)零點(diǎn)為 0， 1，且其圖象的頂點(diǎn)恰好在函數(shù) y=圖象上函數(shù) f（ x）在 x 0， 2上的值域是 1， 8 【考點(diǎn)】 函數(shù)零點(diǎn)的判定定理 【分析】 由函數(shù)零點(diǎn)的定義設(shè)出 f（ x）的解析式，結(jié)合條件求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，代入函數(shù)解析式求出系數(shù)，即可求出 f（ x）的解析式，由配方法和二次函數(shù)的性質(zhì)求出值域 【解答】 解： 二次函數(shù) y=f（ x）的兩個(gè)零點(diǎn)為 0， 1， 設(shè) f（ x） =x 1），則定點(diǎn)的橫坐標(biāo) x= ， f（ x）圖象的頂點(diǎn)恰好在函數(shù) y=圖象上， y= 1，則頂點(diǎn)為 ， 代入 f（ x）得， a（ 1） = 1，解得 a=4， 則 f（ x） =4x（ x 1） =4 ， x 0， 2， 當(dāng) x= 時(shí)， f（ x）取到最小值是 1；當(dāng) x=2 時(shí)， f（ x）取到最大值是 8， 1 f（ x） 8，即 f（ x） 的值域是 1， 8 第 13 頁（共 21 頁） 16已知 a， b， c 分別為 三個(gè)內(nèi)角 A， B， C 的對(duì)邊， a=2 且（ 2+b）（ （ c b） 積的最大值為 【考點(diǎn)】 余弦定理；正弦定理 【分析】 由正弦定理化簡已知可得 2a b2=合余弦定理可求 A 的值，由基本不等式可求 4，再利用三角形面積公式即可計(jì)算得解 【解答】 解：因?yàn)椋海?2+b）（ =（ c b） （ 2+b）（ a b） =（ c b） c 2a b2= 又因?yàn)椋?a=2， 所以： ， 積 ， 而 b2+a2=b2+bc=b2+ 4 所以： ，即 積的最大值為 故答案為： 三、解答題 （本大題共 5 小題，共 70 分解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟） 17設(shè) 數(shù)列 前 n 項(xiàng)和，已知 0， 21n N* （ 1）求 求數(shù)列 通項(xiàng)公式， （ 2）求數(shù)列 前 n 項(xiàng)和 【考點(diǎn)】 數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式 【分析】 （ 1）利用遞推式與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得 （ 2）利用 “錯(cuò)位相減法 ”、等比數(shù)列前 n 項(xiàng)和公式即可得出 【解答】 解 （ 1） 0， 21n N* 令 n=1 得 ，令 n=2 得 當(dāng) n 2 時(shí)，由 21=21 1=1，兩式相減得 1， 又 0，則 0， 于是數(shù)列 首項(xiàng)為 1，公比為 2 的等比數(shù)列， 通項(xiàng)公式 ； （ 2）由（ 1）知， n2n 1， +2 2+3 22+n 2n 1， 2+2 22+3 23+（ n 1） 2n 1+n 2n， +2+22+2n 1 n 2n= n 2n=（ 1 n） 2n 1， n 1） 2n+1 第 14 頁（共 21 頁） 18空氣質(zhì)量指數(shù) 位： g/示每立方米空氣中可入肺顆粒物的含量，這個(gè)值越高，就代表空氣污染越嚴(yán)重： 均濃度 0 35 35 75 75 115 115 150 150 250 250 空氣質(zhì)量級(jí)別 一級(jí) 二級(jí) 三級(jí) 四級(jí) 五級(jí) 六級(jí) 空氣質(zhì)量類型 優(yōu) 良 輕度污染 中度污染 重度污染 嚴(yán)重污染 甲、乙兩城市 2013 年 2 月份中的 15 天對(duì)空氣質(zhì)量指數(shù) 行監(jiān)測，獲得 均濃度指數(shù)數(shù)據(jù)如莖葉圖所 示： （ ）根據(jù)你所學(xué)的統(tǒng)計(jì)知識(shí)估計(jì)甲、乙兩城市 15 天內(nèi)哪個(gè)城市空氣質(zhì)量總體較好？（注：不需說明理由） （ ）在 15 天內(nèi)任取 1 天，估計(jì)甲、乙兩城市空氣質(zhì)量類別均為優(yōu)或良的概率； （ ）在乙城市 15 個(gè)監(jiān)測數(shù)據(jù)中任取 2 個(gè)，設(shè) X 為空氣質(zhì)量類別為優(yōu)或良的天數(shù)，求 X 的分布列及數(shù)學(xué)期望 【考點(diǎn)】 離散型隨機(jī)變量的期望與方差；莖葉圖；離散型隨機(jī)變量及其分布列 【分析】 （ I）由莖葉圖可知：甲城市空氣質(zhì)量一級(jí)和二級(jí)共有 10 天，而乙城市空氣質(zhì)量一級(jí)和二級(jí)只有 5 天，因此 甲城市空氣質(zhì)量總體較好 （ （ I）的分析及相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式即可得出； （ 用超幾何分布即可得到分布列，再利用數(shù)學(xué)期望的計(jì)算公式即可得出 【解答】 解：（ ）甲城市空氣質(zhì)量總體較好 （ ）甲城市在 15 天內(nèi)空氣質(zhì)量類別為優(yōu)或良的共有 10 天，任取 1 天，空氣質(zhì)量類別為優(yōu)或良的概率為 ， 乙城市在 15 天內(nèi)空氣質(zhì)量類別為優(yōu)或良的共有 5 天，任取 1 天，空氣質(zhì)量類別為優(yōu)或良的概率為 ， 在 15 天內(nèi)任取 1 天，估計(jì)甲、乙兩城市空氣質(zhì)量類別均為優(yōu)或良的概率為 （ ） X 的取值為 0， 1， 2， ， ， P（ X=2） = = X 的分布列為： X 0 2 第 15 頁（共 21 頁） P 數(shù)學(xué)期望 19如圖，在四棱錐 P ， 平面 5，D=2， （ 1）證明 （ 2）求二面角 A D 的正弦值 【考點(diǎn)】 二面角的平面角及求法；空間中直線與直線之間的位置關(guān)系 【分析】 （ 1）推導(dǎo)出 而 面 此能證明 （ 2）過 A 作 M，連接 所求角，由此能求出二面角 A D 的正弦值 【解答】 證明：（ 1） 平面 面 又 C=A， 面 又 （ 2）過 A 作 M，連接 所求角， 在 ， ， 在 ， ， 在 ， 二面角 A D 的正弦值為 第 16 頁（共 21 頁） 20已知?jiǎng)狱c(diǎn) M（ x， y）到直線 ： x=4 的距離是它到點(diǎn) N（ 1， 0）的距離的 2 倍 （ 1）求動(dòng)點(diǎn) M 的軌跡 C 的方程； （ 2）過點(diǎn) P（ 0， 3）的直線 m 與軌跡 C 交于 A， B 兩點(diǎn)，若 A 是 中點(diǎn)，求點(diǎn) A 的坐標(biāo) 【考點(diǎn)】 橢 圓的簡單性質(zhì) 【分析】 （ 1）由已知得 |x 4|=2 ，由此能求出動(dòng)點(diǎn) M 的軌跡方程 （ 2） P（ 0， 3），設(shè) A（ B（ 由 A 是 中點(diǎn)，得 2x1=直線 m 的方程為 y=，代入橢圓，得（ 3+444=0，由此能求出點(diǎn) A 的坐標(biāo) 【解答】 解：（ 1）點(diǎn) M（ x， y）到直線 x=4 的距離是它到點(diǎn) N（ 1， 0）的距離的 2 倍， 則 |x 4|=2 ，即（ x 4） 2=4（ x 1） 2+4理得 ， 所以，動(dòng)點(diǎn) M 的軌跡是橢圓，方程為 （ 2） P（ 0， 3），設(shè) A（ B（ 由 A 是 中點(diǎn)，得 2x1=圓的上下頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是（ 0， 3）和（ 0， 3）， 經(jīng)檢驗(yàn)直線 m 不經(jīng)過這兩點(diǎn)，即直線 m 的斜率 k 存在， 設(shè)直線 m 的方程為 y=，聯(lián)立 ，得， 所以 ，得 ， 設(shè)直線 m 的方程為 ，則 ，得 21已知函數(shù) 為常數(shù)， e=自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），曲線 y=f（ x）在點(diǎn)（ 1， f（ 1）處的切線與 x 軸平行 （ ）求 k 的值； （ ）求 f（ x）的單調(diào)區(qū)間； （ ）設(shè) g（ x） =（ x2+x） f（ x），其中 f（ x）為 f（ x）的導(dǎo)函數(shù)證明：對(duì)任意 x 0， g（ x） 1+e 2 【考點(diǎn)】 利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程 第 17 頁（共 21 頁） 【分析】 （ ）先求出 f（ x） = ， x （ 0， +），由 y=f（ x）在（ 1， f（ 1）處的切線與 x 軸平行，得 f（ 1） =0，從而求出 k=1； （ ）由（ ）得： f（ x） = （ 1 x x （ 0， +），令 h（ x） =1 x x （ 0， +），求出 h（ x）的導(dǎo)數(shù)，從而得 f（ x）在（ 0， 1）遞增，在（ 1， +）遞減； （ ）因 g（ x） = （ 1 x x （ 0， +），由（ ） h（ x） =1 x x （ 0，+），得 1 x 1+e 2，設(shè) m（ x） = x+1），得 m（ x） m（ 0） =0，進(jìn)而 1 x 1+e 2 （ 1+e 2），問題得以證明 【解答】 解：（ ） f（ x） = ， x （ 0， +）， 且 y=f（ x）在（ 1， f（ 1）處的切線與 x 軸平行， f（ 1） =0， k=1； （ ）由（ ）得： f（ x） = （ 1 x x （ 0， +）， 令 h（ x） =1 x x （ 0， +）， 當(dāng) x （ 0， 1）時(shí)， h（ x） 0，當(dāng) x （ 1， +）時(shí)， h（ x） 0， 又 0， x （ 0， 1）時(shí)， f（ x） 0， x （ 1， +）時(shí)， fx） 0， f（ x）在（ 0， 1）遞增，在（ 1， +）遞減； 證明：（ ） g（ x） =（ x2+x） f（ x）， g（ x） = （ 1 x x （ 0， +）， x 0， g（ x） 1+e 21 x （ 1+e 2）， 由（ ） h（ x） =1 x x （ 0， +）， h（ x） =（ 2）， x （ 0， +）， x （ 0， e 2）時(shí)， h（ x） 0， h（ x）遞增， x （ e 2， +）時(shí)， h（ x） 0， h（ x）遞減， h（ x） h（ e 2） =1+e 2， 1 x 1+e 2， 設(shè) m（ x） = x+1）， m（ x） =1= x （ 0， +）時(shí)， m（ x） 0， m（ x）遞增， m（ x） m（ 0） =0， x （ 0， +）時(shí)， m（ x） 0， 即 1， 第 18 頁（共 21 頁） 1 x 1+e 2 （ 1+e 2）， x 0， g（ x） 1+e 2 請(qǐng)考生在第 22， 23， 24 題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分 選修 4何證明選講 22如圖， P 是 O 外一點(diǎn)， 切線， A 為切點(diǎn)，割線 O 相交于點(diǎn) B， C， 為 中點(diǎn)， 延長線交 O 于點(diǎn) E，證明： （ ） C； （ ） E=2 【考點(diǎn)】 與圓有關(guān)的比